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  • 梯度与方向导数

    2019-10-09 22:20:08
    方向导数与某个量的方向有关 方向导数和导数有关 首先确定一个向量e,在最底部,即二维平面在x轴上,三维在xOy平面上。 在二维坐标系中,e只有一个方向,即沿着x轴,在三维坐标系中,e的方向由其和x轴和y轴之间的...

    什么是方向导数呢?单从这个问题表面,我们可以看到两个方面:

    1. 方向导数与某个量的方向有关
    2. 方向导数和导数有关

    首先确定一个向量e,在最底部,即二维平面在x轴上,三维在xOy平面上。
    在二维坐标系中,e只有一个方向,即沿着x轴,在三维坐标系中,e的方向由其和x轴和y轴之间的夹角确定,所以e的方向有无穷多个,在每个方向上,都可以像在二维坐标系上定义导数一样定义导数,就好比在这个方向上建立了一个二维坐标系,方向导数中的方向就是e的方向。

    而梯度的方向就是方向导数最大的方向,梯度的值就是其方向导数的绝对值。梯度是沿着增长最快的方向定义的,所以有时候说利用梯度下降法寻找函数最小值,就是沿着逆梯度方向不断取值,求值,直到所求值的误差满足要求后即可停止迭代。但是有时候若函数有多个极小值,梯度下降法很容易陷入局部最小值而不是全局最小值。遗传算法通过大量初始数据同时计算,在一定程度上避免了求解陷入局部最小值之中,很大程度上提高了求解全局最小值的概率。

    (后面一部分属于即兴发挥,若有错误,请及时指出,不胜感激!)

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  • 梯度方向导数变化最大的方向!!! 1.方向导数 方向导数的本质是一个数值,简单来说其定义为: 一个函数沿指定方向的变化率。 因此,构建方向导数需要有两个元素: 1) 函数 2) 指定方向 当然,普通函数的...

    梯度是方向导数变化最大的方向!!!

    1.方向导数

    • 方向导数的本质是一个数值,简单来说其定义为:

    一个函数沿指定方向的变化率。

    因此,构建方向导数需要有两个元素:

    1)      函数

    2)      指定方向

    当然,与普通函数的导数类似,方向导数也不是百分之百存在的,需要函数满足在某点处可微,才能计算出该函数在该点的方向导数

    至于其物理含义,这里采用最常用的下山图来表示。

     

     简单将上图看作是一座山的模型,我们处在山上的某一点处,需要走到山下。理论上来说,这座山的表面是可以通过一个函数的描述的(虽然想要找到这个函数可能很难),而这个函数可以在不同的方向上都确定出一个方向导数,这就好比于如果我们想下山,道路并不是唯一的,而是可以沿任何方向移动。区别在于有些方向可以让我们下山速度更快有些方向让我们下山速度更慢,有些方向甚至引导我们往山顶走(也可以理解为下山速度时负的)。在这里,速度的值就是方向导数的直观理解。

    2.梯度

    • 梯度与方向导数是有本质区别的,梯度其实是一个向量,其定义为:

    一个函数对于其自变量分别求偏导数,这些偏导数所组成的向量就是函数的梯度。

     

    设二元函数在平面区域D上具有一阶连续偏导数,则对于每一个点P(x,y)都可定出一个向量 

    该函数就称为函数在点P(x,y)的梯度,记作gradf(x,y)或,即有:

    gradf(x,y)==

    其中称为(二维的)向量微分算子或Nabla算子,

    是方向l上的单位向量,则

         

    由于当方向l与梯度方向一致时,有

    所以当l与梯度方向一致时,方向导数有最大值,且最大值为梯度的模,即

    因此说,函数在一点沿梯度方向的变化率最大,最大值为该梯度的

    在很多资料中可以看到如下的梯度定义方法:

     

     

    诚然,这种定义方法更加权威,但是却不够直观,这也是为什么我在高等数学课堂上学习梯度概念时感觉云里雾里。这种定义方法只针对二元函数,所以公式中的i,j可分别表示为函数在x和y方向上的单位向量,这样的描述可以让我们更好理解(因为人类大脑可以比较轻松的理解三维世界的模型图),但是一旦到了更高维度的世界,单纯靠这个公式就不容易理解了。

    3.梯度与方向导数的关系

    • 梯度与方向导数的关系应该如何描述呢?

    函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值。

    以上描述非常好理解,那如何证明呢?

     

     

    说实话,我觉得以上证明过程很抽象,但这就是数学,而我们要做的就是从这些抽象中来理解问题的实质。

    依然采用下山的例子来解释。我们想要走到山下,道路有千万条,但总有一条可以让我们以最快的速度下山。当然,这里的最快速度仅仅作用在当前的位置点上,也就是说在当前位置A我们选择一个方向往山下走,走了一步之后到达了另外一个位置B,然后我们在B位置计算梯度方向,并沿该方向到达位置处c,重复这个过程一直到终点。但是,如果我们把走的每一步连接起来构成下山的完整路线,这条路线可能并不是下山的最快最优路线。

    原因是什么?可以用一句古诗来解释:“不识庐山真面目,只缘身在此山中。”因为我们在山上的时候是不知道山的具体形状的,因此无法找到一条全局最优路线。那我们只能关注脚下的路,将每一步走好,这就是梯度下降法的原理。

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  • 关于梯度方向导数这两个基础概念,浪费了我挺多时间,概念其实不难。 但是,发现我之前一直没有理清楚一些基本概念,所以一直在坑里,不是特别明白。 这里把我之前的坑分享给大家。 要想理解梯度,和方向导数的...

    关于梯度和方向导数这两个基础概念,浪费了我挺多时间,概念其实不难。
    但是,发现我之前一直没有理清楚一些基本概念,所以一直在坑里,不是特别明白。
    这里把我之前的坑分享给大家。

    要想理解梯度,和方向导数的本质。必须要搞清楚以下概念。几乎所有的老师都不提这块,我也是醉了。

    曲面上过 P0P_{0} 点的:

    1. 方向 \subset 曲面定义域平面(超平面); 方向是矢量。
    2. 方向导数 \subset 曲面过 P0P_{0} 点的切平面(超平面);方向导数是标量。
    3. 梯度 是定义域平面内过 P0P_{0} 点的方向,是过P0P_{0} 点的无数方向中的一个, 是矢量。
    4. 方向和方向导数,是一一对应的关系。梯度方向对应的方向导数,为所有方向导数中最大的。

    在网上找的图片都没有说清楚这个问题的, 下面附上我呕心沥血做出来的图,供大家参考讨论。
    梯度与方向导数关系展示
    画图不易,转载请注明出处。

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  • 一.梯度 定义:设函数在平面区域内具有一阶连续偏导数,则对于每一点,都可定出一个向量这向量称为函数=在点的梯度,记作,即= 性质:梯度的方向是函数值增大最快的...方向导数 定义:设函数在点的某一邻域内有...

    一.梯度

    1. 定义:设函数在平面区域内具有一阶连续偏导数,则对于每一点,都可定出一个向量
                                    
      这向量称为函数=在点的梯度,记作,即
                           
    2. 性质:梯度的方向是函数值增大最快的方向。相应的,负梯度的方向是函数值减小最快的方向。=> 梯度下降法求函数极小值。

    二.方向导数

    1. 定义:设函数在点的某一邻域内有定义.自点引射线.设轴正向到射线的转角为(逆时针方向:0;顺时针方向:0),并设'(+△,+△)为上的另一点且'∈.我们考虑函数的增量(+△,+△)-'两点间的距离的比值.当'沿着趋于时,如果这个比的极限存在,则称这极限为函数在点沿方向的方向导数,记作,即
                                    (1)
      从定义可知,当函数在点的偏导数x、y存在时,函数在点沿着轴正向=轴正向=的方向导数存在且其值依次为x、y,函数在点沿轴负向=轴负向=的方向导数也存在且其值依次为-x、-y.
    2. 定理  如果函数在点是可微分的,那末函数在该点沿任一方向的方向导数都存在,且有

                                                        (2)

    其中轴到方向的转角.

        3.几何意义:方向导数是一个数,表示函数沿某一方向的变化率。

     

     

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  • 梯度方向导数

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  • 梯度 方向导数

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    基本概念 方向导数:是一个数;...Ref:方向导数与梯度 疑问1 (上图的式子少了Δy) Ref:第七节 方向导数与梯度 答案就是“在点P(x,y)是可微分的”。可以看看全微分的定理: Ref:百度百科:全微分 ...
  • 方向导数与梯度

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  • 梯度 方向导数 偏导数的一些整理

    千次阅读 2015-12-23 10:07:04
    方向导数与梯度之间的关系: 方向导数是函数沿各个方向的导数,梯度是一个向量,因此梯度本身是有方向的: 1、函数在梯度这个方向的方向导数是最大的,换句话说,一个函数在各个方向都有方向导数,其中梯度这...
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    万次阅读 多人点赞 2018-04-27 00:43:34
    方向导数梯度在高等数学偏导数那一部分提到,两者相互关联,可能会弄混,简单来说方向导数是一个值而梯度是一个向量。了解梯度的概念可以在以后的机器学习或者深度学习模型优化用到梯度下降时更容易理解,接下来让...
  • 场论初步课件,方向导数与梯度,系统介绍了方向导数与梯度的的概念及求法。

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