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  • 文章目录一:伯努利分布/0-1分布二:二项分布三:泊松分布四:正态分布五:均匀分布六:指数分布 一:伯努利分布/0-1分布 如果随机试验仅有两个可能结果...期望和方差 三:泊松分布 1.引入 很多场合下,我们感兴


    一:期望

    引入:
    在这里插入图片描述


    1.1离散型随机变量的期望

    在这里插入图片描述
    注:其实是在等概率的基础上引申来的,等概率下的权重都是1/N。


    1.2连续型随机变量的期望

    在这里插入图片描述
    注:因为对于连续性随机变量其某一点的概率是无意义的,所以要借用密度函数,详情见:https://blog.csdn.net/qq_37534947/article/details/109563254,其实就是一个期望累计的过程。


    1.3期望的性质

    在这里插入图片描述
    注:其中第三个性质,可以把所有的X+Y的各种情况展开,最后得出的结果就是这样的。


    二:随机变量函数(复合随机)的数学期望

    1.理解

    在这里插入图片描述
    注:其实就是复合随机变量的期望,对于离散型 ,其主要是每个值增加了多少倍/减少了多少倍,但是概率不变,所以公式见上面;对于 连续性随机变量,其实是一样的,每个点的概率没有变,所以就是变量本身的值发货所能了改变。


    三:方差

    引入的意义:
    在这里插入图片描述
    求每次相对于均值的波动:
    在这里插入图片描述
    求波动的平方和:
    在这里插入图片描述


    定义:
    在这里插入图片描述
    注:其实就是对X-E(X)方 ,求均值其实就是方差,注意这里的均值也是加权平均,所以方差其实就是一种特殊的期望。


    3.1离散型随机变量的方差

    在这里插入图片描述


    3.2连续性随机变量的方差

    在这里插入图片描述


    3.3方差的性质

    在这里插入图片描述
    注:3)4)5)等性质可以套入定义中就可以得到,这里不多说;对于独立以及协方差见后;8)的证明如下
    在这里插入图片描述


    四:协方差

    4.1定义

    在这里插入图片描述
    注:这里和之前一个变量对比,之前是一个变量的偏移后进行平方,然而这里是两个变量平移后进行相乘。

    4.2离散型二维随机变量的协方差

    在这里插入图片描述


    4.3连续型二维随机变量的协方差

    在这里插入图片描述


    4.4二维随机变量的协方差性质

    在这里插入图片描述
    注:了解即可…


    4.5协方差矩阵

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述


    五:相关系数

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    所以: 独立必不相关,但不相关不一定独立,因为这里的不相关指的是线性不相关,可能会有其他非线性关系,具体例子找到再补充-------。


    参考链接:
    https://www.cnblogs.com/bigmonkey/p/11097322.html

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  • 7.4.2 利用MATLAB计算随机变量的期望和方差 一用MATLAB计算离散型随机变量的数学期望通常对取值较少的离散型随机变量可用如下程序进行计算对于有无穷多个取值的随机变量其期望的计算公式为可用如下程序进行计算案例...
  • 二项分布期望和方差的公式推导

    万次阅读 2014-10-01 09:25:31
    而且两种结果发生与否互相对立,并且相互独立,与其它各次试验结果无关,事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变,则这一系列试验总称为n重伯努利实验,当试验次数为1时,二项分布就是伯努利分布
    二项分布即重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果,而且两种结果发生与否互相对立,并且相互独立,与其它各次试验结果无关,事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变,则这一系列试验总称为n重伯努利实验,当试验次数为1时,二项分布就是伯努利分布。若每次实验中某事件发生的概率为p,不发生的概率为q,则有p+q=1。二项分布期望和方差的推导公式如下:
    
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  • 公式 设试验样本空间为S={e1,e2,e3,…,en}{e1,e2,e3,…,en},若事件A包含k个基本事件,即A={ei1}⋃{ei1}⋃…{eik}{ei1}⋃{ei1}⋃…{eik},这里i1,i2,…,iki1,i2,…,ik是1,2,…,n1,2,…,n中k个不...

    基本概念

    等可能概型(古典概型)

    特点

    • 试验的样本空间只包含有限个元素;
    • 试验中每个基本事件发生的可能性相同。

    公式

    设试验的样本空间为S={e1,e2,e3,…,en}{e1,e2,e3,…,en},若事件A包含k个基本事件,即A={ei1}⋃{ei1}⋃…{eik}{ei1}⋃{ei1}⋃…{eik},这里i1,i2,…,iki1,i2,…,ik是1,2,…,n1,2,…,n中k个不同的数。则有: 

    P(A)=∑j=1kP({eij})=kn=A包含的基本事件数S中基本事件的总数P(A)=∑j=1kP({eij})=kn=A包含的基本事件数S中基本事件的总数

     

    例题

    • 将一枚硬币抛掷三次,恰有一次出现正面的概率;
    • 袋子里装小球,放回抽样和不放回抽样;
    • n个人中至少有两人生日相同的概率。

      假设每人的生日在一年365天中任一天是等可能的,即13651365,则随机选取n个人,生日各不相同的概率是: 

      365∙365∙⋯∙(365−n+1)365n365∙365∙⋯∙(365−n+1)365n


      所以n个人至少两人生日相同的概率是: 

      p=1−365∙365∙⋯∙(365−n+1)365np=1−365∙365∙⋯∙(365−n+1)365n

       

    n 20 23 30 40 50 60 100
    p 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.999 999 7

    条件概率

    条件概率定义

    设A,B是两个事件,且P(A)>0,称

    P(B|A)=P(AB)P(A)P(B|A)=P(AB)P(A)

    为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率

     

    乘法定理

    设P(A)>0,则有

    P(AB)=P(B|A)P(A)P(AB)=P(B|A)P(A)

     

    全概率公式

    设试验E的样本空间为S,A为E的事件,B1,B2,…,BnB1,B2,…,Bn的一个划分,且P(Bi)>0(i−1,2,…,n)P(Bi)>0(i−1,2,…,n),则 

    P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+⋯+P(A|Bn)P(Bn)P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+⋯+P(A|Bn)P(Bn)

     

    贝叶斯公式

    设试验E的样本空间为S,A为E的事件,B1,B2,…,BnB1,B2,…,Bn为S的一个划分,且P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,…,n)P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则 

    P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)∑kj=1P(A|Bj)P(Bj)P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)∑j=1kP(A|Bj)P(Bj)

     


    离散型随机变量

    0-1分布

    设随机变量X只可能取0与1两个值,它的分布律是 

    P{X=k}=pk(1−p)1−k,k=0,1(0<p<1)P{X=k}=pk(1−p)1−k,k=0,1(0<p<1)

     

    X 0 1
    pkpk 1−p1−p pp

    伯努利试验

    设试验E只有两个可能结果:AA和A¯A¯,则称E谓伯努利试验。设P(A)=p  (0<p<1)P(A)=p  (0<p<1),此时P(A¯)=1−pP(A¯)=1−p。将E独立重复地进行n次,则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验


    二项分布

    n重伯努利试验,事件A在n次试验中发生k次的概率: 

    P{X=k}=Cknpkqn−k,k=0,1,…,nP{X=k}=Cnkpkqn−k,k=0,1,…,n


    我们称随机变量X服从参数为n,p的二项分布,记为X−b(n,p)X−b(n,p)。

     


    泊松分布

    设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,而取各个值的概率为 

    P{X=k}=λke−λk !,k=1,2,…P{X=k}=λke−λk !,k=1,2,…


    其中λ>0是常数,称X服从参数为λ的泊松分布,记为X−π(λ)X−π(λ)。

     

    泊松定理

    设λ>0是一个常数,n是任意正整数,设npn=λnpn=λ,则对于任一固定的非负整数k,有 

    limn→∞Cknpkn(1−pn)n−k=λke−λk !limn→∞Cnkpnk(1−pn)n−k=λke−λk !


    当n很大,p很小(np=λ)时有以下近似公式 

    Cknpk(1−p)n−k≈λke−λk !Cnkpk(1−p)n−k≈λke−λk !


    也就是说以n,p为参数的二项分布的概率值可以由参数为λ=npλ=np的泊松分布的概率值近似。

     


    连续型随机变量

    均匀分布

    若连续型随机变量X具有概率密度 

    f(x)={1b−a,0,a<x<b其他f(x)={1b−a,a<x<b0,其他


    则称X在区间(a,b)(a,b)上服从均匀分布,记为X−U(a,b)X−U(a,b)。概率密度f(x)和分布函数F(x)如图所示: 

     

     


    指数分布

    若连续型随机变量X的概率密度为 

    f(x)={1θe−x/θ,0,x>0其他f(x)={1θe−x/θ,x>00,其他


    其中θ>0θ>0为常数,则称X服从参数为θθ的指数分布。密度函数如下图: 

     

     


    正态分布

    若连续型随机变量X的概率密度为 

    f(x)=12π−−√e−(x−μ)22σ2,−∞<x<+∞f(x)=12πe−(x−μ)22σ2,−∞<x<+∞


    其中μ,σ(σ>0)μ,σ(σ>0)为常数,则称X服从参数为μ,σμ,σ的正态分布高斯分布,记为X−N(μ,σ2)X−N(μ,σ2)。

     


    几种常见的概率分布表

     

     

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  • 则每天抛一次硬币,硬币正面概率为p,反面则为(1-p),则当国王抛到第k次正面硬币的情况下,结束生日party,而每天生日party的开销为一个a0=1,d=2的等差数列,问国王生日party举行的天数的期望和开销的期望?...

    题意如此理解:国王过生日要举办宴会,以抛硬币来决定宴会的结束:当国王举行第k次的生日,则每天抛一次硬币,硬币正面概率为p,反面则为(1-p),则当国王抛到第k次正面硬币的情况下,结束生日party,而每天生日party的开销为一个a0=1,d=2的等差数列,问国王生日party举行的天数的期望和开销的期望?

        这道有点郁闷,在北大月赛中算是一道简单题,只不过做的时候题目都没理解进去,更别提做出来。

    1、首先要求的 the expected number of days and the expected number of coins中的expected 是期望的意思,这个没知道,属于语言上的缺憾。

    2、没有领悟过来这是一道负二项分布的题目(其实好像我只记得有二项分布,对负二项分布没什么印象);

    3、再次也是最难的:没有想到还有这个公式用于求随机变量的期望:D(x) = E(x^2) - E(x)*E(x) ==》 E(x^2) = D(x) +E(x)*E(x)。

    讲了上面三点解题思路应该出来了:

    首先the expected number of days ,就是负二项分布的期望E(x) = k/p。负二项分布的概念:

        负二项分布又称帕斯卡分布,是一种离散型分布,常用于描述生物群聚性,医学上用来描述传染性或非独立性疾病的分布和致病生物的分布,负二项分布的试验次数不固定也就是二项分布的n=x+k。
        负二项分布,试验独立进行,每次只有两个结果,A,B,其中P(A)=p,P(B)=1-p,试验独立进行到事件A发生r次停止,X表示到试验结束时,事件B发生的次数,则X的分布列为负二项分布.
        负二项分布,记作ξ~NB(k,p) ,其期望E(ξ)=k(1-p)/p, 方差D(ξ)=k(1-p)/p^2,其中k为事件A发生k次停止,p为时间A发生的概率。
        因此设国王开party的天数为X,则X=k的概率为C(k, k)*p^k,X=k+1的概率为C(k+1, k)*p^k**(1-p),.....X=k+n的概率为C(k+n, k)*p^k*(1-p)^n,则X就服从负二项分布X~NB(k,p) 。其期望E(X) = k/p。
        设国王开party的开销为E,则E=X^2。因为:第i天party的开销为ai = 2*i-1,则进行i天的开销Ei = Si = a1 + a2 + a3 .... + ai = i^2(出题者的目的昭然若揭),则E = X^2。因此E(X^2)=D(X)+E(X)*E(X) = k(1-p)/p^2 + (k/p)*(k/p)。
        至此此题算是有个结果了,我想说的是这道简单题真不简单,至少对我而言。       
       
     
     
     
     
     
     
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