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  • s=T(r) p(s)和p(r)是概率密度函数 书中公式3.3-3 p(s) = p(r) |dr/ds| 这个公式是如何得来的啊
  • 本文为转载。 Original url: http://m.blog.csdn.net/article/details?id=49130173 Original url: ... 一、先验概率、后验概率、贝叶斯公式、似然函数 ...

    一、先验概率、后验概率、贝叶斯公式、似然函数

    在机器学习中,这些概念总会涉及到,但从来没有真正理解透彻他们之间的联系。下面打算好好从头捋一下这些概念,备忘。

    1、先验概率

    先验概率仅仅依赖于主观上的经验估计,也就是事先根据已有的知识的推断,先验概率就是没有经过实验验证的概率,根据已知进行的主观臆测。

    如抛一枚硬币,在抛之前,主观推断P(正面朝上) = 0.5。
    

    2、后验概率

    后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率,如贝叶斯公式中的。是“执果寻因”问题中的”果”。先验概率与后验概率有不可分割的联系,后验概率的计算要以先验概率为基础。解释下来就是,在已知果(B)的前提下,得到重新修正的因(A)的概率P(A|B),称为A的后验概率,也即条件概率。后验概率可以通过贝叶斯公式求解

    3、贝叶斯公式

    贝叶斯公式,用来描述两个条件概率(后验概率)之间的关系,比如 P(A|B) 和 P(B|A)。按照乘法法则:

    P(A∩B) = P(A)*P(B|A)=P(B)*P(A|B)
    

    如上公式也可变形为:

    P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B)      P(B)为标准化常量
    

    贝叶斯法则表述如下: 
    一般公式 
    这里写图片描述 
    其中 
    A1,,,,,,An为完备事件组,即 
    这里写图片描述

    举一个简单的例子:一口袋里有3只红球、2只白球,采用不放回方式摸取,求: 
    ⑴ 第一次摸到红球(记作A)的概率; 
    ⑵ 第二次摸到红球(记作B)的概率; 
    ⑶ 已知第二次摸到了红球,求第一次摸到的是红球的概率。  
     
    解: 
    ⑴ P(A)=3/5,这就是A的先验概率; 
    ⑵ P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A逆)P(A逆)=3/5 此称为准化常量,A与A逆称为完备事件组 
    ⑶ P(A|B)=P(A)P(B|A)/P(B)=1/2,这就是A的后验概率。

     
     

    4、似然函数

    1)概念

    在数理统计学中,似然函数是一种关于统计模型中的参数的函数,表示模型参数中的似然性。 
    似然函数在统计推断中有重大作用,如在最大似然估计和费雪信息之中的应用等等。“似然性”与“或然性”或“概率”意思相近,都是指某种事件发生的可能性,但是在统计学中,“似然性”和“或然性”或“概率”又有明确的区分。 
    概率用于在已知一些参数的情况下,预测接下来的观测所得到的结果,而 
    似然性 则是用于在已知某些观测所得到的结果时,对有关事物的性质的参数进行估计。 

    举例如下: 
    对于“一枚正反对称的硬币上抛十次”这种事件,我们可以问硬币落地时十次都是正面向上的“概率”是多少; 
    而对于“一枚硬币上抛十次,落地都是正面向上”这种事件,我们则可以问,这枚硬币正反面对称(也就是正反面概率均为0.5的概率)的“似然”程度是多少。

    2)定义

    给定输出x时,关于参数θ的似然函数L(θ|x)(在数值上)等于给定参数θ后变量X=x的概率:

    L(θ|x)=P(X=x|θ).
    

    公式解释如下:对参数θ的似然函数求值,(在数值上)等于观测结果X在给定参数θ下的条件概率,也即X的后验概率。一般似然函数的值越大表明在结果X=x下,此参数θ越合理。 
    因此形式上,似然函数也是一种条件概率函数,但我们关注的变量改变了,关注的是A取值为参数θ的似然值:

    θ <---> P(B | A = θ)
    

    因此说贝叶斯公式P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)在形式上也可以表述为:  
    A的后验概率 = (A的似然度 * A的先验概率)/标准化常量  
    也就是说,后验概率与先验概率和似然度的乘积成正比。 
    注意到这里并不要求似然函数满足归一性:∑P(B | A = θ)= 1 
    一个似然函数乘以一个正的常数之后仍然是似然函数。对所有α > 0,都可以有似然函数:

    L(θ|x)=αP(X=x|θ).
    

    3)举例

    举例如下:考虑投掷一枚硬币的实验。通常来说,已知投出的硬币正面朝上和反面朝上的概率各自是pH= 0.5,便可以知道投掷若干次后出现各种结果的可能性。比如说,投两次都是正面朝上的概率是0.25。用条件概率表示,就是:

    P(HH | pH = 0.5) = 0.5^2 = 0.25
    

    其中H表示正面朝上。

    在统计学中,我们关心的是在已知一系列投掷的结果时,关于硬币投掷时正面朝上的可能性的信息。我们可以建立一个统计模型:假设硬币投出时会有pH的概率正面朝上,而有1 −pH的概率反面朝上。这时,条件概率可以改写成似然函数:

    L(pH = 0.5 | HH) = P(HH | pH = 0.5) = 0.25
    

    也就是说,对于取定的似然函数,在观测到两次投掷都是正面朝上时,pH= 0.5的似然性(可能性)是0.25(这并不表示当观测到两次正面朝上时pH= 0.5的概率是0.25)。 
    如果考虑pH= 0.6,那么似然函数的值也会改变。

    L(pH = 0.6 | HH) = P(HH | pH = 0.6) = 0.36
    

    注意到似然函数的值变大了。这说明,如果参数pH的取值变成0.6的话,结果观测到连续两次正面朝上的概率要比假设pH= 0.5时更大。也就是说,参数pH取成0.6 要比取成0.5 更有说服力,更为“合理”。总之,似然函数的重要性不是它的具体取值,而是当参数变化时函数到底变小还是变大。对同一个似然函数,如果存在一个参数值,使得它的函数值达到最大的话,那么这个值就是最为“合理”的参数值。 
    在这个例子中,似然函数实际上等于:

    L(pH = θ | HH) = P(HH | pH = θ) =  θ^2
    

    如果取pH= 1,那么似然函数达到最大值1。也就是说,当连续观测到两次正面朝上时,假设硬币投掷时正面朝上的概率为1是最合理的。 
    类似地,如果观测到的是三次投掷硬币,头两次正面朝上,第三次反面朝上,那么似然函数将会是: 
     
    L(pH = θ | HHT) = P(HHT | pH = θ) = θ^2(1- θ),其中T表示反面朝上,0 <= pH <= 1  
     
    这时候,似然函数的最大值将会在pH = 2/3的时候取到。也就是说,当观测到三次投掷中前两次正面朝上而后一次反面朝上时,估计硬币投掷时正面朝上的概率pH = 2/3是最合理的。

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  • python 服从正态分布下概率密度函数

    千次阅读 2019-10-11 00:13:40
    服从正太分布下,概率密度函数公式 公式解释: f(x): 是某样本(样本以数值形式表现)为某数值时发生的概率 0<f(x)<1 x: 是随机抽样的数值,取值范围从负无穷大到正正无穷大 e: 是自然数 σ: 是样本的标准...

    python 服从正态分布下概率密度函数

    服从正太分布下,概率密度函数公式
    

    在这里插入图片描述
    公式解释:
    f(x): 是某样本(样本以数值形式表现)为某数值时发生的概率
    0<f(x)<1

    x: 是随机抽样的数值,取值范围从负无穷大到正正无穷大
    e: 是自然数
    σ: 是样本的标准差
    μ:是样本的算术平均值(也叫均值)

    对服从正太分布下,概率密度函数的理解:
    (1) 当自变量x=μ时,f(x)取的最大值, 最大值=f(x=μ)
    即:当自变量取值为均值时,发生的概率最大(或者说:发生概率最大的数是均值)

    (2) 概率密度函数的图像(曲线图像)关于x=μ对称

    (3) 标准差σ越大, 则图像峰值(峰值也就是概率最大值,即:峰值=f(x=μ))越小

    (4) 概率最小值趋近于0

    应用python绘制图像

    """
    绘制正太分布函数曲线图
    
    """
    import matplotlib.pyplot as plt
    import math
    import numpy as np
    import matplotlib
    
    matplotlib.rcParams['axes.unicode_minus']=False#解决保存图像时负号'-'显示为方块的问题
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 指定默认字体
    
    x = np.linspace(-10,30,num=1000)  # x轴的取值范围
    std1 = 1 # 定义标准差, 并输入标准差
    mean1 = 10  # 定义均值,并输入均值
    fx1 = 1 / (std1 * pow(2 * math.pi, 0.5)) * np.exp(-((x - mean1) ** 2) / (2 * std1 ** 2))  # 概率密度函数公式
    
    std2 = 2
    mean2 = 10
    fx2 = 1 / (std2 * pow(2 * math.pi, 0.5)) * np.exp(-((x - mean2) ** 2) / (2 * std2 ** 2))  # 概率密度函数公式
    
    std3 = 4
    mean3= 10
    fx3 = 1 / (std3 * pow(2 * math.pi, 0.5)) * np.exp(-((x - mean3) ** 2) / (2 * std3 ** 2))  # 概率密度函数公式
    
    std4 = 8
    mean4 = 10
    fx4 = 1 / (std4 * pow(2 * math.pi, 0.5)) * np.exp(-((x - mean4) ** 2) / (2 * std4 ** 2))  # 概率密度函数公式
    
    # 多条曲线在同一张图上进行对比
    plt.plot(x, fx1,label = 'std1 = 1')  # 绘制概率密度函数图像
    plt.plot(x,fx2,label = 'std2 = 2')
    plt.plot(x,fx3,label = 'std3 = 4')
    plt.plot(x,fx4,label = 'std4 = 8')
    plt.legend() # 显示标签 label
    plt.xlabel("数值")
    plt.ylabel('数值的概率')
    plt.title('服从正太分布的概率密度图')
    plt.show()  # 显示图像
    

    显示图像
    在这里插入图片描述
    由图像可知道: 标准差std 越大, 则峰值越小.(代码设置了均值相同)

    稍微修改均值和标准差后,重新绘图, 如下:

    import matplotlib.pyplot as plt
    import math
    import numpy as np
    import matplotlib
    
    matplotlib.rcParams['axes.unicode_minus']=False#解决保存图像时负号'-'显示为方块的问题
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 指定默认字体
    
    x = np.linspace(-10,30,num=1000)  # x轴的取值范围
    std1 = 3 # 定义标准差, 并输入标准差
    mean1 = 6  # 定义均值,并输入均值
    fx1 = 1 / (std1 * pow(2 * math.pi, 0.5)) * np.exp(-((x - mean1) ** 2) / (2 * std1 ** 2))  # 概率密度函数公式
    
    std2 = 3
    mean2 = 10
    fx2 = 1 / (std2 * pow(2 * math.pi, 0.5)) * np.exp(-((x - mean2) ** 2) / (2 * std2 ** 2))  # 概率密度函数公式
    
    std3 = 3
    mean3= 12
    fx3 = 1 / (std3 * pow(2 * math.pi, 0.5)) * np.exp(-((x - mean3) ** 2) / (2 * std3 ** 2))  # 概率密度函数公式
    
    std4 = 3
    mean4 = 18
    fx4 = 1 / (std4 * pow(2 * math.pi, 0.5)) * np.exp(-((x - mean4) ** 2) / (2 * std4 ** 2))  # 概率密度函数公式
    
    # 多条曲线在同一张图上进行对比
    plt.plot(x, fx1,label = '均值 = 6')  # 绘制概率密度函数图像
    plt.plot(x,fx2,label = '均值 = 10')
    plt.plot(x,fx3,label = '均值 = 12')
    plt.plot(x,fx4,label = '均值 = 18')
    plt.legend() # 显示标签 label
    plt.xlabel("数值")
    plt.ylabel('数值的概率')
    plt.title('服从正太分布的概率密度图')
    plt.show()  # 显示图像
    

    图像显示:
    在这里插入图片描述
    由图像看出, 当标准差相同时(代码设置标准差相同), 峰值相同, 均值不同时, 对称轴位置不同

    再次修改代码对标准差和均值重新赋值(可跳过不用看代码, 直接看图像)

    import matplotlib.pyplot as plt
    import math
    import numpy as np
    import matplotlib
    
    matplotlib.rcParams['axes.unicode_minus']=False#解决保存图像时负号'-'显示为方块的问题
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 指定默认字体
    
    x = np.linspace(-10,30,num=1000)  # x轴的取值范围
    std1 = 3 # 定义标准差, 并输入标准差
    mean1 = 6  # 定义均值,并输入均值
    fx1 = 1 / (std1 * pow(2 * math.pi, 0.5)) * np.exp(-((x - mean1) ** 2) / (2 * std1 ** 2))  # 概率密度函数公式
    
    std2 = 5
    mean2 = 10
    fx2 = 1 / (std2 * pow(2 * math.pi, 0.5)) * np.exp(-((x - mean2) ** 2) / (2 * std2 ** 2))  # 概率密度函数公式
    
    std3 = 6
    mean3= 12
    fx3 = 1 / (std3 * pow(2 * math.pi, 0.5)) * np.exp(-((x - mean3) ** 2) / (2 * std3 ** 2))  # 概率密度函数公式
    
    std4 = 2
    mean4 = 18
    fx4 = 1 / (std4 * pow(2 * math.pi, 0.5)) * np.exp(-((x - mean4) ** 2) / (2 * std4 ** 2))  # 概率密度函数公式
    
    # 多条曲线在同一张图上进行对比
    plt.plot(x, fx1,label = '均值 = 6, 标准差=3')  # 绘制概率密度函数图像
    plt.plot(x,fx2,label = '均值 = 10, 标准差=5')
    plt.plot(x,fx3,label = '均值 = 12, 标准差=6')
    plt.plot(x,fx4,label = '均值 = 18, 标准差=2')
    plt.legend() # 显示标签 label
    plt.xlabel("数值")
    plt.ylabel('数值的概率')
    plt.title('服从正太分布的概率密度图')
    plt.show()  # 显示图像
    

    图像显示:

    在这里插入图片描述
    通过图像可以观查出均值和标准差对概率的影响, 验证了上述的结论

    最后: 本人又另写一篇关于服从正太分布概率 离散情况下 概率密度函数和累积密度函数的文章. 有疑惑的可以查看一下

    展开全文
  • 雅可比变换公式的推到 就是要求这个面积系数 类似于这样的变量积分都可以用变量代换算 这个是先证明局部,再证明整体 转载于:https://www.cnblogs.com/china520/p/10751577.html...

    此处坐标系(X,Y) 转化到了(X,n)

    用到了雅可比坐标转化行列式

     

     

    雅可比变换公式的推到

     

     就是要求这个面积系数

     

    类似于这样的变量积分都可以用变量代换算

     

    这个是先证明局部,再证明整体

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/china520/p/10751577.html

    展开全文
  • 本文首先给出正态分布概率密度函数(The normal distribution probability density function)的公式和标准正态分布概率密度函数公式,然后通过normpdf( )生成标准正态分布概率密度函数的数据,然后通过plot( )...

    本文首先给出正态分布概率密度函数(The normal distribution probability density function)的公式和标准正态分布概率密度函数的公式,然后通过normpdf( )生成标准正态分布概率密度函数的数据,然后通过plot( )绘制标准正态分布概率密度函数的图形。

    MATLAB绘制正态分布概率密度函数(normpdf)图形

    工具/原料

    • MATLAB

    • normpdf

    • mean

    • standard deviation

    方法/步骤

    1. 第一,正态分布概率密度函数的公式如下图。其中,μ为平均值(mean),σ为标准差(standard deviation)。

      MATLAB绘制正态分布概率密度函数(normpdf)图形

    2. 第二,当μ=0,σ=1时,第一步中的正态分布为标准正态概率密度函数,如下图。

      MATLAB绘制正态分布概率密度函数(normpdf)图形

    3. 第三,启动MATLAB,新建脚本(Ctrl+N),输入如下代码:

      close all; clear all; clc

      x=-1:.1:1;

      norm=normpdf(x,0,1);

      figure('Position',[50,50,600,500],'Name','Normal PDF',...

          'Color',[1,1,1]);

      plot(x,norm,'r-','LineWidth',3)

      set(gca,'FontSize',10,'TickDir','out','TickLength',[0.02,0.02])

      xlabel('X','FontSize',15);ylabel('PDF','FontSize',15)

      其中normpdf(x,0,1)是用来产生μ=0,σ=1的标准正态分布概率密度函数的数据。

      MATLAB绘制正态分布概率密度函数(normpdf)图形

    4. 第四,保存和运行上述脚本,在工作区(Workspace)得到标准正态分布概率密度函数的数据norm,双击norm可以查看数据具体内容。

      MATLAB绘制正态分布概率密度函数(normpdf)图形

    5. 第五,同时得到如下μ=0,σ=1的标准正态分布概率密度函数图形。

      MATLAB绘制正态分布概率密度函数(normpdf)图形

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