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  • 此处只列出相关系数公式r=Cov(X,Y)σxσy=E(X−μx)(Y−μy)σxσy 更多内容请百度或者看概率论与数理统计方面的书。 文章的目的是测试一下如何使用这个公式计算相关系数,并阐述一些在实际操作时遇到的一些...

    1. 何谓相关系数?

    此处只列出相关系数的公式:

    r=Cov(X,Y)σxσy=E(Xμx)(Yμy)σxσy

    更多内容请百度或者看概率论与数理统计方面的书。

    文章的目的是测试一下如何使用这个公式计算相关系数,并阐述一些在实际操作时遇到的一些问题。

    2. matlab自带函数

    2.1 corrcoef

    功能:求相关系数

    用法:

    R = corrcoef(x,y)

    其余用法未列出,使用help corrcoef查看。

    corrcoef(x,y)表示序列x和序列y的相关系数,得到的结果是一个2*2矩阵,其中对角线上的元素分别表示x和y的自相关,非对角线上的元素分别表示x与y的相关系数和y与x的相关系数,两个是相等的。

    2.2 例子

    data1:有两例数据,第一列为x,第二列为y:

    1 1.2
    2 1.9
    3 3.1
    4 4
    5 5.6
    6 6.2
    7 6.8

    code:

    data = load('data1.txt');
    x = data(:,1);
    y = data(:,2);
    R = corrcoef(x, y)

    结果:

    R =
        1.0000    0.9927
        0.9927    1.0000

    可以看到,自相关系数为1,因为自身与自身完全一样,x与y的相关系数为0.9927,非常接近1,表示两序列有很强的正相关性。

    3. 自己写一个计算相关系数的函数

    也不是完全自己写,目的是通过测试,了解自相关系数计算的一些细节。

    3.1 总体与样本

    在这之前得说一说总体与样本,计算方差的时候我们有如下公式:

    Var(X)=E(XEX)2

    这里取平均的时候有两种方式:

    1. 除以n,此为二阶中心矩,把数据看作总体,如果数据并不是总体(对于测量来说一般是样本,因为不可能无限次测量),得到的估计是有偏的。
    2. 除以n1,其实是把数据看作样本,这样做是为了得到无偏估计。

    matlab中的var,std,cov等函数默认的都是除以n1,这样可以得到无偏估计。使用时需注意。下面是对nn1的测试。

    3.2 var,std,cov函数的测试

    3.2.1 var

    在matlab中,函数var可以用来计算方差,但要注意:

    V = var(X)   % 样本方差,分母除的是n-1(当n>1时),当n=1时,除n
    V = var(X,1) % 二阶矩,也就是总体方差,分母除的是n

    其余用法未列出,使用help var查看。

    可以进行如下验证,数据还是用的上面的x:

    % 总体方差
    sigxn  = var(x,1) % matlab函数
    sigxn_test = sum(diffx.^2)/size(diffx,1) % 自己计算
    % 样本方差 
    sigxn1 = var(x,0) % 与var(x)结果一样
    sigxn1_test = sum(diffx.^2)/(size(diffx,1)-1)

    结果:

    sigxn       =     4
    sigxn_test  =     4
    sigxn1      =    4.6667
    sigxn1_test =    4.6667

    nn1的用法得证。

    3.2.2 cov

    协方差计算函数cov也分总体和样本两种情况。

    cov的用法:

    C = cov(x,y)   % 总体,n
    C = cov(x,y,1) % 样本,n-1

    3.2.3 std

    std用法:

    s = std(X)          % 总体,n
    s = std(X,flag)     % flag=0是总体,flag=1是样本(n-1)

    其余用法未列出,使用help var查看。

    3.3 相关系数的计算

    完整的代码:

    data = load('data1.txt');
    x  = data(:,1);
    y  = data(:,2);
    R0 = corrcoef(x, y) % 相关系数
    % 以下是测试
    mu_x  = mean(x); % x均值
    mu_y  = mean(y); % y均值
    diffx = x - mu_x; % 行列与x一样
    diffy = y - mu_y;
    covxy = sum(diffx.*diffy)/(size(diffx,1)-1); % x与y的协方差,用的n-1
    sigx  = sqrt(var(x,0)); % 标准差,用的n-1
    sigy  = sqrt(var(y,0));
    R     = covxy/(sigx*sigy)

    结果:

    R0 =
        1.0000    0.9927
        0.9927    1.0000
    R =
        0.9927

    上面自己计算的时候,协方差和标准差的分母用的是n1,接下来,用n,发现得到的结果是一样的。可见,对于相关系数的计算,不管协方差和标准差的分母是n1还是n,结果是一样的。

    转载于:https://www.cnblogs.com/shanchuan/p/8150333.html

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  • 皮尔森相关系数样本方差

    千次阅读 2018-09-06 14:59:37
    样本的简单相关系数一般用r表示,其中n 为样本量, 分别为两个变量的观测值和均值。r描述的是两个变量间线性相关强弱的程度。r的取值在-1与+1之间,若r>0,表明两个变量是正相关,即一个变量的值越大,另一个变量...

    数据来源百度百科

    皮尔森相关系数

    皮尔森相关系数的公式为:

    皮尔森相关系数

    样本的简单相关系数一般用r表示,其中n 为样本量, 分别为两个变量的观测值和均值。r描述的是两个变量间线性相关强弱的程度。r的取值在-1与+1之间,若r>0,表明两个变量是正相关,即一个变量的值越大,另一个变量的值也会越大;若r<0,表明两个变量是负相关,即一个变量的值越大另一个变量的值反而会越小。r 的绝对值越大表明相关性越强,要注意的是这里并不存在因果关系。若r=0,表明两个变量间不是线性相关,但有可能是其他方式的相关(比如曲线方式)

    利用样本相关系数推断总体中两个变量是否相关,可以用t 统计量对总体相关系数为0的原假设进行检验。若t 检验显著,则拒绝原假设,即两个变量是线性相关的;若t 检验不显著,则不能拒绝原假设,即两个变量不是线性相关的

     

    样本方差

    样本方差的公式为

      

    其中  为样本均值

    简介

    在许多实际情况下,人口的真实差异事先是不知道的,必须以某种方式计算。 当处理非常大的人口时,不可能对人口中的每个物体进行计数,因此必须对人口样本进行计算。样本方差也可以应用于从该分布的样本的连续分布的方差的估计。 

    样本方差的无偏性

    我们从一个样本取n个值y1,...,yn,其中n <N,并根据这个样本估计方差。直接取样本数据的方差给出平均偏差平均值: 

    这里,  表示样本均值。

    由于  是随机选择的,所以  和  是随机变量。 他们的预期值可以通过从群体中的大小为n的所有可能样本 的集合进行平均来评估。 对于  ,有

    因此 给出了基于因子  的人口方差的估计值。  被称为偏样本方差。 纠正该偏差之后形成无偏样本方差:

    估计值可以简单地称为样本方差。 同样的证明也适用于从连续概率分布中抽取的样本。

    例如,n=5个样本观测值值为3,4,4,5,4,则样本均值 , 样本方差  =  。样本方差是常用的统计量之一,是描述一组数据变异程度或分散程度大小的指标。实际上,样本方差可以理解成是对所给总体方差的一个无偏估计。E(S^2)=DX。

    n-1的使用称为贝塞尔校正(Bessel's correction),也用于样本协方差和样本标准偏差(方差平方根)。 平方根是一个凹函数,因此引入负偏差(由Jensen不等式),这取决于分布,因此校正样本标准偏差(使用贝塞尔校正)有偏差。 标准偏差的无偏估计是一个技术上涉及的问题,尽管对于使用术语n-1.5的正态分布,形成无偏估计。

    无偏样本方差是函数ƒ(y1,y2)=(y1-y2)2/2的U统计量,这意味着它是通过对群体的两个样本统计平均得到的。

    样本方差分布

    作为随机变量的函数,样本方差本身就是一个随机变量,研究其分布是很自然的。 在yi是来自正态分布的独立观察的情况下,Cochran定理表明s2服从卡方分布:

    所以可求;

    如果yi独立同分布,但不一定是正态分布,那么

    如果大数定律的条件对于平方观测值同样适用,则s2是σ2的一致估计量。 可以看出,估计的方差趋于零。 在Kenney and Keeping(1951:164),Rose和Smith(2002:264)和Weisstein(n.d.)中给出了渐近等效的公式。

    正态总体的样本均值和样本方差相互独立。

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  • 一、相关系数 ...一般以 表示总体相关系数,r表示样本相关系数。 设有一X,Y均为随机变量的双变数总体,具有N对(X,Y)。若在标有这N个(X,Y)坐标点的直角坐标平面上移动坐标轴,将X轴和Y轴分别平移到 ...

    一、相关系数

    对于坐标点呈直线趋势的两个变数,如果并不需要由X来估计Y,而仅需了解X和Y是否确有相关以及相关的性质(正相关或负相关),则首先应算出表示X和Y 相关密切程度及其性质的统计数 —— 相关系数。一般以 \rho 表示总体相关系数,r表示样本相关系数

    设有一X,Y均为随机变量的双变数总体,具有N对(X,Y)。若在标有这N个(X,Y)坐标点的直角坐标平面上移动坐标轴,将X轴和Y轴分别平移到 \mu _{x} 和 \mu _{y} 上,则各个点的位置不变,而所取坐标变为(X-\mu _{x},Y-\mu _{y})。

    在象限Ⅰ, (X-\mu _{x})>0,(Y-\mu _{x})>0;在象限 Ⅱ, (X-\mu _{x})<0,(Y-\mu _{x})>0;

    在象限Ⅲ, (X-\mu _{x})<0,(Y-\mu _{x})<0;在象限 Ⅳ, (X-\mu _{x})>0,(Y-\mu _{x})<0;

    (X,Y)总体呈正相关时,落在象限 Ⅰ,Ⅲ的点一定比落在 象限 Ⅱ,Ⅳ 的多,\sum_{1}^{N}(X-\mu _{x})(Y-\mu _{Y})一定为正;

    同时落在象限 Ⅰ,Ⅲ的点所占的比率愈大,此正值愈大。

    (X,Y)总体呈负相关时,落在象限 Ⅱ,Ⅳ 的点一定比落在 象限 Ⅰ,Ⅲ 的多,\sum_{1}^{N}(X-\mu _{x})(Y-\mu _{Y})一定为负 ;

    同时落在象限 Ⅱ,Ⅳ 的点所占的比率愈大,此负值愈大;

    (X,Y)总体无相关,则落在Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ的点是均匀分散的,正负相消,\sum_{1}^{N}(X-\mu _{x})(Y-\mu _{Y})=0

    以上说明,\sum_{1}^{N}(X-\mu _{x})(Y-\mu _{Y})的值可用来度量两个变数直线相关的相关程度和性质。但,X和Y 的变异程度、所取单位以及N 的大小都会影响\sum_{1}^{N}(X-\mu _{x})(Y-\mu _{Y}),为便于普遍应用,应消去这些因素的影响。

    消去方法:将离均差转换成以各自的标准差单位,使成为标准化离差,再以N除之。

    双变数总体的相关系数\rho为:

             \rho =\frac{1}{N}\sum_{1}^{N} [(\frac{X-\mu _{X}}{\sigma _{X}})(\frac{Y-\mu _{Y}}{\sigma _{Y}})]

               =\frac{\sum (X-\mu _{X})(Y-\mu _{Y})}{\sqrt{\sum (X-\mu _{X})^{2}\cdot (Y-\mu _{Y})^{2}}}

               =\frac{1}{N}\sum_{1}^{N} {Z_{X}}{Z_{Y}}

    此时\rho已与两个变数的变异程度、单位和N大小都没有关系,是一个不带单位的纯数,可用来比较不同双变数总体的相关程度和性质。相关系数是两个变数标准化离差的乘积的平均数。

    样本相关系数:  r=\frac{\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x-\bar{x})^{2}\cdot \sum(y-\bar{y})^{2}}} 

                              =\frac{SP}{\sqrt{SS_{x}\cdot SS_{y}}}             r\in [-1,1]

    上述结果可由回归分析得出:

    y 的平方和 SS_{y}=\sum (y-\bar{y})^{2} 在回归分析中分成两部分:离回归平方和 Q=\sum (y-\hat{y})^{2} 和回归平方和 U=\sum (\hat{y}-\bar{y})^{2}=(SP)^{2}/SS_{x}。后者是由X的不同而引起的。若坐标点愈靠近回归线,则U对SS_{y}的比率愈大,直线相关就愈密切,又可定义为:

                                  r=\sqrt{\frac{U}{SS_{y}}}=\sqrt{\frac{\sum (\hat{y}-\bar{y})^{2}}{\sum (y-\bar{y})^{2}}}=\sqrt{\frac{SP^{2}/SS_{x}}{SS_{y}}}=\frac{SP}{\sqrt{SS_{x}\cdot SS_{y}}}

    上式说明,当散点图上的点完全落在回归直线上时,Q=0,U=SS_{y},r=\pm1;

    y变异和x完全无关时,U=0,Q=SS_{y},r=0;

    双变数的相关程度决定于|r|,|r|越接近于1,相关越密切,越接近于0,越可能无关。

    r的显著与否与自由度有关,自由度越大,受抽样误差的影响越小,r达到显著水平\alpha的值就越小。

    r和b的分母总为正值,分子部分SP,相关系数和回归系数的正负一致。

    二、决定系数(determination coefficient)

    定义为由x不同而引起的平方和U=\sum (\hat{y}-\bar{y})^{2}占总平方和SS_{y}=\sum (y-\bar{y})^{2}的比率;

    也可定义为由y不同而引起的x的平方和U'=\sum (\hat{x}-\bar{x})^{2}占总平方和SS_{x}=\sum (x-\bar{x})^{2}的比率。

                  r^{2}=\frac{SP^{2}/SS_{x}}{SS_{y}}=\frac{SP^{2}/SS_{y}}{SS_{x}}=\frac{SP^{2}}{SS_{x}\cdot SS_{y}}

    决定系数和相关系数的区别:

    (1)除掉r=0和|r|=1的情况,r^{2}总是小于|r|。可防止对相关系数所表示的相关程度作夸张的解释。

    (2)r可正可负,r^{2}一律取正,取值范围[0,1]。

    在相关分析中将两者结合起来是可取的,r的正负表示相关的性质,r^{2}的大小表示相关程度。

    三、相关系数的假设测验

    (1)\rho=0的假设测验

    测验一个样本相关系数r所来自的总体相关系数 \rho 是否为0,统计假设:H_{0}:\rho =0 对 H_{A}:\rho \neq 0.

    由于抽样误差,从\rho =0的总体中抽得的r并不一定为0.为了判断r代表的总体是否确有直线相关,必须测定实得r值来自\rho =0总体的概率。只有在这一概率小于0.05时,才能冒5%以下的风险,推断这个样本所属的总体总是有线性相关的。

    \rho =0的总体中抽样,r的分布随样本容量n的不同而不同。n=2时,r的取值只有-1和1两种,其概率各为0.5;n=3时r的分布呈U型,r=0的概率密度最小,r愈趋向\pm1,概率密度愈大;n=4时分布呈矩形,r在[-1,1]范围内具有相同的概率密度;只有当n\geq5时分布才逐渐转钟型。由于r的取值区间只有[-1,1],r本身并不服从某个已知的理论分布。r抽样误差:

                    s_{r}=\sqrt{\frac{1-r^{2}}{n-2}}

    \rho =0        t=r/s_{r}

    对于同一资料来说,线性回归的显著性和线性相关的显著性一定等价,不是偶然巧合而是必然结果。所以在实践应用上,回归的显著性已测验,相关的显著性就无需测验,反之亦然。

    r的临界值:

                      r_{\alpha }=\sqrt{\frac{t_{\alpha }^{2}}{v+t_{\alpha }^{2}}}

    (2)\rho=C的假设测验

    测验一个实得的相关系数r与某一指定的或理论的相关系数C是否有显著差异,统计假设为:H_{0}:\rho =C 对 H_{A}:\rho \neq C

    \rho \neq 0时,r的抽样分布具有很大的偏态,且随n和\rho的取值而异,将r转换为z:

     

    (3) \rho_{1}=\rho_{2} 的假设测验

    测验两个样本相关系数 r_{1} 和 r_{2} 分别来自的总体相关系数 \rho_{1} 和 \rho_{2} 是否相等,统计假设为:H_{0}\rho_{1} = \rho_{2} 对 H_{A}\rho_{1} \neq\rho_{2}

    由于r转换成z后才近似正态分布,,需进行z转化,两个z值的差数标准误为:

    若原假设被接受,应将r_{1} 和 r_{2} 合并为一个r来表示整个资料的相关情况。

    合并的方法是将两样本的平方和和乘积和分别带入r=\frac{SP}{\sqrt{SS_{x}\cdot SS_{y}}}。合并后的r值为:

    r=\frac{SP_{1}+SP_{2}}{\sqrt{(SS_{x_{1}}+ SS_{x_{2}})(SS_{y_{1}}+SS_{y_{2}})}} 

    代表两个样本有共同的相关系数r。

     

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  • 目录 概念浅析 样本协方差 相关系数 R分析 ...简单理解:标准差和方差一般是用来描述一维数据的,而协方差和相关系数则是用来描述二维数据的。...样本协方差 ...对于相关系数,我们从它的公式入手。一般情.

    目录

    概念浅析

    样本协方差

    相关系数

    R分析


    概念浅析

    简单理解:标准差和方差一般是用来描述一维数据的,而协方差和相关系数则是用来描述二维数据的。

    样本协方差

    具体来讲,样本的协方差为:

     

    相关系数

    随机变量X和Y的协方差用于度量X和Y同时增大,或一个增大一个减少的程度,但是要想说明这两个随机变量的相关性高不高,用协方差是体现不出来的,所以要用到相关系数。相 关系数是一个百分数。
    相关系数的绝对值是大于等于0,小于等于1的数。
    对于相关系数,我们从它的公式入手。一般情况下,相关系数的公式就是用X、Y的协方差 除以X的标准差和Y的标准差。
    所以,相关系数也可以看成:一种剔除了两个变量量纲影响、标准化后的特殊协方差。

    标准差描述了变量在整体变化过程中偏离均值的幅度。协方差除以标准差,也就是把 协方差中变量变化幅度对协方差的影响剔除掉,这样协方差也就标准化了,它反应的就是两个变量每单位变化时的情况。这也就是相关系数的公式含义了。
    既然相关系数是协方差除以标准差,那么,当X或Y的波动 幅度变大的时候,它们的协方差会变大,标准差也会变大,这样相关系数的分子分母都变大,其实变大的趋势会被抵消掉,变小时也亦然。
    于是,很明显的,相关系数不像协方差一样可以在正无穷到负无穷间变化,它只能在+1 到-1之间变化如果求得两个随机变量X,Y的相关系数为1时(100%),说明是完全相关的。但实际应用中,此值一般都是趋近于1。

    R分析

    cov( ):是求协方差函数

    cor( ):是求相关系数函数

    某种矿石有两种有用成分 A,B。取10个样本,每个样本含A 的百分比(x%)和含B的百分比(y%)的数据如下:
    x(%) 67 54 72 64 39 22 58 43 46 34
    y(%) 24 15 23 19 16 11 20 16 17 13

    求样本数据的协方差和相关系数

    代码:

    > ore<-data.frame( 
    x=c(67, 54, 72, 64, 39, 22, 58, 43, 46, 34), 
    y=c(24, 15, 23, 19, 16, 11, 20, 16, 17, 13))
    > cov(ore)
    > cor(ore)
    

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  • 皮尔逊相关系数

    2012-10-31 10:36:08
    样本的简单相关系数一般用R表示,计算公式为: 其中N为样本量。R描述的是两个变量间线性相关强弱的程度。R的取值在-1与+1之间,若R>0,表明两个变量是正相关,即一个变量的值越大,另一个变量的值也会越大;若R,...
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空空如也

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