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  • 这个应用程序将帮助用户理解椭圆、抛物线曲线。 用户可以更改参数并可视化这些更改如何影响圆锥截面。
  • 椭圆曲线加密算法

    2020-03-11 12:28:16
    ECC 椭圆曲线加解密算法 一、为什么叫椭圆曲线 首先回忆一下直线方程式 y=ax+b ,在坐标...其中,a b 的取值不同,椭圆曲线的形状会有所改变,经典的形状如下图所示: 这时有读者会有疑问了,“上图中不是一个椭...

    ECC 椭圆曲线加解密算法

    一、为什么叫椭圆曲线

    首先回忆一下直线方程式 y=ax+b ,在坐标系中表示一条直线,是一次方程,圆锥曲线可以用二次方程表示。椭圆曲线是用三次方程表示,如下:

    其中,a 和 b 的取值不同,椭圆曲线的形状会有所改变,经典的形状如下图所示:

    这时有读者会有疑问了,“上图中不是一个椭圆的形状啊,为什么叫椭圆曲线啊?”,原因是椭圆曲线的 3 次方程式和椭圆周长公式中的一部分很像,下面是椭圆周长公式:

    可以看出积分公式中分母的平方恰恰就是椭圆曲线的公式。

    椭圆曲线有以下两个特点:

    • 画一条直线跟椭圆曲线相交,它们最多有三个交点;
    • 关于 X 轴对称。

    二、比特币使用的椭圆曲线

    比特币中使用的椭圆曲线是 secp256k1,上文图中的椭圆曲线是连续的,但在像比特币这些实际应用中,都是有限域上定义的离散曲线。

    椭圆曲线三次方程式中参数 a, b,基点 G 的不同,椭圆曲线的加密性能也不一样。一些常用的使用特定参数的椭圆曲线都有特定的标识,现在世界上比较主流的有:

    • 美国国家标准与技术研究院(NIST)和美国国家安全局(NSA)的 secp256r1、secp521r1 等椭圆曲线
    • 中国国家密码局认定的 SM2 国产密码算法。
    • 比特币和以太坊使用的 secp256k1。

    下面来看一下 secp256k1 的所有参数和方程式: y^2 = x^3 + 7 ( a = 0,b = 7)

    选择的基点是:

    可以看出方程式和参数并不复杂,反而简单,那么有读者要问了“这么简单的方程式和参数,那这个加密算法还安全吗?”,这个问题非常好,下面会讲到它的安全性其实并不是由方程式和参数决定的,而是由椭圆曲线上的运算决定的,请继续往下看。

    三、椭圆曲线运算法则

    在椭圆曲线上会定义两种运算,加法和乘法,但是其实它们和通常意义上的加法和乘法不一样的,只是为了方便理解所以这么叫,怎么不一样呢,下面看看具体的定义。

    1. 椭圆曲线加法

    根据上面介绍的椭圆曲线的特性“画一条直线跟椭圆曲线相交,它们最多有三个交点”,可以进行以下定义:

    • 假设椭圆曲线上有 P、Q 两个点,经过这两个点做一条直线和椭圆曲线相交于第三点 R,然后做关于 x 轴的对称点 -R,-R 即是 R 的逆元,根据阿贝尔群的定义,-R 也一定在椭圆曲线上。
    • 定义 P+Q = -R,也就是说椭圆曲线上任意两点的和也在椭圆曲线上,同样可以引申出椭圆曲线上任意三点的和为 0 即 P+Q+R = 0。如图:
    • 假如 P=Q,则作椭圆曲线在 P 点的切线,与曲线相交于 R,则 R = P+P = 2P

    2. 椭圆曲线乘法

    根据上面椭圆曲线的加法可以得出下列等式:

    • P+P = 2P(过点 P 切线作一条直线)
    • P+2P = 3P(过点 P 和 2P 作一条直线)
    • P+3P = 4P(过点 P 和 3P 作一条直线)

    假设 P 是椭圆曲线上的一个点,正整数 K 乘以 P 可以总结成公式为:(k-1) * P + P = k * P

    如果把 k 看作是两个数相乘即 k = m * n,则可以得出满足以下性质(在椭圆曲线密钥交换中会用到):(m * n) * P = m * (n * P) = (n * m)p = n * (m*P)

    四、椭圆曲线的难题

    非对称加密之所以难破解,根本原理就是基于一个数学上的难题,像 RSA 加密就是基于大质数因子分解困难的特性来支撑的,椭圆曲线的难题则是:椭圆曲线上的离散对数问题。

    看过 RSA 加密算法原理那篇文章的读者可能会记得它是基于取模运算,椭圆曲线也是一样的,满足下面公式的曲线,其中 p 是质数,x、y、a、b 都是小于 p 的非负整数:

    y^2 = x^3 + ax + b (mod p) { (4a^3 + 27b^2!)=0 }

    来看一下 y^2 = x^3 - x 这个公式取模后的的图像(p=71):

    可以看出,虽然很散乱,但是仔细看这些点都是关于一条直线对称的,这条直线就是 y=71/2 这条水平直线,并且原来椭圆曲线上定义的加法和乘法都可用。

    假如选择一个点 P(4,8) 为基点,按照椭圆曲线的加法去运算 2P、3P… 这样的话,最后得到一个 k 次加法后的结果 kP(44,44),请问 k 是多少?

    这时看一下上面的散点图,找到 (4,8) 和(44,44)这两个点,很难找出来通过几次椭圆曲线加法转变过去的,更何况这个是在公式中取模的那个质数等于 71 的情况下,如果把这个质数取得很大,难度就更大了,比特币中使用的 Secp256k1 这条曲线中取模的质数 p 等于:

    p = 2^256 - 2^32 - 2^9 - 2^8 - 2^7 - 2^6 - 2^4 - 1

    这样一个数,要逐一算出可能性取匹配几乎是不可能的。

    总结一下椭圆曲线的数学依据:

    K = kG

    • G 为椭圆曲线上的一个点,叫基点;
    • k 为正整数;
    • 如果给定小 k 和 G,通过椭圆曲线加法法则去计算 K 很容易;
    • 如果给定 K 和 G,求小 k 就非常困难。

    一般规定大 K 为公开密钥,小 k 为私钥。

    五、椭圆曲线的加密强度

    这里我们那攻击分组对称加密 AES 算法的难度来做对比,如下表所示:

      AES	RSA  	ECC
      80	1024	163
      112	2240	233
      128	3072	283
    

    这组数据是国际期刊和一些学术论文中公认的结果,具体的实现步骤这里就不介绍,重点是要明白 ECC 的强度高,像 AES-128 位的密码强度和 RSA 的 3072 位密码强度大约相同,同样和 ECC 的 283 位密码强度相同,密码强度其实就是攻击的难度,也就是说攻击 128 位密钥的 AES 的算法的难度和 ECC283 位密钥的难度相当。

    从图表中可以观察到 RSA 的密钥长度增长的很多,ECC 的密钥长度增长并不大,考虑到实际使用过程中的性能和未来能持续的安全行,ECC 是更好的选择。

    六、Go语言使用椭圆曲线签名认证实现

    package main
    import (
        "crypto/ecdsa"
        "crypto/elliptic"
        "crypto/rand"
        "crypto/sha256"
        "math/big"
        "fmt"
    )
    //通过椭圆曲线完成签名和验证
    func main() {
        //声明明文
        message := []byte("hello world")
        //生成私钥
        privateKey, _ := ecdsa.GenerateKey(elliptic.P256(), rand.Reader)
        //生成公钥
        pub := privateKey.PublicKey
        //将明文散列
        digest := sha256.Sum256(message)
        //签名
        r, s, _ := ecdsa.Sign(rand.Reader, privateKey, digest[:])
        //设置私钥的参数类型为曲线类型
        param := privateKey.Curve.Params()
        //获得私钥byte长度
        curveOrderByteSize := param.P.BitLen() / 8
        //获得签名返回值的字节
        rByte, sByte := r.Bytes(), s.Bytes()
        //创建数组
        signature := make([]byte, curveOrderByteSize*2)
        //通过数组保存了签名结果的返回值
        copy(signature[curveOrderByteSize-len(rByte):], rByte)
        copy(signature[curveOrderByteSize*2-len(sByte):], sByte)
        //认证
        //将明文做hash散列,为了验证的内容对比
        digest = sha256.Sum256(message)
        curveOrderByteSize = pub.Curve.Params().P.BitLen() / 8
        //创建两个整形对象
        r, s = new(big.Int), new(big.Int)
        //设置证书值
        r.SetBytes(signature[:curveOrderByteSize])
        s.SetBytes(signature[curveOrderByteSize:])
    
    展开全文
  • 运用群论的概念构造圆锥曲线的点阵群,将其应用于改进的Hill加密算法中,构建了基于圆锥曲线点列的分组密码系统,并从明文嵌入和阶的运算两方面比较了椭圆曲线和圆锥曲线密码体制,分析了改进的Hill加密算法的安全性....
  • 此处介绍的函数集允许您使用 3x3 矩阵构建、绘制、拟合获取圆锥曲线椭圆和双曲线)的参数。 此外,函数允许您绘制以其齐次矢量形式表示的线。 我希望这些功能对需要创建、处理可视化此类表格的研究人员有用。
  • 前言 圆锥曲线一般指椭圆、双曲线、抛物线;但由于圆和椭圆有近亲关系,都是封闭...1、从几何角度看,直线\(l\)和圆锥曲线\(C\)的位置关系可以分为三类:①无公共点;②仅有一个公共点;③有两个相异的公共点; 2、...

    前言

    圆锥曲线一般指椭圆、双曲线、抛物线;但由于圆和椭圆有近亲关系,都是封闭曲线,且椭圆的两个焦点合二为一时,椭圆就变成了圆;双曲线和抛物线都是非封闭曲线,这两个和前两个的区别就挺大了。

    基础知识

    • 直线\(l\)和圆锥曲线\(C\)的位置关系

    1、从几何角度看,直线\(l\)和圆锥曲线\(C\)的位置关系可以分为三类:①无公共点;②仅有一个公共点;③有两个相异的公共点;

    2、从数的角度看,可以通过代入法用代数的方法求解判断。通常是将直线\(l\)的方程\(Ax+By+C=0(A^2+B^2\neq 0\),或者说\(A\)\(B\)不同时为\(0\)),代入圆锥曲线\(C\)的方程\(F(x,y)=0\)中,消去\(y\)(或者\(x\))得到一个关于变量\(x\)(或者变量\(y\))的一元方程(仿二次方程),即由\(\left\{\begin{array}{l}{Ax+By+C=0}\\{F(x,y)=0}\end{array}\right.\),消去\(y\)得到\(ax^2+bx+c=0\)

    (1)当\(a\neq 0\)时,设一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的判别式为\(\Delta\),则有

    \(\Delta >0\) \(\Leftrightarrow\) 直线\(l\)与圆锥曲线\(C\)相交于不同的两点;

    \(\Delta =0\) \(\Leftrightarrow\) 直线\(l\)与圆锥曲线\(C\)相切;

    \(\Delta <0\) \(\Leftrightarrow\) 直线\(l\)与圆锥曲线\(C\)相离,无公共点;

    (2)当\(a=0\)\(b\neq 0\)时,即得到一个一次方程,则直线\(l\)与圆锥曲线相交,且只有一个交点;此时

    \(C\)为双曲线,则直线\(l\)与双曲线\(C\)的渐近线的位置关系是平行;

    \(C\)为抛物线,则直线\(l\)与抛物线\(C\)的对称轴的位置关系是平行或者重合;

    典例剖析

    例1【教材改编】曲线\(x^2+\lambda y^2=1(\lambda\neq 0)\)恒过定点_________。\((\pm 1,0)\)

    法1:从数的角度思考分析,类比\(y=kx+1\)恒过定点\((0,1)\)的方法思路,令\(y=0\),得到\(x^2=1\),故上述曲线恒过定点\((\pm 1,0)\);

    法2:从形的角度思考分析,变形得到\(\cfrac{x^2}{1}+\cfrac{y^2}{\frac{1}{\lambda}}=1\),用动态的观点思考,当\(\lambda\)变化时,椭圆或者双曲线与\(x\)轴的交点坐标\((-1,0)\)\((1,0)\)始终不变,故曲线恒过定点\((\pm 1,0)\);

    例2【教材改编】过点\((4,0)\)的直线交抛物线\(y^2=4x\)\(A\)\(B\)两点,\(O\)为坐标原点,则\(\angle AOB\)的值等于___________。\(\cfrac{\pi}{2}\)

    法1:常规方法求解,\(\angle AOB=\cfrac{\pi}{2}\)

    法2:特殊化策略思考,当我们将直线由一般的有斜率的情形特殊化为无斜率的情形时,应该没有改变题目中的已知条件,故可以思考用特殊化策略,此时能轻松得到\(\angle AOB=\cfrac{\pi}{2}\)

    例3【教材改编】点\(M(x,y)\)在椭圆\(\cfrac{x^2}{5}+y^2=1\)上,则\(x+y\)的取值范围为___________。\([-\sqrt{6},\sqrt{6}]\);

    分析:椭圆上任意一点的坐标的参数方程为\((\sqrt{5}cos\theta,sin\theta)\)\(\theta\in [0,2\pi)\)

    \(x+y=\sqrt{5}cos\theta+sin\theta=\sqrt{6}sin(\theta+\phi)\),故\(x+y\in [-\sqrt{6},\sqrt{6}]\);

    解后反思:椭圆的参数方程的优越性;变量集中;三角函数;求值域中的三角换元;知一求二类[(\(sinx+cosx\)\(sinx-cosx\)\(sinx\cdot cosx\))(奇偶性,周期性,对称性)]

    例4【教材改编】直线\(y=kx-k+1\)与椭圆\(\cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{4}=1\)的位置关系为【】

    $A.相交$ $B.相切$ $C.相离$ $D.不确定$

    法一:从数的角度思考,常规方法,将直线\(y=kx-k+1\)代入椭圆\(\cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{4}=1\)中,[注意运算技巧]

    化简整理为\((9k^2+4)x^2+18k(1-k)x+9(1-k^2)=0\)\(\Delta =\cdots=1152k^2+288k+4\times 108>0\)

    则直线和椭圆相交,故选\(A\)

    法2:从形的角度思考,将直线变形为\(y-1=k(x-1)\),则可知其恒过定点\((1,1)\)

    \((1,1)\)代入\(\cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{4}\),得到\(\cfrac{1^2}{9}+\cfrac{1^2}{4}<1\),即点\((1,1)\)在椭圆内,

    则直线和椭圆必然相交,故选\(A\)

    相关阅读: 1、曲线或函数恒过定点

    例5【教材改编】点\(M\)在椭圆\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{3}=1\)\(F_1\)\(F_2\)为其焦点,则\(\angle F_1MF_2\)的最大值为________。

    分析:特殊化策略,当点\(M\)位于椭圆的上下顶点位置时,\(\angle F_1MF_2\)最大,最大值为\(\cfrac{\pi}{3}\)

    • 直线与曲线交于一点的误区:

    例6【教材改编】过点\((0,1)\)作直线,使它与抛物线\(y^2=4x\)仅有一个公共点,这样的直线有_________条。

    分析:如图所示,过点\((0,1)\)做直线,和抛物线仅有一个公共点时,这样的直线有切线和非切线两种情形:

    992978-20190729201239371-412764748.png

    当为切线时,其一为直线\(x=0\),此时直线无斜率;其二为\(y=kx+1\),设切点为\((x_0,y_0)\),则

    \(\left\{\begin{array}{l}{y_0=kx_0+1}\\{y_0^2=4x_0}\\{k=\frac{1}{\sqrt{x_0}}}\end{array}\right.\),解得\(x_0=\cfrac{1}{2}\)\(y_0=\sqrt{2}\)\(k=2(\sqrt{2}-1)\)

    故另一条切线为\(y=(2\sqrt{2}-1)x+1\)

    当为非切线时,直线为\(y=1\),故这样的直线分别为\(x=0\)\(y=1\)\(y=(2\sqrt{2}-1)x+1\)

    例7【教材改编】直线\(y=-\cfrac{3}{2}x+2\)与双曲线\(\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{9}=1\)有_______个交点;

    分析:由于直线和渐近线平行,故只能有一个交点。

    例8直线\(y=kx+m\)与椭圆\(\cfrac{x^2}{2}+\cfrac{y^2}{3}=1\)只有一个公共点,则\(k\)\(m\)的关系式为__________。\(m^2=2k^2+3\)

    法1:判别式法,利用\(\Delta=0\),得到\(m^2=2k^2+3\)

    法2:平行线法。

    例2设抛物线\(C:y^2=3x\)的焦点,过\(F\)且倾斜角为\(30^{\circ}\)的直线交\(C\)\(A\)\(B\)两点,则\(|AB|\)等于()

    $A.\cfrac{\sqrt{30}}{3}$ $B.6$ $C.12$ $D.7\sqrt{3}$

    【法1】:常规方法,利用两点间距离公式,由于\(2p=3\),则\(\cfrac{p}{2}=\cfrac{3}{4}\),故焦点\(F(\cfrac{3}{4},0)\),又斜率为\(k=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)

    则直线\(AB\)的方程为\(y=\cfrac{\sqrt{3}}{3}(x-\cfrac{3}{4})\)

    联立直线\(AB\)和抛物线方程,得到\(\left\{\begin{array}{l}{y^2=3x}\\{y=\cfrac{\sqrt{3}}{3}(x-\cfrac{3}{4})}\end{array}\right.\)

    992978-20171106194108216-1343612812.png

    \(y\)得到\(16x^2-24\times7x+9=0\),设点\(A(x_1,y_1)\),点\(B(x_2,y_2)\)

    \(x_1+x_2=\cfrac{24\times7}{16}=\cfrac{21}{2}\)\(x_1x_2=\cfrac{9}{16}\)

    \(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot |x_1-x_2|\)

    \(=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=12\)

    【法2】:利用直线\(AB\)的参数方程的参数的几何意义,

    直线\(AB\)的参数方程为\(\begin{cases}x=\cfrac{3}{4}+\cfrac{\sqrt{3}}{2}t\\y=0+\cfrac{1}{2}t\end{cases}(t为参数)\),将其代入\(y^2=3x\)中,

    整理得到\(t^2-6\sqrt{3}t-9=0\),设\(A\)\(B\)对应的参数分别为\(t_1\)\(t_2\)

    \(\Delta>0\),且有\(t_1+t_2=6\sqrt{3}\)\(t_1t_2=-9\)

    \(|AB|=|t_1-t_2|=\sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}=\sqrt{36\times3-4\times(-9)}=12\)

    【法3】:利用抛物线的定义可知,\(|AB|=|AF|+|BF|=|AN|+|BO|=x_1+\cfrac{p}{2}+x_2+\cfrac{p}{2}=x_1+x_2+p\)

    992978-20171106194108216-1343612812.png

    故由法1中,得到\(x_1+x_2=\cfrac{24\times7}{16}=\cfrac{21}{2}\)\(p=\cfrac{3}{2}\),即\(|AB|=x_1+x_2+p=12\)

    法4:利用抛物线的焦点弦长公式:\(|AB|=\frac{2p}{sin^2\alpha}\),则\(|AB|=\cfrac{2\times \frac{3}{2}}{(\frac{1}{2})^2}=12\)

    转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11265541.html

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  • 圆锥曲线的几何性质

    2018-10-01 18:35:05
    圆锥曲线的几何性质》采用综合法,从图形到图形,以平面几何知识为主,立体几何知识为辅,介绍了圆锥曲线的大批几何性质。主要内容包括:抛物线、正射影、椭圆、双曲线、直角双曲线、圆柱面圆锥面的截线等等。
  • 历届高考中的“椭圆”试题精选一、选择题: 1.(2007安徽文)椭圆的离心率为( )(A) (B)(C) (D)2.(2008上海文)设是椭圆上的点.若是椭圆的两个焦点,则等于
  • 圆锥曲线有个要求,为什么呢,看个图像 比如a=-3,b=2时就不满足这个条件,看的...下图展示了两种非法的椭圆曲线,分别存在一个尖点叉点使曲线不平滑。 reference:http://www.eeworld.com.cn/mp/Latticesemi...

    圆锥曲线有个要求4a^{3}+27b^{2}\neq 0,为什么呢,看个图像

    比如a=-3,b=2时就不满足这个条件,看的图像:

    随便换个满足条件的

     

    结论该条件保证方程中不会出现非奇异点以获得平滑的椭圆曲线 

    下图展示了一些合法的椭圆曲线

    下图展示了两种非法的椭圆曲线,分别存在一个尖点和叉点使曲线不平滑。

    reference:http://www.eeworld.com.cn/mp/Latticesemi/a16722.jspx 

     

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  • 圆锥曲线方程,其本质是求解\(a\),\(b\),或\(p\)的值,所以常常直接求解其值,或者利用题目给定的等量关系建立方程组求解,利用等量关系时,务必记住使用圆锥曲线的定义。 圆锥曲线的定义式 椭圆 文字语言:...

    前言

    求圆锥曲线方程,其本质是求解\(a\)\(b\),或\(p\)的值,所以常常直接求解其值,或者利用题目给定的等量关系建立方程组求解,利用等量关系时,务必记住使用圆锥曲线的定义。

    圆锥曲线的定义式

    • 椭圆

    文字语言:平面内到两个定点\(F_1\)\(F_2\)的距离之和等于常数(\(>|F_1F_2|\))的动点\(P\)的集合称为椭圆,即\(|PF_1|+|PF_2|=2a\)

    数学语言:

    图形语言:

    • 双曲线

    文字语言:

    数学语言:

    图形语言:

    • 抛物线

    文字语言:

    数学语言:

    图形语言:

    典例剖析

    例0【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】以双曲线\(\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{12}=1\)的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为【】

    $A.\cfrac{y^2}{16}+\cfrac{x^2}{12}=1$ $B.\cfrac{x^2}{16}+\cfrac{y^2}{12}=1$ $C.\cfrac{x^2}{12}+\cfrac{y^2}{4}=1$ $D.\cfrac{y^2}{12}+\cfrac{x^2}{4}=1$

    分析:对双曲线而言,\(a^2=4\)\(b^2=12\),则\(c^2=a^2+b^2=16\),故\(c=4\),其焦点为\((\pm 4,0)\),故椭圆的一组顶点坐标为\((\pm 4,0)\)

    双曲线的顶点坐标为\((\pm 2,0)\),故椭圆的焦点坐标为\((\pm 2,0)\),故椭圆的\(c=2\)\(a=4\),故\(b^2=12\),则椭圆的方程为\(\cfrac{x^2}{16}+\cfrac{y^2}{12}=1\),故选\(B\)

    例1设\(F_1\)\(F_2\)是双曲线\(\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{b^2}=1(b>0)\)的左右焦点,过\(F_1\)的直线\(l\)交双曲线的左支与\(A\)\(B\)两点,若\(|AF_2|+|BF_2|\)的最小值为13,则双曲线的离心率为【】

    $A.\cfrac{3}{2}$ $B.\cfrac{5}{3}$ $C.\sqrt{3}$ $D.\sqrt{5}$

    分析:如图所示,可知\(a=2\)



    由双曲线的定义可知,\(|AF_2|-|AF_1|=2a=4\)\(|BF_2|-|BF_1|=2a=4\)

    \(|AF_2|=|AF_1|+4\)\(|BF_2|=|BF_1|+4\)

    又由于\(|AF_2|+|BF_2|\ge 13\),即\(|AF_1|+4+|BF_1|+4\ge 13\)

    \(|AF_1|+|BF_1|\ge 5\),即\(|AB|\ge 5\)

    又由于过焦点的弦中,只有通径最小,故\(AB\)为通径,

    则可知\(A(-c,\cfrac{5}{2})\)

    \(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{b^2}=1}\\{x=-c}\end{array}\right.\),以及\(y=\cfrac{5}{2}\)

    代入得到\(\cfrac{c^2}{4}-1=\cfrac{y^2}{b^2}\),即变形得到\(b^2\cdot \cfrac{c^2-4}{4}=y^2=\cfrac{25}{4}\)

    \(b^2(c^2-4)=25\),即\((c^2-4)(c^2-4)=25\),即\(c^2-4=5\)

    \(c=3\),又\(a=2\),则\(e=\cfrac{c}{a}=\cfrac{3}{2}\),故选\(A\)

    例2设\(O\)为坐标原点,\(A\)\(B\)为抛物线\(C:y^2=mx(m>0)\)上的两点,且\(\triangle OAB\)\(OA=OB=2\sqrt{2}\)\(S_{\triangle OAB}=4\),则焦点\(C\)到准线的距离为【】

    $A.2$ $B.4$ $C.3$ $D.1$

    分析:如图所示,

    由题可知,焦点坐标为\((\cfrac{m}{4},0)\),准线为\(x=-\cfrac{m}{4}\)

    故焦点\(C\)到准线的距离为\(\cfrac{m}{2}\)

    又由于\(OA=OB=2\sqrt{2}\)\(S_{\triangle OAB}=4\)

    \(S_{\triangle OAB}=\cfrac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times 2\sqrt{2}\times sin\angle AOB=4\)

    \(sin\angle AOB=1\),即\(\angle AOB=\cfrac{\pi}{2}\)

    \(\triangle OAB\)为等腰直角三角形,则\(A(2,2)\)

    代入\(y^2=mx\)求得,\(m=2\)

    故焦点\(C\)到准线的距离为\(\cfrac{m}{2}=1\);故选\(D\)

    例3【定义法】已知圆\(M:(x+1)^2+y^2=1\),圆\(N:(x-1)^2+y^2=9\),动圆\(P\)与圆\(M\)外切并且与圆\(N\)内切,圆心\(P\)的轨迹方程为曲线\(C\),求\(C\)的方程;

    分析:由已知得,圆\(M\)的圆心为\(M(-1,0)\),半径\(r_1=1\);圆\(N\)的圆心为\(N(1,0)\),半径\(r_2=3\)

    设圆\(P\)的圆心为\(P(x,y)\),半径为\(R\);由于圆\(P\)与圆\(M\)外切并且与圆\(N\)内切,

    所以\(|PM|+|PN|=(R+r_1)+(r_2-R)=r_1+r_2=4\),由[椭圆的定义]可知,曲线\(C\)是以\(M\)\(N\)为左右焦点,长半轴长为2,短半轴长为\(\sqrt{3}\)的椭圆(左顶点除外),

    其轨迹方程为\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{3}=1(x\neq -2)\)

    例4【2017凤翔中学高三理科第三次月考第14题】【利用椭圆的定义求解】

    已知直线\(l\)交椭圆\(\cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{5}=1\)\(A、B\)两点,\(F_1\)是椭圆的左焦点,当直线\(l\)经过椭圆的右焦点时,求\(\Delta ABF_1\)的周长。

    992978-20171212144505832-1208734528.png

    分析:由题可知,\(a=3\),如图所示,由椭圆的定义可知\(|AF_1|+|AF_2|=2a\)\(|BF_1|+|BF_2|=2a\)

    \(\Delta ABF_1\)的周长为\(|AF_1|+|BF_1|+|AB|=|AF_1|+|BF_1|+|AF_2|+|BF_2|=4a=12\)

    例5已知\(F_1,F_2\)是椭圆\(C\)的两个焦点,\(P\)\(C\)上一点,若\(PF_1\perp PF_2\),且\(\angle PF_2F_1=60^{\circ}\),则\(C\)的离心率是【】

    $A.1-\cfrac{\sqrt{3}}{2}$ $B.2-\sqrt{3}$ $C.\cfrac{\sqrt{3}-1}{2}$ $D.\sqrt{3}-1$

    分析:自行做出示意图,由图可知,在\(Rt\Delta PF_1F_2\)中,\(\angle F_1PF_2=90^{\circ}\)\(\angle PF_2F_1=60^{\circ}\)\(F_1F_2=2c\),故\(PF_2=c\)\(PF_1=\sqrt{3}c\)

    由椭圆的定义可知,\(|PF_1|+|PF_2|=2a\),即\(c+\sqrt{3}c=2a\),解得\(e=\cfrac{c}{a}=\cfrac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1\),故选D。

    【建议】用圆锥曲线的定义解题,是高考中的一个高频考查方式。

    例6【2017高考理科数学Ⅲ卷第5题】【2019高三理科二轮限时训练3】已知双曲线\(C:\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1\) \((a>0,b>0)\)的一条渐近线方程为\(y=\cfrac{\sqrt{5}}{2}x\),且与椭圆\(\cfrac{x^2}{12}+\cfrac{y^2}{3}=1\)有公共焦点,则\(C\)的方程为【】

    $A.\cfrac{x^2}{8}-\cfrac{y^2}{10}=1$ $B.\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{5}=1$ $C.\cfrac{x^2}{5}-\cfrac{y^2}{4}=1$ $D.\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{3}=1$

    分析:由双曲线\(C:\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1\)可知其渐进线为\(y=\cfrac{b}{a}x\),由已知渐近线方程为\(y=\cfrac{\sqrt{5}}{2}x\)

    则可设\(a=2k\)\(b=\sqrt{5}k(k>0)\),则\(c=3k\),又由椭圆的\(c=3\),可可知\(3k=3\),即\(k=1\),故双曲线的\(a=2\)\(b=\sqrt{5}\),则其方程为\(\cfrac{x^2}{4}-\cfrac{y^2}{5}=1\),故选\(B\)

    例7【2018高考新课标Ⅲ卷第16题】已知点\(M(-1,1)\)和抛物线\(C:y^2=4x\),过\(C\)的焦点且斜率为\(k\)的直线与\(C\)交于\(A\)\(B\)两点,若\(\angle AMB=90^{\circ}\),则\(k\)=_________。

    法1:点差法,做出如下示意图,连结\(MH\)\(H\)为焦点弦\(AB\)的中点,

    由于\(\triangle AMB\)为直角三角形,\(H\)\(AB\)的中点,则\(MH=\cfrac{1}{2}AB\)

    又由于\(AB=AF+BF=AP+BQ\),则\(MH=\cfrac{1}{2}AB=\cfrac{1}{2}(AP+BQ)\)

    \(MH\)为直角梯形的中位线,则\(MH//x\)轴,

    \(A(x_1,y_1)\)\(B(x_2,y_2)\),则有\(y_1^2=4x_1\) ①,\(y_2^2=4x_2\) ②,

    ①-②得到,\(y_1^2-y_2^2=4(x_1-x_2)\),即\((y_1+y_2)(y_1-y_2)=4(x_1-x_2)\)

    则有\(\cfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\cfrac{4}{y_1+y_2}\),即\(k=\cfrac{4}{y_1+y_2}\)

    又由于\(MH//x\)轴,\(M(-1,1)\),则\(H\)点的纵坐标为1,即\(\cfrac{y_1+y_2}{2}=1\),则\(y_1+y_2=2\),代入上式,

    得到\(k=\cfrac{4}{y_1+y_2}=2\).

    法2:向量法,设直线\(AB:y=k(x-1)\),由于点\(A,B\)都在抛物线上,故设\(A(4t_1^2,4t_1)\)\(B(4t_2^2,4t_2)\)

    联立直线和抛物线,得到\(\left\{\begin{array}{l}{y=k(x-1)}\\{y^2=4x}\end{array}\right.\),消\(x\)得到,

    \(y^2-\cfrac{4}{k}y-4=0\),则由韦达定理可知,\(4t_1+4t_2=\cfrac{4}{k}\)\(4t_1\cdot 4t_2=-4\)

    \(t_1+t_2=\cfrac{1}{k}\)\(t_1\cdot t_2=-\cfrac{1}{4}\)

    \(\overrightarrow{MA}=(4t_1^2+1,4t_1-1)\)\(\overrightarrow{MB}=(4t_2^2+1,4t_2-1)\)\(\angle AMB=90^{\circ}\)

    \(\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0\),即\((4t_1^2+1)(4t_2^2+1)+(4t_1-1)(4t_2-1)=0\)

    打开整理得到,\(16(t_1t_2)^2+4(t_1^2+t_2^2)+1+16t_1t_2-4(t_1+t_2)+1=0\)

    代入整理得到,\(\cfrac{4}{k^2}-\cfrac{4}{k}+1=0\),即\((\cfrac{2}{k}-1)^2=0\),解得\(k=2\)

    例8【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅰ第8题】平面直角坐标系\(xoy\)中,动点\(P\)与圆\((x-2)^2+y^2=1\)上的点的最短距离与其到直线\(x=-1\)的距离相等,则点\(P\)的轨迹方程为【】

    $A.y^2=8x$ $B.x^2=8y$ $C.y^2=4x$ $D.x^2=4y$

    分析:由题意可知,\(|PQ|=|PD|\),但是用这个不好建立轨迹方程,或者不能有效的和抛物线的定义建立联系,

    故等价转化为\(|PA|=|PB|\),且其模型为\(y^2=2px\)

    这样就可以理解为平面内一个动点\(P\)到一个定点\(A\)的距离等于其到定直线\(x=-2\)的距离。

    由抛物线的定义可知,\(-\cfrac{p}{2}=-2\),即\(p=4\),故\(y^2=2\times 4x=8x\),故选\(A\)

    • 注意:抛物线的定义是高考考查时的高频考点。

    例9设抛物线\(C:y^2=3x\)的焦点,过F且倾斜角为\(30^{\circ}\)的直线交C于A,B两点,则\(|AB|\)等于()

    $A.\cfrac{\sqrt{30}}{3}$ $B.6$ $C.12$ $D.7\sqrt{3}$

    【法1】:常规方法,利用两点间距离公式,由于\(2p=3\),则\(\cfrac{p}{2}=\cfrac{3}{4}\),故焦点\(F(\cfrac{3}{4},0)\),又斜率为\(k=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)

    则直线\(AB\)的方程为\(y=\cfrac{\sqrt{3}}{3}(x-\cfrac{3}{4})\)

    联立直线\(AB\)和抛物线方程,得到\(\left\{\begin{array}{l}{y^2=3x}\\{y=\cfrac{\sqrt{3}}{3}(x-\cfrac{3}{4})}\end{array}\right.\)

    992978-20171106194108216-1343612812.png

    \(y\)得到\(16x^2-24\times7x+9=0\),设点\(A(x_1,y_1)\),点\(B(x_2,y_2)\)

    \(x_1+x_2=\cfrac{24\times7}{16}=\cfrac{21}{2}\)\(x_1x_2=\cfrac{9}{16}\)

    \(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot |x_1-x_2|\)

    \(=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=12\)

    【法2】:利用直线\(AB\)的参数方程的参数的几何意义,

    直线\(AB\)的参数方程为\(\begin{cases}x=\cfrac{3}{4}+\cfrac{\sqrt{3}}{2}t\\y=0+\cfrac{1}{2}t\end{cases}(t为参数)\),将其代入\(y^2=3x\)中,

    整理得到\(t^2-6\sqrt{3}t-9=0\),设\(A\)\(B\)对应的参数分别为\(t_1\)\(t_2\)

    \(\Delta>0\),且有\(t_1+t_2=6\sqrt{3}\)\(t_1t_2=-9\)

    \(|AB|=|t_1-t_2|=\sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}=\sqrt{36\times3-4\times(-9)}=12\)

    【法3】:利用抛物线的定义可知,\(|AB|=|AF|+|BF|=|AN|+|BO|=x_1+\cfrac{p}{2}+x_2+\cfrac{p}{2}=x_1+x_2+p\)

    992978-20171106194108216-1343612812.png

    故由法1中,得到\(x_1+x_2=\cfrac{24\times7}{16}=\cfrac{21}{2}\)\(p=\cfrac{3}{2}\),即\(|AB|=x_1+x_2+p=12\)

    法4:利用抛物线的焦点弦长公式:\(|AB|=\cfrac{2p}{sin^2\alpha}\)

    \(|AB|=\cfrac{2\times \cfrac{3}{2}}{(\cfrac{1}{2})^2}=12\)

    例10【2019届高三理科数学三轮用题】已知顶点在原点,焦点在\(x\)轴正半轴上的抛物线\(C\),若其焦点到准线的距离为4,准线交\(x\)轴于点\(K\),点\(A\)在抛物线\(C\)上,\(|AK|=\sqrt{2}|AF|\),则\(\triangle AFK\)的面积为【】

    $A.4$ $B.6$ $C.8$ $D.12$

    分析:如图所示,由题可知,\(|OF|=|OK|=2\)\(|KF|=4\),由抛物线定义可知,\(|AF|=|AB|\),则\(|AK|=\sqrt{2}|AB|\)

    992978-20190507181649734-1175420003.jpg

    故可知\(\angle AKF=45^{\circ}\),在\(\triangle AKF\)中,\(|KF|=4\),设\(|AF|=x\),则\(|AK|=\sqrt{2}x\)

    由余弦定理可知,\(|AF|=4\),其高为\(|KB|=4\),故\(S_{\triangle AFK}=\cfrac{1}{2}\times 4\times 4=8\),故选\(C\)

    例11【2019届高三理科数学三轮模拟试题】已知点\(A\)在离心率为\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)的椭圆\(C:\cfrac{x^2}{a^2}+\cfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)上,左、右焦点分别为\(F_1\)\(F_2\)\(\triangle AF_1F_2\)的内切圆的半径\(r=\sqrt{2}-1\),且\(S_{\triangle AF_1F_2}=1\),求椭圆\(C\)的方程;

    分析:由三角形面积公式可知,\(S_{\triangle AF_1F_2}=\cfrac{1}{2}(|AF_1|+|AF_2|+|F_1F_2|)\cdot r=1\)

    \(\cfrac{1}{2}(2a+2c)(\sqrt{2}-1)=1\),化简得到\(a+c=\sqrt{2}+1\)①;

    \(\cfrac{c}{a}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)②,两式联立,解得\(c=1\)\(a=\sqrt{2}\),则\(b^2=a^2-c^2=1\)

    故椭圆\(C\)的方程为\(\cfrac{x^2}{2}+y^2=1\)

    例12【2019届高三理科数学三轮模拟试题】已知曲线\(C\)上的点到两定点\(F_1(-\sqrt{5},0)\)\(F_2(\sqrt{5},0)\)的距离之和为定值,且该定值是原点\(O\)到直线\(x-y+\sqrt{3}=0\)的距离的\(4\)倍,求曲线\(C\)的方程。

    分析:原点\(O\)到直线\(x-y+\sqrt{3}=0\)的距离为\(d=\cfrac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\cfrac{\sqrt{6}}{2}\),故\(4d=2\sqrt{6}\)

    由椭圆的定义可知,曲线\(C\)为一椭圆,其长轴长为\(2\sqrt{6}\),焦点\(F_1(-\sqrt{5},0)\)\(F_2(\sqrt{5},0)\)

    则短轴长为\(2\sqrt{(\sqrt{6})^2-(\sqrt{5})^2}=2\),所以曲线\(C\)的方程为\(\cfrac{x^2}{6}+y^2=1\).

    转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/10720241.html

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空空如也

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椭圆曲线和圆锥曲线