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    运动模型

      考虑一个包含NN个智能体的群体,其中每个节点的运动方程均形同,如下:
    {q˙i(t)=pi(t)p˙i(t)=ui(t)\left\{ \begin{matrix} {{{\dot{q}}}_{i}}(t)={{p}_{i}}(t) \\ {{{\dot{p}}}_{i}}(t)={{u}_{i}}(t) \\ \end{matrix} \right.
    其中i=1,2,,Ni=1,2,\cdots ,Npi(t)p_i(t)qi(t)q_i(t)分别代表节点ii在时间时tt的速度和位置,uiu_i代表该节点的控制输入向量。

    输入向量

      移动节点的输入控制量为:
    ui=jNiϕ(qjqiσ)nij+jNi(pjpi)aij+β1(qkqi)+β2(pkpi)(1){{u}_{i}}=\sum\limits_{j\in {{N}_{i}}}{\phi ({{\left\| {{q}_{j}}-{{q}_{i}} \right\|}_{\sigma }}){{n}_{ij}}}+\sum\limits_{j\in {{N}_{i}}}{({{p}_{j}}-{{p}_{i}}){{a}_{ij}}}+{{\beta }_{1}}({{q}_{k}}-{{q}_{i}})+{{\beta }_{2}}({{p}_{k}}-{{p}_{i}}) \text {(1)}
    其中σ{{\left\| \cdot \right\|}_{\sigma }}是一种新的范数,其定义如下:
    zσ=[1+εz21]/ε{{\left\| z \right\|}_{\sigma }}=\left[ \sqrt{1+\varepsilon {{\left\| z \right\|}^{2}}}-1 \right]/\varepsilon
    其倒数σε(z)=zσ{{\sigma }_{\varepsilon }}(z)=\nabla {{\left\| z \right\|}_{\sigma }}可以表示为:
    σε(z)=z1+εz2=z1+εzσ{{\sigma }_{\varepsilon }}(z)=\frac{z}{\sqrt{1+\varepsilon {{\left\| z \right\|}^{2}}}}=\frac{z}{1+\varepsilon {{\left\| z \right\|}_{\sigma }}}
    aij{{a}_{ij}}是空间邻接矩阵A(q)A(q)中的元素aij{{a}_{ij}},其可以表示为:
    aij(q)=ρh(qjqi/rα)[0,1], ji{{a}_{ij}}(q)={{\rho }_{h}}(\left\| {{q}_{j}}-{{q}_{i}} \right\|/{{r}_{\alpha }})\in \left[ 0,1 \right],\text{ }j\ne i
    其中rα=rσ{{r}_{\alpha }}={{\left\| r \right\|}_{\sigma }}ϕα(z){{\phi }_{\alpha }}(z)是势场函数(a smooth pairwise attractive/repulsive potential),其定义为:
    ϕα(z)=ρh(z/rα)ϕ(zdα)ϕ(z)=12[(a+b)σ1(z+c)+(ab)]\begin{aligned} & {{\phi }_{\alpha }}(z)={{\rho }_{h}}(z/{{r}_{\alpha }})\phi (z-{{d}_{\alpha }}) \\ & \phi (z)=\frac{1}{2}\left[ (a+b){{\sigma }_{1}}(z+c)+(a-b) \right] \\ \end{aligned}
    其中σ1(z)=z/1+z2{{\sigma }_{1}}(z)=z/\sqrt{1+{{z}^{2}}},[\phi (z)]是一个不均匀的s形函数,参数0<ab0<a\le bc=ab/4abc=a-b/\sqrt{4ab},以确保ϕ(0)=0\phi (0)=0nij{{n}_{ij}}表示从qi{{q}_{i}}指向qj{{q}_{j}}的方向向量,其计算方式为:
    nij=(qjqi)/1+εqjqi2{{n}_{ij}}=({{q}_{j}}-{{q}_{i}})/\sqrt{1+\varepsilon {{\left\| {{q}_{j}}-{{q}_{i}} \right\|}^{2}}}

    系统性能证明

    定理1:考虑一个运行在指定区域内包含NN个移动节点的智能群体,移动节点的输入控制量如公式(1.1)所示。假设该区域内只有一个运动速度为pk{{p}_{k}}的目标kk并且系统的初始结构能量满足Q0<(m+1)ψα(0){{Q}_{0}}<(m+1){{\psi }_{\alpha }}(0),其中mZ+m\in {{Z}^{+}}。那么一下三条规则均可以成立:

    1. 每个移动节点ii和目标kk之间的距离都不大于2Qo/β1\sqrt{2{{Q}_{o}}/{{\beta }_{1}}}
    2. 每个节点最终速度都接近目标速度pk{{p}_{k}}
    3. 该群体中最多有mm对智能体可能发生碰撞。

    证明:

    根据Olfati-Saber等人在文章"Flocking for multi-agent dynamic systems: Algorithms and theory"和Su 等人在文章"Flocking of multi-agents with a virtual leader"文中给出的动力学分析,群体控制的输入量可以改写为:
    u=Γ(q)L^(q)p+ft(q,p,q,p)u=-\nabla \Gamma (q)-\hat{L}(q)p+{{f}^{t}}(q,p,q,p)
    这里Γ(q)\Gamma (q)是一个平滑的势函数:
    Γ(q)=12ij,jiψα(qjqiσ)\Gamma (q)=\frac{1}{2}\sum\limits_{i}{\sum\limits_{j,j\ne i}{\nabla {{\psi }_{\alpha }}({{\left\| {{q}_{j}}-{{q}_{i}} \right\|}_{\sigma }})}}
    其中ψα(z)=dαzϕα(s)ds{{\psi }_{\alpha }}(z)=\int_{{{d}_{\alpha }}}^{z}{{{\phi }_{\alpha }}(s)ds}L^(q)\hat{L}(q)是无向图GG的正半定拉普拉斯算子,其定义为:
    L^(q)=L(q)IN=(Δ(A(G))A(G))IN\hat{L}(q)=L(q)\otimes {{I}_{N}}=\left( \Delta \left( A(G) \right)-A(G) \right)\otimes {{I}_{N}}
    其中ft(q,p,q,p){{f}^{t}}(q,p,q,p)是群体中所有节点和目标kk之间的群体导航反馈量。使用哈密顿函数定义节点和目标kk之间的势能函数和动能之和:
    Q(q,p)=i=1N[Ui(q)+Ki(q)]Q(q,p)=\sum\limits_{i=1}^{N}{\left[ {{U}_{i}}(q)+{{K}_{i}}(q) \right]}
    其中
    Ui(q)=12j=1,jiNψα(qjqiσ)+12β1(qkqi)T(qkqi)Ki(q)=12(pkpi)T(pkpi)\begin{aligned} & {{U}_{i}}(q)=\frac{1}{2}\sum\limits_{j=1,j\ne i}^{N}{{{\psi }_{\alpha }}({{\left\| {{q}_{j}}-{{q}_{i}} \right\|}_{\sigma }})}+\frac{1}{2}{{\beta }_{1}}{{({{q}_{k}}-{{q}_{i}})}^{T}}({{q}_{k}}-{{q}_{i}}) \\ & {{K}_{i}}(q)=\frac{1}{2}{{({{p}_{k}}-{{p}_{i}})}^{T}}({{p}_{k}}-{{p}_{i}}) \\ \end{aligned}
    沿着节点到目标kk方向上Q(q,p)Q(q,p)的导数为:
    Q˙(q,p)=pT[(L^(q)+β2I2)IN]p\dot{Q}(q,p)=-{{p}^{T}}\left[ \left( \hat{L}(q)+{{\beta }_{2}}{{I}_{2}} \right)\otimes {{I}_{N}} \right]p
    因为其中L^(q)\hat{L}(q)是一个半正定矩阵,因此有:
    Q˙(q,p)<0,0\dot{Q}(q,p)<0,\forall \ge 0
    由此可知Q(q,p)Q(q,p)函数是一个递减函数,,即Q(q,p)Q0,t0Q(q,p)\le {{Q}_{0}},\forall t\ge 0
    对于追踪目标kk的任意一节点,根据公式(1.10)以及β1>0{{\beta }_{1}}>0可得:
    12β1(qkqi)T(qkqi)Q0\frac{1}{2}{{\beta }_{1}}{{({{q}_{k}}-{{q}_{i}})}^{T}}({{q}_{k}}-{{q}_{i}})\le {{Q}_{0}}
    因此每个节点与目标之间的距离都不大于2Q0/β1\sqrt{2{{Q}_{0}}/{{\beta }_{1}}},即证明了第一条规则。

    根据拉塞尔不变性原理,即当Q˙(q,p)=0\dot{Q}(q,p)=0时,系统中的每个运算解都渐进收敛于最大的速度不变量。对于群体中任意追踪目标kk的节点,基于公式(1.11)后一个公式以及Q˙(q,p)=0\dot{Q}(q,p)=0,则有pipk0{{p}_{i}}-{{p}_{k}}\equiv 0。因此可以得到:
    p1p2pNpk{{p}_{1}}\equiv {{p}_{2}}\equiv \cdots {{p}_{N}}\equiv {{p}_{k}}
    则第二条规则得证。
    假设Q0<(m+1)ψα(0){{Q}_{0}}<(m+1){{\psi }_{\alpha }}(0),并且有超过mm个不同的移动节点在时间t0{t}'\ge 0时发生碰撞。由于在时间t{t}'时,至少有m+1m+1个移动节点对发生碰撞,这表示群体的总势能至少是(m+1)ψα(0)(m+1){{\psi }_{\alpha }}(0)
    根据公式(1.13)且函数Q(q,p)Q(q,p)不是递减函数,则有:
    Q0=Q(q(0),p(0))Q(q(t),p(t))(m+1)ψα(0){{Q}_{0}}=Q\left( q(0),p(0) \right)\ge Q\left( q({t}'),p({t}') \right)\ge (m+1){{\psi }_{\alpha }}(0)
    显然这与Q0<(m+1)ψα(0){{Q}_{0}}<(m+1){{\psi }_{\alpha }}(0)的假设矛盾。因此,在t>0t>0时,该网络中最多有mm个不同的移动节点可能会发生碰撞。尤其是当m=0m=0时,任意两个节点之间都不会发生碰撞。第三条准则得证。

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