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  • 这里出来的关于Y的分布函数在Y=1处并不连续(右连续),故而不能直接求导然后再积分,答案给出一种思路,就是利用关于X的概率密度是连续的,间接利用X的概率密度Y的数学期望,这是一种思路。 下面应该还有解决...

    一、笔者做张宇试卷的时候,第三套试卷22题遇到一道这样的题:


    这里求出来的关于Y的分布函数在Y=1处并不连续(右连续),故而不能直接求导然后再积分,答案给出一种思路,就是利用关于X的概率密度是连续的,间接利用X的概率密度来求Y的数学期望,这是一种思路。

    下面应该还有解决这一类问题的方法,之后笔者见到类似的问题再进行补充

    二、下面是补充:

    1)看了原函数存在定理那一章的内容之后,略有所思,予以记录。

    1、若f(x)连续,则一定存在原函数F(x);

    2、若f(x)有跳跃、可去、无穷间断点,则一定不存在原函数;即:即使有F(x)求导等于f(x),F(x)也不是原函数,因为在断点处一定有在断点两端或一端的极限值和该点的f(x0)不相等,即不满足原函数定义:在区间内任意一点处都有F(X)导数值等于f(x);

    3、在求某函数的原函数的时候,首先检查是否有上述三类间断点(是否连续),如果存在原函数,则在求原函数的时候,一定要保证原函数连续,即分段函数的端点处两端极限值相等;

    2)联系到连续性随机变量及其概率密度,有以下思考:

    1、若概率密度是连续的,则一定存在原函数,即一定存在可导的概率分布函数,并且该概率分布函数一定连续;

    2、如果用间接方法求出来的概率分布函数不连续(比如一开始提到的那道题),根据逆否命题的正确性可推知:该概率分布函数求导所得到的导函数一定不是对应的概率密度函数,也就是说不能用它来求数学期望,这也是前面采用X来间接求Y的数学期望的原因;

    下面又有一个问题,难道前面最初提到的问题中的Y就没有概率密度函数?如果有,该如何求?(初步思考,如果有的话应该是分段?)



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  • 数学期望的简单算法

    千次阅读 2019-01-15 15:45:50
    连续型随机变量就是X的概率密度函数为f(x)在负无穷到正无穷x*f(x)对x的积分,若积分绝对收敛,则称此积分值为随机变量X的数学期望。   小结:数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加...

    数学期望简单说就是平均值。当随机变量X取各个可能值是等概率分布时,X的期望值与算术平均值相等。

    离散型随机变量的一切可能的取值xi与对应的概率Pi之积的和称为数学期望(设级数绝对收敛),记为E(x)。

    连续型随机变量就是X的概率密度函数为f(x)在负无穷到正无穷求x*f(x)对x的积分,若积分绝对收敛,则称此积分值为随机变量X的数学期望。

     

    小结:数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现在了随机变量X取可能值的真正的平均值。

     

    数学期望(mathematical expectation)

    定义:一次随机抽样中所期望的某随机变量的取值。

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  • 2. 若X服从参数为10 的t分布,则X4X^4X4的数学期望为多少? 3. 设随机变量(X,Y)的概率密度函数为 fXY(x,y)=Asin(x+y),0≤x≤π2,0≤y≤π2f_{XY}(x,y)=Asin(x+y),0 \leq x \leq \frac{\pi}{2},0\leq y\leq \frac{\pi...

    1. 设X服从期望为2方差为1 的正态分布,则求E(X|X>0)
    在这里插入图片描述

    2. 若X服从参数为10 的t分布,则X4X^4的数学期望为多少?
    解:
    由题知:X服从n=10的t分布,则X~ZY/n\frac{Z}{\sqrt{Y/n}},其中Z服从正态分布Z~N(0,1),Y服从卡方分布Y~x2(n)x^2(n),且Z也服从n=1的卡方分布,Z~x2(1)x^2(1)

    则当n=10时,X2=Z2Y/10=Z2/1Y/10X^2 = \frac{Z^2}{Y/10} =\frac{Z^2/1}{Y/10}可以发现X2X^2是服从F分布的。表示为X2X^2~F(1,10)F(1,10)

    F分布,当X~Y/mZ/n\frac{Y/m}{Z/n},表示为X~F(m,n)且F分布的均值为当n>2时是E(X)=nn2E(X) = \frac{n}{n-2},当n>4方差是D(X)=2n2(m+n2)m(n2)2(n4)D(X) =\frac{2n^2(m+n-2)}{m(n-2)^2(n-4)}

    所以根据公式EX4=E2(X2)+DX2EX^4=E^2(X^2)+DX^2只需要求出X2X^2的均值和方差即可求得EX4EX^4
    E(X2)=10/(102)=5/4E(X^2)=10/(10-2)=5/4
    D(X2)=2102(1+102)1(102)2(104)4.6875D(X^2) =\frac{2*10^2(1+10-2)}{1*(10-2)^2(10-4)} \approx 4.6875
    所以EX46.25EX^4 \approx 6.25
    3. 设随机变量(X,Y)的概率密度函数为
    fXY(x,y)=Asin(x+y),0xπ2,0yπ2f_{XY}(x,y)=Asin(x+y),0 \leq x \leq \frac{\pi}{2},0\leq y\leq \frac{\pi}{2}

    • 求系数A
    • 求X的均值mXm_X
    • 求X的方差σX2\sigma ^2_X
    • 求X和Y的相关系数ρXY\rho_{XY}
      解:
      (1)
      1=++f(x,y)dxdy=0π/20π/2Asin(x+y)dxdy1 = \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy = \int_{0}^{\pi /2}\int_{0}^{\pi /2}Asin(x+y)dxdy
      =0π/2(0π/2Asin(x+y)dx)dy= \int_{0}^{\pi /2}(\int_{0}^{\pi /2}Asin(x+y)dx)dy
      =0π/2(Acos(x+y)dx)0π/2dy=- \int_{0}^{\pi /2}(Acos(x+y)dx)|_0^{\pi /2}dy
      =0π/2(Acos(π/2+y)+Acosy)dy= \int_{0}^{\pi /2}(-Acos(\pi /2+y)+Acosy)dy
      =2A= 2A
      所以A=1/2
      (2)第一步,求出X的概率密度函数
      fX(x)=0π/21/2sin(x+y)dy=1/2[cos(π2+x)cosx]f_X(x)=\int_0^{\pi/2} 1/2sin(x+y)dy\\=-1/2[cos(\frac{\pi}{2}+x)-cosx]
      根据公式求均值
      mx=Ex=1/20π2xcos(π2+x)xcosxdx=π/4mx = Ex =-1/2 \int_0^{\frac{\pi}{2}}xcos(\frac{\pi}{2}+x)-xcosx dx\\ = \pi /4

    (3)根据公式求解X2X^2的期望,代入第二问中的fX(x)f_X(x)
    Ex2=0π/2x2fX(x)dx=1/20π/2x2(sinx+cosx)dx=π2+π282Ex^2 = \int_0^{\pi /2}x^2f_X(x)dx\\= 1/2 \int_0^{\pi /2}x^2(sinx+cosx )dx\\=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi ^2}{8}-2
    σX2=DX=Ex2(Ex)2=π2+π282(π/4)2\sigma ^2_X = DX = Ex^2-(Ex)^2\\ = \frac{\pi}{2}+\frac{\pi ^2}{8}-2 - (\pi /4)^2
    (4)求解相关系数的公式如下
    ρXY=cov(X,Y)DXDY=EXYEXEYDXDY\rho _{XY} =\frac{cov(X,Y)}{\sqrt{D_X} \sqrt{D_Y}} = \frac{E_{XY}-E_XE_Y}{\sqrt{D_X} \sqrt{D_Y}}
    所以现在需要求出EXYE_{XY}

    EXY=0π/20π/21/2xysin(x+y)dxdyE_{XY} = \int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/2} 1/2xysin(x+y)dxdy
    求解得到
    EXY=π21E_{XY} = \frac{\pi}{2}-1
    又根据第三问的结果,知道
    DX=σX2DX = \sigma ^2_X
    因为X,Y对称,所以DX=DYD_X=D_Y
    所以把DX,DY,EXYD_X,D_Y,E_{XY}代入得到相关系数
    ρXY=EXYEXEYDXDY\rho _{XY} = \frac{E_{XY}-E_XE_Y}{\sqrt{D_X} \sqrt{D_Y}}
    4. 设(X,Y)的联合概率密度函数为
    f(x,y)={214x2y,x2y10,otherswisef(x,y)=\begin{cases} \frac{21}{4}x^2y, &x^2 \leq y \leq 1\\ 0 ,& otherswise \end{cases}

    • 求给定条件Y=y(0<y<1)的条件下,X2X^2的期望E(X2Y=1)E(X^2|Y=1)
    • 求方差D(X2Y=1)D(X^2|Y=1)
    • 设随机变量X的密度函数f(x)=x,x<1f(x)=|x|,|x|<1,求X的特征函数g(1)
      解:
      (1)
      y1fY(y)=+f(x,y)dx=11214x2ydx=72y当y\leq 1 时f_{Y(y)} = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx= \int_{-1}^{1}\frac{21}{4}x^2ydx =\frac{7}{2}y
      y1f(xy)=f(x,y)fY(y)=32x2所以,当y\leq 1时f(x|y) =\frac{f(x,y)}{f_{Y(y)}} = \frac{3}{2}x^2
      E(X2Y=y)=+x2f(xy)dx=1132x4dx=35E(X^2|Y=y) =\int_{-\infty}^{+\infty}x^2f(x|y)dx = \int_{-1}^{1}\frac{3}{2}x^4dx =\frac{3}{5}

    (2)因为根据公式
    E(X4Y=y)=11x4f(xy)dx=11x432x2dx=3/7E(X^4|Y=y) = \int_{-1}^{1}x^4f(x|y)dx\\= \int_{-1}^{1}x^4*\frac{3}{2}x^2dx = 3/7
    所以
    DX2=EX4(EX)2=3/7(3/5)2=0.0686DX^2 = EX^4-(EX)^2\\=3/7-(3/5)^2 = 0.0686

    (3)连续性随机变量的特征函数公式
    g(t)=+eitxf(x)dxg(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}f(x)dx
    g(1)=11eixxdxg(1) = \int_{-1}^{1}e^{ix}|x|dx
    根据欧拉公式e(itx)=cost(x)+isin(tx)e^{(itx)} = cost(x)+isin(tx)
    11eixxdx=11x(cosx+isinx)dx \int_{-1}^{1} e^{ix} |x| dx =\int_{-1}^{1}|x|( cosx+isinx )dx
    因为|x| isinx 是奇函数,所以11xisinxdx=0\int_{-1}^{1}|x| isinx dx = 0,则
    g(1)=11xcosxdx=10xcosxdx+01xcosxdxg(1) = \int_{-1}^{1}|x| cosxdx = \int_{-1}^{0}x cosxdx +\int_{0}^{1}xcosxdx
    =2(cos1+sin11)=0.7635 = 2(cos1+sin1-1) = 0.7635

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  • 关于数学期望的总结

    千次阅读 2006-12-31 17:57:00
    我们看到随机变量的概率分布(分布列和概率密度或分布函数)是能够完整地描述随机变量的统计规律的。但是在许多实际问题中,概率分布不是一件容易的事情;而往往只需要知道它的某些数字特征就够了。本讲将要介绍...
             我们看到随机变量的概率分布(分布列和概率密度或分布函数)是能够完整地描述随机变量的统计规律的。但是在许多实际问题中,求概率分布不是一件容易的事情;而往往只需要知道它的某些数字特征就够了。本讲将要介绍数字特征中的一种-----数学期望。
    

      一、 离散型随机变量的数学期望

       定义:设离散型随机变量的概率分布为

           :                

        ------------------------------------

           :                 

        也可以表达为 ,则称级数

                 

        为随机变量的数学期望,记作E(X).

      说明:当级数是有限项时,收敛是显然的。而当级数是可列无限时,要求级数绝对收敛,即为

                  

       例4.1  设一个盒子里有5个球,其中有3个黄球、2个白球。从中任取两个球,问平均取到的白球是多少?

       解:设为任取两个球,其中白球的个数。

      则的概率分布为

          :  0     1      2

       ---------------------------

          :           

       根据数学期望的定义

          

       说明:随机变量的数学期望是一个实数。当随机变量的分布清楚的时候,可以用定义来计算,形式上它是随机变量的可能值的加权平均。为此,有时我们也称随机变量的数学期望叫作随机变量的均值或分布的均值。

    下面介绍几个常用的离散型随机变量的数学期望。

      1、 两点分布

      设随机变量的概率分布为

             :  0    1

          ------------------    

             :       

      其数学期望为

           

      2、 二项分布

      设随机变量的概率分布为(也称服从)

              

     其中

         

     此时其数学期望为

         

             

             

             

             

      3、泊松分布   

      设随机变量服从泊松分布

                   

      其数学期望为

           

               

               

      4、超几何分布

       设随机变量服从参数为的超几何分布(假设

             

         

       在这里,由于推导比较烦琐,加之这是选学内容,我们就不进行数学期望的推导,只给出结论来。

              

      5、几何分布

      设随机变量服从几何分布,即

                 

      其数学期望为

          

              

              '  (求导)

              '

              

              

    二、 连续型随机变量的数学期望

        定义:设连续型随机变量的密度函数为

               

       为随机变量的数学期望(或随机变量的均值),记作.

       说明:对于定义中的积分,要求它绝对收敛,即

              

      下面介绍几个常用的连续型随机变量的数学期望。

       1、 均匀分布

        设随机变量的密度函数为

              

       其数学期望为

             

                 

                 

                 

       2、指数分布

        设随机变量的密度函数为

            

        其数学期望为

            

                

                

       3、正态分布

        设随机变量的密度函数为

                

        其数学期望为

            

                          

      (在推导中,采用x – μ= t的变量代换)

      不难看出,上式的第一项等于零,第二项由概率的基本性质可知为μ。

      所以有

             

       说明:正态分布的数学期望恰好是它的第一个参数。由于是正态分布的位置参数,密度函数的图形以为对称轴。说明了,的概率含义为:它是该分布的均值。

    三、 随机变量函数的数学期望

       定义(1):设连续型随机变量的密度函数为的函数:

     如果下式右边绝对收敛,则

           

      定义(2):设离散型随机变量的概率分布为

               

      则的数学期望由下式给出

           

      当然要求上式的右边绝对收敛。

        

      例4.2  已知随机变量服从标准正态分布.

      解:由定义可知

        

                       

                      

        在上式中,第一项积分为零,第二项恰好是标准正态分布的密度函数的积分故为1,所以整个式子等1。

      例4.3  设为离散型随机变量,其分布列为:

                 

      求.

      解:由定义可知

        

     四、 数学期望的简单性质

       设为随机变量,皆为常数。

        (1)

        (2)

        (3)

        (4)

      以上四个基本性质的证明,可以用一个式子的证明来代替,即

      证明:

         

      成立即可。

      当随机变量为离散型时,其概率分布为

               :                

        ------------------------------------

               :                 

        

               

               

      当随机变量为连续型时,其密度函数为

        

               

      讨论:(1)当时,即为性质(1);

           (2)当时,即为性质(2);

           (3)当时,即为性质(3)。

     
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  • 由题意得:随机变量相互独立且服从均匀分布。 均匀分布的概率密度为: 其分布函数为: 下面是这道题的具体步骤:
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  • 1.4.5 连续型随机变量和概率密度函数 8 1.4.6 举例理解条件概率 9 1.4.7 联合概率与边缘概率的区别和联系 9 1.4.8 条件概率的链式法则 10 1.4.9 独立性和条件独立性 10 1.5 常见概率分布 11 1.5.1 伯努利分布 11 ...
  • 给定一个隐马尔科夫模型以及一个观察序列,出潜在的状态序列信息,每个潜在状态信息又会受到前一个状态信息的影响。 算法使用方法 在每个算法中给出了3大类型,主算法程序,调用程序,输入数据,调用方法如下: ...

空空如也

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概率密度求数学期望