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  • 什么叫边缘概率

    千次阅读 2018-10-13 13:51:32
    拿变量x,y来讲,在它们的联合分布中,在联合概率中,把最终结果中不需要的那些事件合并成其事件的全概率而消失(对离散随机变量用求和得全概率,对连续随机变量用积分得全概率)。前面定义是百度得到的,我觉得这个...

    边缘概率:一件事情发生的概率,与其他事件无关,这就是边缘概率。拿变量x,y来讲,在它们的联合分布中,在联合概率中,把最终结果中不需要的那些事件合并成其事件的全概率而消失(对离散随机变量用求和得全概率,对连续随机变量用积分得全概率)。前面定义是百度得到的,我觉得这个可以这样理解,在一次试验中,所有事件发生的可能结果(你可以认为是类别)有y1,y2,....,yn,它们就构成了一个完备事件组或者说样本空间.概率和为1,在这个样本空间中,有x这个事件发生了,那它的可能结果(类别)有y1,y2,...yn,我们求出在不同结果(类别)中,该事件发生的概率之和即为边缘概率,离散型用求和,连续型用积分。这里是在涉及到多个变量才引入这个名称,而我们常说的x事件发生的概率也是这个意思,只是没涉及到其他变量。

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  • 事件概率

    2021-06-03 23:40:00
    简单来说,A事件发生的可能性大小就A的概率,记作P(A); 但是,现实生活可能性是很难说清楚的。所以许多学者做了大量的实验。用频率去近似概率。 如:抛硬币来说,可能因为地点、抛的力度等方面的不同,导致...

    事件的概率


    一、概率是什么?

    简单来说,A事件发生的可能性大小就叫A的概率,记作P(A); 但是,现实生活中可能性是很难说清楚的。所以许多学者做了大量的实验。用频率去近似概率。 如:抛硬币来说,可能因为地点、抛的力度等方面的不同,导致不同的结果。但由于实验次数足够大的时候,概率会非常趋近于它的频率。

    二、古典概型

    特征

    古典概型
    1.试验的结果有限个
    2.每个可能结果都是等可能的



    计算

    p(A) = k / n(其中k为有利于样本A是样本点数,n为样本总点数) 也可以说k是A包含的基本事件数,n是总的事件个数。



    例题

    有10个产品,其中1个是次品,现在取两个
    1.放回,求取得一个正品和一个次品的概率?
    2.不放回,求取得一个正品和一个次品的概率?

    分析:取两个肯定是有限个可能,分别为 (正,正),(正,次),(次,正)且每个取得的结果是等可能的。所以符合古典概型。

    解:(1)放回情况:任取两个应有10 * 10 =100种可能。但一正一次有2 * 9 * 1 = 18种,所以概率为:18/100 = 9/50;

    (2)不放回的情况: 任取两个应有10 * 9 = 90种可能。但一正一次有2 * 9 * 1 = 18种,所以概率为:18/90 = 1/5;

    提示:如果此题有先后顺序,也可用条件概率求解


    三、几何概型

    特征

    几何概型
    1.试验的结果无限个
    2.每个可能结果都是等可能的



    计算

    公式
    p(A) = |S| / |Ω|(其中S为事件发生在Ω内的区域,Ω为样本空间)

    解读
    若S是直线上的区间时,|S|是区间长度,S是平面区域时,|S|是平面区域的面积,S是空间区域时,|S|是空间区域的体积。

    总之,就是求占比,线的求长度,面的求面积,体的求体积。



    例题

    从7点开始,每隔15分钟来一辆车,有一乘客在7点到7点半随机到达该车站。
    求:该乘客等候不到5min就上车的概率。

    分析:时间可以近似成一个线段图,把问题转化为离中点和终点差距5个单位长度的线段占总线段的百分比。

    解:(1)因为等待不超过5分钟占据10个单位长度,而一共有30个单位长度,故概率为10/30 = 1/3;



    四、概率的公理化定义

    公理

    公理
    1.公理1(非负性):0 <= P(A) <= 1;

    2.公理2(规范性):P(Ω)= 1;

    3.公理3(完全可加性):对任意一列两两互斥事件A1,A2·,···有事件之和的概率等于各事件的概率和;



    由公理得到的性质

    性质
    1.P(∅)= 0;(空集概率为0)

    2.对任意有限个互斥事件A1,A2·,···,An,有事件之和的概率等于各事件的概率和;

    3.P(非A) = 1 - P(A);

    4.P(B-A) = P(B) - P(AB)(由韦恩图可以得到)
    备注:B-A是差集,相当于B中不要A的部分

    5.重点性质
    P(A∩B)= P(A) + P(B) - P(AB);

    证明
    ①如果A,B没有交集,则P(AB) = 0;该式子一定成立

    ②如果A,B有交集,则P(A)+P(B)一定会多加一次P(AB),所以减掉一定也可使得式子成立。

    补充

    1.如果有A,B,C三个事件

    ①至少发生一个的概率:P = A ∪ B ∪ C;

    ②至少发生两个的概率:P = AB ∪ BC ∪ AC;

    ③不多于发生一个的概率取对立等于至少有两个发生的取反,即②中的P取反;

    2.抽奖抽人和密码这些问题无关顺序,即先抽后抽,先选后选都一样。




    如有问题,可以在评论区留言哦。希望可以和大家共同进步!

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  • 首先引出的是大家比较好理解的概率,我们日常生活概率——传统概率:传统概率:传统概率拉普拉斯概率,传统概率在实践被广泛应用于确定事件概率值,其理论根据是:如果没有足够的论据来证...

    概率:

    概率,又称或然率机率可能性,它是概率论的基本概念。概率是对随机事件发生的可能性的度量,一般以一个在0到1之间的实数表示一个事件发生的可能性大小。

    这是概率的概念,虽然没什么用处,我们今天主要学习的是概率论。

    首先引出的是大家比较好理解的概率,我们日常生活中的概率——传统概率:

    传统概率:

    传统概率又叫拉普拉斯概率,传统概率在实践中被广泛应用于确定事件的概率值,其理论根据是:如果没有足够的论据来证明一个事件的概率大于另一个事件的概率,那么可以认为这两个事件的概率值相等如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的,且每个单位事件发生的可能性均相等,则这个随机试验叫做拉普拉斯试验。

    比如我们平常认为与概率最沾边的两个东西,骰子与硬币,我们定义事件A是硬币掷到正面,骰子转单数点,事件A在事件空间S中的概率P(A)为:

    S={(正面,1点),(反面,1点),(正面,2点),(反面,2点),(正面,3点),(反面,3点),(正面,4点),(反面,4点),(正面,5点),(反面,5点),(正面,6点),(反面,6点)},A={(正面,1点),(正面,3点),(正面,5点)}

    概率即为3/12=1/4;

    传统概率是我们日常生活中习以为常的事情,可把概率论建立在严格的逻辑基础上,是概率理论发展的困难所在。

    苏联数学家柯尔莫哥洛夫首次完成了公理化定义:

    公理化定义:

    设随机实验E的样本空间为Ω。若按照某种方法,对E的每一事件A赋于一个实数P(A),且满足以下公理:
    (1)非负性:P(A)≥0;
    (2)规范性:P(Ω)=1;
    (3)可列(完全)可加性对于两两互不相容的可列无穷多个事件A1,A2,……,An,……,有
      
    ,则称实数P(A)为事件A的概率。

    统计定义:

    设随机事件A在n次重复试验中发生的次数为nA,若当试验次数n很大时,频率nA/n稳定地在某一数值p的附近摆动,且随着试验次数n的增加,其摆动的幅度越来越小,则称数p为随机事件A的概率,记为P(A)=p。初中数学和生物课上不就是吗?

    事件:

    事件包括单位事件、事件空间、随机事件等。在一次随机试验中可能发生的唯一的,且相互之间独立的结果被称为单位事件,用e表示。在随机试验中可能发生的所有单位事件的集合称为事件空间,用S来表示。
    实际上也有无限可数以及不可数的事件空间

    不可数的比如随便用一个力开屋门,屋门与门框的夹角为α,则这个事件空间可以表示为S={α|0≤α<90};

    因为事件在一定程度上是以集合的含义定义的,因此可以把集合计算方法直接应用于事件的计算,也就是说,在计算过程中,可以把事件当作集合来对待。
    A的补集
    不属于A的事件发生
    联集A∪B
    或者A或者B或者A,B同时发生
    交集A∩B
    事件A,B同时发生
    差集A\B
    不属于B的A事件发生
    空集A∩B=∅A,B事件不同时发生
    子集B⊆A
    如A发生,则B也一定发生
    条件概率:
    一事件A在一事件B确定发生后会发生的概率称为B给之A的条件概率;其数值为
      
    (当
      
    时)。若B给之A的条件概率和A的概率相同时,则称A和B为独立事件。

    好的,我们现在了解了大致的定义后,转入概率的计算:

    概率的计算:

    1.互补法则。

    与A互补事件的概率始终是1-P(A)。
    举个栗子:掷骰子:第一次旋转1不出现的概率是5/6,按照乘法法则,第二次也不出现红色的概率为25/36,因此在这里互补概率就是指在两次连续旋转中至少有一次是红色的概率,为1-25/36=11/36。

    2.不可能事件的概率为零。

    证明: Q和S是互补事件,按照公理2有P(S)=1,再根据上面的定理1得到P(Q)=0

           证明:用脑子想。

    3.如果A1...An事件不能同时发生(为互斥事件),而且若干事件A1,A2,...An∈S每两两之间是空集关系,那么这些所有事件集合的概率等于单个事件的概率的和。

    例如,在一次掷骰子中,得到5点或者6点的概率是:P=P(5)+P(6);

    4.如果事件A,B是差集关系,则有

    5.任意事件加法法则:

    对于事件空间S中的任意两个事件A和B,有如下定理: 概率
     

    6.乘法法则:

    事件A,B同时发生的概率是:
      
    ,前提为事件A,B有一定关联。

    7.无关事件乘法法则:

    两个不相关联的事件A,B同时发生的概率是:注意到这个定理实际上是定理6(乘法法则)的特殊情况,如果事件A,B没有联系,则有P(A|B)=P(A),以及P(B|A)=P(B)。观察一下掷骰子中两次连续的投掷过程,P(A)代表第一次出现6的概率,P(B)代表第二次出现6的概率,可以看出,A与B没有关联,利用上面提到的公式,连续两次出现6的概率为:
     
    所以,连续10次至少有1次出现6的概率为
     P(A)=1/6 

         统计概率:(其实这初中数学课上就已经明白了吧。。)

    获得一个事件的概率值的唯一方法是通过对该事件进行100次,1000次或者甚至10000次的前后相互独立的n次随机试验,针对每次试验均记录下绝对频率值和相对频率值hn(A),随着试验次数n的增加,会出现如下事实,即相对频率值会趋于稳定,它在一个特定的值上下浮动,也即是说存在着一个极限值P(A),相对频率值趋向于这个极限值。
    这个极限值被称为统计概率,表示为:
      
    完全概率:
    n个事件H1,H2,...Hn互相间独立,且共同组成整个事件空间S,即
      
    ,而且
      
    。这时A的概率可以表示为
     
    例如,一个随机试验工具由一个硬币和2个袋子组成,袋子1里有5个白球和1个黑球,袋子2里有3个白球和7个黑球,试验规则是首先掷骰子,如果硬币为正面,则袋子1被选择,如果硬币反面,则袋子2被选择,然后在选择的袋子里随机抽出一个球,最后抽出的这个球是白球的概率是:
    P(白)=P(白|袋子1)·P(正)+P(白|袋子2)·P(反)
    =(5/6)·(1/2)+(3/10)·(1/2)
    =17/30
    完全概率特别适合于分析具有多层结构的随机试验的情况。
    贝叶斯定理:
    贝叶斯定理由英国数学家贝叶斯(Thomas Bayes)发展,用来描述两个条件概率之间的关系,比如P(A|B)和P(B|A)。按照乘法法则,
      
    ,可以立刻导出贝叶斯定理:
      
    如上公式也可变形为例如:
      
    举个例子,现分别有A,B两个容器,在容器A分别有7个红球和3个白球,在容器B里有1个红球和9个白球,现已知从这两个容器里任意抽出了一个球,且是红球,问这个红球是来自容器A的概率是多少?
    假设已经抽出红球为事件B,从容器A里抽出球为事件A,则有:
      
      
      
    ,按照公式,则有:
      



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  • 概率分布

    2019-11-27 09:56:01
    先说一下什么叫试验和时间,试验就是在同一组条件下,对某事物或现象所进行的观察,把观察的结果叫做事件。 随机事件。在同一组条件下,每次试验可能也不能出现的事件 必然事件。在同一组条件下,每次试验一定...

    基本个概念

    随机变量

    在说随机变量之前。先说一下什么叫试验和时间,试验就是在同一组条件下,对某事物或现象所进行的观察,把观察的结果叫做事件。

    • 随机事件。在同一组条件下,每次试验可能也不能出现的事件
    • 必然事件。在同一组条件下,每次试验一定出现的事件
    • 不可能事件。在同一组条件下,每次试验一定不出现的事件
      在实际问题中有的随机事件本身就是数量表示,有的结果却不行,比如掷骰子,试验结果有6个,可以记为1,2,3,4,5,6。但另如抛硬币正反面,结果看似跟数值毫无关系,我们一般会做一个对应的处理,引进一个变量,当硬币正面记为0,反面记为1。简单的说就是将随机事件数值化将结果用一个变量表示,这个变量就叫随机变量。某随机事件X出现的概率为P(X)。X为P(X)的随机变量。P(X)为随机变量X的概率函数。

    古典概率

    古典概率又叫传统概率,如果一个随机试验,它的结果是有限的,而且每一种情况都是相互排斥的,并且发生的概率都是一样的,我们通常称这种这种条件下的概率模型就叫古典概型。

    条件概率

    条件概率也叫后验概率,即若已知道事件B发生了求发生事件A的概率记做P(A|B)。条件概率公式P(A|B)=P(AB)/P(B)。

    离散随机变量

    如果随机变量X的所有取值可以一一列举出来,则称X为离散随机变量,比如掷骰子的结果只有123456六中,每次质检次品的个数。

    连续随机变量

    如果随机变量X的所有取值并不可以一一列举出来,则称X为连续随机变量。比如某年级男孩子的平均身高,某品牌灯泡的使用寿命。

    期望值

    大家通常很容易把期望值和均值混淆,虽然这两个都是平均的概念在里面但是他们有本质上的区别。均值是针对某一次实验的实验结果进行相加后平均所得到的,而期望则是概率论概念,是一个数学特征,不进行实验可以求出来。它是每一种实验结果*概率相加后得到的。

    大数定律

    在数学与统计学中,大数法则(又称大数定律、大数律)是描述相当多次数重复实验的结果的定律。根据这个定律知道,样本数量越多,则其算术平均值就有越高的概率接近期望值。
    大数定律很重要,因为它“说明”了一些随机事件的均值的长期稳定性。

    离散变量概率分布

    伯努利分布

    伯努利试验是单次随机试验,又名两点分布或者0-1分布,是一个离散型概率分布,只有"成功(值为1)发生的概率记为p"或"失败(值为0)发生的概率记为q"这两种结果,q+p=1,是由瑞士科学家雅各布·伯努利(1654 - 1705)提出来的。

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    二项分布

    二项分布就是多次伯努利实验重复进行,并且每一次实验相互独立与其它各次试验结果无关,在每次试验中只有两种可能的结果,而且两种结果发生与否互相对立,事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变,则这一系列试验总称为n重伯努利实验,当试验次数为1时,二项分布服从0-1分布。
    用ξ表示随机试验的结果。如果记一次实验中事件发生的概率是p,则不发生的概率q=1-p,N次独立重复试验中发生K次的概率是
    P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)
    E(K)=np
    D(K)=np(1-p)

    泊松分布

    泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数,电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数。
    在这里插入图片描述
    其中λ为单位时间内随机事件发生的次数。
    E(K)=λ
    D(K)=λ
    在实际生活中我们通常时候回把某段时间随机事件发生的均值作为λ。比如已知6月某客户服务接到电话的次数56次,那么某天接到电话的概率就是56/30。那么下个月某天的接到2次电话的次数就为K=2,λ=56/30计算。
    在实际应用中当λ≤0.25,n>20,np≤5时,泊松分布可以用二项式分布近似。

    连续变量概率分布

    由于连续型随机变量可以取某一区间甚至整个实数轴上的任意一个值,所以我们不能
    像对离散型随机变量那样列出每一个值以及相应的概率,通常用分布函数的形式来描述我们通常称为概率
    密度函数f(x)。
    LmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80Mjc5NzI4Mg==,size_16,color_FFFFFF,t_70)

    均匀分布

    在概率论和统计学中,均匀分布(矩形分布),是对称概率分布,在相同长度间隔的分布概率是等可能的。均匀概率分布可以看成是古典概率分布的连续形式,是指随机事件是连续型数据变量,所有的连续型数据结果所对应的概率相等
    均匀分布由两个参数a和b定义,它们是数轴上的最小值和最大值,通常缩写为U(a,b)
    在这里插入图片描述
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    正态分布

    若随机变量服从一个位置参数为、尺度参数为的概率分布,且其概率密度函数为

    在这里插入图片描述
    则这个随机变量就称为正态随机变量,正态随机变量服从的分布就称为正态分布,正态分布是一种最常见的,连续型分布。我们生活中很多问题都如何正态分布。如身高,体重,肺活量等等。
    当 均值μ=0,σ=1时,正态分布就成为标准正态分布其概率密度函数为

    在这里插入图片描述
    它的图像是有"两头小,中间大的特点是关于期望值μ对称的一个图形"
    在这里插入图片描述

    为了便于描述和应用,常将正态变量作数据转换。将一般正态分布转化成标准正态分布。
    在这里插入图片描述

    指数分布

    指数分布与泊松分布正好互补。泊松分布能够根据过去单位时间内随机事件的平均发生次数,推断未来相同的单位时间内随机事件发生不同次数的概率。而指数分布的作用是根据随机事件发生一次的平均等待时间来推断某个时间段内,随机事件发生的概率。比如在排队等待问题中,泊松分布解决的问题是,已知道在10分钟内有5个人排队,那么在接下来的10分钟内有8个人排队的概率是多少,而且指数分布解决的问题则是已知5分钟内有一个人来结账了,那么接下来3分钟内会有一个人来结账的概率是多少。
    需要注意,使用指数分布进行概率计算时,一般平均等待时间u会大于假定时间x。例如,设备平均1年(u=1)只发生一次故障,如果,表示需要计算该设备接下来两年才发生故障的概率,那么这个发生概率是很大的,因此求取这个概率的意义不大。一般会需要计算比如半年内才生的概率。
    另外指数分布还可以由泊松分布推导而来
    下面是泊松分布的概率

    在这里插入图片描述
    推广其实可以得到泊松过程
    在这里插入图片描述
    这里比之前多了一个t是什么意思呢,比如1小时卖出5份早餐,可以看做半小时卖2.5份早餐,还可以看成10分钟卖出5/6份的早餐,通过新的这个函数就可知不同的时间段内卖出的馒头数的分布了(t=1 时就是泊松分布)
    那么在T时间内没有发生事件的概率其实就是X=0的泊松过程,
    假设Y等于两次事件发生的时间间隔
    在这里插入图片描述
    并且如果每小时卖出X份早餐符合泊松分布,卖出早餐之间的时间间隔Y符合指数分布,那么
    E(X)=λ E(Y)=1/λ。

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  • 助推-nudge

    2018-08-07 17:55:47
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空空如也

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概率中什么叫事件