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  • 2.回归方程的显著性检验  t 检验(回归系数的检验)  F 检验(回归方程的检验)  相关系数的显著性检验  样本决定系数  三种检验关系 一、σ2 的估计  因为假设检验以及构造与回归模型有关的区间估计...

    目 录

    1. σ的估计

    2. 回归方程的显著性检验

      t 检验(回归系数的检验)

      F 检验(回归方程的检验)

      相关系数的显著性检验

      样本决定系数

      三种检验的关系

    一、σ2 的估计

      因为假设检验以及构造与回归模型有关的区间估计都需要σ2的估计量,所以先对σ2作估计。

      通过残差平方和(误差平方和)

                   1

     

    (用到,其中

     

      ∵                                2

    ∴                                                        3

    其中 为响应变量观测值的校正平方和。残差平方和有n-2 个自由度,因为两个自由度与得到的估计值相关。

                                             4

    (公式(4)在《线性回归分析导论》附录C.3有证明)

    ∴  σ2的无偏估计量:

                                             5

    为残差均方, 的平方根称为回归标准误差,与响应变量y 具有相同的单位。

    因为σ2取决于残差平方和, 所以任何对模型误差假设的违背或对模型形式的误设都可能严重破坏σ2的估计值的实用性。因为由回归模型残差算得,称σ2的估计值是模型依赖的。

     

    二、回归方程的显著性检验

      目的:检验 是否真正描述了变量 y x 之间的统计规律性

      假设:正态性假设 (方便检验计算)

    1. t 检验

      用t 检验来检验回归系数的显著性。采用的假设如下:

    原假设     H0  β1 = 0   x y 不存在线性关系)

    对立假设  H1  β1 ≠ 0

      回归系数的显著性检验就是要检验自变量 x 对因变量 y 的影响程度是否显著。下面我们分析接受和拒绝原假设的意义。

      (1)接受 H0  β1 = 0  x y 不存在线性关系)

      此时有两种情况,一种是无论 x 取值如何, y 都在一条水平线上下波动,即,如下图1,另一种情况为, x y 之间存在关系,但不是线性关系,如图2

     

     1

     

    2

      (2)拒绝 H0  β1 = 0  x 对解释 y 的方差是有用的

      拒绝原假设也有两种情况,一种是直线模型就是合适的,如图 3,另一种情况为存在 x y 的线性影响,也可通过 x 的高阶多项式得到更好的结果,如图 4

     

    3

     

    4

      接下来对其检验。

    ∵                               6

      ∴ 当H0  β1 = 0 成立时,有:

                             7

       在零附近波动,构造 t 统计量:

                                    8

      若原假设H0  β1 = 0 成立,则 ,计算|t|

    |t| tα/2   拒绝 H0

    |t| tα/2   接受 H0

      2.F 检验(方差分析)

      F检验用于检验回归方程的显著性。

      方差分析法检验回归显著性,方差分析以分割响应变量 y 的总变异性为基础。

    ∵   

    ∴   

    ∵  , 

    ∴  

    ∴                  9

      其中 称为观测值的校正平方和或总称为平方和(SST: sum of squares for total, Lyy),其度量了观测值中总的变异性。刻画 y 的波动程度

      称为模型平方和(或回归平方和),记为SSR(R: regression),,。其刻画由 x 的波动引起的 y 波动的部分

       是残差平方和(误差平方和),记为SSE(E: error), , 。其刻画了未加控制的因素引起 y 波动的部分

    ∴                    10

      下来分析它们的自由度。因为 约束 使丢掉了一个自由度,所以个自由度;因为完全由一个参数确定,所以个自由度;因为估计β0与β1时对离差施加了两个约束,所以有n-2个自由度。

    ∵ 自由度有可加性

    ∴                    11

      因为总平方和反映因变量 y 的波动程度或称不确定性,在建立了 y x 的线性回归后,总平方和SST就分解成回归平方和SSR与残差平方和SSE这两部分,其中SSR是由回归方程确定的,也就是由自变量 x 的波动引起的,SSE是不能用自变量解释的波动,是由 x 之外的未加控制的因素引起的。这样,总平方和SST 中,能够由自变量解释的部分为SSR,不能由自变量解释的部分为SSE,从而,回归平方和SSR越大,回归的效果就越好,可以据此构造F 检验统计量为

                           (12)

      在正态假设下,原假设H0 : β1 = 0 成立时,,当时,拒绝原假设。

      3.相关系数的显著性检验

      因为一元线性回归方程讨论的是变量 x 与变量 y 之间的线性关系,所以变量 x y 之间的相关系数来检验回归方程的显著性。用相关系数来反应 x y 的线性关系的密切程度。

      x y 的简单相关系数(Pearson 相关系数):

                   13

    r的绝对值小于等于1|r| 1

      根据相关系数的检验表,通常当|r| 大于表中α=0.05相应的值时,认为 x y 有显著的线性关系。

      缺点:接近于1的程度与数据组数 n 有关(n 较小时,相关系数的波动较大,|r| 接近于1n 较大时,|r|易偏小,n 较小时,不能仅凭 r 判定 x 与 y 之间有密切的线性关系)

      另外补充一点,Pearson相关系数的适用范围:

      ① 两个变量之间是线性关系,都是连续数据;

      ② 两个变量的总体是正态分布,或接近正态分布;

      ③ 两个变量的观测值是成对的,每对观测值之间相互独立。

      4.样本决定系数

      由公式(10可知,越大,线性回归越好,所以定义样本决定系数r2: 回归平方和与总离差平方和之比。

                            14

    ∵   

    (用到

    ∴                    15

      其中最右边的 r2 表示相关系数的平方。

      决定系数 r2 是一个回归直线与样本观测值拟合优度(Goodness of Fit, 指回归直线对观测值的拟合程度)的相对指标,反映了因变量的波动中能用自变量解释的比例。

      0 ≤  r2  1r2  越接近于 1 ,拟合优度越好。

      那么r2 的值比较小的时候反应了什么情况呢?

      r2 小的可能原因:

      ① 线性回归不成立,y x 是曲线关系,应用曲线回归;

      ② y x 之间符合线性模型,误差项方差σ2大,导致r2 小(n 很大时,线性回归显著)

      在对自变量有重复观测时可以通过检验正确区分以上两种不同情况,或者用残差分析的方法。

    相关系数和样本决定系数:

    相关系数是建立在相关分析的理论基础上,研究两个变量 x y 之间的线性相关关系;样本决定系数是建立在回归分析的理论基础之上,研究非随机变量 x y 的解释程度。样本决定系数除掉了相关系数为0或1(|r|=1 or 0)的情况.

      5.三种检验的关系

      对于一元线性回归来说,回归系数显著性的 t 检验,回归方程显著性的 F 检验,相关系数显著性的 t 检验,这三种检验是等价的。相关系数显著性的 t 检验与回归系数显著性的 t 检验是完全相等的,式(12F统计量则是这两个 t 统计量的平方。对于一元线性回归只需要做一种检验即可,而对于多元线性回归,这三种检验考虑的问题不同,是三种不同的检验,并不等价。

    转载于:https://www.cnblogs.com/datamining-bio/p/9502033.html

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  • 本文主要讨论Python实现一元回归的线性拟合、最小二乘法估计回归参数和显著性检验(t检验和p值). 一元线性回归模型是描述两个变量之间相关关系的最简单的回归模型. 通常人们对所要研究的问题首先要收集与它有关的n...

    本文主要讨论Python实现一元回归的线性拟合、最小二乘法估计回归参数和显著性检验(t检验和p值).

            一元线性回归模型是描述两个变量之间相关关系的最简单的回归模型. 通常人们对所要研究的问题首先要收集与它有关的n组样本数据(x_i,y_i),i=1,2,3...,为了直观的发现样本数据的分布规律,把(x_i,y_i)看成是平面直角坐标系中的点. 描述两个变量之间的线性关系的数学结构通常为:

    y=β_0+β_1*x+e

    其中,β_0+β_1*x是由于x的变化引起y线性变化的部分,e是随机因素引起的部分.

        

    from scipy import stats
    import pandas as pd 
    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    #读取数据并查看数据的前五行,sheetname=n,其中n表示excel中的工作表的索引(即第n+1个工作表)
    df=pd.read_excel(u'文件位置',sheetname=0)
    print(df.head())
    
    
    #计算x,y的平均值
    x=df['x']
    y=df['y']
    #画出x与y的散点图
    plt.scatter(x,y)
    plt.xlabel('x')
    plt.ylabel('y')
    plt.title('the linear regression')
    #线性回归拟合
    x_m=np.mean(x)
    y_m=np.mean(y)
    x1=(x-x_m)
    y1=y-y_m
    x2=sum((x-x_m)**2)
    xy=sum(x1*y1)
    #回归参数的最小二乘估计
    beta1=xy/x2
    beta0=y_m-beta1*x_m
    #输出线性回归方程
    print('y=',beta0,'+',beta1,'*x')
    #画出回归方程的函数图
    a=np.linspace(1000,5000,1000)#b表示在(1000,5000)上生成1000个a值
    b=[beta0+beta1*i for i in a] 
    plt.plot(a,b,'r')
    #方差
    sigma2=sum((y-beta0-beta1*x)**2)/(18)
    #标准差
    sigma=np.sqrt(sigma2)
    #求t值
    t=beta1*np.sqrt(x2)/sigma
    print('t=',t)
    #已知临界值求p值
    p=stats.t.sf(t,18)
    print('p=',p)
    
    #输出检验结果
    if p<0.05:
        print ('the linear regression between x and y is significant')
    else:
    	print('the linear regression between x and y is not significant')
    
    plt.show()

    执行结果:




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  • 似然比检验 - 嵌套模型 变量显著性

    千次阅读 2018-11-21 16:51:00
    由一个入学Program是否真正有用引起,两个线性回归模型似然比检验。两个模型是嵌套的关系。 参考文章1:(思路) http://blog.sina.com.cn/s/blog_6e60da090102uxzo.html 参考文章2:(感觉更加清晰) ...

    由一个入学Program是否真正有用引起的,两个线性回归模型的似然比检验。两个模型是嵌套的关系。
    参考文章1:(思路)
    http://blog.sina.com.cn/s/blog_6e60da090102uxzo.html
    参考文章2:(感觉更加清晰)
    http://blog.sina.com.cn/s/blog_9b332cf40101obtk.html

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  • 相关性和显著性检验学习笔记

    万次阅读 2018-09-07 14:49:51
    相关性分析是指对两个或多个具备相关性变量元素进行分析,从而衡量两个变量因素相关密切程度。相关性元素之间需要存在一定联系或者概率才可以进行相关性分析,...为什么要对相关系数进行显著性检验?  因...

           相关性分析是指对两个或多个具备相关性的变量元素进行分析,从而衡量两个变量因素的相关密切程度。相关性的元素之间需要存在一定的联系或者概率才可以进行相关性分析,反应的线性相关程度的量,比如:流量和收入,收入和顾客、订单等的关系,就具有相关性。

    相关性分为正向相关、负相关、不相关(不存在线性关系、可能存在其他关系)、强相关、弱相关

    为什么要对相关系数进行显著性检验?
           因为相关系数通常是根据样本数据计算出来的。由于样本是随机性的,相关系数是一个随机变量,其取值具有一定的偶然性。两个不相关的变量,其相关系数也可能较高,这在统计上称为虚假相关。要从样本相关系数判断总体中是否也有这样的关系,则需要对相关系数进行统计检验后才能得出结论。

    相关性高对模型结果影响多重共线性、无显著变量,如果是多元线性模型或者逻辑回归的话,会造成变量系数与实际意义矛盾的结果

    只有显著性水平显著时,相关系数才是可信的,相关性检验correlation test是对变量之间是否相关以及相关的程度如何所进行的统计检验。变量之间的相关的程度用相关系数r表征。当r大于给定显著性水平a和一定自由度f下的相关系数临界值T"a、时,表示变量之间在统计上存在相关关系。否则,则不存在相关关系。也就说只看相关系数是说明不了问题的,还得看显著性,而且还是显著性水平显著的时候,就可以说明相关系数论证的点可信的。

    显著性检验(significance test)就是事先对总体(随机变量)的参数或总体分布形式做出一个假设,然后利用样本信息来判断这个假设(备择假设)是否合理,即判断总体的真实情况与原假设是否有显著性差异。或者说,显著性检验要判断样本与我们对总体所做的假设之间的差异是纯属机会变异,还是由我们所做的假设与总体真实情况之间不一致所引起的。 显著性检验是针对我们对总体所做的假设做检验,其原理就是小概率事件实际不可能性原理来接受或否定假设。

    显著性检验即用于实验处理组与对照组或两种不同处理的效应之间是否有差异,以及这种差异是否显著的方法。
    常把一个要检验的假设记作H0,称为原假设(或零假设) (null hypothesis) ,与H0对立的假设记作H1,称为备择假设(alternative hypothesis) 。
    ⑴ 在原假设为真时,决定放弃原假设,称为第一类错误,其出现的概率通常记作α;
    ⑵ 在原假设不真时,决定不放弃原假设,称为第二类错误,其出现的概率通常记作β
    (3)α+β 不一定等于1 [1]  。
    通常只限定犯第一类错误的最大概率α, 不考虑犯第二类错误的概率β。这样的假设 检验又称为显著性检验,概率α称为显著性水平。
    最常用的α值为0.01、0.05、0.10等。一般情况下,根据研究的问题,如果放弃真假设损失大,为减少这类错误,α取值小些 ,反之,α取值大些。

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  • 1、回归方程的显著性检验 (1) 回归平方和与剩余平方和  建立回归方程以后, 回归效果如何呢?因变量与自变量是否确实存在线性关系呢?这是需要进行统计检验才能加以肯定或否定, 为此, 我们要进一步研究因...
  • 散点图相关性与显著性---MATLAB背景1.相关性与显著性检验2.MATLAB函数corrcoef 背景 得到了两个变量一组数据,绘制散点图,似乎很有关系,如下: ...如果只限定犯第一类错误概率,则是显著性检验(significance
  • 0. 皮尔逊相关系数简介 相关系数是衡量两个数据相关关系的指标,两个数据相关在某种程度上可以帮助...皮尔逊相关系数(Pearson correlation coefficient)就是最为常用的用来衡量两个变量线性相关关系的指标,有了...
  • 数据分析——多重共线性检验

    万次阅读 2020-05-03 11:20:35
    在做线性回归的时候,一般分为以下几个步骤: 1、画散点图,简单的查看是否存在线性关系(3D以下) ...上面一篇文章了解了如何利用t检验进行变量的显著性检验,下面着重学习如何进行多重共线性的检验 一、辅助...
  • 多元线性回归检验

    千次阅读 2020-07-13 10:43:33
    F检验是对整体回归方程显著性的检验,即所有变量对被解释变量的显著性检验 F检验其通常是用来分析用了超过一个参数的统计模型,以判断该模型中的全部或一部分参数是否适合用来估计母体。 3.P值 P值...
  • 建立σ关于τ一元线性回归方程,并编写了相应程序解得最佳c、φ值,进一步对回归方程进行检验,最终发现当取显著性水平α≥0.005时,τ与σ之间有线性关系,当取显著性水平α≤0.001,无线性关系,结果表明得到φ,c值都...
  • 多元线性回归模型F检验

    万次阅读 2017-02-13 14:03:08
    F检验 对于多元线性回归模型,在对每个回归系数进行显著性检验之前,应该对回归模型整体做显著性检验。这就是F检验。当检验被解释变量yt与一组解释变量x1, x2 , ... , xk -1是否存在回归关系时,给出零假设...
  • 多元线性回归模型

    2020-03-14 11:56:51
    线性回归模型就属于监督学习里的回归...t检验常能用作检验回归方程中各个参数的显著性,而f检验则能用作检验整个回归关系的显著性。各解释变量联合起来对被解释变量有显著的线性关系,并不意味着每一个解释变量分别...
  • 以项目需求和创新性为评价标准,采用线性回归法对工作流中的设计过程进行预测,对得到的回归方程进行线性回归关系的显著性检验,并给出了预测时间值的置信区间。采用加权分配法对工作流各个节点的执行时间进行估算,...
  • 回归系数显著性检验5.F检验6.德宾沃森统计量** 1.标准误差 指回归直线,即估计值与因变量值间平均平方误差。 SE=∑(y−y^)2n−2SE=\sqrt\frac{\sum(y-\hat y)^2}{n-2}SE=n−2∑(y−y^​)2​​ 2.可决系数 衡量因...
  • 多项式线性回归是一种非线性回归,他研究了两个变量之间多项式关系。在得到自变量N组观测值之后,计算X均值,计算Y均值,解响应方程,进行显著性的检验,包括F检验值和t检验值。
  • 2.1 回归方程的显著性检验(又称相关性检验) ,即不全为0 统计量:(在原假设成立时,) 计算统计量的值,从而得到p值,或者查表与所对应的F统计量阈值进行比较,从而得到拒绝或不能拒绝原假设的结论。 2.2 回归...
  • 多元线性回归分析

    2018-06-27 20:55:33
    1、掌握一元线性回归的经典假设; 2、掌握一元线性回归的最小二乘法参数估计的计算公式、性质和应用...4、掌握解释变量 和被解释变量 之间线性关系检验,回归参数 和 的显著性检验 5、了解利用回归方程进行预测的方法。
  • 且均通过显著性检验,说明这四组数据y与x之间都有显著的线性相关关系。 然而,变量y与x之间是否就有相同的线性相关关系呢? 由上述四组数据散点图(见图2.7)可以看到,变量y与x之间的关系是很不相同。 import ...
  • 回归分析基本步骤

    万次阅读 2017-01-15 22:34:44
    回归方程的显著性检验 回归系数的显著性检验 残差分析 异常值检验 多重共线性检验通过样本数据建立的回归方程一般不能直接立即用于对实际问题的分析和预测,需要进行各种统计检验,主要包括回归方程的拟合优度检验、...
  • 期现市场具有不同趋势时,市场间交叉相关性存在非对称特征,且两市场具有下降趋势时,交叉序列长程相关性更显著;期现市场间交叉相关性传导方向是双向,且两市场对短时间内信息较为敏感、反应较为迅速....
  • 按照文中说法:“由上图种P值显示,这5个变量种,只有X5 与其他4个自变量之间的关系显著,而其他4个自变量两辆之间均显著相关” 继而得出结论:“多元线性回归种可能存在多重多重共线性情形 而书中接...
  • 掌握回归分析原理以及程序实现,需要我们首先了解一元、多元甚至非线性的回归方程,然后进行回归显著性检验。 1.一元、多元以及非线性回归 一元线性回归方程: 多元线性回归方程: 非线性回归方...
  • 多重共线性是指线性回归模型中解释变量之间由于存在精确相关关系或高度相关关系而使模型... 显著性检验失败 模型无应用价值 多重共线性的诊断 直观判断法: 增加或者剔除一个自变量,或者是改变一个观测值,回...
  • 探讨不同职业中年人社会支持与总体幸福感之间的关系以及社会支持能否预测总体幸福感。...总体幸福感与社会支持三个维度均存在显著性相关;2.相对于中年人而言,社会支持是总体幸福感很好预测指标。
  • 回归系数的显著性检验 线性关系检验与回归系数检验的区别 多元线性回归分析 调整的多重判定系数: 曲线回归分析 多重共线性 多重共线性检验的主要方法: 容忍度: 方差膨胀因子 python 工具包 statsmodel回归分析  ...
  • R语言多元线性回归

    2016-12-15 17:03:17
    3、检验这些指标与目标变量是否线性关系,一般可以plot()检验,如果非线性,尝试做平方或开方等方法使之变成线性; 3、将相关系数较大指标全部作为解释变量做多远线性回归lm(),得到拟合模型lm.fit; 4、对模型...
  • R语言之多元线性回归xt3.11

    千次阅读 2020-10-17 21:34:46
    源代码&... 第3章 多元线性回归 3.11 研究货运总量y(万吨)与工业总产值x1(亿元)、农业总产值x2(亿元)、居民非商品支出x3(亿元)的关系。数据见表3-9。...(5)对每一个回归系数做显著性检验.
  • 显著性检验$$\epsilon$$(误差项)方差$$\sigma^2$$估计t检验python解析5.区间估计置信区间y一个个别值预测区间y个别值预测区间比平均值置信区间大 一切为了数据挖掘准备 1.线性回归 用一个模型概括x...

空空如也

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检验线性关系的显著性