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  • 聚类分析matlab实现

    2020-06-26 14:09:18
    样本进行分类称为Q型聚类分析,对指标进行分类称为R型聚类分析。 区别聚类与分类 聚类是将数据进行划分不同的类别,类别是未知的 分类是将数据进行分配到不同的类别中,此类别是已知的 二、Q型聚类分析 1 样本的...

    聚类分析和matlab实现

    一、定义

    ​ 聚类分析又称群分析,是对多个样本(或指标)进行定量分类的一种多元统计分析方法。对样本进行分类称为Q型聚类分析,对指标进行分类称为R型聚类分析

    区别聚类与分类

    • 聚类是将数据进行划分不同的类别,类别是未知的
    • 分类是将数据进行分配到不同的类别中,此类别是已知的

    二、Q型聚类分析

    1 样本的相似性度量

    ​ 一个样本往往由多个变量x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_n进行描述。而当这些变量组合起来的时候:(x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_n),则可看成是一个在RnR^n空间中的一个点,或者是n维向量空间中的一个向量。

    ​ 由于聚类分析是要求使用定量化的方法对样本进行分类,所以需要用数量来描述样本之间的相似程度。由上一段所提,很自然想到使用距离来度量样本点之间的相似程度。

    ​ 下面便是计算样本点之间距离的常用方法:

    (一) 闵氏距离 (MinKowski)

    dq(x,y)=[k=1pxkykq]1q, d_q(\boldsymbol x,\boldsymbol y)=[\sum_{k=1}^{p}|x_k-y_k|^q]^\frac{1}{q},

    q=1,2q=1,2q+q\longrightarrow+\infty时,分别得到:

    (二) 绝对值距离

    d1(x,y)=k=1pxkyk, d_1(\boldsymbol x,\boldsymbol y)=\sum_{k=1}^{p}|x_k-y_k|,

    (三) 欧几里得距离

    d2(x,y)=[k=1p(xkyk)2]12, d_2(\boldsymbol x,\boldsymbol y)=[\sum_{k=1}^{p}(x_k-y_k)^2]^\frac{1}{2},

    (四) 切比雪夫距离

    d(x,y)=max1kpxkyk d_\infty(\boldsymbol x,\boldsymbol y)=\max_{1\le k\le p}{|x_k-y_k|},

    ​ 在Minkowski距离中,最常用的是欧几里得距离,它的主要优点是当坐标轴进行正交旋转时,欧氏距离是保持不变的。因此,如果对原坐标系进行平移和旋转变换,变换后样本点间的距离和变换前完全相同。

    ​ 同时要注意,采用Minkowski距离时,

    • 一定要采用相同量纲的变量

    • 尽可能避免变量的多重相关性。多重相关性会导致信息重叠,会片面强调某些变量的重要性。

      由于Minkowski距离由这些缺点,便有了改进的马氏距离。

    (五) 马氏距离 (Mahalanobis)

    d(x,y)=(xy)TΣ1(xy) d(\boldsymbol x,\boldsymbol y)=\sqrt{(\boldsymbol x-\boldsymbol y)^T\boldsymbol\Sigma^{-1}(\boldsymbol x-\boldsymbol y)}

    ​ 式中:x,y\boldsymbol x ,\boldsymbol y 是来自p维总体 ZZ 的样本观察值;Σ\boldsymbol\SigmaZZ 的协方差矩阵,实际中 Σ\boldsymbol\Sigma 往往是未知的,常常需要同样本协方差来估计。

    ​ 马氏距离对一切线性变化是不变的,故不受量纲的影响。

    2 类的相似性度量

    (一)最短距离法 (Nearest Neighbor or Single Linkage Method)

    D(G1,G2)=minxiG1yjG2d(xi,yj), D(G_1,G_2)=\min_{x_i\in G_1 \atop y_j\in G_2}{|d(\boldsymbol x_i,\boldsymbol y_j)|},

    ​ 即两个类中最近的两点间的距离。

    (二)最长距离法 (Farthest Neighbor or Complete Linkage Method)

    D(G1,G2)=maxxiG1yjG2d(xi,yj), D(G_1,G_2)=\max_{x_i\in G_1 \atop y_j\in G_2}{|d(\boldsymbol x_i,\boldsymbol y_j)|},

    ​ 即两个类中最远的两点间的距离。

    (三)重心法 (Centroid Method)

    D(G1,G2)=d(xˉ,yˉ), D(G_1,G_2)=d(\boldsymbol{\bar x},\boldsymbol{\bar y}),

    ​ 其中,xˉ,yˉ\boldsymbol{\bar x},\boldsymbol{\bar y} 分别为 G1,G2G_1,G_2 的重心。

    (四)类平均法 (Group Average Method)

    D(G1,G2)=1n1n2xiG1xjG2d(xi,xj), D(G_1,G_2)=\frac{1}{n_1n_2}\sum_{x_i\in G_1}\sum_{x_j\in G_2}{d(\boldsymbol x_i,\boldsymbol x_j)},

    ​ 它等于 G1,G2G_1,G_2 中两样本点距离的平均,其中:n1,n2n_1,n_2 分别为 G1,G2G_1,G_2 中的样本点个数。

    (五)离差平方和法 (Sum of Squares Method)

    若记:
    D1=xiG1(xixˉ1)T(xixˉ1) D_1=\sum_{x_i\in G_1}{(\boldsymbol x_i-\boldsymbol{\bar x_1})^T(\boldsymbol x_i-\boldsymbol{\bar x_1})}

    D2=xjG2(xjxˉ2)T(xjxˉ2) D_2=\sum_{x_j\in G_2}{(\boldsymbol x_j-\boldsymbol{\bar x_2})^T(\boldsymbol x_j-\boldsymbol{\bar x_2})}

    D12=xkG1G2(xkxˉ)T(xkxˉ) D_{12}=\sum_{x_k\in G_1\cup G_2}{(\boldsymbol x_k-\boldsymbol{\bar x})^T(\boldsymbol x_k-\boldsymbol{\bar x})}

    式中:
    xˉ1=1n1xiG1xi \boldsymbol{\bar x_1}=\frac{1}{n_1}\sum_{x_i\in G_1}{\boldsymbol x_i}

    xˉ2=1n2xjG2xj \boldsymbol{\bar x_2}=\frac{1}{n_2}\sum_{x_j\in G_2}{\boldsymbol x_j}

    xˉ=1n1+n2xkG1G2xk \boldsymbol{\bar x}=\frac{1}{n_1+n_2}\sum_{x_k\in G_1 \cup G_2}{\boldsymbol x_k}

    所以则定义:
    D(G1,G2)=D12D1D2 D(G_1,G_2)=D_{12}-D_1-D_2
    ​ 若 G1,G2G_1,G_2 内部点与点距离很小,则它们能很好地各自聚为一类,并且这两类又能够充分分类(即 D12D_{12} 很大),这时必然有 D=D12D1D2D=D_{12}-D_1-D_2 很大。因此,按定义可以认为,两类 D1,D2D_1,D_2 之间的距离很大。

    ​ 又称为Ward方法。

    3 Matlab聚类分析相关命令

    (一)pdist

    ​ 使用方法:Y = pdist(X, ‘metric’)

    ​ 表示用’metric’指定的方法计算矩阵X中对象间的距离。其中:

    • 矩阵X为 m×nm\times n 矩阵,可看作 mmnn 维行向量,每一个行向量就是样本点
    • 输出的Y是包含距离信息的长度为 m(m1)2\frac{m(m-1)}{2} 的行向量,由于距离的两两组合后的距离,所以由排列组合可知共有 m(m1)2\frac{m(m-1)}{2} 个组合。

    下面是’metric’常用字符串值:

    字符串 含义
    ‘euclidean’ 欧式距离(默认)
    ‘seuclidean’ 标准欧几里得距离
    ‘cityblock’ 绝对值距离
    ‘minkowski’ 闵氏距离
    ‘chebychev’ 切比雪夫距离
    ‘mahalanobis’ 马氏距离

    注意:使用闵氏距离时,Y = pdist(X, ‘minkowski’, p),其中p为闵氏距离计算需要用到的指数值,默认为2.

    (二)linkage

    ​ 使用方法:Z = linkage(Y, ‘method’)

    ​ 表示使用由’method’指定的算法计算生成聚类树,其中:

    • Y为pdist函数输出的 m(m1)2\frac{m(m-1)}{2} 维距离行向量
    • Z为包含聚类树信息的 (m1)×3(m-1)\times3 矩阵。每一行表示一个类(样本)和另一个类(样本)的合并,所以相当于每一个样本都要合并一次,而第一次合并是两个样本进行的,所以总共有 m1m-1 行。
      • 第一二列表示两个合并类(样本),其中:1m1\thicksim m 表示初始样本;超过 mm 的是由样本组成的类,记作 m+jm+j ,其中 mm 为样本总数,jj 表示该类是在第 jj 行新形成的。
      • 第三列表示对应两个类(样本)间的距离。

    ​ 下面是’method’常用的字符串:

    字符串 含义
    ‘single’ 最短距离(默认)
    ‘average’ 无权平均距离
    ‘centroid’ 重心距离
    ‘complete’ 最大距离
    ‘median’ 赋权重心距离
    ‘ward’ 离差平方和方法
    ‘weighted’ 赋权平均距离
    (三)cluster

    ​ 使用方法:T = cluster(Z, ‘cutoff’, c)

    ​ 表示将由linkage产生的信息矩阵Z分成c类,其中:

    • Z为linkage函数生成的 (m1)×3(m-1)\times3 矩阵
    • c 表示分成类的数量
    • T为长度为 mm 的列向量,其中每行对应着X中的行(样本),T中数字相同的为同一类
    (四)dendrogram

    ​ 使用方法(常用):

    • H = dendrogram(Z, P)
    • H = dendrogram(Z, P, ‘ColorThreshold’, cutoff)

    表示画出由linkage产生的信息矩阵Z对应的聚类树状图。其中:

    • Z为linkage函数生成的 (m1)×3(m-1)\times3 矩阵
    • P为树状图显示的最大基础类数量(结点数量),默认值为30,0表示全部画出
    • ‘ColorThreshold’ 表示不同类显示不同颜色
    • cutoff与’ColorThreshold’ 配合使用,表示不同颜色类的最小距离

    4 举例

    (一)
    clc, clear;	% 清除页面和工作区
    a = [1,0;1,1;3,2;4,3;2,5];	% 5组样本
    Y = pdist(a);   % 计算两两样本之间的欧式距离
    Z = linkage(Y); % 使用最短距离算法生成具有层次结构的聚类树
    T = cluster(Z,3);	% 将聚类树分成3类
    H = dendrogram(Z,0);	% 将聚类树Z全部画出
    

    得到下聚类图:

    (二)
    clc, clear;	% 清除页面和工作区
    a = [1,0;1,1;3,2;4,3;2,5];	% 5组样本
    Y = pdist(a);   % 计算两两样本之间的欧式距离
    Z = linkage(Y); % 使用最短距离算法生成具有层次结构的聚类树
    T = cluster(Z,3);	% 将聚类树分成3类
    cutoff = median([Z(end-2,3) Z(end-1,3)]);	% 让其最小距离在倒数第二三行中,其取倒数第二行,即分成三类
    H = dendrogram(Z,0,'ColorThreshold',cutoff);% 将Z带不同颜色画出
    

    得到下聚类图:


    参考资料:
    [1] 司守奎, 孙兆亮. 数学建模算法与应用[M].北京:国防工业出版社,2020:2.

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  • 聚类分析学习笔记

    2014-04-28 14:16:09
    变量聚类,R型聚类 样本内距离尽可能小 不同样本间距离尽可能大 分类要有实际意义 1. 二阶聚类(2步聚类) 分层聚类算法, 目前多应用于数据挖掘与多元统计的交叉领域,其算法适用于任何尺度的...

    样本聚类

    变量聚类,R型聚类

    样本内距离尽可能小

    不同样本间距离尽可能大

    分类要有实际意义

    1. 二阶聚类(2步聚类)

    分层聚类算法, 目前多应用于数据挖掘与多元统计的交叉领域,其算法适用于任何尺度的变量。

    能够处理连续变量和分类变量的混合数据。

    第一步:

    针对大样本聚类产生的BIRCH(Balance Iterative Reducing and Clustering using Hierarchies)算法,分成许多子类(sub-cluster)。

    第二步:

    第一步的子类利用分层聚类方法再次聚类,使用对数似然函数作为距离测量公式,

    利用第一步的结果对每个样本进行再次聚类并对每个聚类成员计算一些判别值(AIC或BIC),并用来估计类的最初数目。

    常用算法: 分层聚类算法。

    使用前提:

    变量之间不存在多重共线性

    变量服从正态分布


    2. K均值聚类

    适用于样本聚类,不适用于变量聚类

    聚类数量

    中心坐标

    ANOVA, Sig<0.01, 差异极其显著, 分类有效


    3. 层次聚类

    凝聚法

    相反法

    样本量不大, 事先并不知道分为几类

    平均联结:

    群集组合中:群集1和群集2进行联结

    系数表示群集的距离

    首次出现阶群集:群集1和群集2出现的阶数

    冰柱图:

    列:个案

    行:聚类的步数

    两个个案之间的冰柱表示距离(从下往上看越长越近),顺序参考聚类表


    8.5.3. 判别分析

    适用条件:

    a.自变量服从多元正态分布,且不存在多重共线性

    b.所有自变量在各组之间方差齐性,协方差矩阵相等(可增加样本减小影响)

    c.因变量的取值应是确定且独立的

    d.自变量与因变量的关系符合线性假设

    一般样本量的个数,是所使用的自变量的个数的5倍以上


    组均值的均等性的检验:

    反映了各个组在不同指标上均值差异情况(都显著)

    协方差矩阵的均等性的箱式检验:


    BOX检验:.001差异显著,表示拒绝各个组协方差矩阵相等。即不相等。建议使用分组的协方差矩阵。


    步骤统计:

    国有输入, Sig=.000,非常显著的作用

    分析中的变量:

    特征值:

    携带信息量的多少,特征值越大表示该函数的区分性越高

    正则相关性:表示区别函数与组别间关联的程度, .939

    标准化的典型判别式函数系数:

    主要受影响的变量: 国有

    分类函数系数:

    判别函数: F1 = -67.935 + 0.005*国有

      F2 = -15.170 + 0.002*国有

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  • 聚类分析

    2020-02-07 21:36:33
    聚类分析 一、概念 聚类分析是按照个体的特征将他们分类,让同一个类别内的个体之间具有较高的相似度,不同类别之间具有...R型聚类:指标/变量聚类 以相似系数为相似性指标 (皮尔逊相关系数、夹角余弦、指数相关系...

    聚类分析

    一、概念

    1. 聚类分析是按照个体的特征将他们分类,让同一个类别内的个体之间具有较高的相似度,不同类别之间具有较大的差异性
    2. 聚类分析属于无监督学习
    3. 聚类对象可以分为Q型聚类和R型聚类:
    • Q型聚类:样本/记录聚类 以距离为相似性指标 (欧氏距离、欧氏平方距离、马氏距离、明式距离等)
    • R型聚类:指标/变量聚类 以相似系数为相似性指标 (皮尔逊相关系数、夹角余弦、指数相关系数等)

    二、常用的聚类算法

    1. K-Means划分法
    2. 层次聚类法
    3. DBSCAN密度法

    三、用spss进行聚类分析

    参考https://blog.csdn.net/LuYi_WeiLin/article/details/91129037

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  • R语言聚类分析:k-means层次聚类

    千次阅读 2018-07-19 08:59:23
    前面所提到的机器学习算法主要都是分类回归,这两类的应用场景都很清晰,就是对分类型变量或者数值型变量的预测。聚类分析是一种根据样本之间的距离或者说是相似性(亲疏性),把越相似、差异越小的...
        

    尽管我个人非常不喜欢人们被划分圈子,因为这样就有了歧视、偏见、排挤和矛盾,但“物以类聚,人以群分”确实是一种客观的现实——这其中就蕴含着聚类分析的思想。

    前面所提到的机器学习算法主要都是分类和回归,这两类的应用场景都很清晰,就是对分类型变量或者数值型变量的预测。聚类分析是一种根据样本之间的距离或者说是相似性(亲疏性),把越相似、差异越小的样本聚成一类(簇),最后形成多个簇,使同一个簇内部的样本相似度高,不同簇之间差异性高。

    有人不理解分类和聚类的差别,其实这个很简单:分类是一个已知具体有几种情况的变量,预测它到底是哪种情况;聚类则是尽量把类似的样本聚在一起,不同的样本分开。举个例子,一个人你判断他是男是女这是分类,让男人站一排女人站一排这是聚类。

    聚类分析算法很多,比较经典的有k-means和层次聚类法。

    k-means聚类分析算法

    k-means的k就是最终聚集的簇数,这个要你事先自己指定。k-means在常见的机器学习算法中算是相当简单的,基本过程如下:

    首先任取(你没看错,就是任取)k个样本点作为k个簇的初始中心;
    对每一个样本点,计算它们与k个中心的距离,把它归入距离最小的中心所在的簇;
    等到所有的样本点归类完毕,重新计算k个簇的中心;
    重复以上过程直至样本点归入的簇不再变动。
    k-means的聚类过程演示如下:

    clipboard.png

    k-means聚类过程

    k-means聚类分析的原理虽然简单,但缺点也比较明显:

    首先聚成几类这个k值你要自己定,但在对数据一无所知的情况下你自己也不知道k应该定多少;
    初始质心也要自己选,而这个初始质心直接决定最终的聚类效果;
    每一次迭代都要重新计算各个点与质心的距离,然后排序,时间成本较高。
    值得一提的是,计算距离的方式有很多种,不一定非得是笛卡尔距离;计算距离前要归一化。

    层次聚类法

    尽管k-means的原理很简单,然而层次聚类法的原理更简单。它的基本过程如下:

    每一个样本点视为一个簇;
    计算各个簇之间的距离,最近的两个簇聚合成一个新簇;
    重复以上过程直至最后只有一簇。
    层次聚类不指定具体的簇数,而只关注簇之间的远近,最终会形成一个树形图。

    clipboard.png

    层次聚类示例

    通过这张树形图,无论想划分成几个簇都可以很快地划出。

    以下以癌细胞细据为例,演示K-means和层次聚类法的过程。

    > library(ISLR) > nci.labels = NCI60$labs > nci.data = NCI60$data > > sd.data = scale(nci.data) > data.dist = dist(sd.data) > plot(hclust(data.dist),labels = nci.labels, main = "Complete Linkage", xlab = "", sub = "", ylab = "") # 默认按最长距离聚类> plot(hclust(data.dist,method = "average"),labels = nci.labels, main = "Average Linkage", xlab = "", sub = "", ylab = "") # 类平均法> plot(hclust(data.dist),labels = nci.labels, main = "Single Linkage", xlab = "", sub = "", ylab = "") #最短距离法
    
    
    

    Complete Linkage

    clipboard.png

    Average Linkage

    clipboard.png

    Single Linkage

    clipboard.png


    可见选择不同的距离指标,最终的聚类效果也不同。其中最长距离和类平均距离用得比较多,因为产生的谱系图较为均衡。

    > # 指定聚类数> hc.out = hclust(dist(sd.data)) > hc.clusters = cutree(hc.out,4) > table(hc.clusters,nci.labels) nci.labels hc.clusters BREAST CNS COLON K562A-repro K562B-repro LEUKEMIA MCF7A-repro 12320000232000003000116042050001 nci.labels hc.clusters MCF7D-repro MELANOMA NSCLC OVARIAN PROSTATE RENAL UNKNOWN 10886281200100103000000041000000> > plot(hc.out,labels = nci.labels) > abline(h=139,col="red") # 切割成4类
    

    clipboard.png

    层次聚类划分成4类

    图中一条红线将簇划分成4类,很容易看出哪些样本各属于哪一簇。

    以上是层次聚类法的结果,但如果用k-means聚类的话,结果很可能就不一样了。

    > # k-means聚类> set.seed(2) > km.out = kmeans(sd.data,4,nstart = 20) > km.clusters = km.out$cluster > table(km.clusters,hc.clusters) # 两种聚类结果的确有差异,k-means的第2簇与层次聚类的第3簇一致 hc.clusters km.clusters 12341110092008039000420700
    
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    千次阅读 2019-10-08 19:51:47
    matlab自带的系统聚类函数linkage功能...系统聚类法(自下而上)先将聚类样本变量各自看成一群,然后确定类与类间的相似统计量,并选择最接近的两类或若干个类合并成一个新类,计算新类与其他各类间的相似性统计...
  • 聚类分析算法关联规则在客户细分中一种研究与实现,谢燕,,本论文具体介绍了一种聚类分析的算法,并把他它运用于商场客户分析中。具体包括选取样本数据,进行数据的变量结构调整,计算相异

空空如也

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样本聚类和变量聚类