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  • 连续型随机变量及其概率密度

    千次阅读 2019-05-24 17:11:51
    f(t)为X的概率密度 注: 例题: 常见连续型随机变量的分布

    f(t)为X的概率密度

    注:

    例题:

     

    常见连续型随机变量的分布

     

     

     

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  • 连续型随机变量的概率密度函数

    千次阅读 2016-12-25 10:15:42
    概率密度的概念与性质 1.定义 2.性质 典型例题

    概率密度的概念与性质
    1.定义
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    2.性质
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    典型例题
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  • 总结的比较全的对与常见连续型分布函数,概率密度函数和特征函数的性质,并举出一些例题,是一个很好的参考资料
  • 因为关于二维随机变量主题内容重要,难度大,例题多,最主要是积分区间...求二维函数Z=g(X,Y)型,用卷积公式求概率密度,积分区域如何确定(中) #### ======= 【例二】 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x...

    因为关于二维随机变量主题内容重要,难度大,例题多,最主要是积分区间的确定是难点,同时关联卷积概念,卷积公式容易,积分区间难以确定,因为书上的例题都没有详细解释积分区间如何确定,所以分成上中下三篇博客写。
    接本主题(上)。

    求二维函数Z=g(X,Y)型,用卷积公式求概率密度,积分区域如何确定(中)

     ####  =======
    

    【例二】

    设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

    f(x,y)={ 2xy,0<x<1,0<y<1, 0,others

    (1)求P{X>2Y}
    (2)求Z=X+Y的密度函数fz(z)

    【解】

    (1)求P{X>2Y}

    一般的解法:P(f(X,Y))总是通过概率分布FZ(z)得来的,而 FZ(z)又是通过概率密度积分得出来的。概率密度 fZ(z)=f(x,zx)dx
    要求P{X>2Y},
    设Z=X-2Y, 求P(X>2Y)就是求P(Z>0)=1FZ(z0)
    先求概率密度 fZ(z)=f(x,zx)dx

    如上所述,如果按照先求概率密度的方法来算一个具体的特定的概率,求概率密度再求分布函数,会比较麻烦,对于一个特定的概率,可以通过画图图解法,看看积分区域在哪里,直接求dxdy的双重积分,也许对于特定概率来说更加方便。

    对本题P(X>2Y) ,直接画一个x,y的坐标图,很容易看出来X>2Y的区域在哪里,再结合题目规定的区间 0< x< 1, 0< y< 1, 很容易算出,dxdy的双重积分。
    在x,y的坐标系上,直接画一条Y=12X的直线,题目要求X>2Y,那么就是Y<\frac{1}{2}X,很容易看出来区域在哪里。
    这里写图片描述
    图中粉红色的三角形区域就是X>2Y的区间,其中x限制在0到1,y也限制在0到1
    先对Y积分,Y的积分区间就是0到直线Y=X/2;后对X积分,X的积分区间就是常量:0到1
    P(X>2Y)=X>2Yf(x,y)dxdy
    =01dx0x2f(x,y)dy
    =01dx0x2(2xy)dy=01dx((2x)yy22)|02x
    =01(x58x2)dx=(x2258x33)|01=125813=724

    (2)求Z=X+Y的密度函数fz(z)

    画出x-z坐标,算出两条直线范围,
    Zmin=X+Ymin =X+0
    Zmax=X+Ymax =X+1
    加上X的0到1区间范围,就构成积分区间。如图,积分区间就是红色三角块和蓝色三角块。

    这里写图片描述

    fZ(z)=f(x,zx)dx
    因此,积分区间按照z轴从下到上分,

    当z<0, 由于z不在Zmin到Zmax的范围内,所以 fZ(z)=0

    0z<1, 对x先积分,x的积分区间为红色区块,x的边界为0到Zmin直线,所以积分区间就是0到z
    fZ(z)=0z(2x(zx))dx=0z(2z)dx=(2z)x|0z=(2z)z

    1z<2, 对x先积分,x的积分区间为蓝色区块,x的边界为Zmax直线到1,所以积分区间就是z-1到1
    fZ(z)=z11(2x(zx))dx=z11(2z)dx=(2z)x|z11=(2z)2

    所以,概率密度

    fZ(z)={ z(2z),0z<1 (2z)2,1z<2 0,else

    ####  =====
    

    【例三】

    假设一电路装有3个同种电气元件,其工作状态相互独立,且无故障工作时间都服从参数为λ>0的指数分布,当3个元件都无故障时,电路正常工作,否则整个电路不能正常工作,试求电路正常工作的时间T的概率分布。

    【解】
    分布函数的物理含义:F(x)xXx)

    指数分布函数的含义:F(t)=1eλtF(t)x

    指数(概率密度)函数的意义:f(t)=eλtt

    [分析]
    关于指数分布,回顾一下博客离散型随机变量,二项分布,泊松分布,指数分布,几何分布(概统2.知识)
    泊松分布是求某个时间t内,事件发生k次的概率
    P{ X=k }=(λt)kk!eλt
    “所谓指数分布就是求事件发生的时间间隔”
    P(X=0,N(t))=(λt)00!eλt=eλt
    “在t时间内出现一个以上的概率”
    P{X>0,N(t)}=1eλt

    指数分布,
    概率密度函数为f(x)=λeλx
    分布函数为F(x)=1eλx
    简写 XE(λ)
    参数λ为单位时间内事件发生的次数,即(电子元器件损坏的次数)。
    所以电子元器件的平均寿命就是 指数分布的期望值 EX=1λ
    假设某电子元器件的平均寿命为1000小时,那么EX=1000,λ=0.001,
    某个电子元器件在1000小时内损坏的概率就是分布函数F(x<1000)
    F(x<1000)=1eλx=11eλx
    =11e0.0011000=11e

    分布函数的物理含义:F(x)xXx)

    指数分布函数的含义:F(t)=1eλtF(t)x

    指数(概率密度)函数的意义:f(t)=eλtt
    这里写图片描述

    这里写图片描述

    =====
    回到本题,
    指数分布的分布函数是
    分布函数为F(x)=1eλx
    xtP{X>0,N(t)}=1eλt

    本题求系统正常工作的时间的概率分布,
    已知一个元件正常工作的概率分布(t时间内发生故障的概率)F(t)=1eλt
    系统正常工作,要求三个元件都不发生故障,F(t)是发生故障的概率,不发生故障的概率是1-F(t), 如果是三个F(t)相乘,等于三个同时发生故障的概率,一个都不发生故障,应该是三个(1-F(t))相乘,系统要求求三个都不发生故障的分布函数,就是1-三个(1-F(t))相乘。

    所以
    FT(t)=11F1(t)1F2(t)1F3(t)
    =1(eλt)3 (1)

    如果是三个F_{T}(t)直接相乘,得到的结果是
    FT1(t)=F1(t)F2(t)F3(t)
    =(1eλt)3
    =13eλt+3e2λte3λt = 13eλt(1eλt)e3λt (2)
    其中,(1eλt) 肯定是大于0 的,所以(2)式的整体值小于(1)式,
    FT1(t) 小于 FT(t) , 而F(t)的含义是在t时间前系统发生故障的概率, 而实际上要求三个元件同时不发生故障系统才算不发生故障, 所以F(t)应该取大才对。

    还有一个公式
    在书上P82(2).3
    设X,Y相互独立,分布函数分别为F_{X}(x)和F_{Y}(y),M=max(X.Y), N=min(X,Y),则
    FM(z)=FX(z)FY(z),FN(z)=1[1FX(z)][1FY(z)]

    本题中 T=min(X1, X2, X3),故 G(t)=1[1F(t)]3

    【例四】

    设随机变量(X,Y)在矩形区域G=((x,y)|0x2,0y1)上服从均匀分布,试求Z=XY的密度函数。

    【 解 】

    需要理解的是:=1

    区域G的面积=x的长度乘以y的宽度=(2-0) x (1-0)=2*1=2

    X和Y的均匀分布的概率密度函数 = 1=12

    区域G的面积=x的长度y的宽度=(2-0)(1-0)
    均匀分布的密度函数 = 1G=121=12

    对于 Z=X*Y的密度函数与Z=X+Y的密度函数有所不同。
    见P82.(2)

    Z=X+YfZ(z)=f(x,zx)dx

    Z=X/YfY/X(z)=|x|f(x,zx)dx

    Z=XYfYX(z)=1|x|f(x,zx)dx

    对于本题,要求Z=XY的密度函数
    Z=XYfYX(z)=1|x|f(x,zx)dx
    这里写图片描述

    如图所示,
    Zmax = X*Ymax = X*1 =X, ==> 直线边界:x=z
    Zmin = X*Ymin = X*0 =0 , ==> 直线边界:z=0
    X的左右边界为 0 到 2
    所以积分区域就是Zmax, Zmin和X的左右边界围成的区块

    对x进行积分,x的左边界为Zmax直线,即x=z,右边界为x=2垂直直线。
    0z<2fXY(z)=1|x|f(x,zx)dx=z21|x|12dx
    博客积分公式小节
    基本积分表中有:dxx=ln|x|+C
    得,

    fXY(z)={12(ln2lnz),0z<20,else

    参考书目:

    张天德,叶宏 《星火燎原·概率论与数理统计辅导及习题精解》(浙大·第4版)第三章

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  • 因为关于二维随机变量主题内容重要,难度大,例题多,最主要是积分区间的确定是难点,同时关联卷积概念,求二维函数Z=g(X,Y)型,用卷积公式求概率密度,卷积公式容易,积分区间难以确定,所以分成上中下三篇博客写。...

    二维函数Z=g(X,Y)型,用卷积公式求概率密度,积分区域如何确定(上)

    因为关于二维随机变量主题内容重要,难度大,例题多,最主要是积分区间的确定是难点,同时关联卷积概念,求二维函数Z=g(X,Y)型,用卷积公式求概率密度,卷积公式容易,积分区间难以确定,所以分成上中下三篇博客写。

    一。问题的引入

    有一大群人,令X和Y分别表示一个人的年龄和体重,Z表示该人的血压,并且已知Z与X,Y的关系为 Z=g(X,Y), 如何通过X,Y的分布确定Z的分布?
    这里写图片描述

    二。公式

    Fz(z)=P(Zz)=g(x,y)zf(x,y)dxdy

    特殊类型:Z=X+Y,怎样确定Z的分布?如何求Z的概率密度?
    fz(z)=f(x,zx)dx=f(zy,y)dy

    当X与Y相互独立时,
    就得到所谓的
    fz(z)=fxfy=fX(x)fY(zx)dx=fX(zy)fY(y)dy
    这就是所谓的卷积积分

    三。已知f(x,y),如何计算Z=X+Y型的概率密度fz(z) 及概率分布 Fz(z)

    根据理解或者根据上面的公式,我们知道 fz(z) 是将f(x,y)求一次积分,Fz(z)是求二次积分,难点问题在于

    对于Z=X+Y型的关系,假设对x求一次积分,得到fz(z)
    表示成

    fz(z)=f(x,zx)dx

    ,那么我们要画出一个 x–z的坐标,确定积分区间

    1)积分区间的左右两边,由x的上下区间决定
    假设 x的区间在[a,b]之间, axb
    那么积分的左右边界就是a到b
    2)根据关系式
    z=x+y, 由于坐标系是x–z的关系,那么y就是变常量
    z的最小值:zmin=x+ymin
    z的最大值:zmax=x+ymax
    积分的上下边界就是 zminzmax

    因为我们讨论的f_{z}(z)是按照x积分:
    fz(z)=f(x,zx)dx

    这里写图片描述

    所以按照x积分,积分区间就要分成三段:红色区间,蓝色区间,绿色区间

    1)
    Xmin+Yminz<Xmin+Ymax
    x积分区间= a 到 Z-Ymin
    azymindx

    2)
    Xmin+Ymaxz<Xmax+Ymin
    x积分区间= Z-Ymax 到 Z-Ymin
    zymaxzymindx

    3)绿
    Xmax+Yminz<Xmax+Ymax

    x积分区间= Z-Ymax 到 1
    zymaxbdx

    当x的a,b左右对称时,中间蓝色区间没有,只有两个积分区间:
    绿

    =========================
    【例一】设(X,Y)的联合密度函数为

    f(x,y)={ ey,0x1,y0, 0,others

    (1)问X,Y是否独立?
    (2)求Z=2X+Y的密度函数fz(z)和分布函数Fz(z)
    (3)求P{Z>3}

    【解】
    (1) 问X,Y是否独立?
    X,Y独立的条件 f(x,y)=fx(x)fy(y)
    fX(x)=f(x,y)dy
    fX(x)=0eydy=ey|0=ey|0=1

    fY(y)=f(x,y)dx
    fY(y)=0eydx=01eydx=ey(x)|01=ey
    所以 f(x,y)=fX(x)fY(y)

    (2)求Z=2X+Y的密度函数fz(z)和分布函数Fz(z)

    (2.1)先求密度函数fz(z)

    Z=g(X,Y)=2X+Y

    fz(z)可以利用卷积公式
    fZ(z)=f(x,zx)dx

    画一个 x-z 的坐标系

    Z方向下限:
    Zmin=g(X,Ymin)=2X+Ymin = 2X+0

    Z方向上限:
    Zmin=g(X,Ymin)=2X+Ymax=2X+=
    这里写图片描述

    所以,对公式 fZ(z)=f(x,zx)dx

    0z<2:0x<z2
    fZ(z)=0z2f(x,zx)dx=0z2e(z2x)dx
    0z2e2xzdx(t=2xz,dt=2dx)
    =12e2xz|0z2
    =12(1ez)

    2z<:0x1
    fZ(z)=01f(x,zx)dx=01e(z2x)dx
    01e2xzdx(t=2xz,dt=2dx)
    =12e2xz|01
    =12(e21)ez

    所以

    fZ(z)={ 0,z<0, 12(1ez),0z2, 12(e21)ez,z>2

    (2.2) 求分布函数Fz(z)

    由分布函数Fz(z)的定义可以知道,就是对z再积分
    Fz(z)与相应的概率密度函数fZ(z)的积分区间的关系是怎样呢?
    概率密度函数fZ(z)是对横坐标x积分,分布函数Fz(z)是对纵坐标z进行积分。通过z进行分区段,Fz(z)fz(z)是一样的,但是Fz(z)是把fz(z)再次对z求积分,z的上下限的取值与z的分段不完全一样。

    zzz

    FZ(z)=fZ(z)dz
    根据fZ(z)的分段,分段再积分
    所以,
    z<0 时,F_{Z}(z)=0
    0z<2 : z的积分区间:0z,所以就是 在0z<z
    FZ(z)=0zfZ(z)dz=0z12(1ez)dz
    =12(z+ez)|0z=12(z1+ez)

    2z< : 注意分布函数与密度函数的区别,分布函数是对z的累加,
    2z<:z的积分区间为前面一段区间: 0到2,再加上当前区间,2z

    FZ(z)=02fZ(z)dz+2zfZ(z)dz=
    =0212(1ez)dz+2z12(e21)ezdz
    =1+12(1e2)ez

    所以

    FZ(z)={ 0,z<0 12(z1+ez),0z<2 1+12(1e2)ez,z2

    (3)求P{Z>3}

    求P(f(Z))总是跟分布函数FZ(z)联系在一起的。根据概率分布函数的定义 FZ(z)指的是从到当前z的累加,运算值和查表值都只是 到某个当前z值得积分,即,积分的结果表示的是 P(Zz)的值

    所以
    P(Z>3)=1P(Z3)=1FZ(z)(z=3)

    根据上面的积分结果
    FZ(3)=(1+12(1e2)ez)|z=3

    P(Z>3)=1(1+12(1e2))e3
    =12(e21)e30.1591

    参考书目:

    张天德,叶宏 《星火燎原·概率论与数理统计辅导及习题精解》(浙大·第4版)第三章

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