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  • 泛函极值 变分法 梯度下降流1、积分泛函 欧拉-拉格朗日方程2、积分泛函 梯度下降流 在上一篇文章基于区域主动轮廓模型-Chan Vese模型中,我们通过构造能量泛函,从而巧妙把图像中目标分割问题转化为求解能量...

    在上一篇文章基于区域的主动轮廓模型-Chan Vese模型1中,我们通过构造能量泛函,从而巧妙的把图像中的目标分割问题转化为求解能量泛函极值的问题,然后利用变分法获得曲线演化方程。有人提出了这个推导原理或者推导过程是怎么回事,所以我今天专门写篇博客(参考重庆大学唐利明博士论文2 )分析以下这个问题。

    1、积分泛函 欧拉-拉格朗日方程

    假设能量泛函为: E(u)=abF(x,u,u)dx(1)E(u)=\int_{a}^{b} F\left(x, u, u^{\prime}\right) d x \tag{1}我们的目标则是寻找目标函数u(x)u(x)使得能量函数E(u)E(u)取极小值,假设函数u(x)u(x)能够使得E(u)E(u)取极小值,那么对函数u(x)u(x)引入任意小的扰动后,或者说对于任意的u(x)+αv(x)u(x)+\alpha v(x)都有:E(u)E(u+αv)E(u) \leqslant E(u+\alpha v)其中α\alpha为常数,v(a)=v(b)=0v(a) =v(b)=0,那么将E(u+αv)E(u+\alpha v)看成是α\alpha的函数ϕ(α)\phi(\alpha),那么对于一元函数ϕ(α)\phi(\alpha)α=0\alpha=0的导数也就是泛函EE的一阶变分δE\delta E应等于0,即δE=dϕdαα=0=ab(F(x,u,u)uv+F(x,u,u)uv)dx=0\delta E =\left.\frac{d \phi}{d \alpha}\right|_{\alpha=0}=\int_{a}^{b}\left(\frac{\partial F\left(x, u, u^{\prime}\right)}{\partial u} v+\frac{\partial F\left(x, u, u^{\prime}\right)}{\partial u^{\prime}} v^{\prime}\right) d x = 0
    进一步整理可得:δE=ab(Fuv+Fuv)dx=0\delta E =\int_{a}^{b}\left(\frac{\partial F}{\partial u} v+\frac{\partial F}{\partial u^{\prime}} v^{\prime}\right) d x=0 ,然后利用分步积分法对上式进一步分析推导:δE=ab(Fuv+Fuv)dx=abFuvdx+abFudv=ab[Fduvddx(Fu)v]dx+vFuab=0\begin{aligned} \delta E &=\int_{a}^{b}\left(\frac{\partial F}{\partial u} v+\frac{\partial F}{\partial u^{\prime}} v^{\prime}\right) d x=\int_{a}^{b} \frac{\partial F}{\partial u} v d x+\int_{a}^{b} \frac{\partial F}{\partial u^{\prime}} dv \\ & =\int_{a}^{b}\left[\frac{\partial F}{d u} v-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial F}{\partial u^{\prime}}\right) v\right] dx+\left.v \frac{\partial F}{\partial u^{\prime}}\right|_{a} ^{b}=0 \end{aligned}因为v(a)=v(b)=0v(a) = v(b) = 0,那么δE=ab[Fuddx(Fu)]vdx=0\delta E=\int_{a}^{b}\left[\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial F}{\partial u^{\prime}}\right)\right] v d x=0,如果对于任意函数vv都能成立,那么根据变分法引理,Fuddx(Fu)=0\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial F}{\partial u^{\prime}}\right)=0 这个引理的证明也很简单,利用反证法,只需假设v=(Fuddx(Fu))(xa)(xb)v = (\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{d x}(\frac{\partial F}{\partial u^{\prime}}) )(x-a)(x-b),因为(xa)(xb)<0(x-a)(x-b)<0,所以δE<0\delta E < 0,与已知矛盾,故
    Fuddx(Fu)=0(2)\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial F}{\partial u^{\prime}}\right)=0 \tag{2} 上式就是大名鼎鼎的欧拉-拉格朗日方程(Euler-Lagrange),对于积分泛函内包含高阶导数的问题,比如E(u)=abF(x,u,u,u)dxE(u)=\int_{a}^{b} F\left(x, u, u^{\prime}, u^{\prime \prime}\right) d x利用上述变分法,完全可以获得对应的Euler-Lagrange方程
    Fuddx(Fu)+d2dx2(Fu)=0(3)\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial F}{\partial u^{\prime}}\right)+\frac{d^2}{d x^2}\left(\frac{\partial F}{\partial u^{\prime \prime}}\right)=0 \tag{3}对于变函积分内包括多元函数的问题,比如
    E(u)=ΩF(x,y,u,ux,uy,ux,uyy)dxdy(4)E(u)=\iint_{\Omega} F\left(x, y, u, u_{x}, u_{y}, u_{x}, u_{y y}\right) d x d y \tag{4}同样可以推导出其对应的Euler-Lagrange
    Fduddx(Fux)ddy(Fuy)+d2dx2(Fuxx)+d2dy2(Fuyy)=0(5)\frac{\partial F}{d u}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial F}{\partial u_{x}}\right)-\frac{d}{d y}\left(\frac{\partial F}{\partial u_{y}}\right)+\frac{d^{2}}{d x^{2}}\left(\frac{\partial F}{\partial u_{x x}}\right)+\frac{d^{2}}{d y^{2}}\left(\frac{\partial F}{\partial u_{y y}}\right)=0 \tag{5}不过对于在大部分情况下,我们获得的Euler-Langarange方程一般都是非线性的偏微分方程,很难直接获得对应的解析解,因此,我们需要引入辅组的时间变量,将求解静态偏微分方程问题转化为动态偏微分方程问题,当演化至稳态时,就可以得到我们想要的偏微分方程的解了。

    2、积分泛函 梯度下降流

    假设随时间变化的函数u(,t)u(\cdot ,t)能够使得δE<0\delta E < 0,那么能量泛函E(u(,t))E(u(\cdot, t))则会不断减小,那么u(,t)u(\cdot ,t)从时间tt 到时间t+Δtt + \Delta t则会给能量函数引入一个新的扰动V=utΔtV=\frac{\partial u}{\partial t} \Delta t那么对应的
    δE=ab[Fuddx(Fu)]vdx=Δtab[Fuddx(Fu)]utdx<0\delta E=\int_{a}^{b}\left[\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial F}{\partial u^{\prime}}\right)\right] v d x=\Delta t \int_{a}^{b}\left[\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial F}{\partial u^{\prime}}\right)\right] \frac{\partial u}{\partial t} d x<0
    要想使上式恒成立,则可取(充分不必要但是最简洁)
    ut=Fu+ddx(Fu)(6)\frac{\partial u}{\partial t}=-\frac{\partial F}{\partial u}+\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial F}{\partial u^{\prime}}\right) \tag{6}
    那么对于能量泛函E(u)=abF(x,u,u)dxE(u)=\int_{a}^{b} F\left(x, u, u^{\prime}\right) d x,想要获得其数值解,则需要构造偏微分方程${ut=δE(u)u(x,0)=u0(x)\left\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial t}=\delta E(u) \\ u(x, 0)=u_{0}(x)\end{array}\right.通过计算上述方程组,不断迭代计算,就能够找到使得能量函数E(u)E(u)取得极小值的函数u(x)u(x)

    3、以Chan-Vese模型为例的推导过程

    关于Chan-Vese模型的详细内容大家可以看这一篇我的另一篇博文Chan-Vese模型。已知模型的能量泛函为:E(ϕ(x,y))=μΩH(ϕ(x,y))dxdy+νΩH(ϕ(x,y)dxdy+λ1ΩI0(x,y)C12H(ϕ(x,y)dxdy+λ2outside(C)I0(x,y)C22(1H(ϕ(x,y))dxdy(7)E(\phi(x,y)) =\mu \int_\Omega{|\nabla H(\phi(x,y))|}dxdy + \nu \int_\Omega{H( \phi(x,y)}dxdy \\ + \lambda_1 \int_{\Omega}{|I_0(x,y)-C_1|^2 H( \phi(x,y)}\,{\rm d}x{\rm d}y + \\ \lambda_2 \int_{outside(C)}{|I_0(x,y)-C_2|^2 (1-H( \phi(x,y))}\,{\rm d}x{\rm d}y \tag{7} 那么怎样借助上面的梯度下降流公式来获得对应的用来演化的偏微方程:ϕt=δϵ(ϕ)[μdiv(ϕϕ)νλ1(IC1)2+λ2(IC2)2](8)\frac{\partial \phi}{\partial t} = \delta_{\epsilon}(\phi)[\mu div(\frac{\nabla\phi}{|\nabla\phi|})-\nu - \lambda_1(I-C_1)^2+\lambda_2(I-C_2)^2] \tag{8}在开始推导之前我首先需要补充几点内容:
    1.divdiv是表示散度的意思,是一个标量值,比如说对于一个梯度向量(fx,fy)(f_x,f_y),则该梯度向量对应的散度值为xfx+yfy\frac{\partial}{\partial x}f_x + \frac{\partial}{\partial y}f_y或者说fxx+fyyf_{xx}+f_{yy};
    2. 公式(7)中的函数H(ϕ)H(\phi)为Heaviside函数(也就是阶跃函数),其对应的导函数为δ(ϕ)\delta(\phi);
    3. 公式(7)中的梯度的模值即H(ϕ(x,y))|\nabla H(\phi(x,y))|的展开式为:H(ϕ(x,y))=(δ(ϕ)ϕx)2+(δ(ϕ)ϕy)2=((δ(ϕ)ϕx)2+(δ(ϕ)ϕy)2)12|\nabla H(\phi(x,y))| = \sqrt{\left(\delta(\phi) \phi_{x}\right)^{2}+\left(\delta(\phi) \phi_{y}\right)^{2}} = ({\left(\delta(\phi) \phi_{x}\right)^{2}+\left(\delta(\phi) \phi_{y}\right)^{2}}) ^{\frac{1}{2}}
    4. 公式(7)的能量函数中,ϕ(x,y)\phi(x,y)是一个二元函数,且公式(7)中只存在ϕ(x,y)\phi(x,y)的一阶导数,所以公式(7)对应的梯度下降流公式需要参照如下公式:ut=Fu+ddx(Fux)+ddy(Fuy)(9)\frac{\partial u}{\partial t} = - \frac{\partial F}{\partial u}+\frac{d}{d x}\left(\frac{\partial F}{\partial u_x}\right)+\frac{d}{d y}\left(\frac{\partial F}{\partial u_y}\right) \tag{9}
    因此对于能量函数公式(7),参照公式(9),可得:
    F:μH(ϕ)+νH(ϕ)+λ1(I0C1)2H(ϕ)+λ2(I0C2)2(1H(ϕ))u:ϕ\begin{array}{l} F: \mu|\nabla H(\phi)|+\nu H(\phi)+\lambda_{1}\left(I_{0}-C_{1}\right)^{2} H(\phi)+\lambda_{2}\left(I_{0}-C_{2}\right)^{2}(1-H(\phi)) \\ u: \phi \end{array}进一步求导计算可得: Fϕ=vδ(ϕ)+λ1(I0C1)2δ(ϕ)λ2(I0C2)2δ(ϕ)(10)\frac{\partial F}{\partial \phi}=v \delta(\phi)+\lambda_{1}\left(I_{0}-C_{1}\right)^{2} \delta(\phi)-\lambda_{2}\left(I_{0}-C_{2}\right)^{2} \delta(\phi) \tag{10} 以及 ddx(Fϕx)+ddy(Fϕy)=μ(ddx(δ(ϕ)ϕx(δ(ϕ)ϕx)2+(δ(ϕ)ϕy)2)+ddy(δ(ϕ)ϕy(δ(ϕ)ϕx)2+(δ(ϕ)ϕy)2))=μδ(ϕ)div(ϕϕ)(11)\begin{aligned} \frac{d}{d x}\left(\frac{\partial F}{\partial \phi_{x}}\right)+\frac{d}{d y}\left(\frac{\partial F}{\partial \phi_{y}}\right) &=\mu\left(\frac{d}{d x}\left(\frac{\delta(\phi) \phi_{x}}{\sqrt{\left(\delta(\phi) \phi_{x}\right)^{2}+\left(\delta(\phi) \phi_{y}\right)^{2}}}\right)+\frac{d}{d y}\left(\frac{\delta(\phi) \phi_{y}}{\sqrt{\left(\delta(\phi) \phi_{x}\right)^{2}+\left(\delta(\phi) \phi_{y}\right)^{2}}}\right)\right) \\ &=\mu \delta(\phi) \operatorname{div}\left(\frac{\nabla \phi}{|\nabla \phi|}\right) \end{aligned} \tag{11}将公式(10)和公式(11)和整合进公式(9)后就可得到用来演化计算的偏微分方程:ϕt=δ(ϕ)[μdiv(ϕϕ)νλ1(IC1)2+λ2(IC2)2](12)\frac{\partial \phi}{\partial t} = \delta(\phi)[\mu div(\frac{\nabla\phi}{|\nabla\phi|})-\nu - \lambda_1(I-C_1)^2+\lambda_2(I-C_2)^2] \tag{12} 对上述计算或者推导过程有任何疑问或者觉得我没有表达清楚的,欢迎在评论区留言评论!!
    参考文献

    [1] Chan, T.F. and Vese, L.A., 2001. Active contours without edges. IEEE Transactions on image processing, 10(2), pp.266-277.
    [2] 唐利明.[基于变分方法的图像分解与图像分割][D]. 2013.
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  • 梯度下降

    2020-08-29 18:38:55
    梯度下降算法是一种非常经典的求极小值算法,比如在线性回归里我们可以用最小二乘法去解析最优解,但是其中会涉及到对矩阵逆,由于多重共线性问题存在是很让人难受,无论进行L1正则化Lasso回归还是L2正则...


    梯度下降算法是一种非常经典的求极小值的算法,比如在线性回归里我们可以用最小二乘法去解析最优解,但是其中会涉及到对矩阵求逆,由于多重共线性问题的存在是很让人难受的,无论进行L1正则化的Lasso回归还是L2正则化的岭回归,其实并不让人满意,因为它们的产生是为了修复此漏洞,而不是为了提升模型效果,甚至使模型效果下降。但是换一种思路,比如用梯度下降算法去优化线性回归的损失函数,完全就可以不用考虑多重共线性带来的问题。其实不仅是线性回归,逻辑回归同样是可以用梯度下降进行优化,因为这两个算法的损失函数都是严格意义上的凸函数,即存在全局唯一极小值,较小的学习率和足够的迭代次数,一定可以达到最小值附近,满足精度要求是完全没有问题的。并且随着特征数目的增多(列如100000),梯度下降的效率将远高于去解析标准方程的逆矩阵。神经网络中的后向传播算法其实就是在进行梯度下降,GDBT(梯度提升树)每增加一个弱学习器(CART回归树),近似于进行一次梯度下降,因为每一棵回归树的目的都是去拟合此时损失函数的负梯度,这也可以说明为什么GDBT往往没XGBoost的效率高,因为它没办法拟合真正的负梯度,而Xgboost 的每增加的一个弱学习器是使得损失函数下降最快的解析解。总之梯度下降算法的用处十分广泛,我们有必要对它进行更加深入的理解。

    1. 什么叫梯度?

    偏导数组成的向量。

    2. 梯度有什么用?

    1)沿正梯度方向走函数值增大
    2)沿负梯度方向走函数值减小

    3. 怎么走?

    w=w−ρ⋅∂L/∂w

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  • 从接触深度学习开始,就不断...怎么求呢?就是求损失函数最小值(或者能找到最小值)对应系数,我们希望损失函数值往波谷方向走,那么怎么知道波谷方向呢,就是梯度下降方向 所以,只要对各个系数求偏导

    从接触深度学习开始,就不断听到随机梯度下降这个名词。那么这到底是个什么东东呢?


    随机梯度下降是用来求损失函数系数的最优解的,


    什么是损失函数呢?损失函数就是你模型的预测值和真实值之间的差距


    怎么求呢?就是求损失函数最小值(或者能找到的最小值)对应的系数,我们希望损失函数值往波谷的方向走,那么怎么知道波谷的方向呢,就是梯度下降的方向


    所以,只要对各个系数求偏导,偏导最小,则为最优解。


    更简洁明了的可以参考博客http://www.cnblogs.com/aijianiula/p/5173315.html

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  • 梯度下降法及matlab代码详解实现

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    梯度与方向导数的关系为:梯度的方向与取得最大方向导数值的方向一致,而梯度的模就是函数在该点的方向导数的最大值。梯度下降算法事实上是多维函数的在某一点收敛的极小值,可以用这个算法迭代出在哪个点收敛,也...

    基本概念

    梯度下降法又被称为最速下降法(Steepest descend method),其理论基础是梯度的概念。梯度与方向导数的关系为:梯度的方向与取得最大方向导数值的方向一致,而梯度的模就是函数在该点的方向导数的最大值。梯度下降算法事实上是求多维函数的在某一点收敛的极小值,可以用这个算法迭代出在哪个点收敛,也是求最小二乘问题的一种方法。先在脑海中想象一下,你站在一座山上,怎么找到最快下山的方法,这时你当然会朝着最陡峭的方向前进,到达一个点后,再次朝着陡峭的方向下山,从而循环这些步骤,到达山脚。事实上,这也是梯度下降算法名字的由来,如图所示。
    在这里插入图片描述

    matlab代码实现

    梯度下降法的原理,本文不再描述,请参阅其它资料。

    梯度下降法函数function [k ender]=steepest(f,x,e),需要三个参数f、x和e,其中f为目标函数,x为初始点,e为终止误差。输出也为两个参数,k表示迭代的次数,ender表示找到的最低点。

    steep.m

    function [k ender]=steepest(f,x,e)
    %梯度下降法,f为目标函数(两变量x1和x2),x为初始点,如[3;4]
    syms x1 x2 m; %m为学习率
    d=-[diff(f,x1);diff(f,x2)];  %分别求x1和x2的偏导数,即下降的方向
    flag=1;  %循环标志
    k=0; %迭代次数
    while(flag)
        d_temp=subs(d,x1,x(1));      %将起始点代入,求得当次下降x1梯度值
        d_temp=subs(d_temp,x2,x(2)); %将起始点代入,求得当次下降x2梯度值
        nor=norm(d_temp); %范数
        if(nor>=e)
            x_temp=x+m*d_temp;            %改变初始点x的值
            f_temp=subs(f,x1,x_temp(1));  %将改变后的x1和x2代入目标函数
            f_temp=subs(f_temp,x2,x_temp(2));
            h=diff(f_temp,m);  %对m求导,找出最佳学习率
            m_temp=solve(h);   %求方程,得到当次m
            x=x+m_temp*d_temp; %更新起始点x
            k=k+1;
        else
            flag=0;
        end
    end
    ender=double(x);  %终点
    end
    

    调用示例

    syms x1 x2;
    f=(x1-2)^2+2*(x2-1)^2;
    x=[1;3];
    e=10^(-20);
    [k ender]=steepest(f,x,e)
    

    结果

    
    k = 
     
        27
    
    ender =
    
         2
         1
    
    

    缺点

    梯度下降法的缺点:

    (1)靠近极小值时收敛速度减慢,如下图所示;

    (2)直线搜索时可能会产生一些问题;

    (3)可能会“之字形”地下降。

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空空如也

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