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  • 首先,回顾我们怎么在代码中求梯度的梯度的数值定义): 1)对向量的梯度 以n×1实向量x为变元的实标量函数f(x)相对于x的梯度为一n×1列向量x,定义为 \[ \nabla_{\boldsymbol{x}} f(\boldsymbol{x})\overset{\...

    为什么梯度方向是变化最快的方向?

    首先,回顾我们怎么在代码中求梯度的(梯度的数值定义):

    1)对向量的梯度

    以n×1实向量x为变元的实标量函数f(x)相对于x的梯度为一n×1列向量x,定义为
    \[ \nabla_{\boldsymbol{x}} f(\boldsymbol{x})\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \left[ \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_1}, \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_2},\cdots,\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_n} \right]^T=\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial \boldsymbol{x}} \]
    2)对矩阵的梯度

    实标量函数 $ {\displaystyle {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {A}})} ​$相对于m×n实矩阵A的梯度为一m×n矩阵,简称梯度矩阵,定义为
    \[ \nabla_{\boldsymbol{A}} \boldsymbol f(\boldsymbol{A})\overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{=} \begin{bmatrix} \frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial a_{11}} &\frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial a_{12}} & \cdots & \frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial a_{1n}} \\ \frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial a_{21}} &\frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial a_{22}} & \cdots & \frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial a_{2n}} \\ \vdots &\vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial a_{m1}} &\frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial a_{m2}} & \cdots &\frac{\partial f(\boldsymbol{A})}{\partial a_{mn}} \\ \end{bmatrix}=\frac{\partial \boldsymbol{f}(\boldsymbol{A})}{\partial \boldsymbol{A}} \]
    然后我们回顾一下导数和方向导数:

    1)导数和偏导

    导数是函数在某一点的变化率,在一元函数中,就是沿着x轴在某一点的变化率;在二元函数中,就有了偏导,在x方向上的偏导,就是函数在某一点沿着x轴方向的变化率,在y方向上的偏导同理;在更多元函数中以此类推。

    2)方向导数

    上一点只涉及到坐标轴方向的变化率,那如果我想要知道任意方向的变化率呢?这就引出了方向导数的概念,方向导数是偏导数的概念的推广。

    现在我们回到梯度:

    梯度方向就是方向导数值最大的那个方向,那根据上面梯度的数值定义,“为什么梯度方向是变化最快的方向”这个问题就等价于“为什么多元函数各个轴方向的变化率(这里指向量)的合方向就是整个函数值变化率最大的方向?”

    以二元函数为例:

    1268895-20190412115831630-1812000024.png

    已知:\(\vec{x},\vec{y}\)分别是二元函数\(f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处沿\(x,y\)轴的偏导数,\(\vec{l}\)是任意方向的方向导数。

    求证:\(\vec{l_2}\)的方向是二元函数\(f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处变化最快的方向。

    证明:

    函数\(f(x,y)​\)在点\((x_0,y_0)​\)处沿方向\(\vec{l}​\)的变化率为\(|\vec{l}|=|\vec{x}|cos\theta+|\vec{y}|sin\theta​\)

    \(|\vec{l}|​\)最大等价于点\((|\vec{x}|, |\vec{y}|)​\)与点\((cos\theta,sin\theta)​\)的内积最大(内积的坐标定义),

    将上面的内积化为向量形式:记\(\vec{A}=(|\vec{x}|, |\vec{y}|),\vec{B}=(cos\theta,sin\theta)​\),则\(\vec{A} \cdot \vec{B}=|\vec{A}| \cdot |\vec{B}|\cdot cos\alpha​\),其中\(\alpha​\)\(\vec{A},\vec{B}​\)的夹角;

    \(|\vec{l}|​\)最大等价于\(\vec{A} \cdot \vec{B}​\)最大,在问题的设定下\(\theta​\)是变量,于是等价于\(\vec{A},\vec{B}​\)方向平行,而\(\vec{A}​\)的方向就是\(\vec{l_2}​\)的方向,故\(\vec{B}​\)的方向取\(\vec{l_2}​\)的方向时,取到最大变化率。

    于是由梯度的数值化定义出发,可以证明梯度方向就是方向导数值最大的那个方向,这个方向就是\(\vec{A}\)的方向(注意看它的坐标)。

    以上都是在二元函数的情况下进行证明的,同理可以证明多元函数的情况:

    比如三元函数\(f(x,y,z)\),沿\(\vec{l}\)方向的方向导数的大小为\(|\vec{l}|=|\vec{x}|cos\theta_1+|\vec{y}|cos\theta_2+|\vec{z}|cos\theta_3 (1)\),其中\(\theta_1,\theta_2,\theta_3\)分别是x,y,z轴和任意方向向量\(\vec{l}\)的夹角;于是又可以\(|\vec{l}|=\vec{A} \cdot \vec{B}\),其中​\(\vec{A}=(|\vec{x}|, |\vec{y}|,|\vec{z}|),\vec{B}=(cos\theta_1,cos\theta_2,cos\theta_3)\),接下来就是同理可证了。

    因为(1)处用的是几何观点,更多元的情况从几何角度就想象不出来了,但讲道理是一样的,于是证明结束。

    参考链接:

    转载于:https://www.cnblogs.com/MrZJ/p/10695198.html

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    用了那么久的梯度和(最初使用应该在2011-2012对自动对焦的思考),一直以为这是自己的独门绝技,当你突然在surf算法(Herbert Bay2006年发表,2008正式发表于计算机视觉期刊中看到一个陌生的公式\sum|dx|+\sum|dy|,并瞬间领悟之后,明明有一种失落感,这个人怎么这么聪明,早我至少六年使用它。其实没关系,原来在不同时空里,人的意识是趋同的。在这世界上每一个独一无二的脑壳里,原来都是毫不逊色的。只要你有兴趣,有热情!

    在机器视觉入门,找线工具的设计中,我们找穿越点时,因为找线工具只有一个方向,所以我们使用了梯度和=\sumd。

    而在自动对焦中,我们用使用了梯度和=\sum|dx|+\sum|dy|。

    上一篇,积分和对比梯度和,公式又变为梯度和=\sumdx+\sumdy。

    三种表达,实质是一样。

    我们发现梯度和可以找穿越点,可以探知清晰度的变化,还可以代替积分和。

    实际在前面的经历中,我们还用梯度和探索边缘,探索角点,详见博文网格工具设计

    现在存在一个问题,就是矩形旋转了,矩形框梯度和怎么计算

    线图像ac,在b点灰度发生了变化,梯度和5个一组沿着ac找下来,在b点的一组梯度和一定与线图像上其他位置不同,这就找到了穿越点。这是一维情况的梯度和。

    在二维情况下,如:

    以我们前面梯度和的经验,我们也能检测到边在矩形里存在,但是梯度和不是一个恒定稳定的值,在我们判别上形成困扰,那么我们能否让矩形框始终平行直线,即让矩形框旋转,那么,直线在矩形框中位置始终不改变,梯度和就会恒定下来,那旋转后的矩形,梯度和怎么求?或者说,积分和怎么求?

    方法是有的,前面博文提到,roi(矩形感兴趣区域)旋转后,截取矩形图形,显然这个问题能得到解决,最后的事情,就是去验证一番,这个给自己留作业吧!等我完成了,再告诉你!

    我们可以先看一下前面博文中的旋转图形截取图片:

    无论积分和,还是梯度和,同一事物,和(积分和)的稳定与差(梯度和)的稳定是一致的。也就是说,特征可以用梯度和或者积分和表达,那么眼睛的特征识别,是否就可以用这种方法呢?

    答案是肯定的,未来可期!

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    从接触深度学习开始,就不断听到随机梯度下降这个名词。那么这到底是个什么东东呢?


    随机梯度下降是用来求损失函数系数的最优解的,


    什么是损失函数呢?损失函数就是你模型的预测值和真实值之间的差距


    怎么求呢?就是求损失函数最小值(或者能找到的最小值)对应的系数,我们希望损失函数值往波谷的方向走,那么怎么知道波谷的方向呢,就是梯度下降的方向


    所以,只要对各个系数求偏导,偏导最小,则为最优解。


    更简洁明了的可以参考博客http://www.cnblogs.com/aijianiula/p/5173315.html

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  • 我们使用梯度下降法是为了求目标函数最小值f(X)对应X,那么我们怎么求最小值点x呢?注意我们X不一定是一维,可以是多维,是一个向量。我们先把f(x)进行泰勒展开:   这里α是学习速率,是个标量,...
    
    
    

    1 梯度下降法

    我们使用梯度下降法是为了求目标函数最小值f(X)对应的X,那么我们怎么求最小值点x呢?注意我们的X不一定是一维的,可以是多维的,是一个向量。我们先把f(x)进行泰勒展开:

    image 

    这里的α是学习速率,是个标量,代表X变化的幅度;d表示的是单位步长,是一个矢量,有方向,单位长度为1,代表X变化的方向。什么意思呢?就是说我们这里求最值,不是一下子就找到最小值对应的X,而是一点点的迭代,逼近最小值对应的X,每一次迭代新的X即X’就是X+αd(下图蓝色点都可以是X’),(注意这里的αd是矢量,这里是矢量相加,有方向的问题。)如图(以二维为例):

    image

    那么我们每一次迭代想要的X’要有什么要求呢?要求就是每次迭代新的X’使image达到最小值,即在上面的所有的X’,那个红框的X’使f(X’)最小,我们就是找到那个X’,然后不断的迭代,(如果你觉得每次迭代的X幅度小,就调整那个学习速率α,幅度大,就调小)我们就找到趋近于f(X)最小的X。我们来看每次迭代中,怎么找到新的X’。

    我们想找f(X+αd)的最小值,我们认为o(α)(即二次导数及以上的项)为无穷小,忽略不计。(这个决定也是梯度下降法与牛顿法的区别,下面说原因   )那么问题就变成了,我们要image最小,

    α是一个系数,image是两个向量的内积,也就是|g|*|d|*cosθ,如图:

    image

    那么也就是梯度向量与d的向量夹角为180°的时候,image取最小值:-|g|*|d|。梯度向量与d的向量夹角为180°.即如图:

    image

    所以我们的αd可取值为-αg,因此X’=X-αg.

    接下来继续重复上述步骤迭代。直到收敛。

     

    2 牛顿法

    上面的最速下降法只用到了梯度信息,即目标函数的一阶导数信息,而牛顿法则用到了二阶导数信息。我们先把f(x)进行泰勒展开:

    image

    其中的g的每一维度是f(X)分别对X的每一维求一阶偏导数(所以g是一个向量),G是f(X)的每一维度分别对变量X的每一维求二阶导数(因此G是一个矩阵,叫hessian矩阵,如图(右))。这次跟上面那个公式只是形式稍微变了一下,内容都是一样的。这里的Xk表示原来的X点,X表示新的X点(就是上面的X’)。在这里我们令d=X-Xk,即每次迭代在单位向量d上进行X的变化(没有α这个幅度了,d的模也不一定是1,这里不是人为制定的步长多少,而是计算中该是多少就多少)。即我们找到了d,我们就知道了新的X,如图(左):

    image                       image

    每一次迭代中,我们依然要通过最小化每一次的f(X)找到每一次想要的红框的X。

    这一次,我们通过对f(X)求导=0,那么得到的X就是每一次迭代想要的红框的X。即:

    imageimage  因为我们已知X=Xk-d,所以image,那么新的X就得到了。然后继续迭代,直到收敛。

     

     

     

     

     

     

     

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梯度的方向怎么求