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  • 为什么梯度方向是变化最快的方向? 首先,回顾我们怎么在代码中梯度的(梯度的数值定义): 1)对向量的梯度 以n×1实向量x为变元的实标量函数f(x)相对于x的梯度为一n×1列向量x,定义为 \[ \nabla_{\boldsymbol{x...

    为什么梯度方向是变化最快的方向?

    首先,回顾我们怎么在代码中求梯度的(梯度的数值定义):

    1)对向量的梯度

    以n×1实向量x为变元的实标量函数f(x)相对于x的梯度为一n×1列向量x,定义为
    \[ \nabla_{\boldsymbol{x}} f(\boldsymbol{x})\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \left[ \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_1}, \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_2},\cdots,\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_n} \right]^T=\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial \boldsymbol{x}} \]
    2)对矩阵的梯度

    实标量函数 $ {\displaystyle {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {A}})} ​$相对于m×n实矩阵A的梯度为一m×n矩阵,简称梯度矩阵,定义为
    \[ \nabla_{\boldsymbol{A}} \boldsymbol f(\boldsymbol{A})\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \begin{bmatrix} \frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial a_{11}} &\frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial a_{12}} & \cdots & \frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial a_{1n}} \\ \frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial a_{21}} &\frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial a_{22}} & \cdots & \frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial a_{2n}} \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial a_{m1}} &\frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial a_{m2}} & \cdots &\frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial a_{mn}} \\ \end{bmatrix}=\frac{\partial \boldsymbol{f}(\boldsymbol{A})}{\partial \boldsymbol{A}} \]
    然后我们回顾一下导数和方向导数:

    1)导数和偏导

    导数是函数在某一点的变化率,在一元函数中,就是沿着x轴在某一点的变化率;在二元函数中,就有了偏导,在x方向上的偏导,就是函数在某一点沿着x轴方向的变化率,在y方向上的偏导同理;在更多元函数中以此类推。

    2)方向导数

    上一点只涉及到坐标轴方向的变化率,那如果我想要知道任意方向的变化率呢?这就引出了方向导数的概念,方向导数是偏导数的概念的推广。

    现在我们回到梯度:

    梯度方向就是方向导数值最大的那个方向,那根据上面梯度的数值定义,“为什么梯度方向是变化最快的方向”这个问题就等价于“为什么多元函数各个轴方向的变化率(这里指向量)的合方向就是整个函数值变化率最大的方向?”

    以二元函数为例:

    1268895-20190412115831630-1812000024.png

    已知:\(\vec{x},\vec{y}\)分别是二元函数\(f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处沿\(x,y\)轴的偏导数,\(\vec{l}\)是任意方向的方向导数。

    求证:\(\vec{l_2}\)的方向是二元函数\(f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处变化最快的方向。

    证明:

    函数\(f(x,y)​\)在点\((x_0,y_0)​\)处沿方向\(\vec{l}​\)的变化率为\(|\vec{l}|=|\vec{x}|cos\theta+|\vec{y}|sin\theta​\)

    \(|\vec{l}|​\)最大等价于点\((|\vec{x}|, |\vec{y}|)​\)与点\((cos\theta,sin\theta)​\)的内积最大(内积的坐标定义),

    将上面的内积化为向量形式:记\(\vec{A}=(|\vec{x}|, |\vec{y}|),\vec{B}=(cos\theta,sin\theta)​\),则\(\vec{A} \cdot \vec{B}=|\vec{A}| \cdot |\vec{B}|\cdot cos\alpha​\),其中\(\alpha​\)\(\vec{A},\vec{B}​\)的夹角;

    \(|\vec{l}|​\)最大等价于\(\vec{A} \cdot \vec{B}​\)最大,在问题的设定下\(\theta​\)是变量,于是等价于\(\vec{A},\vec{B}​\)方向平行,而\(\vec{A}​\)的方向就是\(\vec{l_2}​\)的方向,故\(\vec{B}​\)的方向取\(\vec{l_2}​\)的方向时,取到最大变化率。

    于是由梯度的数值化定义出发,可以证明梯度方向就是方向导数值最大的那个方向,这个方向就是\(\vec{A}\)的方向(注意看它的坐标)。

    以上都是在二元函数的情况下进行证明的,同理可以证明多元函数的情况:

    比如三元函数\(f(x,y,z)\),沿\(\vec{l}\)方向的方向导数的大小为\(|\vec{l}|=|\vec{x}|cos\theta_1+|\vec{y}|cos\theta_2+|\vec{z}|cos\theta_3 (1)\),其中\(\theta_1,\theta_2,\theta_3\)分别是x,y,z轴和任意方向向量\(\vec{l}\)的夹角;于是又可以\(|\vec{l}|=\vec{A} \cdot \vec{B}\),其中​\(\vec{A}=(|\vec{x}|, |\vec{y}|,|\vec{z}|),\vec{B}=(cos\theta_1,cos\theta_2,cos\theta_3)\),接下来就是同理可证了。

    因为(1)处用的是几何观点,更多元的情况从几何角度就想象不出来了,但讲道理是一样的,于是证明结束。

    参考链接:

    转载于:https://www.cnblogs.com/MrZJ/p/10695198.html

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    用了那么久的梯度和(最初使用应该在2011-2012对自动对焦的思考),一直以为这是自己的独门绝技,当你突然在surf算法(Herbert Bay2006年发表,2008正式发表于计算机视觉期刊中看到一个陌生的公式\sum|dx|+\sum|dy|,并瞬间领悟之后,明明有一种失落感,这个人怎么这么聪明,早我至少六年使用它。其实没关系,原来在不同时空里,人的意识是趋同的。在这世界上每一个独一无二的脑壳里,原来都是毫不逊色的。只要你有兴趣,有热情!

    在机器视觉入门,找线工具的设计中,我们找穿越点时,因为找线工具只有一个方向,所以我们使用了梯度和=\sumd。

    而在自动对焦中,我们用使用了梯度和=\sum|dx|+\sum|dy|。

    上一篇,积分和对比梯度和,公式又变为梯度和=\sumdx+\sumdy。

    三种表达,实质是一样。

    我们发现梯度和可以找穿越点,可以探知清晰度的变化,还可以代替积分和。

    实际在前面的经历中,我们还用梯度和探索边缘,探索角点,详见博文网格工具设计

    现在存在一个问题,就是矩形旋转了,矩形框梯度和怎么计算

    线图像ac,在b点灰度发生了变化,梯度和5个一组沿着ac找下来,在b点的一组梯度和一定与线图像上其他位置不同,这就找到了穿越点。这是一维情况的梯度和。

    在二维情况下,如:

    以我们前面梯度和的经验,我们也能检测到边在矩形里存在,但是梯度和不是一个恒定稳定的值,在我们判别上形成困扰,那么我们能否让矩形框始终平行直线,即让矩形框旋转,那么,直线在矩形框中位置始终不改变,梯度和就会恒定下来,那旋转后的矩形,梯度和怎么求?或者说,积分和怎么求?

    方法是有的,前面博文提到,roi(矩形感兴趣区域)旋转后,截取矩形图形,显然这个问题能得到解决,最后的事情,就是去验证一番,这个给自己留作业吧!等我完成了,再告诉你!

    我们可以先看一下前面博文中的旋转图形截取图片:

    无论积分和,还是梯度和,同一事物,和(积分和)的稳定与差(梯度和)的稳定是一致的。也就是说,特征可以用梯度和或者积分和表达,那么眼睛的特征识别,是否就可以用这种方法呢?

    答案是肯定的,未来可期!

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  • 梯度下降法

    2017-04-08 10:04:14
     顾名思义,梯度下降,就如同下坡一样,找一个方向,一步一步地向下走,直到我们下到坡底,这个坡底就是我们的目标点,也就是我们要找的最低点,可怎么找到每一步的方向,使我们可以尽可能的少走‘弯路’呢?...

    梯度下降法,无约束最优化方法之一,在线性回归中应用广泛,并且已经有很多改进版本,先介绍最古老最简单的梯度下降,其次还有批量梯度下降法,随机梯度下降法等等。


    梯度下降(上升)法

        顾名思义,梯度下降,就如同下坡一样,找一个方向,一步一步地向下走,直到我们下到坡底,这个坡底就是我们的目标点,也就是我们要找的最低点,可怎么找到每一步的方向,使我们可以尽可能的少走‘弯路’呢?可以通过求每一步的导数(如果有多维变量,要求每个变量的偏导数),然后确定我们每一步的步长,一步一步走,也许就可以找到坡底。

    ***步长的确定***

    line search线性搜索方法确定步长,假设我们已经找到一个点,并确定了下降方向, 我们可以先找一个步长,比如0.05,计算其下降程度(函数值相比当前下降了多少),引用下step size = \arg\min_{h\geq0} f(x_k-h\nabla f(x_k)),缺点是计算量太大



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  • 梯度下降法及matlab代码详解实现

    万次阅读 多人点赞 2019-08-04 16:01:27
    梯度方向导数的关系为:梯度方向与取得最大方向导数值的方向一致,而梯度的模就是函数在该点的方向导数的最大值。梯度下降算法事实上是多维函数的在某一点收敛的极小值,可以用这个算法迭代出在哪个点收敛,也...

    基本概念

    梯度下降法又被称为最速下降法(Steepest descend method),其理论基础是梯度的概念。梯度与方向导数的关系为:梯度的方向与取得最大方向导数值的方向一致,而梯度的模就是函数在该点的方向导数的最大值。梯度下降算法事实上是求多维函数的在某一点收敛的极小值,可以用这个算法迭代出在哪个点收敛,也是求最小二乘问题的一种方法。先在脑海中想象一下,你站在一座山上,怎么找到最快下山的方法,这时你当然会朝着最陡峭的方向前进,到达一个点后,再次朝着陡峭的方向下山,从而循环这些步骤,到达山脚。事实上,这也是梯度下降算法名字的由来,如图所示。
    在这里插入图片描述

    matlab代码实现

    梯度下降法的原理,本文不再描述,请参阅其它资料。

    梯度下降法函数function [k ender]=steepest(f,x,e),需要三个参数f、x和e,其中f为目标函数,x为初始点,e为终止误差。输出也为两个参数,k表示迭代的次数,ender表示找到的最低点。

    steep.m

    function [k ender]=steepest(f,x,e)
    %梯度下降法,f为目标函数(两变量x1和x2),x为初始点,如[3;4]
    syms x1 x2 m; %m为学习率
    d=-[diff(f,x1);diff(f,x2)];  %分别求x1和x2的偏导数,即下降的方向
    flag=1;  %循环标志
    k=0; %迭代次数
    while(flag)
        d_temp=subs(d,x1,x(1));      %将起始点代入,求得当次下降x1梯度值
        d_temp=subs(d_temp,x2,x(2)); %将起始点代入,求得当次下降x2梯度值
        nor=norm(d_temp); %范数
        if(nor>=e)
            x_temp=x+m*d_temp;            %改变初始点x的值
            f_temp=subs(f,x1,x_temp(1));  %将改变后的x1和x2代入目标函数
            f_temp=subs(f_temp,x2,x_temp(2));
            h=diff(f_temp,m);  %对m求导,找出最佳学习率
            m_temp=solve(h);   %求方程,得到当次m
            x=x+m_temp*d_temp; %更新起始点x
            k=k+1;
        else
            flag=0;
        end
    end
    ender=double(x);  %终点
    end
    

    调用示例

    syms x1 x2;
    f=(x1-2)^2+2*(x2-1)^2;
    x=[1;3];
    e=10^(-20);
    [k ender]=steepest(f,x,e)
    

    结果

    
    k = 
     
        27
    
    ender =
    
         2
         1
    
    

    缺点

    梯度下降法的缺点:

    (1)靠近极小值时收敛速度减慢,如下图所示;

    (2)直线搜索时可能会产生一些问题;

    (3)可能会“之字形”地下降。

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