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  • 概率图模型应用实例

    千次阅读 2019-03-08 09:52:14
    04、概率图模型应用实例         最近一篇文章《Deformable Model Fitting by Regularized Landmark Mean-Shift》中人脸点检测算法在速度和精度折中上达到了一个相对不错...

            04、概率图模型应用实例

            最近一篇文章《Deformable Model Fitting by Regularized Landmark Mean-Shift》中的人脸点检测算法在速度和精度折中上达到了一个相对不错的水平,这篇技术报告就来阐述下这个算法的工作原理以及相关的铺垫算法。再说这篇文章之前,先说下传统的基于CLM(Constrained local model)人脸点检测算法的不足之处,ASM也属于CLM的一种,CLM顾名思义就是有约束的局部模型,它通过初始化平均脸的位置,然后让每个平均脸上的特征点在其邻域位置上进行搜索匹配来完成人脸点检测。整个过程分两个阶段:模型构建阶段和点拟合阶段。模型构建阶段又可以细分两个不同模型的构建:形状模型构建和Patch模型构建,如(图一)所示。形状模型构建就是对人脸模型形状进行建模,说白了就是一个ASM的点分布函数(PDM),它描述了形状变化遵循的准则。而Patch模型则是对每个特征点周围邻域进行建模,也就说建立一个特征点匹配准则,怎么判断特征点是最佳匹配。


    (图一) CLM模型:形状模型和Patch模型


          下面就来详细说下CLM算法流程:

          一、模型构建之形状模型构建(延续ASM的形状模型函数),如(公式一)所示:

    (公式一)


            (公式一)中X-bar表示平均脸,P是形状变化的主成分组成的矩阵,它是一个关键的参数,下面就来看看它是如何得到的。假设我们有M张图片,每张图片有N个特征点,      每个特征点的坐标假设为(xi,yi),一张图像上的N个特征点的坐标组成的向量用表示,所有图像的平均脸可用(公式二)求出:

    (公式二)

            然后每张脸组成的向量都减去这个平均脸向量,就得到一个均值为0的形状变化矩阵X,如下表示:

            一定要注意X此时是一个零均值的形状变化矩阵,因为每个行向量都减去了平均脸向量,也就是相对于平均脸的偏差,对XX’进行主成分分析,得到形状变化的决定性成分,即特征向量Pj以及相对应的特征值λj,选择前K个特征向量以列排放的方式组成形状变化矩阵P,这些特征向量其实就是所有样本变换的基,可以表述样本中的任意变化。有了形状变化矩阵P,(公式一)中的B就可以通过(公式三)得出:

    (公式三)

           (公式三)中求出的B其实是形状变化的权重向量,决定哪些特征点起着关键作用。到这里就完成模型构建,当给定一个权重B时,我们就可以用(公式一)重建出一个形状,这个权重B在以后点拟合阶段起着关键作用。

     

    二、模型构建之Patch模型构建

     

           在构建好形状模型之后,我们就可以在检测到的人脸上初始化一个人脸形状模型,接下来的工作就是让每个点在其邻域范围内寻找最佳匹配点。传统的ASM模型就是沿着边缘的方向进行块匹配,点匹配等各种低级匹配,匹配高错误率导致ASM的性能不是很好。后续各种改进版本也就出来了,大部分做法都是对候选匹配特征点邻域内的块进行建模,我们统称他们为有约束的局部模型:CLM。这里先以基于SVM的匹配作为例子来说,因为这些都是铺垫知识,引出改进的算法。当我们初始化每个特征点后,用训练好的SVM对每个特征点周围进行打分,就像滤波器一样,得到一个打分响应图(response map),标识为R(X,Y),如(图二)所示:

    (图二)  特征点(左)其邻域响应图(右)

              接下来就是对响应图拟合一个二次函数,假设R(X,Y)是在邻域范围内(x0,y0)处得到最大值,我们对这个位置拟合一个函数,使得位置和最大值R(X,Y)一一对应。拟合函数如(公式四)所示:

    (公式四) 拟合最大响应位置二次函数

          (公式四)中的a,b,c是我们要求的拟合二次函数的参数,求解方法就是使拟合函数r(x,y)和R(X,Y)之间的误差最小,即完成一个最小二乘法计算,如(公式五)所示:

    (公式五) 求取(公式四)的最小二乘法

            通过(公式五)完成最小二乘法运算后得到(公式四)的参数a,b,c,有了参数a,b,c,那么r(x,y)其实就是一个关于特征点位置的目标代价函数,然后再加上一个形变约束代价函数就构成了特征点查找的目标函数,每次优化这个目标函数得到一个新的特征点位置,然后在迭代更新,直到收敛到最大值,就完成了人脸点拟合。目标函数如(公式六)所示:

    (公式六) 目标函数

           在(公式六)的目标函数中第二项就是形状约束,b是上面说的形变成分的权重,而lambda则是形变成分(主成分分析中的空间轴)对应的幅度(主成分分析的特征值)。对于整个目标函数,你可以这样理解,第一项是拟合位置作为新特征点位置的代价,而这个位置的代价再减去平均形状的变化,这样就形成了位置和形状两种约束的制约,如果一个在一个歧义的位置得到的r(x,y)分很高,但是离平均脸很远,那么f(x)值也会很小,那就不是最优值。我们比较关心的是目标函数中的两项约束是否是一一对应,等比例增长的。这点不用担心,如果把(公式六)展开用矩阵的形式写出来的话,可以变成(公式七)的样子:

    (公式七) 目标函数展开

    其中

            可以看出(公式七)是个关于特征点位置X的二次凸函数,有全局最优解。每次求出最优解,然后再计算邻域响应图,在求解直到收敛时就完成了特征点的拟合查找工作。

     

     

     

            这个算法理论还是可以,但有几点不足:第一、从SVM里得到的响应图是否真实可靠?这点其实也正是要改进的地方。第二、每次迭代都要优化一个二次函数计算量也蛮大,这会拖慢速度,无法实时。第三、形变约束是否有争议,能否让你信服?而且形状模型根本没考虑到现实情况中的缩放,旋转和平移。

     

             带着这三个问题,我们进入文章一开头就提到的那篇文章的算法,我们简称它为DMF_ MeanShift, DMF_MeanShift使用的点分布模型(形状模型)如(公式八)所示:


    (公式八)点分布模型

           (公式八)中的要求参数为,分别表示缩放,旋转,平移,主成分权重。而x-bar和fai则表示平均脸和形变主成分矩阵,和CLM中的一样。现在我们的目标仍然是优化一个有形变约束和匹配代价约束组成的目标函数,如(公式九)所示:

    (公式九)

             这里要注意一下,R(P)表示形变约束,对应CLM(公式六)中的第二项,D表示匹配代价,对应CLM(公式六)中的第一项。这两项在DMF_MeanShift中都要发生变化,不再使用CLM中的约束规则,而使用概率分布的形式来表述,全部在概率图模型的框架中完成推理求解,下面来看看是如何把(公式九)中的两项约束转换成概率约束的。

            对于(公式九)中的求取形状模型参数的目标函数,在概率模型中可以描述成一个当所有特征点都匹配最优时模型参数的最大似然。意思就是说在训练样本中,给定所有样本点匹配最优时的最大似然估计。当给定图像块时,每个检测器之间是相互独立的(这个条件独立有争议,我现在还没有彻底推倒出来),那么这个似然函数可以写成(公式十)的形式:

    (公式十)

            在(公式十)中,左边表示给定匹配点和图像块时,参数的似然函数,右边则是条件独立分解。其中表示该特征点i是否是最优匹配点,1表示是,-1表示否。两边同时取自然对数后,乘法变加法,得到(公式十一):

    (公式十一)

           (公式十一)中的两项就和CLM中的两项约束对应上了,而且转换到了概率空间,接下来的步骤就是对这两项的分布进行近似估计。估计的方法很多,而且很复杂,这里为了方便理解,先贴出几个估计方法的对比效果图,如(图三)所示:

    (图三)

            在(图三)中RES表示真实响应图,而ISO,ANI,GMM和KDE分别表示各向同性高斯估计、各向异性高斯估计、混合高斯估计和核密度估计,从(图三)中可以看出基于核密度估计得逼近分布和真实响应图最接近。由于前三个近似逼近方法效果不好,而且推导过程复杂,这里就不再说了,只简单说下效果最好的KDE逼近方法。

    由于在(公式一)中的形变矩阵P扔掉了一些很小的成分,因此重建的形状点并不是百分百正确,有一定的误差,我们可以这个误差看成观察噪声,它服从同方差各向同性高斯分布,如(公式十二)所示:

    (公式十二)

             其中ρ表示噪声的协方差,可以通过(公式十三)求出(Moghaddam and Pentland1997):

    (公式十三)

            其实就是主成分分析中特征值的算术平均,通过(公式十二)我们也可以得到给定Xi时yi的条件概率,如(公式十四)所示:

    (公式十四)

          (公式十四)的推倒是通过混合高斯分布推倒出来的,这里也不再推倒。假设特征点候选区域为,把真实特征点的位置看成隐变量y,那么特征点匹配的似然函数可以通过积分掉隐变量y得到,如(公式十五)所示:

    (公式十五)

            综合(公式十四)和(公式十五),我们得到一个非参形式的响应图近似估计,如(公式十六)所示:

    (公式十六)

            把(公式十六)这个匹配代价约束带入(公式十)中,我们得到最一个关于参数P的似然概率分布函数,如(公式十七)所示:

    (公式十七)

             只要求解此最大似然函数就可以求出参数P,也就是求取使得关于参数P的边缘概率最大时对应的参数P,这是一个无向图模型,如果你不能抽象出图模型,可以参看(图四)所示:

    (图四)

           (图四)中Li表示观察,y表示隐藏变量,P表示参数。这个关于P的边缘概率可以通过概率图模型的中的BP算法求解,有兴趣的可以翻看参考文献[6]的Appendix。这里采用另外一种求解方法:EM算法。因为真实位置标签y我们不知道,是个隐变量,而且参数P也不知道,很自然的就想到了EM算法。EM算法的推倒也比较复杂,这里就直接贴图了,反正最后的结论才是我们想要的,如(图五)所示。

    (图五)


          (图五)中的等式(33)对应本文的(公式十七)。最后得到的等式(36)就是我们想要的梯度,有了梯度就可以更新参数P,而且也可以通过(公式十八)来更新候选特征点匹配的位置:

    (公式十八)

           (公式十八)的得出是在参考文献[6]的各向同性高斯逼近方法中推倒出来的,用的是泰勒展开方法,这里的推倒在后续有时间再补充。这样通过更新特征点匹配位置,有了新位置然后计算deltaP,然后更新参数P,重复上述过程直到参数P收敛为止,就完成了特征点匹配检测。整个过程有点像Mean-Shift算法,所以算法名中出现Mean-Shift。这个算法的好处就是融合进了各种形变参数,并且使得参数可以迭代更新,更新速度也挺快。

             本篇文章只能算是介绍下概率图图模型的一个应用,了解人脸特征点检测详细原理需要阅读参考文献[6],欢迎提供关于各向同性高斯估计、各向异性高斯估计、混合高斯估计和核密度估计的相关资料和讨论


    转载请注明来源:http://blog.csdn.net/marvin521/article/details/11489453

     

    参考文献:

    [1] Gaussian mean-shift is an EM algo-rithm.Carreira-Perpinan, M. (2007)

    [2] On the number of modes of a Gaussianmixture. Carreira-Perpinan, M., & Williams, C. (2003)

    [3] Active shape models—‘smart snakes’.Cootes, T., & Taylor, C. (1992)

    [4] Constrained Local Model for FaceAlignment. Xiaoguang Yan(2011)

    [5] Face Alignment through SubspaceConstrained Mean-Shifts. Jason M. Saragih(2009)

    [6] Deformable Model Fitting by RegularizedLandmark Mean-Shift. Jason M. Saragih(2011)

    [7] Support vector tracking. Avidan, S.(2004)





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  • 概率图模型在图像处理中的应用

    千次阅读 2016-08-28 23:32:04
    概率图模型是图灵奖获得者Pearl开发出来用图来表示变量概率依赖关系理论。概率图模型理论分为概率图模型表示理论,概率图模型推理理论和概率图模型学习理论。  概率图理论共分为三个部分,分别为概率图模型...

    1.概率图模型简介:

    概率图模型是图灵奖获得者Pearl开发出来的用图来表示变量概率依赖关系的理论。概率图模型理论分为概率图模型表示理论,概率图模型推理理论和概率图模型学习理论。

           概率图理论共分为三个部分,分别为概率图模型表示理论,概率图模型推理理论和概率图模型学习理论。基本的概率图模型包括贝叶斯网络、马尔可夫网络和隐马尔可夫网络。基本的Graphical Model 可以大致分为两个类别:贝叶斯网络和马尔可夫随机场。它们的主要区别在于采用不同类型的图来表达变量之间的关系:贝叶斯网络采用有向无环图来表达因果关系,马尔可夫随机场则采用无向图来表达变量间的相互作用。这种结构上的区别导致了它们在建模和推断方面的一系列微妙的差异。一般来说,贝叶斯网络中每一个节点都对应于一个先验概率分布或者条件概率分布,因此整体的联合分布可以直接分解为所有单个节点所对应的分布的乘积。而对于马尔可夫场,由于变量之间没有明确的因果关系,它的联合概率分布通常会表达为一系列势函数的乘积。通常情况下,这些乘积的积分并不等于1,因此,还要对其进行归一化才能形成一个有效的概率分布——这一点往往在实际应用中给参数估计造成非常大的困难。

     

    2.概率图模型在图像特征点匹配中的应用

           数字图像处理是计算机视觉重要的组成部分,特征点匹配是数字图像处理技术中一个基础而经典的技术环节,它的主要任务是将两个或者多个点集中满足一定几何变换关系的点匹配成对,从而识别和定位物体,它在医学图像匹配、运动目标的监测和跟踪、手写文字体识别等诸多领域中都有着重要的应用,具有十分重要的地位和研究价值,匹配结果的优劣直接影响到高层视觉中问题求解的正确与否。

           点集匹配要找出两个点集之间的空间映射关系。目前,解决点匹配问题仍有较多困难。把马尔可夫随机场应用到点集匹配中,得到模板点集的马尔可夫随机场表示,并且根据实际应用对算法进行了很大程度的优化,降低了复杂度,从而得到了模板点集的非刚性全集匹配算法;最后,引入匹配阈值,对全匹配算法进行了改进,最终得到了一种非刚性子集匹配算法。将概率图模型应用到点集匹配领域,得出一种新的旋转、缩放不变,并且能够承受一定程度噪声的非刚性子集匹配算法,该方法计算量小,有较好的普适性,更重要的是,它实现了子集之间的多对一映射。

     

    3.概率图模型在图像分割中的应用

           图像分割的目的就是将给定的一幅图像分割成物体的集合,而对于这些物体可以运用诸如图像检测、辨识和跟踪等这些处理高层次图像的技术进一步处理。解决图像分割问题的算法大致可分为确定性方法和概率方法。前者把分割问题看做确定性最优化问题,后者把分割问题看做随机最优化问题。概率方法又可进一步细分为两类方法:(1)基于概率图模型(如 MRF 和 BN)建模相关图像实体的联合概率分布;(2)利用参数或非参方法直接建模图像实体的概率分布,包括判别式模型和产生式模型。

           MRF和条件随机场(CRF)是两类在图像分割中应用最广泛的无向图模型。BN是应用最广泛的有向无环图。

    (1)  基于MRF的分割模型

    MRF 分割模型在二维格栅上建模图像观测和标记变量的联合概率分布,根据贝叶斯定理,联合概率能被分解成图像观测似然函数和标记变量先验分布的乘积。一种先验的马尔可夫过程通常被作为先验分布,该先验分布激励邻近图像观测的标注趋同。MRF假设图像观测条件独立于已给定的各位置的标注。

    (2)  基于CRF的分割模型

    与MRF不同,CRF在给定图像观测条件下,直接建模标记变量的后验概率分布,并假设该后验概率满足马尔可夫链性质。因此,CRF 是着重判别各位置图象观测的判别式模型。CRF 松弛观测变量的条件独立性假设,允许观测变量之间任意交互,这样也更符合实际情况。同时,CRF 假设标记变量在给定观测数据条件下满足马尔可夫链性质,从而也能松弛基于观测数据的局部匀质约束,也让 CRF以自然的方式处理不连续的图像数据和标注。LEE LH 等人设计一种普适的图像分割算法。该方法基于 Adaboost 学习不同分割区域间的差异信息,根据获得的信息构造 CRF 能量函数,从而能用最合适的特征表示被分割区域。LI Xi 等人采用 CRF,提出一种基于超像素的分割目标类的框架。该框架首先使用多尺度 Boosting 分类器估计超像素标记,然后设计一个各相异性对比度敏感的成对函数,用以表示目标间的交互势函数。

    (3)  基于BN的分割模型

    BN提供一种系统方法去建模随机变量之间的因果关系。它利用条件独立性关系简化可能复杂的联合概率分布建模。基于BN结构,联合概率分布能分解为局部条件概率的积,同时,使用局部条件概率更容易说明其蕴含的语义。在图像分割中,BN 能表示不同实体之间(区域、边缘和它们的观测先验度)统计关系上的知识。

     

    4.概率图模型总结

    概率图模型及其应用是一个比较前沿的研究领域,对解决不确定性问题具有非常好的应用前景。

    概率图模型有很多好的性质:

    (1)提供了一种简单的可视化概率模型的方法,有利于设计和开发新模型;

    (2)通过对图的深入研究了解概率模型的性质;

    (3)用于表示复杂的推理和学习运算,简化了数学表达;

    但是概率图模型也有很多问题值得关注:

    (1)   很多的应用系统都是用PGM的某一种方法,对不同领域算法的效率不高。

    (2)   图和将现有的一些图像和视频智能信息工具和方法(图像的多尺度分析方法,视频的运动估计方法等)结合到PGM方法中还值得进一步研究。

    PMG自身的特点使得基于PGM的算法通常具有较高的时间复杂度,对PGM进行
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  • 概率图模型在社交网络用户相似性发现中的应用
  • 变分推断 以前都是搞Gibbs采样,最近找国外导师时候发现有必要...如果将其应用图模型中,可以将相互作用多体看成相互作用变量: 变分贝叶斯推断 LDA变分推断 Supervised topic models变分推断 ...

    变分推断

    以前都是搞Gibbs采样,最近找国外导师的时候发现有必要学习一下变分推理。

    平均场理论

    来源于物理学,是一种研究复杂多体问题的方法,将数量巨大的互相作用的多体问题转化成每一个粒子处在一种弱周期场中的单体问题。如果将其应用到图模型中,可以将相互作用的多体看成相互作用的变量:
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    变分贝叶斯推断

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    LDA的变分推断

    Supervised topic models变分推断

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  • 论文介绍,相关概率图知识,马儿克夫、随机游走结合的模型的应用,用于研究生的概率图课程的结课报告。
  • 现在借助以下几个问题开始概率图模型的学习: 为什么需要概率图模型及其优点? 概率图模型都有哪些应用模型? 为什么需要概率图模型? 对于复杂系统理解和拆分,图应当是首选的分析利器。概率图模型就是一类用图形...

    图模型的主要应用场景为欺诈侦测报警,从各个特征出现的频率对异常概率进行预警。概率图模型所涉及到的知识点非常广,所以对读者的基础知识要求也相对较高。

    现在借助以下几个问题开始概率图模型的学习:

    • 为什么需要概率图模型及其优点?
    • 概率图模型都有哪些应用模型?

    为什么需要概率图模型?

    对于复杂系统理解和拆分,图应当是首选的分析利器。概率图模型就是一类用图形模式表达基于概率相关关系的模型的总称。概率图模型结合概率论与图论的知识,利用图来表示与模型有关的变量的联合概率分布。

    也就是说,概率图模型是用图来表示实体之间的关联和约束,具体到机器学习领域就是特征和类别、特征和特征之间以及类别和类别之间的关联和约束。

    图的表达能力非常强,仅仅用点和线就可以表达实体之间复杂的关系。如果给关联实体的边再加附加上概率,就近一步表达了实体之间关系的强弱和推理逻辑。

    概率图模型具体可以给我们带来什么呢?这里可以简单概括一下:

    • 分类任务中,借助概率图建立实体之间紧凑的依赖关系,可以减小类后验概率计算所需的参数估计工作量。
    • 概率图模型可以很容易与专家和领域知识结合,比如做一些实体之间的独立性假设,简化系统实体之间的依赖关系。

    网络结构

    概率图模型如图主要分为两种,即贝叶斯网络和马尔可夫网络。

    贝叶斯概率图模型是有向图,因此可以解决有明确单向依赖的建模问题,而二马尔可夫概率图模型是无向图,可以适用于实体之间相互依赖的建模问题。这两种模型以及两着的混合模型应用都非常广泛。

    概率图模型可以很清晰的表达实体之间的依赖以及导出联合概率以及条件概率的计算公式。

    • 贝叶斯概率图依赖分析及联合概率因子分解。 (B⊥C|A) (D|B,C) P(A,B,C) = P(A)P(B|A)P(C|A)P(D|B,C)
    • 马尔可夫概率图依赖分析及联合概率因子分解。 (B⊥C|A,D) (A⊥D|B,C) P(A,B,C) = φ1(A,B)φ2(B,C)φ3(C,D)φ4(A,D)/Z (Z为归一化因子,φ一般为指数函数)

    可以看出,有向图的联合概率可以写成各条件概率的乘积,而无向图的联合概率可以写成最大团随机变量函数的乘积。注意,图的最大团其实就是图的各个最大连通子图。

    概率图模型的实体关系建模可以简化或省略一些条件概率的计算,比如不用计算P(D|A,B,C),转而计算P(D|B,C)的值。

    表示、推理及学习

    现在从表示、推理和学习的角度,来进一步说明概率图模型的优点和作用。

    • 从表示的角度看,概率图模型可以很好表示实体之间关系,而且可以很容易导出相应的概率公式。同时,这种表示方法可以很容易被领域内外的人所理解。
    • 从推理的角度看,当我们得到相关的信息和观测数据,我们可以很容易利用概率图导出的计算公式进行推理,给出判别结果。
    • 从学习的角度看,可以利用专家经验和语料数据,对概率图模型的相关参数进行估计,效率更高而不需要估计冗余的参数。

    概率图模型都有哪些应用模型?

    贝叶斯和马尔可夫网络是两种基本的概率图模型,结合两者又可以产生一些混合模型。那么实际应用中,有哪些模型属于概率图模型呢?

    • 朴素贝叶斯模型NB
    • 最大熵模型MEM
    • 隐马尔可夫模型HMM
    • 最大熵马尔可夫模型MEMM
    • 条件随机场CRF

    下面我们看看这些模型各自的概率图模型是怎样刻画的并分析各自所表达的含义。

    对于朴素贝叶斯模型来说,特定的类别样本在不同的特征属性上具备不同的数据表征,而且特征之间有着独立性假设,即特征之间是无关联的。

    对于隐马尔可夫模型来说,隐状态之间满足马尔可夫性假设,即当前状态只和前一状态有关,而与历史状态和后续状态无关;另外,还假设特征之间也是相互独立的,且特征只由当前隐状态产生。

    对于最大熵马尔可夫模型来说,与隐马尔可夫模型相比,每个隐状态只依赖前一状态和当前观测,而且每组这样三者的组合都是独立的,且采用最大熵模型建模。

    对于条件随机场模型来说,当前状态依赖于上下文状态和上下文观测,所以没有过多的独立性假设,可以自由搭配特征以及标注。

    总结

    在概率图模型知识框架中,涉及的相关知识点非常多。我们熟知的很多模型都可以纳入到这个框架下,也使得我们自己积累的知识得以汇总并在此基础之上进一步爬坡。

    学习概率图模型时,我们可以了解到每一种模型的特点是什么、之间对比有哪些,以及每一种模型各自涵盖的知识点。

    比如:

    • 朴素贝叶斯模型中的特征条件独立性假设和贝叶斯定理;
    • 最大熵中熵建模知识、IIS迭代尺度优化算法以及分布相似性度量方法;
    • 隐马尔可夫模型中的前向后向算法、viterbi解码、以及EM参数估计;
    • 条件随机场模型中条件随机场定义、学习和预测的动态规划算法。

    当然,接下来我们也会追随这些知识点继续学习这些模型。

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  • 概率图模型中文图书

    2017-10-31 22:02:09
    概率图模型学习理论及其应用》;赵悦著;清华大学出版社;157页 概率图模型领域为数不多国内好教材,一百多页,绝对平易近人(吐槽:Koller经典著作,那厚度,像板儿砖,还没看就能吓死你)
  • 概率图模型

    2018-06-10 12:37:55
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    2019-11-07 15:54:37
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  • 概率图模型是用图来表示变量概率依赖关系的理论,分为概率图模型表示理论,概率图模型推理理论和概率图模型学习理论。在人工智能、机器学习和计算机视觉等领域有广阔的应用前景。
  • 概率图模型是用图来表示变量概率依赖关系的理论,分为概率图模型表示理论,概率图模型推理理论和概率图模型学习理论。在人工智能、机器学习和计算机视觉等领域有广阔的应用前景。
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空空如也

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概率图模型的应用