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  • 梯度 散度 旋度(一)

    千次阅读 2015-05-06 09:59:51
    梯度散度和旋度的定义及公式表达 ​ 梯度是个向量 或表示为 散度是个标量 设有一个向量场 通量可写为 则散度 并有运算关系式 旋度是个向量 rotA或...

    梯度、散度和旋度的定义及公式表达

    梯度是个向量

    梯度、散度和旋度的定义及公式表达 - 雅然 - 释然

    或表示为

    梯度、散度和旋度的定义及公式表达 - 雅然 - 释然

    散度是个标量

    设有一个向量场

    梯度、散度和旋度的定义及公式表达 - 雅然 - 释然

    通量可写为

    梯度、散度和旋度的定义及公式表达 - 雅然 - 释然

    则散度

    梯度、散度和旋度的定义及公式表达 - 雅然 - 释然

    并有运算关系式

    梯度、散度和旋度的定义及公式表达 - 雅然 - 释然

    旋度是个向量

    rotA或curlA


    梯度、散度和旋度的定义及公式表达 - 雅然 - 释然

    或可以写成

    梯度、散度和旋度的定义及公式表达 - 雅然 - 释然

    例如求F沿路径r做的功

    梯度、散度和旋度的定义及公式表达 - 雅然 - 释然

    梯度、散度和旋度的定义及公式表达 - 雅然 - 释然

    梯度、散度和旋度的定义及公式表达 - 雅然 - 释然

    矢量的环流:矢量沿闭合回路的线积分称为环流

    说明:哈密顿算符? ,只是个符号,直接作用函数表示梯度,?dotA点乘函数(矢量)表示散度,?XA叉乘函数(矢量)表旋度。


    三者转换关系

    散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说,流体在运动中集中的区域为辐合,运动中发散的区域为辐散。 其计算也就是我们常说的“点乘”。 散度是标量,物理意义为通量源密度。

    散度物理意义:对流体来说,就是流体的形状虽然改变,但是由于散度为0,则其面积或体积不变。如下式

    梯度、散度和旋度的定义及公式表达 - 雅然 - 释然


    梯度物理意义:最大方向导数(速度)

    散度物理意义:对流体来说,散度指流体运动时单位体积的改变率。就是流体的形状虽然改变,但是由于散度为0,则其面积或体积不变。

    旋度物理意义:旋度是曲线,向量场旋转的程度。矢量的旋度是环流面密度的最大值,与面元的取向有关。


     
    附:

    散度为零,说明是无源场;散度不为零时,则说明是有源场(有正源或负源)

    若你的场是一个流速场,则该场的散度是该流体在某一点单位时间流出单位体积的净流量. 如果在某点,某场的散度不为零,表示该场在该点有源,例如若电场在某点散度不为零,表示该点有电荷,若流速场不为零,表是在该点有流体源源不绝地产生或消失(若散度为负).

    一个场在某处,沿着一无穷小的平面边界做环积分,平面法向量即由旋度向量给定,旋度向量的长度则是单位面积的环积分值.基本上旋度要衡量的是一向量场在某点是否有转弯.

      

    梯度: 运算的对像是纯量,运算出来的结果会是向量在一个纯量场中,梯度的计算结果会是"在每个位置都算出一个向量,而这个向量的方向会是在任何一点上从其周围(极接近的周围,学过微积分该知道甚么叫极限吧?)


    纯量值最小处指向周围纯量值最大处.

    而这个向量的大小会是上面所说的那个最小与最大的差距程度"


    散度: 运算的对像是向量,运算出来的结果会是纯量,散度的作用对像是向量场,

    如果现在我们考虑任何一个点(或者说这个点的周围极小的一块区域),在这个点上,向量场的发散程度,如果是正的,代表这些向量场是往外散出的.

    如果是负的,代表这些向量场是往内集中的.


    旋度: 运算的对像是向量,运算出来的结果会是向量


    旋度对应的就是这些切向移动的情况,相对来讲,

    散度对应的其实就是径向移动的情况.


     

    不论是梯度,散度,旋度,都是一种local的量(纯量,向量), 所考虑的都是任何一点(其周围极接近,极小的小范围)的情况.



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  • 材料对向量算子(梯度散度旋度)与拉普拉斯算符的公式与定义整理
  • 梯度散度旋度

    千次阅读 2012-10-22 22:39:32
    梯度散度和旋度的定义及公式表达 梯度是个向量 或表示为 散度是个标量 设有一个向量场 通量可写为 则散度 并有运算关系式 旋度是个向量 rotA或curlA 或可以写成 例如求F沿路径...

    梯度、散度和旋度的定义及公式表达

    梯度是个向量

    梯度、散度和旋度的定义及公式表达 - 雅然 - 释然

    或表示为

    梯度、散度和旋度的定义及公式表达 - 雅然 - 释然

    散度是个标量

    设有一个向量场

    梯度、散度和旋度的定义及公式表达 - 雅然 - 释然

    通量可写为

    梯度、散度和旋度的定义及公式表达 - 雅然 - 释然

    则散度

    梯度、散度和旋度的定义及公式表达 - 雅然 - 释然

    并有运算关系式

    梯度、散度和旋度的定义及公式表达 - 雅然 - 释然

    旋度是个向量

    rotA或curlA

    梯度、散度和旋度的定义及公式表达 - 雅然 - 释然

    或可以写成

    梯度、散度和旋度的定义及公式表达 - 雅然 - 释然

    例如求F沿路径r做的功

    梯度、散度和旋度的定义及公式表达 - 雅然 - 释然

    梯度、散度和旋度的定义及公式表达 - 雅然 - 释然

    梯度、散度和旋度的定义及公式表达 - 雅然 - 释然

    矢量的环流:矢量沿闭合回路的线积分称为环流

    说明:哈密顿算符? ,只是个符号,直接作用函数表示梯度,?dotA点乘函数(矢量)表示散度,?XA叉乘函数(矢量)表旋度。


    散度指流体运动时单位体积的改变率。简单地说,流体在运动中集中的区域为辐合,运动中发散的区域为辐散。 其计算也就是我们常说的“点乘”。 散度是标量,物理意义为通量源密度。

    散度物理意义:对流体来说,就是流体的形状虽然改变,但是由于散度为0,则其面积或体积不变。如下式

    梯度、散度和旋度的定义及公式表达 - 雅然 - 释然


    梯度物理意义:最大方向导数(速度)

    散度物理意义:对流体来说,散度指流体运动时单位体积的改变率。就是流体的形状虽然改变,但是由于散度为0,则其面积或体积不变。

    旋度物理意义:旋度是曲线,向量场旋转的程度。矢量的旋度是环流面密度的最大值,与面元的取向有关。


     
    附:

    散度为零,说明是无源场;散度不为零时,则说明是有源场(有正源或负源)

    若你的场是一个流速场,则该场的散度是该流体在某一点单位时间流出单位体积的净流量. 如果在某点,某场的散度不为零,表示该场在该点有源,例如若电场在某点散度不为零,表示该点有电荷,若流速场不为零,表是在该点有流体源源不绝地产生或消失(若散度为负).

    一个场在某处,沿着一无穷小的平面边界做环积分,平面法向量即由旋度向量给定,旋度向量的长度则是单位面积的环积分值.基本上旋度要衡量的是一向量场在某点是否有转弯.

     

     

     

     

    梯度: 运算的对像是纯量,运算出来的结果会是向量在一个纯量场中,梯度的计算结果会是"在每个位置都算出一个向量,而这个向量的方向会是在任何一点上从其周围(极接近的周围,学过微积分该知道甚么叫极限吧?)

     

    纯量值最小处指向周围纯量值最大处.

     

    而这个向量的大小会是上面所说的那个最小与最大的差距程度"

     

    举例子来讲会比较简单,如果现在的纯量场用一座山来表示,

     

    纯量值越大的地方越高,反之则越低.经过梯度这个运操作数的运算以后,

     

    会在这座山的每一个点上都算出一个向量,这个向量会指向每个点最陡的

     

    那个方向,而向量的大小则代表了这个最陡的方向到底有多陡.

     

    散度: 运算的对像是向量,运算出来的结果会是纯量

     

    散度的作用对像是向量场,

     

    如果现在我们考虑任何一个点(或者说这个点的周围极小的一块区域),

     

    在这个点上,向量场的发散程度,

     

    如果是正的,代表这些向量场是往外散出的.

     

    如果是负的,代表这些向量场是往内集中的.

     

    一样,举例子:

     

    因为散度的作用对像是向量场,所以就不能用上面所讲的山来想象,

     

    这次要想象一个大广场里挤了很多人,如果每个人都在到处走动,

     

    是不是可以把每个人的行动都看成是一个向量,

     

    假如现在某人放了一个屁,周围的人(可能包含他自己)都想要赶快闪远一点,

     

    就会发现,在这块区域的人都往这小块区域以外的方向移动.

     

    对啦..这就是散度(你也可以想说是闪远一点的闪度....冷....),

     

    大家如果散得越快,散得人越多,这个散度算出来就就越大.

     

    旋度: 运算的对像是向量,运算出来的结果会是向量

     

    旋度的作用对象也是向量场,这次直接用上面的例子来讲:

     

    如果现在散开的众人都是直直的往那个屁的反方向散开,

     

    这时候你看到这些人的动线是不是就是一个标准的幅射状??

     

    不过事实上,每个人在闻到屁的时候是不会确切的知道

     

    屁到底是来自哪个方向的.

     

    而可能会走错方向,试过之后才发现不对劲,越找越臭.

     

    这时候你看到众人的走向不见得就是一个幅射状(大家都径向移动),

     

    而可能有一些切向移动的成份在(以屁发点为中心来看)

     

    旋度对应的就是这些切向移动的情况,相对来讲,

     

    散度对应的其实就是径向移动的情况.

     

    而一个屁,虽然可能会像上述的造成一些切向的移动,

     

    但理论上来讲,并不会使散开的众人较趋向于顺时钟转,或逆时钟转.

     

    在这种情况,顺时钟转的情况可以看作与逆时钟转的情况抵消,

     

    因此,在这情况下,旋度仍然是零.

     

    也就是说,一个屁能造成散度,而不会造成旋度....

     

    而甚么时候是有旋度的呢??

     

    如果这时候音乐一放,

     

    大家开始围着中间的营火手拉手跳起土风舞(当然是要绕着营火转的那种啦)

     

    这时候就会有旋度没有散度啦.(刚刚一直放屁的那位跑出去找厕所的除外)

     

    以上这三个,有一点一定要记得的.

     

    不论是梯度,散度,旋度,都是一种local的量(纯量,向量),

     

    所考虑的都是任何一点(其周围极接近,极小的小范围)的情况.

     

    以上举的例子因为要容易了解,所以都是针对二度空间向量为例,

     

    而且都是很大的东西,但广场是一个点,营火晚会也是一个点,

     

    纳须弥于芥子,这就请自行想象吧.

     

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  • 定义:函数在某点的梯度是一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模则是方向导数的最大值。可以理解梯度是对于某一点它分别在X轴,Y轴,Z轴上的斜率。 散度 运算的对象是向量,最终的运算结果是纯...

    梯度

    运算的对象是纯量(即标量,只有大小,没有方向),运算出来的结果是向量(矢量,既有大小,又有方向)
    定义:函数在某点的梯度是一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模则是方向导数的最大值。可以理解梯度是对于某一点它分别在X轴,Y轴,Z轴上的斜率。

    在这里插入图片描述

    散度

    运算的对象是向量,最终的运算结果是纯量(向量的点乘)
    散度的作用对象是向量场,如果我们现在只考虑一个点,在这个点上,观察向量场的发散程度。如果是正的,代表这些向量场是往外散的,若为负,则说明这些向量场时向内集中的。
    在这里插入图片描述

    旋度

    运算的对象是向量,运算出来的结果是向量
    表示的是三维向量场对某一点附近的微元造成的旋转程度。
    举个栗子:
    如果放着音乐,大家围着篝火手拉手载歌载舞(当然是围着篝火载歌载舞)

    在这里插入图片描述

    拉普拉斯算子(Laplace Operator)

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    它表示梯度或者散度的变化率,即变化率的变化率。

    拉普拉斯算子:
    在这里插入图片描述

    证明:
    在这里插入图片描述分别表示X,Y,Z方向,而div是对个方向求偏导再求和
    在这里插入图片描述

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  • 哈密顿算子与梯度散度旋度

    千次阅读 2020-05-20 11:41:07
    1、定义与性质 哈密顿算子:(数学符号:∇\nabla∇(又称nabla,奈布拉算子)),读来作Hamilton。 向量微分算子:∇=∂∂xi⃗+∂∂yj⃗+∂∂zk⃗\nabla=\frac{\partial }{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial}{\...

    哈密顿算子 点乘 叉乘

    1、定义与性质

    哈密顿算子:(数学符号:\nabla(又称nabla,奈布拉算子)),读来作Hamilton。
    向量微分算子=xi+yj+zk\nabla=\frac{\partial }{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial }{\partial z}\vec{k}

    性质

    • 矢量性
    • 微分算子
    • 只对算子\nabla右边的量发生微分作用

    麦克斯韦方程的微分形式
    Dxx+Dyy+Dzz=ρ\frac{\partial D_{x}}{\partial x}+\frac{\partial D_{y}}{\partial y}+\frac{\partial D_{z}}{\partial z}=\rhoBxx+Byy+Bzz=0\frac{\partial B_{x}}{\partial x}+\frac{\partial B_{y}}{\partial y}+\frac{\partial B_{z}}{\partial z}=0
    HzyHyz=δx+Dxt\frac{\partial H_{z}}{\partial y} -\frac{\partial H_y}{\partial z} = \delta_{x}+\frac{\partial D_{x}}{\partial t}HxzHzx=δy+Dyt\frac{\partial H_{x}}{\partial z}-\frac{\partial H_{z}}{\partial x}=\delta_{y}+\frac{\partial D_{y}}{\partial t}HyxHxy=δz+Dzt\frac{\partial H_{y}}{\partial x}-\frac{\partial H_{x}}{\partial y}=\delta_{z}+\frac{\partial D_{z}}{\partial t}
    EzyEyz=Bxt\frac{\partial E_{z}}{\partial y}-\frac{\partial E_{y}}{\partial z}=-\frac{\partial B_{x}}{\partial t}

    ExzEzx=Byt\frac{\partial E_{x}}{\partial z}-\frac{\partial E_{z}}{\partial x}=-\frac{\partial B_{y}}{\partial t}

    EyxExy=Bzt\frac{\partial E_{y}}{\partial x}-\frac{\partial E_{x}}{\partial y}=-\frac{\partial B_{z}}{\partial t}

    引进哈密顿算子,上式简化为:
    {D=ρB=0×H=δ+Dt×E=Bt\begin{cases} \nabla \cdot \vec{D}=\rho \\ \nabla \cdot \vec{B}=0 \\ \nabla \times \vec{H}=\vec{\delta}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \\ \nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \end{cases}

    2、标量场的梯度

    笛卡尔坐标系下的梯度:
    P=Pxi+Pyj+Pzk=gradP\nabla{P}=\frac{\partial P}{\partial x} \vec{i}+\frac{\partial P}{\partial y} \vec{j}+\frac{\partial P}{\partial z} \vec{k}=gradP

    (结果为矢量)

    3、矢量场的散度

    V=Vxx+Vyy+Vzz=divV\nabla \bullet \vec{V}=\frac{\partial V_{x}}{\partial x}+\frac{\partial V_{y}}{\partial y}+\frac{\partial V_{z}}{\partial z}=div \vec{V}
    (结果为标量)

    4、矢量场的旋度

    笛卡尔坐标系下旋度定义:
    ×V=ijkxyzVxVyVz=(VzyVyz)i+(VxzVzx)j+(VyxVxy)k=rotV\nabla \times \vec{V}=\left|\begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ V_{x} & V_{y} & V_{z} \end{array}\right| = \left(\frac{\partial V_z}{\partial y} -\frac{\partial V_{y}}{\partial z}\right) \vec{i}+\left(\frac{\partial V_{x}}{\partial z}-\frac{\partial V_{z}}{\partial x}\right) \vec{j}+\left(\frac{\partial V_{y}}{\partial x}-\frac{\partial V_{x}}{\partial y}\right) \vec{k} = rot \vec{V}
    (结果为矢量)

    5、哈密顿算子重要运算性质

    (A×B)=B×AA×B\nabla \cdot(\vec{A} \times \vec{B})=\vec{B} \cdot \nabla \times \vec{A}-\vec{A} \cdot \nabla \times \vec{B}

    6、向量内积与外积的性质与几何意义

    向量内积的性质:

    • a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a = 0. (正定性)
    • a·b = b·a. (对称性)
    • a + μbc = λa·c + μb·c,对任意实数λ, μ成立. (线性)
    • cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).
    • |a·b| ≤ |a||b|,等号只在ab共线时成立.

    内积(点乘)的几何意义包括:

    • 表征或计算两个向量之间的夹角
    • b向量在a向量方向上的投影

    向量外积的性质

    • a × b = -b × a. (反称性)
    • a + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). (线性)

    向量外积的几何意义
    在三维几何中,向量a和向量b的外积结果是一个向量,有个更通俗易懂的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,外积的概念非常有用,可以通过两个向量的外积,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:

    在二维空间中,外积还有另外一个几何意义就是:|a×b|在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。
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  • 向量算子的整理。非常详细,全面。很多算法都要用到拉普拉斯算符,打好基础很重要。
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    千次阅读 2013-11-21 16:14:24
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