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  • 2、非线性规划的拉格朗日乘子法的手工数学推导、python编程和python包求解; 一、线性规划问题求解 1、Excel中大M法与Excel的“规划求解”包对实际问题的求解比较 实际例题: 求解以下约束条件的线性规划的最大值和...
  • 2、非线性规划的拉格朗日乘子法的手工数学推导、python编程和python包求解; 一、线性规划问题求解 1、Excel中大M法与Excel的“规划求解”包对实际问题的求解比较 实际例题: 求解以下约束条件的线性规划的最大值和...

    1、线性规划中的单纯形法、大M法的excel求解、python编程求解和python包求解;
    2、非线性规划的拉格朗日乘子法的手工数学推导、python编程和python包求解;

    一、线性规划问题求解

    1、Excel中大M法与Excel的“规划求解”包对实际问题的求解比较

    实际例题:

    求解以下约束条件的线性规划的最大值和最优解

    在这里插入图片描述

    使用大M法对实际问题的求解

    在这里插入图片描述

    使用Excel的“规划求解”包对实际问题的求解

    在Excel中将数据及相应的公式写入到Excel里
    在这里插入图片描述
    通过Excel自带的“规划求解”功能,将结果求解出来
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    2、Python求解线性规划问题

    在这里插入图片描述

    2.1 新建txt文档,填入线性回归分析标准化模型

    新建txt文档,写入标准化模型系数,如下所示
    在这里插入图片描述

    2.2 Python使用单纯法对实际线性规划问题的求解

    python 代码如下

    import numpy as np #导入相应的库
    import sys
    def solve(d,bn):
        while max(list(d[0][:-1])) > 0:
            l = list(d[0][:-2])
            jnum = l.index(max(l)) #转入下标
            m=[]
            for i in range(bn):
                if d[i][jnum] == 0:
                    m.append(0.)
                else:
                    m.append(d[i][-1]/d[i][jnum]) 
            inum = m.index(min([x for x in m[1:] if x!=0])) #转出下标
            s[inum-1] = jnum  #更新基变量
            d[inum] /= d[inum][jnum]
            for i in range(bn):
                if i != inum:
                    d[i] -= d[i][jnum] * d[inum]
                
    def printSol(d,cn):
        for i in range(cn - 1):
            if i in s:
                print("x"+str(i)+"=%.2f" %d[s.index(i)+1][-1])
            else:
                print("x"+str(i)+"=0.00")
        print("objective is %.2f"%(-d[0][-1]))
    
    d = np.loadtxt("F:/data.txt", dtype=np.float)
    (bn,cn) = d.shape
    s = list(range(cn-bn,cn-1)) #基变量列表
    solve(d,bn)
    printSol(d,cn)
    

    运行结果:
    x0=0.00
    x1=1.00
    x2=3.00
    x3=0.00
    x4=2.00
    x5=0.00
    x6=0.00
    objective is 32.00

    2.3 Python使用scipy库对实际线性规划问题的求解

    整体代码如下:

    #导入包
    from scipy import optimize
    import numpy as np
    #确定c,A_ub,B_ub
    c = np.array([1,14,6])
    A_ub = np.array([[1,1,1],[1,0,0],[0,0,1],[0,3,1]])
    B_ub = np.array([4,2,3,6])
    #求解
    res =optimize.linprog(-c,A_ub,B_ub)
    print(res)
    

    运行结果:
    con: array([], dtype=float64)
    fun: -31.99999999819265
    message: ‘Optimization terminated successfully.’
    nit: 4
    slack: array([6.62327970e-11, 2.00000000e+00, 3.88720167e-10, 3.41993101e-10])
    status: 0
    success: True
    x: array([3.06911596e-10, 1.00000000e+00, 3.00000000e+00])

    从代码中可以发现
    c:c指的应该是要求最大值的函数的系数数组
    A_ub:A_ub是应该是不等式未知量的系数矩阵,也就是不等式左边
    B_ub:B_ub就是不等式的右边了,也就是不等式右边

    3、结果对比分析

    3.1 单纯形法结果

    在这里插入图片描述

    3.2 scipy结果

    在这里插入图片描述
    通过对两个的结果分析,可以看出单纯形法的结果更加具体,因为结果为整数;对于SciPy库,其运算结果为小数,是否更加具体不知道,但是两个的运算结果相差不大,其误差也比较小,所以可以选择忽略。

    二、非线性规划问题的求解

    1、等式约束下的拉格朗日乘子法

    公式推导:这里只是简单的放了一张图片对等式约束下拉格朗日乘子法的求解步骤进行了讲解。
    在这里插入图片描述

    2、Python实现对带约束的非线性规划求解

    求解实际例题

    在这里插入图片描述

    2.1 Python编程实现求解

    Python代码:

    #导入sympy包,用于求导,方程组求解等等
    from sympy import * 
     
    #设置变量
    x1 = symbols("x1")
    x2 = symbols("x2")
    alpha = symbols("alpha")
    #beta = symbols("beta")
     
    #构造拉格朗日等式
    L = 60 - 10*x1 - 4*x2 + x1*x1 + x2*x2 - x1*x2 - alpha * (x1 + x2 - 8)
     
    #求导,构造KKT条件
    difyL_x1 = diff(L, x1)  #对变量x1求导
    difyL_x2 = diff(L, x2)  #对变量x2求导
    difyL_alpha = diff(L, alpha) #对alpha求导
     
    #求解KKT等式
    aa = solve([difyL_x1, difyL_x2, difyL_alpha], [x1, x2, alpha])
    print(aa)
    

    运行结果:
    {x1: 5, x2: 3, alpha: -3}

    2.2 python使用SciPy库实现求解问题

    python代码如下:

    from scipy.optimize import minimize
    import numpy as np 
     
    #目标函数:
    def func(args):
        fun = lambda x: 60 - 10*x[0] - 4*x[1] + x[0]**2 + x[1]**2 - x[0]*x[1]
        return fun
     
    #约束条件,包括等式约束和不等式约束
    def con(args):
        cons = ({'type': 'eq', 'fun': lambda x: x[0]+x[1]-8})
        return cons 
     
    if __name__ == "__main__":
        args = ()
        args1 = ()
        cons = con(args1)
        x0 = np.array((2.0, 1.0))  #设置初始值,初始值的设置很重要,很容易收敛到另外的极值点中,建议多试几个值
        
        #求解#
        res = minimize(func(args), x0, method='SLSQP', constraints=cons)
    
        print(res.fun)
        print(res.success)
        print(res.x)
    

    运行结果:
    17.000000000000007
    True
    [4.99999994 3.00000006]

    3、Python求解结果对比分析

    3.1普通法求解结果

    在这里插入图片描述

    3.2 scipy库求解结果

    在这里插入图片描述
    通过两个Python程序的求解结果对比分析,两个的求解结果相差不大,并且误差都在一定范围内,所以可以认为两个的求解结果是一致的。

    参考链接:

    https://blog.csdn.net/qq_42451251/article/details/105597806
    https://blog.csdn.net/kittyzc/article/details/81707464
    https://blog.csdn.net/sinat_17697111/article/details/81534935
    https://blog.csdn.net/qq_33757398/article/details/82834888?fps=1&locationNum=2
    展开全文
  • Python之建模规划篇--非线性规划

    万次阅读 2021-01-22 10:40:32
    如果目标函数或约束条件中包含非线性函数,就称这种规划问题为非线性规划问 题。一般说来,解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。而且,也不象线性规划有 单纯形法这一通用方法,非线性规划目前还没有

    基本介绍

    如果目标函数或约束条件中包含非线性函数,就称这种规划问题为非线性规划问
    题。一般说来,解非线性规划要比解线性规划问题困难得多。而且,也不象线性规划有
    单纯形法这一通用方法,非线性规划目前还没有适于各种问题的一般算法,各个方法都
    有自己特定的适用范围。
    这是一个非线性规划问题的一般形式
    在这里插入图片描述

    对于一个实际问题,在把它归结成非线性规划问题时,一般要注意如下几点:
    (i)确定供选方案:首先要收集同问题有关的资料和数据,在全面熟悉问题的基础上,确认什么是问题的可供选择的方案,并用一组变量来表示它们。
    (ii)提出追求目标:经过资料分析,根据实际需要和可能,提出要追求极小化或极大化的目标。并且,运用各种科学和技术原理,把它表示成数学关系式。
    (iii)给出价值标准:在提出要追求的目标之后,要确立所考虑目标的“好”或“坏”的价值标准,并用某种数量形式来描述它。
    (iv)寻求限制条件:由于所追求的目标一般都要在一定的条件下取得极小化或极大化效果,因此还需要寻找出问题的所有限制条件,这些条件通常用变量之间的一些不等式或等式来表示。

    线性规划与非线性规划的区别

    如果线性规划的最优解存在,其最优解只能在其可行域的边界上达到(特别是可行域的顶点上达到);而非线性规划的最优解(如果最优解存在)则可能在其可行域的任意一点达到。

    非线性规划的Matlab解法

    在这里插入图片描述
    它的返回值是向量x,其中 FUN 是用M 文件定义的函数 f (x);X0是x的初始值;A,B,Aeq,Beq 定义了线性约束 A* X ≤ B, Aeq * X = Beq ,如果没有线性约束,则A=[],B=[],Aeq=[],Beq=[];LB 和UB 是变量x 的下界和上界,如果上界和下界没有约束,则LB=[],UB=[],如果x 无下界,则LB 的各分量都为-inf,如果x 无上界,则UB的各分量都为 inf;NONLCON 是用M 文件定义的非线性向量函数C(x),Ceq(x);OPTIONS定义了优化参数,可以使用Matlab 缺省的参数设置。

    下面给一个例子
    在这里插入图片描述
    多余的我就不多说了,matlab的可以详细看书
    现在我们来看看再仔细看看非线性规划问题的解法到底有什么

    Python 解决非线性规划

    • 非线性规划可以简单分两种,目标函数为凸函数or非凸函数
    • 凸函数的非线性规划,比如fun= x2 +y2 +xy,有很多常用库完成,比如cvxpy
    • 非凸函数的非线性规划(求极值),可以尝 试以下方法:
      • 纯数学方法,求导求极值
      • 神经网络、深度学习(反向传播算法中链式求导过程)
      • scipy. opt imize. minimize

    scipy . optimize .minimize (fun, x0, args= () , method=None,jaC=None, hess=None, hes sp=None, bounds=None, constaints= (),tol =None, callback=None, options=None)
    fun:求最小值的目标函数
    args:常数值
    method:求极值方法,一般默认。
    constraints:约束条件
    x0:变量的初始猜测值,注意minimize是局部最优

    1、等式约束下的拉格朗日乘子法

    <font size=3公式推导:这里只是简单的放了一张图片对等式约束下拉格朗日乘子法的求解步骤进行了讲解。
    在这里插入图片描述

    2、Python实现对带约束的非线性规划求解

    <font size=3求解实际例题
    在这里插入图片描述

    Python编程实现求解

    #导入sympy包,用于求导,方程组求解等等
    from sympy import *
    #设置变量
    x1 = symbols("x1")
    x2 = symbols("x2")
    alpha = symbols("alpha")
    #beta = symbols("beta")
    
    #构造拉格朗日等式
    L = 60 - 10*x1 - 4*x2 + x1*x1 + x2*x2 - x1*x2 - alpha * (x1 + x2 - 8)
    
    #求导,构造KKT条件
    difyL_x1 = diff(L, x1) #对变量x1求导
    difyL_x2 = diff(L, x2) #对变量x2求导
    difyL_alpha = diff(L, alpha) #对alpha求导
    #求解KKT等式
    aa = solve([difyL_x1, difyL_x2, difyL_alpha], [x1, x2, alpha])
    print(aa)
    

    在这里插入图片描述

    python使用SciPy库实现求解问题

    from scipy.optimize import minimize
    import numpy as np
    #目标函数:
    def func(args):
        fun = lambda x: 60 - 10*x[0] - 4*x[1] + x[0]**2 + x[1]**2 - x[0]*x[1] 
        return fun
    
    #约束条件,包括等式约束和不等式约束
    def con(args):
        cons = ({'type': 'eq', 'fun': lambda x: x[0]+x[1]-8})
        return cons
    
    if __name__ == "__main__":
        args = ()
        args1 = ()
        cons = con(args1)
        x0 = np.array((2.0, 1.0)) #设置初始值,初始值的设置很重要,很容易收敛到另外的极值点中,建议多试几个值
    
        #求解#
        res = minimize(func(args), x0, method='SLSQP', constraints=cons)
        print(res.fun)
        print(res.success)
        print(res.x)
    

    在这里插入图片描述

    结果对比

    1.普通法求结果
    在这里插入图片描述
    2.scipy库求结果
    在这里插入图片描述
    通过两个Python程序的求解结果对比分析,两个的求解结果相差不大,并且误差都在一定范围内,所以可以认为两个的求解结果是一致的。

    样例1

    计算1/x+x的最小值
    如果我们足够熟悉这个函数的性质,我们可以很容易得出来,在x>0的时候,他的最小值为2,因为这是一个双勾函数,为奇函数,可以由基本不等式得到他的最小值,但是我们怎么用程序去实现呢

    from scipy.optimize import minimize
    import numpy as np
    #计算 1/x+x 的最小值
    def fun(args):
        a=args
        v=lambda x:a/x[0] +x[0]
        return v
    if __name__ == "__main__":
        args = (1) #a
        x0 = np.asarray((2)) # 初始猜测值
        res = minimize(fun(args), x0, method='SLSQP')
        print(res)
    #     print(res.fun)
    #     print(res.success)
    #     print(res.x)
    

    可以得到如下结果,我们可以得到函数的最小是为2点多,可以看出minimize求的局部最优
    在这里插入图片描述

    样例2

    计算(2+x1)/ (1+x2) - 3x1 + 4x3的最小值,其中x1、x2、x3范围在0.1到0.9之间

    from scipy.optimize import minimize
    import numpy as np
    
    # 计算(2+x1)/ (1+x2) - 3x1 + 4x3的最小值,其中x1、x2、x3范围在0.1到0.9之间
    
    def fun(args):
        a,b,c,d = args
        v = lambda x: (a+x[0])/(b+x[1]) - c*x[0] + d*x[2]
        return v
    
    def con(args):
        # 约束条件 分为eq 和ineq
        #eq表示 函数结果等于0 ; ineq 表示 表达式大于等于0
        x1min,x1max,x2min,x2max,x3min,x3max = args
        cons = ({'type':'ineq','fun':lambda x:x[0]-x1min},\
        {'type':'ineq','fun': lambda x:-x[0]+x1max},\
        {'type':'ineq','fun': lambda x:x[1]-x2min},\
        {'type':'ineq','fun': lambda x:-x[1]+x2max},\
        {'type':'ineq','fun': lambda x:x[2]-x3min},\
        {'type':'ineq','fun': lambda x:-x[2]+x3max})
        return cons
    if __name__ == "__main__":
        #定义常量值
        args = (2,1,3,4) #a,b,c,d
        #设置参数范围/约束条件
        args1 = (0.1,0.9,0.1,0.9,0.1,0.9) #x1min, x1max, x2min, x2max
        cons = con(args1)
        #设置初始猜测值
        x0 = np.asarray((0.5,0.5,0.5))
        res = minimize(fun(args),x0,
        method='SLSQP',constraints=cons)
        print(res)
        print(res.fun)
        print(res.success)
        print(res.x)
    

    可以看出对于这类简单函数,局部最优解与真实最优解相差不大,但是对于复杂的函数,x0的初始值设置,会很大程度影响最优解的结果。
    在这里插入图片描述
    ADD:
    全局最优的函数: scipy.optimize.basinhopping
    有一个缺点是无法设置约束,求全局的最优解的函数
    https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.optimize.basinhopping.html

    每日一句
    Don’t try so hard, the best things come when you least expect them to.
    (不要着急,最好的总会在最不经意的时候出现)

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  • 文章目录一、用Excel完成线性规划问题的求解二、用python完成线性规划问题的...在excel中设置约束条件 加载excel规划求解模块 选择“文件”→“选项”→“加载项"→“转到”,勾选“规划求解加载项”。单击“确定

    一、用Excel完成线性规划问题的求解

    1. 建立数据源
      在这里插入图片描述

    2. 写出资源配置三要素
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

    3. 在excel中设置目标函数
      根据前面的分析可知,目标函数为E2,E6与F2, F6区域两列数组对应元素的乘积之和,在C10单元格中输入=SUMPRODUCT (E2:E6,F2:F6)
      在这里插入图片描述

    4. 在excel中设置约束条件
      在这里插入图片描述

    5. 加载excel规划求解模块
      选择“文件”→“选项”→“加载项"→“转到”,勾选“规划求解加载项”。单击“确定"按钮。在“数据”菜单下就出现了“规划求解”模块(操作过程同“数据分析”模块的加载)
      在这里插入图片描述

    6. 设置决策变量和目标函数
      在这里插入图片描述

    7. 设置约束条件
      添加约束条件1
      在这里插入图片描述
      添加约束条件2
      在这里插入图片描述
      添加约束条件3
      在这里插入图片描述
      添加约束条件4
      在这里插入图片描述
      添加约束条件5
      在这里插入图片描述
      添加约束条件6
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
      最终添加结果
      在这里插入图片描述

    8. 点击求解,得到最终结果
      在这里插入图片描述

    二、用python完成线性规划问题的求解

    1. 设置约束条件
      在这里插入图片描述

    2. 使用scipy库对线性规划的最优解、最大值进行求解

    # 导入包
    from scipy import optimize
    import numpy as np
    #创建矩阵,c为目标函数的矩阵,A_ub为约束条件的左边构成的矩阵,B_ub为约束条件的右边
    c=np.array([600,800,500,400,300])
    A_ub=np.array([[1000,2000,0,0,0],[-1,-1,0,0,0],[1000,2000,400,1000,100],[-2000,-4000,-3000,-5000,-600],[1,0,0,0,0],[0,1,0,0,0],[0,0,1,0,0],[0,0,0,1,0],[0,0,0,0,1]])
    B_ub=np.array([30000,-20,40000,-100000,14,8,40,5,50])
    # 求解
    res=optimize.linprog(-c,A_ub,B_ub)
    print(res)
    
    
    1. 得到结果
      在这里插入图片描述

    三、用拉格朗日方法求解

    求解问题
    在这里插入图片描述

    1. 手工求解
      参考拉格朗日乘数法

    求函数f(x,y,z)在条件φ(x,y,z)=0下的极值。 方法(步骤)是:
    1.做拉格朗日函数L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z),λ称拉格朗日乘数;
    2.求L分别对x,y,z,λ求偏导,得方程组,求出驻点P(x,y,z); 如果这个实际问题的最大或最小值存在,一般说来驻点只有一个,于是最值可求

    在这里插入图片描述

    1. 利用python编程求解
    # 导入包
    from sympy import *
    # 设置变量
    x,y,z,k = symbols('x,y,z,k')
    a,b,c=symbols('a,b,c')
    f = 8*x*y*z
    g = x**2/a**2+y**2/b**2+z**2/c**2-1
    #构造拉格朗日函数
    L=f+k*g
    #求导
    dx = diff(L, x)   # 对x求偏导
    print("dx=",dx)
    dy = diff(L,y)   #对y求偏导
    print("dy=",dy)
    dz = diff(L,z)   #对z求偏导
    print("dz=",dz)
    dk = diff(L,k)   #对k求偏导
    print("dk=",dk)
    dx= 8*y*z + 2*k*x/a**2
    dy= 8*x*z + 2*k*y/b**2
    dz= 8*x*y + 2*k*z/c**2
    dk= -1 + z**2/c**2 + y**2/b**2 + x**2/a**2
    #求出个变量解
    m= solve([dx,dy,dz,dk],[x,y,z,k])   
    print(m)
    #变量赋值
    x=sqrt(3)*a/3
    y=sqrt(3)*b/3
    z=sqrt(3)*c/3
    k=-4*sqrt(3)*a*b*c/3
    #计算方程的值
    f = 8*x*y*z
    print("方程的最大值为:",f)
    
    
    1. 得到结果
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    展开全文
  • 题目: 代码: from scipy.optimize import minimize import numpy as np from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D from matplotlib import ...# 约束条件,包括等式约束和不等式约束 def con(): cons = ({'type':

    题目:
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    代码:

    from scipy.optimize import minimize
    import numpy as np
    
    from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
    from matplotlib import pyplot as plt
    
    
    # 目标函数:
    def func(x):
        return 10 - x[0] ** 2 - x[1] ** 2
    
    
    # 约束条件,包括等式约束和不等式约束
    def con():
        cons = ({'type': 'ineq', 'fun': lambda x: x[1] - x[0] ** 2},  #>=0的形式
                {'type': 'eq', 'fun': lambda x: x[0] + x[1]})
        return cons
    
    
    # 画三维模式图
    def draw3D():
        fig = plt.figure()
        ax = Axes3D(fig)
        x_arange = np.arange(-5.0, 5.0)
        y_arange = np.arange(-5.0, 5.0)
        X, Y = np.meshgrid(x_arange, y_arange)
        Z1 = 10 - X ** 2 - Y ** 2
        Z2 = Y - X ** 2
        Z3 = X + Y
        plt.xlabel('x')
        plt.ylabel('y')
        ax.plot_surface(X, Y, Z1, rstride=1, cstride=1, cmap='rainbow')
        ax.plot_surface(X, Y, Z2, rstride=1, cstride=1, cmap='rainbow')
        ax.plot_surface(X, Y, Z3, rstride=1, cstride=1, cmap='rainbow')
        plt.show()
    
    
    
    if __name__ == "__main__":
        x0 = np.array((1.0, 2.0))  # 设置初始值,初始值的设置很重要,很容易收敛到另外的极值点中,建议多试几个值
        # 求解#
        res = minimize(func, x0, method='SLSQP', constraints=con())
        #####
        print(res.fun)
        print(res.success)
        print(res.x)
    
        draw3D()
    

    结果:
    在这里插入图片描述
    绘出3D图:
    在这里插入图片描述
    注意:
    minimize 方法求解的是最小化问题,对于目标函数最大化问题, 可用目标函数负值的最小化问题替代, 求解后, 将结果再反号, 则为原目标函数的最大化值。

    展开全文
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