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  • 问题提出: 有这样一种试验,一个袋子里有m个球,每次从袋子里抽出a个球,每抽n 次后再把抽出的球放回,然后又继续抽,直到抽到指定的那个球, 求...在问题例子中,相当于一直重复进行概率为 1/100,1/99,1/98,1/97,1

    问题提出:

    有这样一种试验,一个袋子里有m个球,每次从袋子里抽出a个球,每抽n 次后再把抽出的球放回,然后又继续抽,直到抽到指定的那个球, 求抽的次数的数学期望。

    例如:有1个大袋子,里面有99个白球1个红球,另外有一个空的小篮子一次只能装10个球,我每次从大袋子中随机抽出1个球放到小篮子中,如果小篮子装满了我就全部倒回大袋子里去,重新再抽,直到抽到红球为止。试问我抽到红球所需抽的次数的数学期望是多少?

    问题分析:

    在问题例子中,相当于一直重复进行概率为

    1/100,1/99,1/98,1/97,1/96,1/95,1/94,1/93,1/92,1/91, 

    1/100,1/99,1/98,1/97,1/96,1/95,1/94,1/93,1/92,1/91, 

    1/100,1/99,1/98,1/97,1/96,1/95,1/94,1/93,1/92,1/91, 

    ...

    的试验。

    更一般的,其一直在重复进行着概率为

    p_{1},p_{2},p_{3},...,p_{n},

    p_{1},p_{2},p_{3},...,p_{n},

    p_{1},p_{2},p_{3},...,p_{n},

    ...

    的试验。

    而目标是求第一次成功所需试验次数的数学期望,类似于几何分布。

    期望公式推导

    q_{i}=1-p_{i},则所需试验次数期望公式推导过程如下(由于页面编辑公式十分困难,这里只能贴图片了):

    最终期望公式为:

    E\xi =\frac{1*p_{1}+2*q_{1}p_{2}+3*q_{1}q_{2}p_{3}+...+(n-1)*q_{1}q_{2}...q_{n-2}p_{n-1}+n*q_{1}q_{2}...q_{n-1}}{1-q_{1}q_{2}...q_{n}}

    计算问题答案:

    这里根据推导的期望公式编写一小段python代码计算抽到红球所需次数的数学期望。(注意针对较小的数据运算建议用decimal,不要用float,减少小数舍弃带来的误差)。

    sample_p=[1/100,1/99,1/98,1/97,1/96,1/95,1/94,1/93,1/92,1/91]
    n=len(sample_p)
    E=decimal.Decimal(0)
    q_pre=decimal.Decimal(1)
    for i in range(1, n+1):
        p=sample_p[i-1]
        p=decimal.Decimal(p)
        q=decimal.Decimal(1)-p
        if i<n:
            E= E + i*q_pre*p
        else:
            E = E + n * q_pre
        q_pre=q_pre*q
    
    E = E/(1-q_pre)
    print(E)

    结果期望是95.5次。

     

     

    author:蓝何忠

    email:lanhezhong@163.com

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  • 概率期望整理

    2019-09-28 00:50:33
    目录 概率 条件概率概率概率公式: 贝叶斯公式 独立事件 期望 全期望公式 后序补充 概率 公式: \(A∩B=∅→P(A∪B)=P(...

    概率

    公式:
    \(A∩B=∅→P(A∪B)=P(A)+P(B)\)
    没什么好说的.
    两个集合无交集,那么他们的并集发生的概率就是两个事件发生概率的和.
    如果两个集合之间有交集,利用容斥.
    \(A∩B ≠ ∅ → P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)\)

    条件概率

    \(P(A|B)=\dfrac {P(A∩B)}{P(B)}\)
    百度百科对条件概率的解释:条件概率
    就是在事件B中事件A发生的概率.

    全概率

    \[∀B_i,B_j∈Ω,B_i∩B_j=∅\] \[⋃B_i=Ω\]
    对于任意的两个B集合.他们的交集都为空集.
    且他们的并集为全集.
    那么就有

    全概率公式:

    \[P(A)=\sum_{i}P(A|B_i)∗P(B_i)\]

    贝叶斯公式

    \[P(A|B)=\dfrac {P(B|A)*P(A)}{P(B)}\]
    套用全概率公式:
    \[P(B_i | A) = \dfrac {P(A|B_i) * PB_i}{\sum_{j=1}^{n}P(B_i|B_j)*P(B_j)}\]

    独立事件

    判断事件是否为独立事件(\(A∩B = ∅\))
    \(P(A∩B) = P(A) * P(B)\)

    期望

    参见百度百科
    本人拙见:发生事件的概率乘以价值.
    学术语言:在概率论和统计学中,个离散型随机变量的期望值是试验中每次可能结果的概率乘以起结果的总和.
    信息学竞赛中的题目,大多数都是求离散型随机变量的数学期望.如果X是一个离散型随机变量,输出值为\(x_1,x_2...\)和输出值所对的概率\(p_1,p_2...\)(概率和为1)那么期望值\[E(x)=\sum_ip_ix_i\]
    性质:
    设C为一个常量
    \(E(C) = C\)
    \(E(C X) = C * E(X)\)
    \(E(X+Y)=E(X) + E(Y)\)(和的期望等于期望的和)
    线性性质:对于任意的随机变量X,Y和常量a,b.有\(E(a*X+b*Y) = a*E(X) + b*E(Y)\)
    当随机变量\(X,Y\)独立时.\(E(XY) = E(X)*E(Y)\)
    期望的线性性是始终成立的,无论两随机变量是否成立.

    全期望公式

    咕咕.

    后序补充

    关于平均值和期望是否可以混用.
    引用知乎橘士奇的一句话
    期望是对未来的预期,均值是对过去的总结。
    参考资料:
    1.概率与期望学习笔记 - remoon
    2.百度百科

    转载于:https://www.cnblogs.com/tpgzy/p/9610379.html

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  • 题目大意:有N个盒子,里面都放着礼物,M个人...求礼物被拿走的个数的数学期望。 一、期望dp  表示状态:  dp[i] = 该第i个人拿箱子时的总礼物的期望  找出答案:  ans = dp[m]  如何转移:  对于第...

     题目大意:有N个盒子,里面都放着礼物,M个人依次去选择盒子,每人仅能选一次,如果里面有礼物则将礼物取出来,把空盒子放回原位,若没有礼物,则把空盒子放回原位。求礼物被拿走的个数的数学期望。

     

    一、期望dp

        表示状态:

          dp[i] = 该第i个人拿箱子时的总礼物的期望

        找出答案:

          ans = dp[m]

        如何转移:

          对于第i个人,拿到礼物或没拿到。

          (1)φ(没拿到) = dp[i]  P(没拿到) = dp[i]/n

          (2)φ(拿到) = dp[i]+1  P(拿到) = (n-dp[i])/n

          综上:dp[i+1] = dp[i] * dp[i]/n + (dp[i]+1) * (n-dp[i])/n

        边界条件:

          dp[0] = 0

          还没开始拿的时候礼物数为0

     

      二、概率dp

        表示状态:

          dp[i] = 第i个人拿到礼物的概率

        找出答案:

          ans = ∑ dp[i]

          每个人得到礼物的概率 * 得到礼物的数量(为1) 之和。

        如何转移:

          对于第i个人,拿到礼物或没拿到。

          (1)没拿到:dp[i+1]依然等于dp[i],没拿到礼物的概率为1-dp[i].

          (2)拿到:dp[i+1] = dp[i] - 1/n,拿到的概率为dp[i].

          综上:dp[i+1] = dp[i] * (1 - dp[i]) + (dp[i] - 1/n) * dp[i]

        边界条件:

          dp[0] = 1

          所有盒子里都有礼物,第0个人一定拿到礼物。

     

      三、推公式

        m个人是独立的。

        对于每个礼物不被人选中的概率为((n-1)/n)^m

        那么不被选中的礼物数的期望就是 n*((n-1)/n)^m

        所以答案就是 n-n*((n-1)/n)^m

    出处:https://www.cnblogs.com/Leohh/p/7566376.html

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/Willems/p/10941187.html

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  • 概率期望

    2019-08-05 20:56:52
    数学期望 E(x)=Σ每一种状态*对应的概率 状态很多,有时候不能完全枚举. 大多数题都是找公式,规律,动态规划计算,数学期望的dp一般要逆推,处理好边界 一般的dp是到dp[x]状态有多少,答案为dp[n] 而数学期望的dp[x]...

    数学期望 E(x)=Σ每一种状态*对应的概率

    状态很多,有时候不能完全枚举.

    大多数题都是找公式,规律,动态规划计算,数学期望的dp一般要逆推,处理好边界

    一般的dp是到dp[x]状态有多少,答案为dp[n]

    而数学期望的dp[x]已经在状态x,距离n还差多少,答案为dp[0].
    学习:https://www.cnblogs.com/kuangbin/archive/2012/10/02/2710606.html

     

    题集:

    1.Favorite Dice:https://vjudge.net/problem/SPOJ-FAVDICE

    题意:

    给一个n面的筛子,求每个面都朝上过至少1次,需要投几次的期望

    解析:

    期望dp

    期望dp一般逆向推导

    dp[i]表示还差i面的期望,这个时候已经出了n-i面

    dp[n]=0,开始就差n面

    还差i面的时候,投一次,无效出现的情况为(n-i)/n,出现有效的情况为i/n,不论是否有效,次数都增加了一次

    dp[i]=(i/n)*dp[i]+((n-i)/n)*dp[i]+1

    ac:

    #include <bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    double dp[1100];
    
    int main()
    {
        int t,n;
        scanf("%d",&t);
        while(t--)
        {
            memset(dp,0,sizeof(dp));
            scanf("%d",&n);
            dp[n]=0;
            for(int i=n-1;i>=0;i--)
            {
                dp[i]=dp[i+1]+n*1.000000/(n-i);
            }
            printf("%lf\n",dp[0]);
        }
        return 0;
    }
    

    LightOJ 1027

    题意:

    给定n个门,通过每个门需要花费一定的时间,时间为a[i]的绝对值,如果a[i]为负数,呢么通过门后会传送会原地,否则会传送走

    每次等概率的选择一扇门,求传送走花费时间的期望

    解析:

    传送走的方法无穷种,没办法列出期望公式

    1.直接传送走,期望为1/n*t

    2.传送回来,期望为1/n*t+e

    sum1传送走的时间和,sum2传送回来的时间和,door2传送回来的门数目

    e=1/n*(sum1)+1/n*(sum2+door2*e)

    化简得:e=(sum1+sum2)/(n-door2)

    ac:

    #include<bits/stdc++.h>
    #define MAXN 105
    using namespace std;
    int gcd(int a,int b)
    {
        return b==0?a:gcd(b,a%b);
    }
    int x;
    
    int main()
    {
        int t,n,cas=1;
        scanf("%d",&t);
        while(t--)
        {
            scanf("%d",&n);
            int m=0,ans=0;
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {
                scanf("%d",&x);
                if(x<0)
                    m++,ans+=-x;
                else ans+=x;
            }
            int k=n-m;
            if(k==0)
                printf("Case %d: inf\n",cas++);
            else{
                int kk=gcd(k,ans);
                printf("Case %d: %d/%d\n",cas++,ans/kk,k/kk);
            }
        }
        return 0;
    }
    

    https://vjudge.net/problem/UVA-10900

    题意:

    题意:一共可以答n道题目,初始奖金为1,每次答对题目奖金翻倍,答错奖金清零。每次答对题目的概率在[t,1]均匀分布.求最佳策略下能获得的期望奖金.

    解析:

    定义dp[i]为答对i题后获得的钱的最大期望

    如果挑战成功的概率*下一轮的奖励期望>=当前轮的最大期望 就选择挑战

    我们从后往前推

    定义p为一个临界概率,p*dp[i+1]=dp[i]=>p=dp[i]/dp[i+1]=>(1<<i)/dp[i+1];

    如果t>p,就一定选择挑战

    如果t<p,概率在(t-p)/(1-t)的时候选择不挑战,概率(1-p)/(1-t)的时候挑战,挑战了也不一定成功,还要乘成功的概率(p+1)/2

    if(t-p>=0)
          dp[i]=(1+t)/2*dp[i+1];
    else
          dp[i]=(p-t)/(1-t)*bit[i]+(1-p)/(1-t)*(p+1)/2*dp[i+1];

    ac:

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    int bit[35];
    double dp[35];
    
    void init()
    {
        bit[0]=1;
        for(int i=1;i<=33;i++)
            bit[i]=bit[i-1]*2;
    }
    
    int main()
    {
        init();
        int n;
        double t;
        while(scanf("%d %lf",&n,&t)!=EOF)
        {
            if(n==0&&fabs(t-0)<=0.000001)
                break;
            dp[n]=bit[n];
            for(int i=n-1;i>=0;i--)
            {
                double p=bit[i]/dp[i+1];
                if(t-p>=0)
                    dp[i]=(1+t)/2*dp[i+1];
                else
                    dp[i]=(p-t)/(1-t)*bit[i]+(1-p)/(1-t)*(p+1)/2*dp[i+1];
            }
            printf("%.3f\n",dp[0]);
        }
        return 0;
    }
    

    https://blog.csdn.net/Izumi_Hanako/article/details/100186142

    题意:

    有一个机器人从1走到n,他等概率的花费一定耐久度选择走下一步中的任意一步或者静止不动,耐久度为机器人从出发开始经过的天数.

    解析:

    设e[u]为从u走到n经过的天数的期望,dp[u]为从u走到n期望的耐久度.

    e[u]=∑(e(v)/(out(v)+1)  +(e(u)/out(u)+1)+1,分别为从v过来,原地静止1次,到达后本来就停1天

    dp[u]=∑(f(v)/(out(v)+1)  +(f(u)/out(u)+1)+e(u),和上面的式子非常相像,只是将1天换乘e(u)

    同拓扑排序从后往前求:

    ac:

    #include<bits/stdc++.h>
    #define MAXN 200005
    #define ll long long
    using namespace std;
    int to[MAXN<<1],nxt[MAXN<<1],head[MAXN<<1];
    int in[MAXN<<1],out[MAXN];
    vector<int> vc[MAXN];
    double dp[MAXN<<1];
    double e[MAXN<<1];
    int tot,n;
    
    void init()
    {
        tot=0;
        for(int i=0;i<MAXN;i++)
            head[i]=in[i]=out[i]=dp[i]=e[i]=0,vc[i].clear();
    }
    
    void add(int u,int v)
    {
        to[++tot]=v;
        nxt[tot]=head[u];
        head[u]=tot;
    }
    
    void get_e(int u)
    {
        if(u==n)
            return ;
        double tmp=0;
        for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
        {
            int v=to[i];
            tmp+=e[v];
        }
        e[u]=(tmp+out[u]+1)/out[u];
    }
    
    void get_dp(int u)
    {
        if(u==n)
            return ;
        double tmp=0;
        for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
        {
            int v=to[i];
            tmp+=dp[v]+e[u];
            cout<<u<<" "<<v<<endl;
        }
        dp[u]=(tmp+e[u])/out[u];
    }
    
    void topo()
    {
        queue<int> que;
        que.push(n);
        while(que.size())
        {
            int u=que.front();
            get_e(u);
            get_dp(u);
            que.pop();
            for(int i=0;i<vc[u].size();i++)
            {
                int v=vc[u][i];
                in[v]--;
                if(in[v]==0)
                    que.push(v);
            }
        }
        printf("%.2f\n",dp[1]);
        printf("%.2f\n",e[1]);
    }
    
    int main()
    {
        int t,m,u,v;
        scanf("%d",&t);
        while(t--)
        {
            init();
            scanf("%d%d",&n,&m);
            for(int i=1;i<=m;i++)
            {
                scanf("%d%d",&u,&v);
                add(u,v);
                vc[v].push_back(u);
                in[u]++;
                out[u]++;
            }
            topo();
        }
        return 0;
    }
    

     

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    2021-05-23 21:28:21
    目录1 > 概率 :( 1 )集合观下的概率( 2 )概率的相对性 :1.绝对概率 :2.相对概率 :( 3 ) 概率的几种类型( 4 ) 基本公式:1.全概率公式:2....全期望公式:E( X ) = ∑P( Y = yi )E( X | Y = yi ) =
  • [笔记]概率期望

    2019-03-20 13:02:00
    参考资料:条件概率/全概率/贝叶斯公式_CSDN 条件概率_百度百科 概率公式 条件概率公式 设\(A,B\)是两个事件,且\(P(B)>0\),则在事件\(B\)发生的条件下,事件\(A\)发生的条件概率为\(P(A|B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}...
  • 概率期望学习笔记

    2018-08-16 17:12:00
    部分公式的表达可能不太严谨......能理解就行 欢迎转载,只是需要注明出处.... 1.概率 我们定义这么一个函数, 函数$P(A)$,表示 事件$A$ 发生的可能性的大小,称作概率测度 此时,$A$是事件集合$F$...
  • 相信你对变量这个概念并不陌生,数学方程式和编程代码里经常会用到变量。那什么是变量呢?我们在概率中常说的随机变量( random variable)和普通的变量(variable)又有什么...
  • 概率期望 首先考虑概率DP,具体可见kuangbin的博客参考博客 例题:POJ4405 Aeroplane chess 原题地址 代码: 概率DP求期望入门题 代码转载自kuangbin的博客 HDU 4405 /* 概率DP求期望。 形成一个有向无环图。按照...
  • 几何分布的期望公式的推导

    万次阅读 多人点赞 2018-04-05 12:48:37
    随机变量服从几何分布 概率分布 期望 现在先求等差比数列和 ②-③, 并运用等比数列求和公式,可得 将④代入①得 ...
  • 给出一颗树,起始点为1号点,接下来可以走向任意一个与当前点连接着的点,每个点有ki%的概率被杀死和ei%的概率逃生(ki+ei),被杀死后将返回1号点从新开始,问逃生成功的期望步数,如果不可能逃生成功输出impossible...
  • Codeforces 235B Let's Play Osu! (概率dp求期望公式变形)
  • hdu4465 期望公式

    千次阅读 2013-03-17 01:59:18
    一开始看错题目了,推出来的公式模拟第一组数据都过不了,后来看了题解重新读题才知道要取到n+1步,期望公式很好推,运算过程中乘以概率值不会导致精度溢出,具体过程看代码。。。 ACcode: #include int...
  • 概率期望 基础定义 首先,对于独立事件\(A,B\),我们有\(E(AB) = E(A)E(B)\) 这个式子在非独立事件的前提下是不成立的 另外\(A,B\)理解为随机变量,\(AB\)就是他们的乘积,一样理解为一个随机变量 根据等比数列求和公式 ...
  • problem=495 题意:  有n个礼物盒,m个人。  最开始每个礼物盒中都有一个礼物。 ... m个人依次随机选一个盒子,如果有礼物就拿走,然后放回空盒子。... 三种做法:期望dp,概率dp,推公式  一、期望d...
  • UVA 11427 Expect the Expected (概率dp+推公式期望 详解)
  • caioj概率期望DP三连刷

    2018-04-11 16:48:30
    概率期望DP太弱了,来caioj刷一发基础题。 1269: 期望DP,考虑从已知状态开始推。设f[i][j]f[i][j]f[i][j]表示已收集i种bug,属于j个子系统,还需要的期望天数,初始化显然为f[n][s]=0f[n][s]=0f[n][s]=0。然后...
  • cf1096 E(概率期望+贡献) 题意: 给一个排列,一些数未知,问逆序对个数期望值 思路: 对于期望我们一般考虑期望dpdpdp或者直接贡献,即要么利用期望的线性性,要么直接公式,而对于pip_ipi​,一般都是已知方案除以...
  • 【Derivation】 条件数学期望公式

    万次阅读 2017-03-07 21:03:02
    【1】全期望数学公式在基础概率论中是一块非常重要的内容。 研究生阶段此段内容涉及科目有《随机过程分析-随机变量的数字特征》/《数字通信-通信系统衰落信道性能分析》 由于信道噪声通常使用某些随机变量,所以在...
  • 题意:给出一颗n个点,n-1条边的树,每个结点都有其初始化的被点亮的概率,每条边也有其可以通电的概率,求能被点亮的灯的数量的期望。 分析与总结:通过这道树形dp,加深了对换根的理解,对于解决一些有依赖性关系...
  • 以前一直都一直在凭感觉做概率期望,直到我遇到了这一公式题:排名估算 如果做不出来的话就让我们一起学习吧! 如果做得出来给您跪了! 首先了解几个符号: 表示A发生的机率。 B发生下A发生的概率 AB...

空空如也

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