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  • 关键字:求导、偏导、梯度、复合函数求导链式法则 矩阵转置、矩阵加减、矩阵乘法【矩阵乘法不满足交换律】 二、numpy (1)转置和加、乘 #coding:utf-8 import numpy as np print np.__version__ ...
    一、数学基础
    二、numpy
     
     
     
     
    一、数学基础
    关键字:求导、偏导、梯度、复合函数求导链式法则
                 矩阵的转置、矩阵加减、矩阵乘法【矩阵乘法不满足交换律】
     
    二、numpy
    (1)转置和加、乘
    #coding:utf-8
    import numpy as np
    print np.__version__
     
    # 1- create narray
    array = np.array([1,2,3],dtype=np.uint8)
    print "array:",array
     
    # 2- zeros
    mat1 = np.zeros((2,3)) #(2,3) tuple
    print "mat1:",mat1
     
    # 3- 高维矩阵
    mat2 = np.zeros((1,2,3,4))
    print mat2.shape
    print mat2.size
     
    # 4- 标准矩阵运算
    # (1) 标量与矩阵相乘
    scalar = 2
    mat = np.ones((2,3))
    mat3 = scalar * mat
    print "mat3:",mat3
    # (2) 矩阵转置 mat.T
    mat = np.zeros((2,3))
    tmat = mat.T
    print mat.shape,tmat.shape
    mat4 = np.array((1,2,3))
    print "mat4:",mat4
    tmat4 = mat4.T
    print mat4.shape,tmat4.shape
    # (3) 矩阵的加法
    print "add--------------------"
    mat1 = np.array([[1,2],[3,4]])
    mat2 = np.zeros((2,2))
    mat3 = mat1 + mat2
    print "mat3:",mat3
    # (4) 矩阵的乘法
    print "multi------------------"
    mat1 = np.array([[1,2],[3,4]])
    mat2 = np.ones((2,2))
    mat3 = mat1.dot(mat2)
    print "mat3:",mat3
     
    (2)扩展运算
    #coding:utf-8
    import numpy as np
    # 扩展运算
    # (1) 对应元素相乘
    mat1 = np.array([[1,2],[3,4]])
    mat = mat1 * mat1
    print "mat:",mat
     
    # (2) 标量与矩阵相加
    scalar = 2
    mat1 = np.array([[1,2],[3,4]])
    mat = scalar + mat1
    print "mat:",mat
     
    # (3) 高位矩阵维度改变
    mat1 = np.zeros((1,2,3))
    mat = mat1.transpose(0,2,1) # 维度调换
    print mat1.shape,mat.shape
     
    # (4) broad cast 拓宽操作。先对原来的向量拓宽,再做加法
    mat1 = np.ones((3,4))
    vec = np.array([[1],[2],[3]])
    print mat1+vec
     
     
    (2)杂项运算
     
    #coding:utf-8
    import numpy as np
     
    # 杂项操作
    # (1) 生成随机数
    rannum = np.random.randn(2,3)
    print "rannum:",rannum
    # 生成一个指定尺寸的矩阵
    # 矩阵中的所有数字符合正态分布(normal distribution)
    met = [1,2,3]
    np.random.shuffle(met)
    print "shuffle_met:",met
     
    # (2) 对矩阵元素求和
    print np.sum(rannum)
     
    # (3) numpy axis
    print np.sum(rannum,axis = 0) # 列
    print np.sum(rannum,axis = 1) # 行
     
    # (4) e的指数
    print np.exp(rannum)
     
    # (5) 求最大下标
    a=[3,1,2,3,545,23,23,243]
    print np.argmax(a)

    转载于:https://www.cnblogs.com/Years4Nancy/p/8492521.html

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  • 梯度

    2012-10-06 18:55:33
    这些量之间的运算遵循 一般的代数法则,称做“标量”。如质量、密度、温度、功、能量、路程、速率、体积、时间、热量、电 阻、功率、势能、引力势能、电势能等物理量。无论选取什么坐标系,标量

    导数,就是函数在该点的切线的斜率。所以 导数为零的地方可能是极值也可能是拐点。

    物理参数的梯度,也即该物理参数的变化率


    什么是标量

    亦称“无向量”。有些物理量,只具有数值大小,而没有方向,部分有正负之分。这些量之间的运算遵循

    一般的代数法则,称做“标量”。如质量、密度、温度、功、能量、路程、速率、体积、时间、热量、电

    阻、功率、势能、引力势能、电势能等物理量。无论选取什么坐标系,标量的数值恒保持不变。矢量和标

    量的乘积仍为矢量。矢量和矢量的乘积,可构成新的标量,也可构成新的矢量,构成标量的乘积叫标积;

    构成矢量的乘积叫矢积。如功、功率等的计算是采用两个矢量的标积。W=F·S,P=F·v。力矩、洛仑兹力

    等的计算是采用两个矢量的矢积。M=r×F,F=qvB。


    矢量场
    假设有一个n维空间,并给该空间的每一个点都赋予一个“量”,那么整个n维空间就充满了“量“,该充

    满“量”的n维空间在数学上就叫做“场”。   如果我们给空间的每一个点所赋予的“量”既有大小,

    又有方向,即矢量(vector),那么整个空间就变成充满了矢量,这个场就叫做矢量场。   例如在一个

    湍急的水流中,水中每个点的运动速度都不同,那么整个水流的速度的分布就是一个矢量场(此时是速度

    场)。

    标量场
    标量场就是矢量场的一部分,既然有矢量场,他们的数值不就是标量场么,所以标量场就是矢量场的特殊

    形式。比如你试验扔硬币的正反面的问题,正面是1,反面是0,然后多次试验得出概率,那么0和1这个标

    量场不就得到了应用么?

    我知道矢量场的梯度就是个标量场?

     

     


    标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向,梯度的长度是这个最

    大的变化率
    在单变量的实值函数的情况,梯度只是导数,或者,对于一个线性函数,也就是线的斜率。

    欧氏空间:
    就是欧几里德几何所能形容的空间,此外还有非欧几何


     梯度的汉语词义,用法。
      《现代汉语词典》附:新词新义
      梯度 1.坡度。
       2.单位时间或单位距离内某种现象(如温度、气压、密度、速度等)变化的程度。


     

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  • 为了提高压铸模使用寿命,用有限元方法对涂层...功能梯度材料性能参数采用简单混合物运算法则计算。应用有限元法对有功能梯度材料涂层模具和没有功能梯度材料涂层模具温度场、应力场进行比较分析,并对不同厚度功
  • 梯度回传理解

    千次阅读 2019-04-08 22:22:00
    神经网络每一层可以看做是使用一个函数对变量...反向传播时一种计算链式法则的算法,使用高效特定运算顺序。 设x是实数,f和g是从实数映射到实数函数。假设y=g(x)并且z=f(g(x))=f(y)。那么链式法则是 ...

           神经网络的每一层可以看做是使用一个函数对变量的一次计算。在微分中链式法则用于计算复合函数的导数。反向传播时一种计算链式法则的算法,使用高效的特定运算顺序。

           设x是实数,f和g是从实数映射到实数的函数。假设y=g(x)并且z=f(g(x))=f(y)。那么链式法则说的是

                                                         \frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}

    可以将这种标量情况进行扩展。假设x\inR^m,y\inR^n,g是从R^mR^n的映射,f是从R^n到R的映射。如果y=g(x)并且z=f(y),那么

                                                         \frac{dz}{dx_i}=\sum_j\frac{dz}{dy_i}\frac{dy}{dx_i}  

     使用向量记法,可以等价地写成

                                                        \bigtriangledown_x z = (\frac{\partial y}{\partial x})^T \bigtriangledown_yz

    这里\frac{\partial y}{\partial x}是g的nxm的Jacobian矩阵。

    从这里我们看到,变量x的梯度可以通过Jacobian矩阵\frac{\partial y}{\partial x}和梯度\bigtriangledown_yz乘积来得到。反向传播算法由由图中每一个这样的Jacobian梯度的乘积操作所组成。通常我们将反向传播算法应用于任意维度的张量,而不仅仅是用于向量。从概念上讲,这与使用向量的反向传播完全相同。唯一区别的是如何将数字排成网络以形成张量。可以想象,在运行反向传播之前,将每个张量变平为一个向量,计算一个向量值梯度,然后将该梯度重新构造成一个张量。从这种重新排列的观点上看,反向传播仍然只是将Jacobian乘以梯度。

    为了表示值z关于张量X的梯度,记为\triangledown _X z,就像X是张量一样。X的索引现在有多个坐标------例如,一个3维的张量由3个坐标索引。可以通过使用单个变量i来表示完整的索引元组,从而完全抽象出来。对所有可能的元组i,\triangledown _X z_i给出\frac{\partial z}{\partial X_i}。这与向量中索引的方式完全一致,(\triangledown _x z)_i给出 \frac{\partial z}{\partial X_i}。使用这种记法,可以写出适用于张量的链式法则。如果Y=g(X)并且z=f(Y),那么

                                                                   

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  • 梯度消失和梯度爆炸

    2019-09-14 19:32:52
    神经网络主要训练方法是BP算法,BP算法基础是导数链式法则,也就是多个导数乘积。而sigmoid导数最大为0.25,且大部分数值都被推向两侧饱和区域,这就导致大部分数值经过sigmoid激活函数之后,其导数都非常...

    梯度消失

    神经网络主要的训练方法是BP算法,BP算法的基础是导数的链式法则,也就是多个导数的乘积。而sigmoid的导数最大为0.25,且大部分数值都被推向两侧饱和区域,这就导致大部分数值经过sigmoid激活函数之后,其导数都非常小,多个小于等于0.25的数值相乘,其运算结果很小。且由于数据分布一般不是正态分布,数值偏离中心,所以大部分数值都被推向两侧饱和区域,这就导致大部分数值经过sigmoid激活函数之后,其导数都非常小。随着神经网络层数的加深,梯度后向传播到浅层网络时,基本无法引起参数的扰动,也就是没有将loss的信息传递到浅层网络,这样网络就无法训练学习了

    1)使用其它激活函数,如ReLU等;2)层归一化:BN;3)优化权重初始化方式;4)构建新颖的网络结构,如highway net,而capsule net意图取消BP学习过程,釜底抽薪。

    sigmoid函数的导数:
    在这里插入图片描述

    优化权重初始化方式

    在这里插入图片描述
    因为上述的方法中是由于权值输入 ∣z∣的方差很大导致这一现象的发生,因此应该限制他的方差。具体的方法为使用均值为0标准差为 1nin√ \frac{1}{\sqrt{{n_{in}}}} 的高斯随机分布初始化权重,但是继续用均值为0标准差为1的高斯分布来对偏置进行初始化。这样权值输入 ∣z∣ 的均值仍然是0,根据独立随机变量和的方差是每个独立随机变量方差的和,方差的计算公式如下:
    在这里插入图片描述
    得到具有尖锐峰值的高斯分布:
    在这里插入图片描述

    梯度爆炸

    在深层网络或循环神经网络中,误差梯度可在更新中累积,变成非常大的梯度,然后导致网络权重的大幅更新,并因此使网络变得不稳定。在极端情况下,权重的值变得非常大,以至于溢出,导致 NaN 值。 网络层之间的梯度(值大于 1.0)重复相乘导致的指数级增长会产生梯度爆炸。梯度爆炸会引起网络不稳定,无法从训练数据中学习,而最坏的结果是出现无法再更新的 NaN 权重值。

    在循环神经网络中,梯度爆炸会导致网络不稳定,无法利用训练数据学习,

    训练过程中出现梯度爆炸会伴随一些细微的信号,如:

    模型无法从训练数据中获得更新(如低损失)。
    模型不稳定,导致更新过程中的损失出现显著变化。
    训练过程中,模型损失变成 NaN
    

    如何修复梯度爆炸:

    1. 重新设计网络模型:更少的层数
    2. 使用 ReLU 激活函数
    3. 使用长短期记忆网络
    4. 使用梯度截断
    5. 使用权重正则化
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  • 在深层网络中,一方面由于求导法则,计算越前面层次或者时刻的梯度,会出现很多乘法运算,很容易导致梯度消失和梯度爆炸,另一方面还受到激活函数影响,Sigmoid函数和tanh函数会出现梯度为0 区域,前面也说了...
  • 矩阵运算的概念和代码实现

    千次阅读 2017-08-07 10:45:09
    本文从向量的概念与运算扩展到矩阵运算的概念与代码实现,对机器学习或者是深度学习的入门者提供最基础,也是最实用的...而如果不了解矩阵的运算法则及意义,甚至我们都很难去理解一些如矩阵因子分解法和反向传播算法之
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  • 深度学习(二)梯度推导

    千次阅读 2020-06-23 08:48:27
    利用微分求梯度的方法计算量太大,而误差反向传播算法的出现提高了计算效率,误差反向传播算法主要基于链式法则,主要有以下几条规则。 1.如果是由a + b = y,则反向传播时a b 的梯度相等,且等于y的梯度 2.如果是a ...
  • MLP多层感知机梯度推导与反向传播

    千次阅读 2019-08-05 15:09:24
    图1运算法则: 输入X乘以权重W得到y,再通过激活函数得到输出(O)。在这里,激活函数是sigmoid函数。 E是loss函数值,这里是输出值(output)与真实值(target)欧式距离。 E大小是评价感知器模型好坏指...
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  • BP算法与梯度下降算法

    千次阅读 2018-05-27 22:31:01
    作者:胡逸夫链接:https://www.zhihu.com/question/27239198/answer/89853077来源...简单理解,它的确就是复合函数链式法则,但其在实际运算意义比链式法则要大多。要回答题主这个问题“如何直观解释ba...
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  • 向量的运算根据平行四边形法则和右手螺旋法则,这里就不再赘述了。 Schwarz不等式:(A⋅B)2≤∣A∣2∣B∣2(A\cdot B)^{2}\leq \left | A \right |^{2} \left | B \right |^{2}(A⋅B)2≤∣A∣2∣B∣2 R3R^{3}R3空
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  • 一、问题的引入——格林公式、高斯公式、斯托克斯公式 ...3. 散度与旋度的运算法则 四、积分公式的向量形式 1. 微积分基本公式(定积分、曲线积分) 2. 通量计算 3. 环流量的计算 ...
  • 深度学习中需要矩阵计算

    千次阅读 2020-10-01 21:57:42
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  • 深度学习实践

    2019-03-29 17:30:05
    一些比较基础的知识点,例如卷积层的运算,梯度下降的运算法则等,将不再赘述。本文中不会出现过多的数学解释,全文以实践为目的。 目录 1. 在训练集上效果不佳时,可采取的措施 · 选择合适的损失函数 · m...
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  • 0_1-全连接层、损失函数反向传播

    千次阅读 2018-08-19 16:56:30
    b) 熟悉导数链式法则及常见函数导数 c) 熟悉常见优化方法,梯度下降,随机梯度下降等 d) 熟悉矩阵和向量乘加运算 约定说明 a) 对于一个nnn层神经网络,第iii层表示为li, 1≤i...
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空空如也

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梯度的运算法则