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  • 3.在每一点,都可以得到在x方向上变化的斜率大小和正负,可以表示为一个箭头。y方向上也是一样。 4.梯度就是X方向的箭头和Y方向的箭头的和。假设某一点上,x的偏导数为3,y的偏导数为-1,则该点的梯度...

     

    梯度:参考

    1.已知Z=F(X,Y),假设它的图像是这样:

    2.固定住X,改变Y。在每个点上,函数Z的变化值除以Y的变化值就是此线的斜率。固定住Y,改变X,也是同样的道理

     3.在每一点,都可以得到在x方向上变化的斜率大小和正负,可以表示为一个箭头。y方向上也是一样。

    4.梯度就是X方向的箭头和Y方向的箭头的和。假设某一点上,x的偏导数为3,y的偏导数为-1,则该点的梯度就是(3,-1)。

     

    图像梯度:参考

    图像是一个二维函数f(x,y),其微分当然就是偏微分。因此有:


    因为图像是一个离散的二维函数,ϵϵ不能无限小,我们的图像是按照像素来离散的,最小的ϵϵ就是1像素。因此,上面的图像微分又变成了如下的形式(ϵ=1ϵ=1):


    这分别是图像在(x, y)点处x方向和y方向上的梯度,从上面的表达式可以看出来,图像的梯度相当于2个相邻像素之间的差值。

    梯度算法 :

    梯度简单来说就是求导。OpenCV 提供了三种不同的梯度滤波器,或者说高通滤波器:Sobel,Scharr 和Laplacian。什么叫高通呢?其实就是和图像模糊相反。图像模糊是让低频通过,阻挡高频,这样就可以去除噪点,让锐利的边缘变平滑。高通滤波器就是让高频通过,阻挡低频,可以让边缘更加明显,增强图像。

    Sobel 算子和Scharr 算子

    Laplacian 算子 

    (让人疑惑的是:这个卷积核就能起到求二阶导数的作用了?)

     black就是没有值,0,是被过滤掉的。而白色就是被留下来的高频部分了。

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  • 但很少会解释梯度法的数学式是怎么得出来的,经过一番数学推理和文献查找(其实Ian Goodfellow等著的《深度学习》也没有通俗解释,用了晦涩的语言和符号表示,没有具体说明,参见其第四章第三节),做此笔记。...

    很多深度学习的书籍以及网上介绍深度学习的相关文章里面介绍了梯度法求损失函数最优化,但很少会解释梯度法的数学式是怎么得出来的,经过一番数学推理和文献查找(其实Ian Goodfellow等著的《深度学习》也没有通俗解释,用了晦涩的语言和符号表示,没有具体说明,参见其第四章第三节),做此笔记。

     

    梯度

    通俗来说,梯度就是表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得较大值,即函数在当前位置的导数。很多资料都以下山的例子来类比梯度下降法。这里,用θo是自变量参数,即下山位置坐标,η是学习因子,即下山每次前进的一小步(步进长度),θ是更新后的θo,即下山移动一小步之后的位置。则

                                                                        

    上式中,θ是自变量,f(θ)是关于θ的函数,表示梯度。
    如果函数f(θ)是凸函数,那么就可以使用梯度下降算法进行优化。梯度下降算法的公式我们已经很熟悉了:

                                                                

     

    一阶泰勒展开式

    这里需要一点数学基础,对泰勒展开式有些了解。简单地来说,一阶泰勒展开式利用的就是函数的局部线性近似这个概念。这里需要用到一阶泰勒展开式:

                                                      

    或者不理解泰勒展开则结合导数的近似意义:          y ≈ y0 + (x+△ x)*y'

                                   

     

     

    余弦变化规律

     A和B均为向量,α为两个向量之间的夹角。A和B的乘积为:

                                                       

    注:  || ||就是取绝对值 |  | )  

    ||A|| 和 ||B|| 均为标量,在||A|| 和 ||B|| 确定的情况下,只要cos(α) = -1,即AB完全反向,就能让AB的向量乘积最小(负的最大值)。

     

     

    梯度下降数学原理

    知道了一阶泰勒展开式之后,接下来就是重点。我们来看一下梯度下降算法是如何推导的。

                                            

    其中,θ-θo是微小矢量,它的大小就是我们之前讲的步进长度η,类比于下山过程中每次前进的一小步,η为标量,而θ-θo的单位向量用v表示。则θ-θo可表示为: 

                                                            

    特别需要注意的是,θ-θo不能太大,因为太大的话,线性近似就不够准确,一阶泰勒近似也不成立了。替换之后,f(θ)的表达式为: 

                                                

    重点来了,局部下降的目的是希望每次θ更新,都能让函数值f(θ)变小。也就是说,上式中,我们希望f(θ)<f(θo)。则有: 

                                                

    因为η为标量,且一般设定为正值,所以可以忽略,不等式变成了: 

                                                               

    上面这个不等式非常重要。v都是向量,是当前位置的梯度方向,v表示下一步前进的单位向量,是需要我们求解的,有了它,就能根据θ-θo=ηv确定θ值了。


     

    余弦变化规律,当v互为反向,即v为当前梯度方向的负方向的时候,能让最大程度地小,也就保证了v的方向是局部下降最快的方向。    

    知道v的反方向后,可直接得到:

                                                             

    之所以要除以的模,是因为v是单位向量。

    求出最优解v之后,带入到θ-θo=ηv中,得: 

                                                            

     

    一般地,因为是标量,可以并入到步进因子η中,即简化为

                                                             

     

     

    综上,通过一阶泰勒展开式,利用线性近似和向量相乘最小化的思想证明了梯度下降算法的数学原理。也许有读者之前很熟悉梯度下降算法,但也许对它的推导过程并不清楚。

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  • 梯度下降与梯度上升

    2020-06-21 22:12:09
    梯度的本意是一个向量(矢量),表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值,即函数在该点处沿着该方向(此梯度的方向)变化最快,变化率最大(为该梯度的模)。 导包 import numpy as np.

    目录

     

    梯度

    导包

    方程

    画图

    对f求导

    求解导数令导数=0求解最小值

    梯度下降求解最小值

    用lambda表示求导后的方程

    设置学习率

    梯度下降找最优值

    梯度上升找最大值

    函数二,有最大值

    更新规则

    将每一步怎么走的过程画出来 ,加入result[]

    画图


    梯度

    梯度的本意是一个向量(矢量),表示某一函数在该点处的方向导数沿着该方向取得最大值,即函数在该点处沿着该方向(此梯度的方向)变化最快,变化率最大(为该梯度的模)。

    导包

    import numpy as np
    
    import matplotlib.pyplot as plt
    %matplotlib inline

    方程

     

    lambda函数
    f = lambda x : (x - 3)**2 + 2.5*x -7.5

    画图

    x = np.linspace(-2,5,100)
    
    y = f(x)
    
    plt.plot(x,y)

    对f求导

    求解导数令导数=0求解最小值

     

    梯度下降求解最小值

    用lambda表示求导后的方程

    # 导数函数
    d = lambda x : 2*(x - 3) + 2.5

    设置学习率

    # 学习率,每次改变数值的时候,改变多少
    learning_rate = 0.1

    梯度下降找最优值

    # min_value瞎蒙的值,方法,最快的速度找到最优解(梯度下降)
    min_value = np.random.randint(-3,5,size = 1)[0]
    print('-------------------',min_value)
    # 记录数据更新了,原来的值,上一步的值,退出条件
    min_value_last = min_value + 0.1
    # tollerence容忍度,误差,在万分之一,任务结束
    tol = 0.0001
    
    count = 0
    while True:
        if np.abs(min_value - min_value_last) < tol:
            break
    #     梯度下降
        min_value_last = min_value
    #     更新值:梯度下降
        min_value = min_value - learning_rate*d(min_value)
        count +=1
        print('+++++++++++++++++++++%d'%(count),min_value)
    print('**********************',min_value)

    梯度上升找最大值

    函数二,有最大值

    f2 = lambda x : -(x - 3)**2 + 2.5*x -7.5
    x = np.linspace(-2,10,100)
    
    y = f2(x)
    
    plt.plot(x,y)

    # 梯度提升
    # 导数函数
    
    result = []
    
    d2 = lambda x : -2*(x - 3) + 2.5
    
    learning_rate = 10
    
    # max_value瞎蒙的值,方法,最快的速度找到最优解(梯度下降)
    # 梯度消失,梯度爆炸(因为学习率太大)
    max_value = np.random.randint(2,8,size = 1)[0]
    # max_value = 1000
    
    result.append(max_value)
    
    print('-------------------',max_value)
    # 记录数据更新了,原来的值,上一步的值,退出条件
    max_value_last = max_value + 0.001
    # tollerence容忍度,误差,在万分之一,任务结束
    # precision精确度,精度达到了万分之一,任务结束
    precision = 0.0001
    count = 0
    while True:
        if count >3000:
            break
        if np.abs(max_value - max_value_last) < precision:
            break
    #     梯度上升
        max_value_last = max_value
    #     更新值:梯度上升
        max_value = max_value + learning_rate*d2(max_value)
        result.append(max_value)
        count +=1
        print('+++++++++++++++++++++%d'%(count),max_value)
    print('**********************',max_value)

    更新规则

    # 更新规则
    ret = ret - ret*step

    将每一步怎么走的过程画出来 ,加入result[]

    # 梯度提升
    # 导数函数
    
    
    d2 = lambda x : -2*(x - 3) + 2.5
    
    learning_rate = 0.1
    
    # max_value瞎蒙的值,方法,最快的速度找到最优解(梯度下降)
    # 梯度消失,梯度爆炸(因为学习率太大)
    max_value = np.random.randint(2,8,size = 1)[0]
    # max_value = 1000
    
    result.append(max_value)
    
    print('-------------------',max_value)
    # 记录数据更新了,原来的值,上一步的值,退出条件
    max_value_last = max_value + 0.001
    # tollerence容忍度,误差,在万分之一,任务结束
    # precision精确度,精度达到了万分之一,任务结束
    precision = 0.0001
    count = 0
    while True:
        
        if np.abs(max_value - max_value_last) < precision:
            break
    #     梯度上升
        max_value_last = max_value
    #     更新值:梯度上升
        max_value = max_value + learning_rate*d2(max_value)
        result.append(max_value)
        count +=1
        print('+++++++++++++++++++++%d'%(count),max_value)
    print('**********************',max_value)

     

    画图

    plt.figure(figsize=(12,9))
    x = np.linspace(4,8,100)
    
    y = f2(x)
    
    plt.plot(x,y)
    ##列表无法参加运算,将它转化为np
    
    result = np.asarray(result)
    
    plt.plot(result,f2(result),'*')

    越接近最大值,斜率就越靠近0。leaning_rate设置太大,步子太大,一下就迈过去了。学习率给太大,会造成梯度爆炸,太小会造成梯度消失。

     

     

     

     

     

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    梯度消失 梯度爆炸

    什么是梯度消失(弥散)

    随着传播深度的增加,梯度大小呈指数级别的增大或减小

    梯度消失的情况
    (1)激活函数进入饱和区。导数变得很小,因为梯度的计算需要激活函数的导数,导数很小使得梯度很小
    (2)激活函数值为0

    为什么会出现梯度消失

    梯度消失的原因是由于用链式法则求导,使得梯度被层层放缩。所以只要用链式法则求导,就会有梯度消失,只是不同的激活函数程度不同。
    可推导:
    在这里插入图片描述
    详细分析过程1-图缺失
    过程推导2

    RNN的梯度消失和普通DNN的不同之处

    普通DNN中不同的层有不同的参数,各是各的梯度;而 RNN 中同样的权重在各个时间步共享,最终的梯度 g = 各个时间步的梯度 g_t 的和。
    由于这个原因,RNN上总的梯度不会消失,因为近距离梯度不会消失,远距离梯度即使越传越弱,总梯度也会因为近距离梯度而不->0。所以RNN上梯度消失的含义是,梯度被近距离梯度主导,导致模型难以学到远距离的依赖关系。

    LSTM怎么防止梯度消失和爆炸

    所以LSTM防止的是:梯度受近距离梯度的控制,导致模型难以学到远距离的依赖关系的问题

    LSTM 中梯度的传播有很多条路径, 这条路径上只有逐元素相乘和相加的操作,梯度流最稳定;但是其他路径上梯度流与普通 RNN 类似,照样会发生相同的权重矩阵反复连乘。
    详细分析

    过拟合

    什么是过拟合

    模型过于复杂,测试误差

    解决过拟合的方法

    1.lambdalambda正则化(NN称权重衰减)

    在代价函数中加入正则化项

    ligistic中可以用正规方程求解lambda

    2.dropout正则化

    每一层设置p(每个unit消失的概率),keep_prob=1-p unit单元保留的概率

    留下的unit的a值变为原来的a/(1-p)

    3.early stop

    把测试集和验证机的代价函数随迭代次数变化曲线画在一个图中,当二者距离开始增大的时候,stop迭代

    4.数据扩增

    5.Relu

    不会像tanh一样进入饱和区,使得梯度弥散

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空空如也

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梯度怎么表示