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  • 模型拟合之 幂&指数函数拟合

    千次阅读 2020-12-22 22:36:07
    给定了一组[x,y],让我们去拟合一个指数函数,要如何做? 不卖关子: 设待拟合函数为 y=k∗xay=k*x^{a}y=k∗xa 需要求出kkk和aaa. 思路是两边取对数,将指数函数拟合问题转换成线性函数 变换后: log(y)=log(k...
    • 给定了一组[x,y],让我们去拟合一个幂、指数函数,要如何做?

      设幂函数
      y=xay=x^{a}

      指数函数
      y=axy=a^{x}

      目标是求出参数aa.

    • 思路是两边取对数,将待拟合函数转换成线性函数

    幂函数变换后:
    log(y)=alog(x)log(y) = a*log(x)

    指数函数变换后:
    log(y)=xlog(a)log(y) = x*log(a)

    绘制logloglog-log坐标,则得到线性关系。具体的拟合方法可以使用最小二乘,如果数据有噪声,想获得鲁棒估计可以使用RANSACRANSAC

    讨论:
    对于多变量情况,可以利用变换后的数据构造线性方程组,转换成求解Ax=bAx=b的形式

    展开全文
  • 在实践中, 因子负载较低(或测量质量较差)的模型拟合指数要好于因子负载较高的模型。例如,如果两个模型具有相同的错误指定级别,并且因子负载为.9的模型的RMSEA可能高于.2,而因子负载为.4的模型的RMSEA可能...

    原文链接:http://tecdat.cn/?p=10165

    原文出处:拓端数据部落公众号

     

     


     

    在实践中, 因子负载较低(或测量质量较差)的模型的拟合指数要好于因子负载较高的模型。例如,如果两个模型具有相同的错误指定级别,并且因子负载为.9的模型的RMSEA可能高于.2,而因子负载为.4的模型的RMSEA可能小于.05。本文包含一些图表,可以非常清楚地传达这些结果。

     

    AFIs 是拟合指数的近似优度,其中包括RMSEA和SRMR等绝对拟合指数,以及CFI等相对拟合指数。

    使用全局拟合指数的替代方法

    MAH编写的拟合指数是全局拟合指数(以下称为GFI),它们检测所有类型的模型规格不正确。但是,正如MAH指出的那样,并非所有模型规格不正确都是有问题的。考虑顺序效应,两个项目可能具有独立于其共享因子的相关误差,这仅仅是因为一个项目跟随另一个项目(序列相关)。CFA(缺省值)中不存在此相关误差将对任何全局拟合指数产生负面影响。此外,全局拟合指数不会告诉你模型错误规格是什么。

     SSV提出了一种调查模型规格不正确的方法,该方法涉及使用修改指数(MI),预期参数变化(EPC),理论和功率分析。EPC是约束关系如果可以由模型自由估计的值,则约束关系将从零变化。我相信研究人员熟悉MI,并经常使用它们来修复模型错误规格,以期获得其审稿人可以接受的GFI。MI和EPC之间的关系是:

    M I = (E P C / σ )2MI=(EPC/σ)2

    σσ

    SSV建议使用以下框架:

    • (δ )(δ)
      • 对于因子载荷,绝对值> .4
      • 对于相关误差,绝对值> .1
    • n c p = (δ / σ )2ncp=(δ/σ)2
    • Ñ Ç pncpχ 2χ2δδ

     

     

     遵循以下决策规则:

    决策规则

     所有这些 在R中实现。 

    library(lavaan)
    

    为此,我假设 数据 9个问题,受访者依次回答了x1至x9。

    data("HolzingerSwineford1939")
    # model syntax for HolzingerSwineford1939 dataset
    (syntax <- paste(
      paste("f1 =~", paste0("x", 1:3, collapse = " + ")),
      paste("f2 =~", paste0("x", 4:6, collapse = " + ")),
      paste("f3 =~", paste0("x", 7:9, collapse = " + ")),
      sep = "\n"))
    
    [1] "f1 =~ x1 + x2 + x3\nf2 =~ x4 + x5 + x6\nf3 =~ x7 + x8 + x9"
    

    运行模型,标准化潜在变量,并报告标准化结果:

    
    
    lavaan (0.5-23.1097) converged normally after  22 iterations
    
      Number of observations                           301
    
      Estimator                                         ML
      Minimum Function Test Statistic               85.306
      Degrees of freedom                                24
      P-value (Chi-square)                           0.000
    
    Parameter Estimates:
    
      Information                                 Expected
      Standard Errors                             Standard
    
    Latent Variables:
                       Estimate  Std.Err  z-value  P(>|z|)   Std.lv  Std.all
      f1 =~                                                                 
        x1                0.900    0.081   11.127    0.000    0.900    0.772
        x2                0.498    0.077    6.429    0.000    0.498    0.424
        x3                0.656    0.074    8.817    0.000    0.656    0.581
      f2 =~                                                                 
        x4                0.990    0.057   17.474    0.000    0.990    0.852
        x5                1.102    0.063   17.576    0.000    1.102    0.855
        x6                0.917    0.054   17.082    0.000    0.917    0.838
      f3 =~                                                                 
        x7                0.619    0.070    8.903    0.000    0.619    0.570
        x8                0.731    0.066   11.090    0.000    0.731    0.723
        x9                0.670    0.065   10.305    0.000    0.670    0.665
    
    Covariances:
                       Estimate  Std.Err  z-value  P(>|z|)   Std.lv  Std.all
      f1 ~~                                                                 
        f2                0.459    0.064    7.189    0.000    0.459    0.459
        f3                0.471    0.073    6.461    0.000    0.471    0.471
      f2 ~~                                                                 
        f3                0.283    0.069    4.117    0.000    0.283    0.283
    
    Variances:
                       Estimate  Std.Err  z-value  P(>|z|)   Std.lv  Std.all
       .x1                0.549    0.114    4.833    0.000    0.549    0.404
       .x2                1.134    0.102   11.146    0.000    1.134    0.821
       .x3                0.844    0.091    9.317    0.000    0.844    0.662
       .x4                0.371    0.048    7.778    0.000    0.371    0.275
       .x5                0.446    0.058    7.642    0.000    0.446    0.269
       .x6                0.356    0.043    8.277    0.000    0.356    0.298
       .x7                0.799    0.081    9.823    0.000    0.799    0.676
       .x8                0.488    0.074    6.573    0.000    0.488    0.477
       .x9                0.566    0.071    8.003    0.000    0.566    0.558
        f1                1.000                               1.000    1.000
        f2                1.000                               1.000    1.000
        f3                1.000                               1.000    1.000
    

    卡方统计意义重大

    请求修改索引。从高到低对它们进行排序。通过请求power = TRUE并设置增量来应用SSV方法。delta = .4,因子加载的标准意味着如果模型中缺少因子加载并且因子加载大于.4。默认情况下,delta = .1。根据SSV的建议,这足以解决相关错误。因此,我仅使用选择相关错误作为输出。

    
    
    lhs op rhs        mi    epc sepc.all delta   ncp power decision
    30  f1 =~  x9 36.411  0.519    0.515   0.1 1.351 0.213  **(m)**
    76  x7 ~~  x8 34.145  0.536    0.488   0.1 1.187 0.193  **(m)**
    28  f1 =~  x7 18.631 -0.380   -0.349   0.1 1.294 0.206  **(m)**
    78  x8 ~~  x9 14.946 -0.423   -0.415   0.1 0.835 0.150  **(m)**
    33  f2 =~  x3  9.151 -0.269   -0.238   0.1 1.266 0.203  **(m)**
    55  x2 ~~  x7  8.918 -0.183   -0.143   0.1 2.671 0.373  **(m)**
    31  f2 =~  x1  8.903  0.347    0.297   0.1 0.741 0.138  **(m)**
    51  x2 ~~  x3  8.532  0.218    0.164   0.1 1.791 0.268  **(m)**
    59  x3 ~~  x5  7.858 -0.130   -0.089   0.1 4.643 0.577  **(m)**
    26  f1 =~  x5  7.441 -0.189   -0.147   0.1 2.087 0.303  **(m)**
    50  x1 ~~  x9  7.335  0.138    0.117   0.1 3.858 0.502  **(m)**
    65  x4 ~~  x6  6.221 -0.235   -0.185   0.1 1.128 0.186  **(m)**
    66  x4 ~~  x7  5.920  0.098    0.078   0.1 6.141 0.698  **(m)**
    48  x1 ~~  x7  5.420 -0.129   -0.102   0.1 3.251 0.438  **(m)**
    77  x7 ~~  x9  5.183 -0.187   -0.170   0.1 1.487 0.230  **(m)**
    36  f2 =~  x9  4.796  0.137    0.136   0.1 2.557 0.359  **(m)**
    29  f1 =~  x8  4.295 -0.189   -0.187   0.1 1.199 0.195  **(m)**
    63  x3 ~~  x9  4.126  0.102    0.089   0.1 3.993 0.515  **(m)**
    67  x4 ~~  x8  3.805 -0.069   -0.059   0.1 7.975 0.806     (nm)
    43  x1 ~~  x2  3.606 -0.184   -0.134   0.1 1.068 0.178      (i)
    45  x1 ~~  x4  3.554  0.078    0.058   0.1 5.797 0.673      (i)
    35  f2 =~  x8  3.359 -0.120   -0.118   0.1 2.351 0.335      (i)
    

    检查决策列。x7和x8被称为错误指定,因为功效低至.193,但MI具有统计学意义。

    但是,考虑x2和x7(lhs 55),. 373的低功率,MI很大。是否有一些理论将这两个项目联系在一起?我可以解释建议的相关性吗?

    考虑x4和x8(lhs 67),高功率为.806,但MI在统计上不显着,因此我们可以得出结论,没有错误指定。

    考虑x1和x4(lhs 45),. 673的低功率,并且MI在统计上不显着,因此这没有定论。

    现在,对于因子加载:

    
    lhs op rhs        mi    epc sepc.all delta    ncp power decision
    30  f1 =~  x9 36.411  0.519    0.515   0.4 21.620 0.996  *epc:m*
    28  f1 =~  x7 18.631 -0.380   -0.349   0.4 20.696 0.995   epc:nm
    33  f2 =~  x3  9.151 -0.269   -0.238   0.4 20.258 0.994   epc:nm
    31  f2 =~  x1  8.903  0.347    0.297   0.4 11.849 0.931   epc:nm
    26  f1 =~  x5  7.441 -0.189   -0.147   0.4 33.388 1.000   epc:nm
    36  f2 =~  x9  4.796  0.137    0.136   0.4 40.904 1.000   epc:nm
    29  f1 =~  x8  4.295 -0.189   -0.187   0.4 19.178 0.992   epc:nm
    35  f2 =~  x8  3.359 -0.120   -0.118   0.4 37.614 1.000     (nm)
    27  f1 =~  x6  2.843  0.100    0.092   0.4 45.280 1.000     (nm)
    38  f3 =~  x2  1.580 -0.123   -0.105   0.4 16.747 0.984     (nm)
    25  f1 =~  x4  1.211  0.069    0.059   0.4 40.867 1.000     (nm)
    39  f3 =~  x3  0.716  0.084    0.075   0.4 16.148 0.980     (nm)
    42  f3 =~  x6  0.273  0.027    0.025   0.4 58.464 1.000     (nm)
    41  f3 =~  x5  0.201 -0.027   -0.021   0.4 43.345 1.000     (nm)
    34  f2 =~  x7  0.098 -0.021   -0.019   0.4 36.318 1.000     (nm)
    32  f2 =~  x2  0.017 -0.011   -0.010   0.4 21.870 0.997     (nm)
    37  f3 =~  x1  0.014  0.015    0.013   0.4  9.700 0.876     (nm)
    40  f3 =~  x4  0.003 -0.003   -0.003   0.4 52.995 1.000     (nm)
    

    参见第一行,建议我在f1上加载x9。功效高,MI显着且EPC高于.4,表明这是我们应该注意的某种类型不当。

    但是,下一行建议我在f1上加载x7。功效高,MI显着,但EPC为0.38,小于.4,这表明我们认为这种错误指定的程度不足以保证需要修改模型。决定epc:nm的许多建议修改也是如此。

    然后是最后一个具有较高功效的组,但MI并没有统计学意义,因此我们可以得出结论,没有错误指定。

    SSV使用75%,这是lavaan的默认设置,但可以灵活使用。


    请注意,一次只能对模型进行一次更改。EPC和MI在假设其他参数大致正确的情况下计算得出,因此,执行上述步骤的方法是进行一次更改。

    我相信这是SSV建议的方法,遵循这种方法将使人们在使用MI时考虑该模型,同时考虑统计能力以检测错误指定。可以解决所有非不确定性的关系(使用理论,修改等),并留下一个模型。


    PS:潜在变量建模的另一种方法是PLS路径建模。这是一种基于OLS回归的SEM方法。


    1. McNeish,D.,An,J.,&Hancock,GR(2017)。潜在变量模型中测量质量和拟合指数截止之间的棘手关系。“人格评估杂志”https://doi.org/10.1080/00223891.2017.1281286 
    2. Saris,WE,Satorra,A.,&van der Veld,WM(2009)。测试结构方程模型还是检测错误规格?结构方程模型:多学科期刊,16(4),561–582。https://doi.org/10.1080/10705510903203433 
    展开全文
  • 用玻耳兹曼模型拟合13根薄壁筒桩的桩顶荷载-桩顶沉降曲线的效果很好,相关系数都达到0.980 6以上,平均0.992 6;对桩顶沉降已超过30 mm的8根桩,Q30计算值与实测值误差百分比的绝对值在0.110 0%~8.440 0%,平均值为2.897 ...
  • 画此图的目的是除了ks和auc指数,结合建模样本和OOT样本的psi,利用分数分布图进行比较,判断模型拟合程度。 psi计算 def multi_psi_for_continue_var(expected_frame, actual_frame, bins=10, bucket_type='bins', ...

    建模样本分数分布matplotlib,结合psi判断模型拟合程度

    画此图的目的是除了ks和auc指数,结合建模样本和OOT样本的psi,利用分数分布图进行比较,判断模型拟合程度。

    在这里插入图片描述

    psi计算

    def multi_psi_for_continue_var(expected_frame, actual_frame, bins=10, bucket_type='bins', detail=False,
                                   save_file_path=None):
        col_list = expected_frame.columns.tolist()
        if detail == True:
            psi_value = []
            for i in col_list:
                expected_array = expected_frame[i]
                actual_array = actual_frame[i]
                _psi = psi_for_continue_var(expected_array, actual_array, bins=bins, bucket_type=bucket_type, detail=detail,
                                            save_file_path=save_file_path)
                if not isinstance(_psi, int):
                    _psi['col_name'] = str(i)
                    print(i)
                    psi_value.append(_psi)
                else:
                    print(i)
            psi_all = pd.concat(psi_value, sort=False)
        elif detail == False:
            psi_value = {}
            for i in col_list:
                expected_array = expected_frame[i]
                actual_array = actual_frame[i]
                _psi = psi_for_continue_var(expected_array, actual_array, bins=bins, bucket_type=bucket_type, detail=detail,
                                            save_file_path=save_file_path)
                psi_value[i] = _psi
            psi_all = pd.DataFrame(psi_value, sort=False)
        return psi_all
    

    分数分布图

    def score_distribution_plot(data,title,label=None,perc=False):
        
        '''
        ----------------------------------------------------------------------
        功能: 画出单个项目分数分布图
        ----------------------------------------------------------------------
        :param data: numpy array of score by model,模型分数
        :param title: str of title,图标题
        :param perc: bool,取值为True时分数为百分制,False时为1分制
        ----------------------------------------------------------------------
        
        '''
        import pandas as pd
        import numpy as np
        from matplotlib import pyplot as plt
        import matplotlib
        
        def score(x):
            if x >=0 and x<10:
                return '[0-10)'
            elif x>=10 and x<20:
                return '[10-20)'
            elif x>=20 and x<30:
                return '[20-30)'
            elif x>=30 and x<40:
                return '[30-40)'
            elif x>=40 and x<50:
                return '[40-50)'
            elif x>=50 and x<60:
                return '[50-60)'
            elif x>=60 and x<70:
                return '[60-70)'
            elif x>=70 and x<80:
                return '[70-80)'
            elif x>=80 and x<90:
                return '[80-90)'
            elif x>=90 and x<100:
                return '[90-100]'
        
        x_laybel = ['[0-10)','[10-20)','[20-30)','[30-40)','[40-50)','[50-60)','[60-70)','[70-80)','[80-90)','[90-100]']
        data = pd.DataFrame(data)
        
        #判断分数是否为*100形式,默认否
        if perc == False:
            data = data*100
        dt1 = []
        for i in data.index.values.tolist():
            dt1.append(score(data.iloc[i][0]))
        dt1 = pd.DataFrame(dt1)
        dt2 = pd.DataFrame(columns=['[0-10)','[10-20)','[20-30)','[30-40)','[40-50)','[50-60)','[60-70)','[70-80)','[80-90)','[90-100]'],data=[[np.sum(dt1[0].values=='[0-10)'),np.sum(dt1[0].values=='[10-20)'),np.sum(dt1[0].values=='[20-30)'),np.sum(dt1[0].values=='[30-40)'),np.sum(dt1[0].values=='[40-50)'),np.sum(dt1[0].values=='[50-60)'),np.sum(dt1[0].values=='[60-70)'),np.sum(dt1[0].values=='[70-80)'),np.sum(dt1[0].values=='[80-90)'),np.sum(dt1[0].values=='[90-100)')]])
        #计算各分段占比
        dt3 = pd.DataFrame(dt2.apply(lambda x:x*100/len(dt1)))
    
        plt.figure(figsize=(10,8))#设置画布的尺寸
        plt.title(title,fontsize=20)#标题,并设定字号大小
        plt.xlabel(u'score',fontsize=14)#设置x轴,并设定字号大小
        plt.ylabel(u'%',fontsize=14)#设置y轴,并设定字号大小
     
        width_val = 0.7 #若显示 n 个柱状图,则width_val的值需小于1/n ,否则柱形图会有重合
     
        #alpha:透明度;width:柱子的宽度;facecolor:柱子填充色;edgecolor:柱子轮廓色;lw:柱子轮廓的宽度;label:图例;
        plt.bar(dt3.columns.values,dt3.iloc[0,:], alpha=1,width = width_val,  facecolor = 'blue', edgecolor = 'blue', lw=0.5, label=label)
        
        #标注数据
        for x,y in enumerate(dt3.loc[0,:]):
            plt.text(x, y+0.5, '%s' %round(y,1), ha='center')
     
        plt.legend(loc=2)#图例展示位置,数字代表第几象限
    
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  • (1)summary(lm(z~exp(b*x+a))) # z与x之间存在指数关系,且截距不为0 (2)summary(lm(z~-1+exp(b*x+a))) # z与x之间存在指数关系,且截距为0 (3)summary(lm(log(z)~x)) #对数化后的log(z)与x存在线性关系,...

    假设y=b*exp(a*x)的关系,比如N2O排放与土壤温度之间的关系:

    (1)summary(lm(z~exp(b*x+a)))   # z与x之间存在指数关系,且截距不为0

    (2)summary(lm(z~-1+exp(b*x+a)))   # z与x之间存在指数关系,且截距为0

    (3)summary(lm(log(z)~x))  #对数化后的log(z)与x存在线性关系,截距不为0

    虽然都表示指数关系,t检验和F检验都通过,但是三者的R2不相同,因为:

    (1)和(3)式看起来都表示了y=b*exp(a*x),但是这两式的截距的含义不相同,(1)式是再exp()之外的截距,而(3)式是exp()里面的截距;

    (2)和(3)式看起来相似,但是在实际观测数据中,-1+exp(b*x+a)的截距为0(不符合咱们的观测实际排放),并不等于(3)式的截距exp(a)

    综上,(1)(2)(3)皆不表示同函数公式并不全等!!!  (3)式的拟合关系比较好。

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    千次阅读 2019-08-22 17:09:58
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