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  • 图的概念定义

    千次阅读 2018-12-20 14:38:47
    是由顶点有穷非空集合和顶点之间边集合组成,表示为G(V,E),其中G表示一个,V是G中顶点集合,E是G中边集合。 若顶点vi到vj之间边没有方向,则这条边为无向边,表示为(vi,vj)或(vj,vi),...

    1 定义

    图是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成,表示为G(V,E),其中G表示一个图,V是图G中顶点的集合,E是图G中边的集合。
    在这里插入图片描述

    若顶点vi到vj之间的边没有方向,则这条边为无向边,表示为(vi,vj)或(vj,vi),反之为有向边(或弧),表示为<vi,vj>,其中vi称为弧尾,vj称为弧头。若图中所有边都为无向边,则该图为无向图,反之若都为有向边,则为有向图
    在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

    简单图:不存在顶点到其自身的边,且同一条边不重复出现。
    无向完全图:任意两个顶点中都存在边的无向图。若顶点为n个,则边数为n(n-1)/2。
    有向完全图:任意两个顶点中都存在边的有向图。若顶点为n个,则边数为n(n-1)。
    稀疏图和稠密图:有很少条边或弧的图称为稀疏图,反之称为稠密图。
    :与边或弧相关的数;带有权的图称为网
    在这里插入图片描述 在这里插入图片描述
    相邻且有边直接连接的两个顶点称为邻接点,列如上图中,V1和V4是邻接点,但V2和V4不是,因为它们之间没有直接相连。在图中,顶点所连边的数目称为,在有向图中,由于边有方向,则顶点的度分为入度出度。可以看出,在无向图中,边数是所有顶点度数和的一半,而在有向图中,边数=入度和=出度和。

    无向图中,从顶点vi到顶点vj路径是一个顶点序列,路径的长度为经过的边或弧的数目。第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环。序列中不出现重复的顶点称为简单路径。,除了第一个顶点和最后一个顶点外,其余顶点不重复的路径称为简单回路。如图,左图为简单回路,而右图不是,因为顶点C出现了2次。
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    2 连通图

    在无向图中,如果两个顶点之间有路径,则称这两个顶点是连通的。如果图中任意两个顶点都是连通的,那么该图为连通图。无向图中的极大连通子图称为连通分量,如图,图2和图3都是图1无向图的连通分量,但图4不是,因为其没有包含极大的顶点数。
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    在有向图中,如果对于任意两个顶点vi和vj,都存在vi到vj和vj到vi的路径,则称那图为强连通图。在有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量。如图左图不是强连通图,因为没有顶点D到顶点A的路径,而右图则是强连通图,其也是左图的强连通分量。
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    一个连通图的生成树是一个极小连通子图,它含有图中全部n个顶点,但只有n-1条边。在一条生成树中添加一条边,则必然构成一个环,如果减少一条边,则是非连通图。如图图1为连通图,图2和图3都是图1的生成树,但图4不是,因为它不连通。
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    若一个有向图恰有一个顶点入度为0,其余顶点的入度均为1,则是一棵有向树。一个有向图的生成森林由若干棵有向树组成,含有图中全部顶点,但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧。如图,图2和图3是图1的生成森林。
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    3 图的抽象数据类型

    ADT{
    	Data
    		顶点的有穷非空集合和边的集合
    	Opeartion
    		CreateGraph(*G,V,VR)  //按照顶点集V合边弧集VR定义构造图G
    		DestroyGraph(*G)      //销毁图G
    		LocateVex(G,u)        //返回图G中顶点u的位置,若不存在,则返回其他信息
    		GetVex(G,v)           //返回图G中顶点v的值
    		PutVex(G,v,value)     //将图G中顶点v赋值value
    		FirstAdjVex(G,*v)     //返回顶点v的一个邻接顶点,若无则返回空
    		NextAdjVex(G,v,w)     //顶点w是顶点v的邻接顶点,返回顶点v相对于顶点w的下一个邻接顶点
    							   //若顶点w是顶点v的最后一个邻接顶点,则返回空
    		InsertVex(*G,v)		 //在图G种添加顶点v
    		DeleteVex(*G,v)       //删除图G中顶点v及其相关的弧
    		InsertArc(*G,v,w)     //在图G中添加弧<v,w>,如果是无向图,还要添加对称弧<w,v>
    		DeleteArc(*G,v,w)	  //在图G中删除弧<v,w>,如果是无向图,还要删除对称弧<w,v>
    		DFSTraverse(G)        //对图G进行深度优先遍历
    		HFSTraverse(G)		 //对图G进行广度优先遍历
    }
    
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  • 图定义及相关概念图的定义:图的基本概念:有向图和无向图:简单图和多重图:完全图:子图:连通和强连通:连通图和强连通图:连通分量和强连通分量:(极大连通子图和极大强连通子图)极小连通子图和绩效强连通子图...

    思维导图:

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    图的定义:

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    图的基本概念:

    有向图和无向图:

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    简单图和多重图:

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    完全图:

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    子图:

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    生成子图:

    满足V(G’) = V(G)的子图(即顶点集相同的子图)
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    连通和强连通:

    ps: 连通是无向图中的概念,强连通是有向图中的概念
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    连通图和强连通图:

    在这里插入图片描述

    Q1: n个顶点的连通图和强连通图最少有多少条边?
    连通图有n-1条边
    强连通图有n条边(形成回路)
    Q2: 在无向图中,若为非连通图,则最多可能的边数:
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    连通分量和强连通分量:(极大连通子图和极大强连通子图)

    结论: 若原图为连通图则连通分量只有一个;若原图不是连通图,则原图存在几个连通图就有几个连通分量
    在这里插入图片描述
    连通分量: 对无向图而言

      1、要点一:任意俩个节点连通
      2、要点二:子图---->包括图本身	
      3、要点三:极大---->没有任意一个子图可以包含该子图
    

    在这里插入图片描述
    强连通分量: 对有向图而言

      1、要点一:任意俩个节点强连通
      2、要点二:子图---->包括图本身	
      3、要点三:极大---->没有任意一个子图可以包含该子图
      4、要点四:强连通---->任意俩个顶点之间都有路径
    

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    极小连通子图和极小强连通子图:

    在这里插入图片描述

    生成树和生成森林:

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    顶点的度:

    在这里插入图片描述
    ps: 在有向图中有出度和入度之分

    网:

    在图中加入权值
    在这里插入图片描述

    稠密图和稀疏图:

    在这里插入图片描述

    有向树:

    在这里插入图片描述

    路径:

    本质:顶点序列
    在这里插入图片描述

    路径长度:

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    回路:

    在这里插入图片描述

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  • 图的基本概念: 引入 定义 相关术语: 有向图 无向图 完全图 稀疏图 稠密图 权 网 邻接 关联(依附) 顶点的度 有向树 路径 路径长度 回路(环) 简单路径 简单回路(简单环) 连通图 强连通图 子图 连通分量 强连通...
  • 2.图的定义 图G由顶点集V和边集E组成,记为G=(V,E),其中V(G)表示图G中顶点的有限非空集;E(G)表示图G中顶点之间的关系(边)的集合 |V| 表示图G中顶点的个数,也称图G的阶;|E| 表示图G中的边的条数 3.有向图和无...

    1.图的知识总览

    图的知识脑图

    2.图的定义

    图G由顶点集V和边集E组成,记为G=(V,E),其中V(G)表示图G中顶点的有限非空集;E(G)表示图G中顶点之间的关系(边)的集合
    |V| 表示图G中顶点的个数,也称图G的阶;|E| 表示图G中的边的条数
    图的示例

    3.有向图和无向图

    有向图和无向图

    4.简单图和多重图

    简单图和多重图

    5.完全图

    完全图

    6.子图

    子图

    子图1- 普通子图

    子图2 - 全等子图
    由于子图的定义只是说明子集,没有说明真子集,所以相等的图也是子图

    子图3 - 无边子图
    由于图的边集可以为空,所以无边子图也是符合定义的子图

    非子图(不是图)

    根据图的定义,边是代表顶点之间的关系,所以边必须有两个端点,上面的图片中有一条边只有一个端点,完全不符合图的定义所以不是图,所以更不能称之为子图

    7.连通图和强连通图

    连通和强连通定义如下
    连通和强连通

    连通图和强连通图的定义如下
    连通图和强连通图

    N个顶点的连通图和强连通图最少有多少条边?
    连通图与强连通图最少边

    连通分量(极大连通子图)与强连通分量(极大强连通子图)
    连通分量与强连通分量

    无向图连通分量(极大连通子图)
    无向图连通分量

    有向图强连通分量(极大强连通子图)
    有向图强连通分量
    如果原图是一个连通图或强连通图,那该图的连通分量或强连通分量都是与原图一样的,如果原图并不是一个连通图或强连通图,那该图的连通分量或强连通分量会是有多个的

    8.生成树、生成森林

    极小连通子图

    生成树

    生成森林

    9.顶点的度

    顶点的度

    10.网

    网

    11.稠密图与稀疏图

    稠密图与稀疏图

    12.有向树

    有向树

    13.路径

    路径
    路径长度
    回路

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  • 数据结构16————图的定义和基本概念 一.内容:1.图的定义 2.各种图的相关概念 3.图的ADT

    数据结构19————图的定义和基本概念

    一.内容:

    1. 图的定义
    2. 各种图的相关概念
    3. 图的ADT

    二.图的定义

    1.形式化定义

    图(Graph)是由顶点的有穷非空集合和顶点直接边的集合组成,通常表示为G(V,E),其中G表示一个图,V是图G中顶点的集合,E是图G中的边的集合

    • 图中的数据元素,我们称为顶点
    • 图不存在空集,图中不允许没有顶点
    • 任何两个顶点之间都可能有关系,顶点之间的逻辑关系用边表示

    三.图的相关概念

    1.各种图定义

    • 无向边:若顶点vi到vj之间没有方向,则称这条边为无向边,有无序偶对(vi,vj)来表示。
    • 无向图:如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边,则称该图为无向图
    • 有向边:若从顶点vi到vj的边有方向为有向边,也称为弧,用 有序偶< vi, vj> 来表示,vi称为弧尾,vj称为弧头。
    • 有向图:如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边,则称该图为有向图。
    • 简单图:在图中,如果不存在顶点到其自身的边,且同一条边不重复出现,则称这样的图为简单图。
    • 无向完全图:在无向图,如果任意两个顶点之间都有存在边,则称该图为无向完全图。
    • 有向完全图:在有向图中,如果任意两个顶点之间都存在互为相反的弧,则称该图为有向完全图
    • 稀疏图&稠密图:有很少的边或弧的图称为稀疏图,反之称为稠密图
    • 权:有些图的边或者弧具有与他相关的数字,这个相关的数称为权
    • 网:这种带权的图通常称为网

    2.图的顶点和边间关系

    • 对于无向图G=(V,{E}),如果边(v1,v2)∈E , 则称顶点v1和v2互为邻接,即v1,v2相邻接。边(v1,v2)依附于顶点v1和v2,或者说(v1,v2)于顶点v1,v2相关联。顶点v的度为是和v相关联的边的数目,记做TD(v)
    • 对于有向图G=(V,{E}),如果弧< v1,v2>∈E,则称顶点v1邻接到顶点v2,顶点v2邻接自顶点v1.弧< v1,v2>和顶点v1,v2相关联,自顶点v1为头的弧的数目为v1的入度,记为ID(v),以v1为弧尾的弧的数目称为v1的出度,记为OD(v),顶点v的度TD(v)=ID(v)+OD(v).
    • 路径:无向图G(V,{E})中从顶点v1到顶点v2的路径是从v1到v2途经顶点的序列
    • 路径的长度:路径上的边或者弧的数目
    • 回路(环):第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或者环
    • 简单路径:序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径
    • 简单回路(环):除了第一个顶点和最后一个顶点外,其余顶点不重复出现的回路,称为简单回路或者简单环

    3连通图相关术语

    • 连通: 在无向图G中,如果从顶点v1到顶点v2有路径,则称v1和v2是连通的
    • 连通图:如果对于无向图中任意两个顶点vi,vj,vi和vj都是连通的,则称该图是连通图
    • 连通分量:无向图中的极大连通子图称为连通分量。
    • 强连通图:在有向图中,任如果意两个顶点vi,vj,vi和vj都是连通的,则称该图是强连通图
    • 强连通分量:有向图中的极大强连通子图称作有向图的强连通分量

    四.图的ADT

    ADT Graph{  
    
         数据对象V:V是具有相同特性的数据元素的集合,称为顶点集。  
    
             数据关系R:R={VR}  
    
         VR={<v,w>|v,w∈V且P(v,w),<v,w>表示从v到w的弧,  
    
             谓词P(v,w)定义了弧<v,w>的意义或信息}  
    
         基本操作:  
    
         CreateGraph( &G, V, VR )  
    
         初始条件:V是图的顶点集,VR是图中弧的集合。  
    
         操作结果:按V和VR的定义构造图G。  
    
         DestroyGraph( &G )  
    
         初始条件:图G存在。  
    
         操作结果:销毁图G。  
    
         LocateVex( G, u )  
    
         初始条件:图G存在,u和G中顶点有相同特征。  
    
         操作结果:若G中存在顶点u,则返回该顶点在图中位置;否则返回其它信息。  
    
         GetVex( G, v )  
    
         初始条件:图G存在,v是G中某个顶点。  
    
         操作结果:返回v的值。  
    
         PutVex( &G, v, value )  
    
         初始条件:图G存在,v是G中某个顶点。  
    
         操作结果:对v赋值value。  
    
         FirstAdjVex( G, v )  
    
         初始条件:图G存在,v是G中某个顶点。  
    
         操作结果:返回v的第一个邻接顶点。若顶点在G中没有邻接顶点,则返回“空”。  
    
         NextAdjVex( G, v, w )  
       
         初始条件:图G存在,v是G中某个顶点,w是v的邻接顶点。  
    
         操作结果:返回v的(相对于w的)下一个邻接顶点。若w是v的最后一个邻接点,则返回“空”。  
    
         InsertVex( &G, v )  
    
         初始条件:图G存在,v和图中顶点有相同特征。  
    
         操作结果:在图G中增添新顶点v。  
    
         DeleteVex( &G, v )  
    
         初始条件:图G存在,v是G中某个顶点。  
    
         操作结果:删除G中顶点v及其相关的弧。  
    
         InsertArc( &G, v, w )  
    
         初始条件:图G存在,v和w是G中两个顶点。  
    
         操作结果:在G中增添弧<v,w>,若G是无向的,则还增添对称弧<v,w>。  
    
         DeleteArc( &G, v, w )  
    
         初始条件:图G存在,v和w是G中两个顶点。  
    
         操作结果:在G中删除弧<v,w>,若G是无向的,则还删除对称弧<v,w>。  
    
         DFSTraverse( G, Visit() )  
    
         初始条件:图G存在,Visit是顶点的应用函数。  
    
         操作结果:对图进行深度优先遍历。在遍历过程中对每个顶点调用函数Visit一次且仅一次。一旦visit()失败,则操作失败。  
    
         BFSTraverse( G, Visit() )  
    
         初始条件:图G存在,Visit是顶点的应用函数。  
    
         操作结果:对图进行广度优先遍历。在遍历过程中对每个顶点调用函数Visit一次且仅一次。一旦visit()失败,则操作失败。   
         
             
             
    }ADT Graph 
    

    图的存储以及相关算法见后续的博客

    五.参考资料

    《大话数据结构》
    《数据结构与算法》

    展开全文
  • 第一章 基本概念 1.1 引言 1.2 图的定义 1.3 道路与回路 1.4树
  • int visited[MaxSize]; template <class T> void MGraph::BFSTraverse(int v){ front=rear=-1; //假设采用顺序队列且不会发生溢出 int Q[MaxSize]; cout<<vertex[v]; visited[v]=1;...}
  • 图论基础-图的定义概念

    千次阅读 2020-07-06 13:35:47
    title: 图论基础 author: BbiHH tags: ACM_汇总 ‘’ categories: 图 toc: true ...图的部分简介 图论(graph theory) 是数学的一个分支,它以 图 为研究的对象。 图论本身是应用数学的一部分,历史上图论
  • 图(1)——图的定义和基本概念

    万次阅读 2013-07-08 12:06:14
    (Graph)是一种比线性表和树更为复杂数据结构。 线性结构:是研究数据元素之间一对一关系。在这种结构中,除第一个和最后一个元素外,任何一个元素都有唯一一个直接前驱和直接后继。  树结构:是研究数据...
  • 图论:图的基本概念

    2019-12-23 08:19:09
    图论:图的基本概念 图的定义 连通性
  • 图的定义

    2017-02-17 20:24:05
    图的相关概念定义
  • 图的一些概念 什么是图 图是由顶点集合V和边集E组成的集合,记作G=(V,E)。 注意: G中的顶点是有限非空集合. 线性表可以为非空表, 树也可以是空树, 但图不可以是空图. 即图中不能一个顶点也没有. 有向图/无向图 ...
  • IPO:(INPUT PROCESS OUTPUT)它是由美国IBM公司发起并完善起来一种工具。在系统模块结构形成过程中,产生了大量模块,在进行详细设计时开发者应为每一个模块写一份说明。IPO就是用来说明每个模块...
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  • 知识图的定义

    2013-03-24 21:46:00
    知识图的定义知识图表示一个概念体系,概念用结点表示,概念之间的关联用箭头表示;箭头有四种:无向、单向、双向、分叉;结点的内容可以是文字、图形、嵌套的知识图及其组合,箭头上面也可以用文字或图形标志关联的...
  • 图的定义: 图(Graph) G由顶点集合V(G)和边集合E(G)构成。 说明: 对于n个顶点的图,对每个顶点连续编号,即顶点的编号为0~n-1。通过编号唯一确定一个顶点。 在图G中,如果代表边的顶点对是无序的,则称G为 无向...
  • 图的定义 图的分类 1. 有向图 2.无向图 3. 简单图 4. 多重图 5. 完全图(也称为简单完全图) 6. 子图 7. 连通、连通图和连通分量 8.强连通图、强连通分量 9. 生成树、生成森林 10. 顶点的度、入度和出度 11. 边的权...

空空如也

空空如也

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概念图的定义