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  • 核密度函数构建联合概率密度函数

    千次阅读 2018-11-06 14:53:59
    将设有N个样本点,对这N个点进行上面的拟合过后,将这N个概率密度函数进行叠加便得到了整个样本集的概率密度函数。   例如利用高斯核对X={x1=−2.1,x2=−1.3,x3=−0.4,x4=1.9,x5=5.1,x6=6.2...

    核密度估计其实就是通过核函数(如高斯)将每个数据点的数据+带宽当作核函数的参数,得到N个核函数,再线性叠加就形成了核密度的估计函数,归一化后就是核密度概率密度函数了

    将设有N个样本点,对这N个点进行上面的拟合过后,将这N个概率密度函数进行叠加便得到了整个样本集的概率密度函数。

     

    例如利用高斯核对X={x1=−2.1,x2=−1.3,x3=−0.4,x4=1.9,x5=5.1,x6=6.2}  六个点的“拟合”结果如下:
     

    这里写图片描述

    数据来源table2.csv

     

    绘制二元分布

    seaborn可以可视化两个变量的双变量分布。在seaborn中做最简单的方法是使用jointplot()函数,它创建一个多面板图,显示两个变量之间的双变量(或联合)关系以及每个变量的单变量(或边际)分布轴。

    • 散点图

    使二元分布可视化的最熟悉的方法是散点图,其中每个观测值以点和x和y值显示。这是在两个维度上的地毯图:

    import numpy as np
    import seaborn as sns
    import matplotlib.pyplot as plt
    import pandas as pd

    tips = pd.read_csv('table2.csv')
    sns.jointplot("chechang", "chezhong", tips) 
    plt.show()

    • 核密度估计

    也可以使用上述核密度估计过程来可视化双变量分布。在seaborn中,这种情节以等高线图显示,并且在jointplot()中作为样式提供:

    import numpy as np

    import seaborn as sns

    import matplotlib.pyplot as plt

    import pandas as pd

    tips = pd.read_csv('table2.csv')

    sns.jointplot("chechang", "chezhong", tips,kind='kde')

    plt.show()

    Pearson:皮尔森相关性系数  

    r值表示在样本中变量间的相关系数,表示相关性的大小;

    0.8-1.0 极强相关

    0.6-0.8 强相关

    0.4-0.6 中等程度相关

    0.2-0.4 弱相关

    0.0-0.2 极弱相关或无相关

    p值是检验值,检验两变量在样本来自的总体中是否存在和样本一样的相关性,即显著水平

    如果不显著,相关系数再高也没用,可能只是因为偶然因素引起的,

    一般p值小于0.05就是显著了;如果小于0.01就更显著;

     

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  • 1.ICA概念2.ICA不处理服从高斯分布的样本集3.概率密度函数4.复合函数的概率密度函数5.累积分布函数/分布函数6.联合分布7.行列式8.代数余子式(end)

    要容易理解ICA,就需要先好好理解透彻下面这些概率统计和线性代数的知识点:高斯分布、概率密度函数、累积分布函数、复合函数的概率密度函数、行列式、代数余子式、矩阵微积分等。下面一一简单记录和复习下这些概念,俗话说书读百遍其义自见,这里再多写一遍也不为过。

    1.ICA概念

    Independent Component Correlation Algorithm,ICA,独立成分分析算法,是一种函数。

    X为n维观测信号矢量,S为独立的m维未知源信号矢量,矩阵A被称为混合矩阵。

    ICA的目的就是寻找解混矩阵W(W=A的逆矩阵),然后对X进行线性变换,得到输出向量U = WX = WAS

    主要应用于:表情分类

    ICA详细的计算过程的原理推理,详见后面文章:点我

    2.高斯分布

    2.1名称

    Normal Distribution,正态分布,也称常态分布,又名高斯分布(Gaussian Distribution)。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布。

    2.2正态分布

    若随机变量X服从一个数学期望μ,方差为σ^2的正态分布,则记作N(μ,σ^2)。

    随机变量X的概率密度函数为:μ决定了其位置,标准差σ决定了分布的幅度。

    2.3标准正态分布

    当μ=0,σ=1时的正态分布为标准正态分布。

    2.4正态分布<--->标准正态分布

    为了便于描述和应用,将正态变量X作为数据转换,将一般正态分布转化为标准正态分布:


    X就是一般正态分布,Y就是由X转换来的标准正态分布。

    2.5正态分布几何形态

    正态分布是一个概率分布,其形状神似一个倒扣的钟。

    此图来自百度百科。

    2.6一维正态分布的概率密度函数

    若随机变量X服从一个数学期望μ,方差为σ^2的正态分布,则记作N(μ,σ^2)。则其概率密度函数为:


    X被称为正态随机变量,称正态随机变量X服从的分布称为正态分布,记作,读作X服从,或者X服从正态分布。

    2.7标准正态分布

     时,正态分布就成为标准正态分布,标准正态分布的概率密度函数为:

    3.概率密度函数

    probability density function,概率密度函数,也可以称为密度函数,一般简写为小写的pdf。

    注:概率密度函数 是连续型随机变量的;离散随机变量的,就是概率P(x)。

    概率密度函数是一个描述这个随机变量的输出值,在某个确定的取值点附近的可能性的函数。

    而随机变量的取值落在某个区域之内的概率则为概率密度函数在这个区域上的积分。


    对于一维实随机变量X,设X的累积分布函数CDF是,如果存在可测函数满足:

      

    那么X是一个连续型随机变量,并且  是X的概率密度函数。

    密度函数f(x) 具有下列性质:

      

      

     

    注:连续型的随机变量取值在任意一点的概率都是0;如果概率P{x=a}=0,但{X=a}并不是不可能事件。

    4.复合函数的概率密度函数

    X的概率密度fX(x),若Y = ax,a是某个正实数,求Y的概率密度


    注:如果a是负实数,则给结论的第一个1/a加上绝对值

    注:如果Y和X是向量,A是矩阵的话,结论第一个1/a就变成|A|-1,第二个1/a就变成A-1

    5.累积分布函数/分布函数

    CDF,Cumluative Distribution Function,累积分布函数,又叫分布函数,是概率密度函数的积分,可以完整描述一个实随机变量X的概率分布。

    概率分布:

        随机变量的概率分布,即随机变量的可能取值以及取得对应值的概率。

    pdf和CDF:

        一般用大写的CDF标记累积分布函数,分布函数。一般用小写的pdf标记概率密度函数。

    累积分布函数的概念公式为:

        

    举例一个离散随机变量的累积分布函数/分布函数的几何图形:

    此图来自百度百科

    CDF的性质

    (1)有界性

            

            

    (2)单调性

            

    (3)右连续性

            

    (4)X取值落在区间(a,b]之内的概率:

            

    (5)随机变量X的CDF和pdf的关系:

            

    6.联合分布函数/多维分布函数

    joint distribution function,联合分布函数、也称为多维分布函数,多维随机变量的分布函数。

    设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,有二元函数F(x,y):

        F(x,y) = P{(X<=x) 交 (Y<=y)} => P(X<=x, Y<=y),

    称F(X,Y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变量X和Y的联合分布函数。


    几何意义

    如果将二维随机变量(X,Y)看成是平面上随机点的坐标,那么联合分布函数F(X,Y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。


    二维离散随机变量X,Y的联合分布函数

                

    则X,Y的概率分布函数一定满足:

                

    7.行列式求导


    注:

    8.离散随机变量的分布律

        分布律描述了离散随机变量取每个值各占的概率

    (end)

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  • matlab 产生任意概率密度联合分布

    千次阅读 2017-09-12 20:20:54
    用Slice sampling 来得到某单个分布的样本算法: 已知分布f(x) 1. 选择一个初始点,x0. 2. 在[0,f(x0)] 之间,通过均分分布产生一个采样y 3. 在 f(x) 上画一条通过 y的 水平线 4. 在线段内再次均匀采样得到一个...

    用Slice sampling 来得到某单个分布的样本算法:

    已知分布f(x)

    1.      选择一个初始点,x0.

    2.      在[0,f(x0)] 之间,通过均分分布产生一个采样y

    3.      在 f(x) 上画一条通过 y的 水平线

    4.      在线段内再次均匀采样得到一个点x ,此x就是此次迭代得到的新采样点。

    5.      最后用新得的x作为初始值,重复step 2~step5

     

    Y截得f(x)两点(L,R) ,称为f(x)的切片,经过不断迭代,得到很多切片,其中,切片的长度越长,被选取到的概率越大。

    难点在于:对于多峰函数,切片所在的边界往往是不连续的,解决方法是拒绝更短的切片。


    Matlab 程序1,生成单个拉普拉斯分布的采样



    %%

    laplaceDis1=@(y)exp(-abs(y))/2; % mu=0,b=1的拉斯分布

    N=2000; %产生N个采样点

    x = slicesample(1,N,'pdf',laplaceDis1,'thin',5,'burnin',1000);%thin, burn-in 具体设置看介绍

    histogram(x,50); %显示采样点的直方图


    如图:







    %%matlab 程序2

    %% 生成拉普拉斯分布的联合分布,每个随机变量成分都是独立的(方便演示)

    %  类似Gibbs 多变量采样的方法,对某个确定的x1,在条件概率密度下P(x2|x1)得到x2的采样,然后对此x2,得到P(x1|x2)的一个采样

    % 由于此处x1,x2独立,p(x2|x1)=p(x2),且slicesampling 得到的对概率密度积分和是否为1没有关联,所以可以直接生成联合分布

    laplaceDis1=@(y)exp(-abs(y))/2; %mu=0,b=1的拉普拉斯分布
    laplaceDis2=@(y)exp(-sqrt(2)*abs(y-2))/sqrt(2);%mu=2,b=1/sqrt(2) 拉普拉斯分布


    limitL=-5; % 概率密度函数左边界
    limitR=5;

    x=zeros(N,2);


    for i=1:N
        start=unifrnd(limitL,limitR,1,2); %均布产生一个初值
        x(i,1)=slicesample(start(1),1,'pdf',laplaceDis1);
        x(i,2)=slicesample(start(2),1,'pdf',laplaceDis2);
    end


    figure
    plot(x(:,1),x(:,2),'ro');


    如图:




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  • 联合概率分布

    2019-02-18 09:00:37
    在统计学习方法中,监督学习假设的是数据样本满足独立同分布,样本具有一定的统计规律。 样本x,y服从联合概率分布P(x,y)(其实这个就是F(x,y)),也就是满足同一概率密度f(x,y)。 ...

    在统计学习方法中,监督学习假设的是数据样本满足独立同分布,样本具有一定的统计规律。
    样本x,y服从联合概率分布P(x,y)(其实这个就是F(x,y)),也就是满足同一概率密度f(x,y)。

    展开全文
  • 密度函数样本独立,

    2019-05-19 00:25:00
    这里的彩电寿命密度函数p(ti/θ),就是代表在θ条件下,彩电ti时刻报废的概率?...这里要看成是联合密度,坏不坏都独立。类似于二项分布那样理解 转载于:https://www.cnblogs.com/china520/p/10887848.html...
  • 模式识别week2

    2020-03-28 17:02:43
    联合概率密度 总体概率密度 类条件概率密度:以类为条件,样点的概率 先验概率:对类的总体认识 后验概率:从样本得到的对类的认识 贝叶斯决策理论介绍 映射 一类样本被映射到整个RdR^dRd空间,在某些区域概率密度...
  • 概率统计

    2018-12-12 15:45:14
    概率密度函数 联合概率函数 条件概率 期望值;方差 C.2 统计学 基于样本数据提取关于总体的可靠结论的过程称作统计推理。 C.2.1 点估计 统计量是指从样本数据推导出的数值量,两个有用的统计量是样本均值和样本方差...
  • 记已知的样本集为: 似然函数(linkehood function):联合概率密度函数 称为相对于 的θ的似然函数   连续概率密度函数 如果抛硬币10次,出现8次正面;最大似然估计就是反推正面的...
  • 设f(x,θ)f(x,\theta)f(x,θ)为总体分布,其中θ\thetaθ为概率分布模型的参数且在这里是未知的,x_{1},x_{2},x_{3} \dots x_{n}$为对该总体采样得到的样本,因为这些样本独立同分布,所以它们的联合概率密度为 ...
  • 针对杂波分布不均匀且密度未知的多目标跟踪问题,提出一种基于...最后,将优化后的杂波稀疏度估计器嵌入高斯混合概率假设密度滤波器中,实现复杂杂波环境下目标状态与杂波密度联合估计.仿真结果验证了所提出算法的有效性.
  • QDA或二次判别分析和LDA或线性判别分析分类器是高斯判别分析技术,它是多变量法向(MVN)的应用,它是连续变量中使用最广泛的联合概率密度函数。 它在我的作业中用于多类别分类。 gabelok_assignment3_2b.m通过将...
  • 生成模型与判别模型

    2018-10-20 23:07:12
    生成模型估计的是联合概率分布,p(y, x)=p(y|x)*p(x),由数据学习联合概率密度分布P(X,Y),然后求出条件概率分布P(Y|X)作为预测的模型,即生成模型:P(Y|X)= P(X,Y)/ P(X)。基本思想是首先建立样本的联合概率概率...
  • 由数据学习联合概率密度分布P(X,Y),然后求出条件概率分布P(Y|X)作为预测的模型,即生成模型:P(Y|X)= P(X,Y)/ P(X)。基本思想是首先建立样本的联合概率概率密度模型P(X,Y),然后再得到后验概率P(Y|X),再利用它进行...
  • 数理统计(数学一)

    2020-05-15 11:22:24
    重点开始 ...样本联合概率密度 三大分布 统计量及抽样分布 样本中位数是用来估计总体均值的 粗糙估计总体方差 抽样分布 证明: 分子是标准正态分布,分母是咔方分布 ...
  • EM推导

    2017-04-28 14:38:52
    对每一个样本i的所有可能类别z求等式右边的联合概率密度函数和,也就得到等式左边为随机变量x的边缘概率密度),也就是似然函数,但是可以看到里面有“和的对数”,求导后形式会非常复杂(自己可以想象下log(f1(x)+ ...
  • 极大似然估计

    2020-06-13 10:26:22
    n个样本数据代入联合概率密度函数应取最大值 样本数据当作常数,参数当作自变量,求取似然函数取最大值的参数 一般步骤: 写似然函数 对似然函数取对数 求偏导数(导数),解方程组(方程) 一致性:满足一致性,...
  • 先验概率和后验概率:例如先验概率是p(B),不需要给定的F,就...由数据学习联合概率密度分布P(X,Y),然后求出条件概率分布P(Y|X)作为预测的模型,即生成模型:P(Y|X)= P(X,Y)/ P(X)。基本思想是首先建立样本的联合概
  • 极大似然估计: 1.若总体X为离散型,其概率分布列为 其中 为为未知参数。设 是取自总体的样本容量为n的样本,则 的联合...设 是取自总体的样本容量为n的简单样本,则 的联合概率密度函数为 。又设 的一组观测值为...
  • 功率谱法的重要抽样密度函数仅为激励幅值的函数,根据结构反应的功率谱密度增大激励幅值的方差,建议幅值样本值的联合概率密度函数可表示为幅值样本值分量的概率密度函数的连乘形式。结果表明:对于线性体系三种方法的...
  • 二元随机变量

    2018-12-28 14:29:28
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  • 逻辑斯特回归

    2018-05-09 11:24:26
    首先假设得到正样本的概率为服从形如逻辑斯特分布函数,根据已知的训练结果及数据,构造联合概率密度函数,而根据极大似然估计,已经发生的事情为概率最大的事情,所以求对数似然函数的最大,即对数似然函数的负数...
  • 现在假设有N个样本点,它们的联合概率密度为: 由于在给定了w和σ2的条件下,tn之间是相互独立的,故联合概率密度可写成下式: 为什么 tn在给定了w和σ2的条件下是相互独立的呢?如果直接...
  • 判别模型与生成模型

    2019-03-19 23:05:00
    从贝叶斯的角度  判别模型估计的是条件概率分布(后验概率),p(y | ... 生成模型是首先学习出一个模型,即首先建立样本联合概率概率密度模型P(X,Y),再得到后验概率P(Y|X),再利用它进行分类。 从数据inter-c...
  • 极大似然估计就是把样本的所有联合概率相乘(离散),或所有联合概率密度相乘(连续), 对参数求偏导=0使其最大,从而解出参数的值。 这里需要求的是条件概率和先验概率,因此需要想办法把这两项放到极大似然函数中...
  • 使用sklearn库学习线性回归(一)

    千次阅读 2020-11-02 12:05:35
    产生式模型需要计算输入输出的联合概率 需要知道(or 假定)样本的概率分布 定义似然密度的隐式参数 为没给类别搜索最大化样本似然的参数 也称为基于似然的分类(Likelihood-based Classification) ...
  • 原理:设X1, X2…Xn是取自总体X的一个样本样本的联合密度(连续型)或联合概率密度(离散型)为f(X1, X2…Xn; Θ)。当给定样本X1, X2…Xn时,定义似然函数为L(Θ)= f(X1, X2…Xn; Θ)。 L(Θ)看作参数Θ的函数,极...
  • LR与朴素贝叶斯对比

    2020-09-09 10:12:07
    相同点 朴素贝叶斯和逻辑回归都属于分类模型,当朴素贝叶斯的条件概率服从高斯分布时,它计算出来的 P(Y=1|X) 形式跟逻辑回归是...而生成式模型估计的是联合概率分布,基本思想是首先建立样本联合概率密度模型 P

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