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  • 回溯: 思想:走不通退回走别路 在包含问题所有解空间树中,按照深度优先搜索策略,从根节点出发搜索解空间树。 活结点:自身已生成但其孩子结点没有全部生成结点 扩展结点:指正在产生孩子结点结点,E...

    回溯法:

    • 思想:走不通退回走别的路

    在包含问题的所有解的空间树中,按照深度优先搜索策略,从根节点出发搜索解空间树。

    活结点:自身已生成但其孩子结点没有全部生成的结点
    扩展结点:指正在产生孩子结点的结点,E结点
    死结点:指其所有结点均已产生的节点

    首先根节点成为活结点,同时也成为当前的扩展结点

    在当前的扩展结点处,搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为新的活结点,并成为当前扩展结点。如果在当前扩展结点处不能在向纵深方向移动,则当前扩展结点就成为死结点。此时应往回移动(回溯)至最近的一个活结点处,并使这个结点成为当前可扩展结点。

    回溯法:以这种方式递归地在解空间中搜索,直到找到所有要求的解或解空间中已无活结点为止。

    当从状态si搜索到s i+1后,s i+1变为死结点,则从状态s i+1回退到si,再从si找其他可能路径

    在这里插入图片描述

    若用回溯法求问题的所有解,需要回溯到根节点,且根节点的所有可行子树都已被搜索完才结束。若用回溯法求问题的任一解,只要搜索到问题的一个解就可以结束。

    由于采用回溯法求解时存在退回到祖先结点的过程,所以需要保存搜索过的结点。通常有两种方法,
    其一是用自定义栈保存祖先结点;
    其二是采用递归法,因为递归调用会将祖先结点保存到系统栈中,在递归调用返回时自动回退到祖先结点。

    另外,用回溯法搜索解空间时通常采用两种策略避免无效搜索,以提高回溯的搜索效率,
    法一:用约束函数在扩展结点处减除不满足约束条件的路径;
    法二:用限界函数减去得不到的问题解或最优解的路径

    上述两种方法统称剪枝函数。

    • 回溯法解题步骤:

    1.针对对给定的问题的解空间树,问题的解空间树应至少包含问题的一个解或者最优解。

    2.确定结点的扩展搜索规则

    3.以深度优先方式搜索解空间树,并在搜索过程中可以采用剪枝函数来避免无效搜索。其中,深度优先方式可以选择递归回溯或者迭代(非递归)回溯。

    回溯法的算法框架及其应用

    设问题的解是一个n维向量(x1,x2,…,xn),约束条件是Xi满足某种条件,记为constraint(Xi);限界函数是Xi应满足某种条件,记为bound(Xi),回溯法的算法通常分为非递归回溯框架和递归回溯框架

    • 1.非递归回溯框架

    i:对应解空间的第i层的某个结点

    int x[n];    //x存放解向量,全局变量 
    void backtrack(int n){  //非递归框架 
    	int i=1;           //根节点层次为1 
    	while(i>=1)        //尚未回溯到头 
    	{                  
    		if(ExistSubnode(t))  //当前结点存在子节点 
    		{
    			for(j=下界;j<=上界;j++){  //对于子集数,j从0到1循环 
    				x[i]取一个可能的值;
    				if(constraint(i)&&bound(i))  //x[i]满足约束条件或界限函数 
    				{
    					if(x是一个可行解)
    					输出x;
    					else
    					i++;   //进入下一层次 
    				 } 
    			}
    		}
    		else   //不存在子结点,返回上一层,即回溯 
    		i--;
    	}
    }
    

    • 2.递归回溯框架

    回溯法是对解空间的深度优先搜索,因为递归算法中的形参具有自动回退(回溯)的能力,所有许多回溯设计的算法都设计成递归算法,比同样的非递归算法设计起来更加简便。

    其中,i为搜索的层次(深度),通常从0或1开始,分两种情况:

    (1)解空间为子集树

    一般地,解空间为子集树的递归回溯框架如下:

    int x[n];    //x存放解向量,全局变量 
    void backtrack(int n){  //求解子集树递归框架 
      if(i>n)
        输出结果;
    	else
    	{
    		for(j=下界;j<=上界;j++)  //用j枚举i的所有可能路径
    		{
    			x[i]=j;      //产生一个可能的解分量 
    			...          //其他操作 
    			if(constraint(i)&&bound(i))
    			  backtrack(i+1);   //满足约束条件和限界函数,继续一下层 
    		 } 
    	   }
    	 } 
    	
    

    采用上述算法框架需注意以下几点:

    (1)i从1开始调用上述回溯算法框架,此时根结点为第1层,叶子结点为第n+1层,当然i也可以从0开始,这样根结点为第0层,叶子结点为第n层,所以需要将上述代码中的

    if(i>n)
    改为
    if(i>=n)
    

    (2)在上述框架中通过for循环使用j枚举i的所有可能路径,如果扩展路径只有两条,可以改为两次递归调用(例:求解0/1背包问题、子集和问题等)

    (3)这里回溯框架只有 i 这 一个参数,在实际应用中可以根据情况设置多个参数。

    例:在一个含有n个整数的数组a,所有元素均不相同,设计一个算法求其所有子集(幂集)
    例如:a[ ]={1,2,3},所有子集是{},{1},{2},{1,2},{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}

    思路:采用回溯法

    问题的解空间为子集树,每个元素只有两种扩展,要么选择,要么不选。

    采用深度优先搜索思路,解向量为x[ ],x[i]=0表示不选择a[i]。用i扫描数组a,也就是说问题初始状态是(i=0,x的元素均为0),目标状态是(i=n,x为一个解)。从状态(i,x)可以扩展出两个状态。

    (1)不选择a[i]元素——>下一个状态为(i+1,x[i]=0)
    (2)选择a[i]元素——>下一个状态为(i+1,x[i]=i)

    这里i总是递增的,所以不会出现状态重复的情况。

    法一:标准解向量代码:

    #include<stdio.h>
    #include<string.h>
    #define MAXN 100
    
    void dispsolution(int a[],int n,int x[])   //输出一个解
    {
    	printf(" { ");
    	for(int i=0;i<n;i++)
    	if(x[i]==1)
    	printf(" %d",a[i]);
    	printf("}");
     } 
     void dfs(int a[],int n,int i,int x[])  //用回溯法求解解向量x
     {
     	if(i>=n)
     	dispsolution(a,n,x);
     	else
     	{
     		x[i]=0;
    		dfs(a,n,i+1,x);    //不选择a[i]
    		x[i]=1;
    		dfs(a,n,i+1,x);    //选择a[i] 
    	 }
      } 
      void main(){
      	int a[]={1,2,3};  //s[0 ... n-1]为给定的字符串,设置为全局变量
    	  int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]);
    	  int x[MAXN];       //解向量 
    	  memset(x,0,sizeof(x));   //解向量初始化 
    	  printf("求解结果\n");
    	  dfs(a,n,0,x);
    	  printf("\n");
      }
    

    在这里插入图片描述

    法二:不采用标准解向量,直接求结果

    #include<stdio.h>
    #include<vector>
    using namespace std;
    
    void dispsolution(vector < int > path)   //输出一个解
    {
    	printf("{");
    	for(int i=0;i<path.size();i++)
    	printf(" %d",path[i]);
    	printf("}");
     } 
     void dfs(int a[],int n,int i,vector < int > path)  //用回溯法求子集path
     {
     	if(i>=n)
     	dispsolution(path);
     	else
     	{
     		dfs(a,n,i+1,path);  //不选择a[i] 
     		path.push_back(a[i]);  //选择a[i],将a[i]加入path 
     		dfs(a,n,i+1,path);
    	 }
      } 
      int main(){
      	int a[]={1,2,3};  //s[0 ... n-1]为给定的字符串,设置为全局变量
    	int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]);
    	vector< int > path;
    	 printf("求解结果\n");
    	  dfs(a,n,0,path);
    	  printf("\n");
      }
    

    在这里插入图片描述

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  • 回溯法的算法框架

    2020-06-14 22:27:10
    通过应用范例学习回溯法的设计策略 回溯法也叫试探法,他是一种利用试探法或者回溯(Backtracking)的搜索技术求解的方法。 回溯法在问题的解空间中使用一种可以避免不必要搜索的穷举式搜索发,可以系统的搜索问题的...

    理解回溯法的深度优先搜索策略
    掌握用回溯法接替的算法框架
    通过应用范例学习回溯法的设计策略

    回溯法也叫试探法,他是一种利用试探法或者回溯(Backtracking)的搜索技术求解的方法。

    回溯法在问题的解空间中使用一种可以避免不必要搜索的穷举式搜索发,可以系统的搜索问题的所有解或者任意解。

    回溯法在问题的解空间树中,按深度优先策略,或者先序遍历根-左-右,从根节点出发搜索解空间树。

    注意:这颗解空间树不是遍历前预先建立好的,而是隐含在便利过程中。

    问题的解空间:对于问题的一个实例,满足约束条件(考虑左分支)的所有多元组(解向量),构成了该实例的一个解空间。

    从开始节点(根节点)

    先写到这…

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  • 系列文章解读&说明: 本系列文章主要内容是 思维导图 基础课,旨在帮助更多 热爱...框架分析:针对大部分文章,可以了解文章的框架 和 部分重要细节,同时便于回忆和复盘。 背诵记忆:一般针对古诗词和古文,...

    系列文章解读&说明:

    本系列文章主要内容是 思维导图 基础课,旨在帮助更多 热爱学习的伙伴 更具体的了解思维导图,同时也会让 更多的伙伴从 思维导图 认知 误区中走出。

    系列文章总纲链接为:专题总纲目录(01)学习能力 总纲 目录


    文章的分析 主要有以下2种方式

    1. 框架分析:针对大部分文章,可以了解文章的框架 和 部分重要细节,同时便于回忆和复盘。
    2. 背诵记忆:一般针对古诗词和古文,通过思维导图的方式 绘制完导图 记住古诗词/古文。

    框架分析

    这里以 一篇文章《真理诞生于一百个问号之后》为例,解读下 如何做 文章的框架式阅读(同时后期我们将会有 更多的 专栏文章 解析,即 更多系统性的案例 给大家展示 )。框架分析步骤如下:

    1. 快速浏览,划分框架结构
    2. 提取关键词,并确定逻辑关系(总分 并列 递进 因果)
    3. 在重点、难点、抽象、难理解 地方 匹配相应图像,从而形成 图文并茂的笔记形式

    1 《真理诞生于一百个问号之后》原文(共8段)

    有人说过这样一句话:真理诞生于一百个问号之后。其实,这句话本身就是一个真理。

    纵观千百年来的科学技术发展史,那些定理、定律、学说的发现者、创立者,差不多都很善于从细小的、司空见惯的自然现象中看出问题,不断发问,不断解决疑问,追根求源,最后把“?”拉直变成“!”,找到了真理。

    洗澡是一件非常普通的事情。而美国麻省理工学院机械工程系的谢皮罗教授却敏锐地注意到:每次放掉洗澡水时,水的漩涡总是朝逆时针方向旋转的。这是为什么呢?谢皮罗紧紧抓住这个问号不放,进行了反复的实验和研究。1962年,他发表了论文,认为这种漩涡与地球的自转有关,如果地球停止旋转,就不会产生这种漩涡。他认为,在北半球,洗澡水朝逆时针方向旋转;如果是在南半球,洗澡水的漩涡将朝顺时针方向旋转;而在赤道,则不会形成漩涡。他的这个见解,引起各国科学家的极大兴趣,他们纷纷在各地进行实验,结果证明谢皮罗的结论完全正确。

    无独有偶。17世纪的一个夏天,英国著名化学家波义耳正急匆匆地向自己的实验室走去,刚要跨入实验室大门,阵阵醉人的香味扑鼻而来,他这才发现花圃里的玫瑰花开了。他本想好好欣赏一下迷人的花朵,但想到一天的实验安排,便摘下几朵紫罗兰插入一个盛水的烧瓶中,然后开始和助手们做实验。不巧的是,一个助手不慎把一滴盐酸溅到紫罗兰上,爱花的波义耳急忙把冒烟的紫罗兰用水冲洗了一下,重新插入花瓶中。谁知当水落到花瓣上后,溅上盐酸的花瓣奇迹般地变红了,波义耳立即敏感地意识到紫罗兰中有一种成分遇盐酸会变红。那么,这种物质到底是什么?别的植物会不会有同样的物质?别的酸对这种物质会有什么样的反应?这对化学研究有什么样的意义?这一奇怪的现象以及一连串的问题,促使波义耳进行了许多实验。由此他发现,大部分花草受酸或碱的作用都会改变颜色,其中以石蕊地衣中提取的紫色浸液最明显,它遇酸变成红色,遇碱变成蓝色。利用这一特点,波义耳制成了实验中常用的酸碱试纸--石蕊试纸。在以后的三百多年间,这种试纸一直被广泛应用于化学实验中。

    最有趣的是一位奥地利医生。一次儿子睡觉时,他发现儿子的眼珠忽然转动起来。他感到很奇怪,连忙叫醒儿子,儿子说他刚才做了个梦。这位医生想,眼珠转动会不会与做梦有关呢?会是什么关系呢?他百思不得其解。于是,带着一连串的疑问,他以儿子、妻子、邻居为实验对象,进行了反复的观察实验,最后得出结论:当睡觉的人眼珠转动时,他确实正在做梦。如今,人们研究梦的生理学,便根据眼珠转动的次数和时间,来测量人做梦的次数与梦的长短。

    洗澡水的漩涡、紫罗兰的变色、睡觉时眼珠的转动,这些都是很平常的事情。善于“打破砂锅问到底”的人,却从中有所发现,有所发明,有所创造,有所前进。

    在科学史上,这样的事例还有很多,它说明科学并不神秘,真理并不遥远。只要你见微知著,善于发问并不断探索,那么,当你解答了若干个问号之后,就能发现真理。

    当然,见微知著、善于发问并不断探索的能力,不是凭空产生的。正像数学家华罗庚说过的,科学的灵感,决不是坐等可以等来的。如果说,科学领域的发现有什么偶然的机遇的话,那么这种“偶然的机遇”只能给那些有准备的人,给那些善于独立思考的人,给那些具有锲而不舍精神的人。


    2 对应文章的思维导图 绘制过程 如下:

    @1 绘制 中心主题

    “真理”用“显微镜”来表示,“诞生”用“打碎的蛋壳”代替,“?x 100”表示“100个问号之后”,绘制后如下:

    分析 文章结构后 知道 文章体裁 是 议论文,1-2 是 第一部分,3-6是第二部分,7-8是第三部分(上面文章为了方便看出段落,采用了不同颜色的分类方式),勾出每部分的核心关键词。

    @2 接下来绘制文章的第一部分,用“论点”一词概括,真理用一根“!”代替,“?”是问题,绘图如下:

    @3 接下来绘制文章的第二部分,用“举例”一词概括,分析一个实例,这里用 五何公式( 时间 地点 人物 事件,这里去除了 起因),同时 第二部分一共有三个例子,分别是:洗澡水的漩涡,紫罗兰变色,眼珠转动。绘图如下:

    @4 接下来绘制文章的第三部分,用“总结”来概括,“大破砂锅问到底”因为 不便于拆分,因此用图像来说明,绘图如下:

    @5 在重点地方添加图像,比如“论点”用“话筒”表示,“举例”用 手指123表示,“总结”用“本和笔”来表示,绘图如下:

    这样,一张完整的框架型 思维导图就画好了。


    3 对比思维导图笔记 和 文章,我们会发现

    • 信息负荷 降低了大概10倍,原文1315字,导图 126字
    • 分类结构 更加容易理解,吸收和记忆
    • 图像让大脑更轻松,容易记住 重点内容

    而这也正是 为什么这么多人都喜欢用思维导图的原因。


     

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    框架的一般结构

    • 一个框架由若干个被称为“槽”(slot)的结构组成,每一个槽又可根据实际情况划分为若干个“侧面”(faced)。
    • 一个槽用于描述所论对象某一方面的属性。一个侧面用于描述相应属性的一个方面。
    • 槽和侧面所具有的属性值分别被称为槽值和侧面值。

    框架表示法的应用

    (1)单一知识的框架表示

    (2)复合知识的框架表示


    参考地址:

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