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  • 概率论中独立事件的讨论

    千次阅读 多人点赞 2019-04-20 11:58:58
    如果甲在描述的一个问题的样本空间为A,它基于这个A的出一个概率,而乙在另外一个不同的样本空间B得出一个概率,那么讨论和的关系需要谨慎,要不然就是驴唇不对马嘴。 1. 条件概率 学习条件概率的时候会碰到下面...

    开始之前,我们要明确描述一个问题的概率问题时,必须准确把握这个"样本空间",概率书上一般称这个为所有可能的结果构成的集合为"样本空间"。如果甲在描述的一个问题的样本空间为A,它基于这个A的出一个概率P_{1},而乙在另外一个不同的样本空间B中得出一个概率P_{2},那么讨论P_{1}P_{2}的关系需要谨慎,要不然就是驴唇不对马嘴。

    1. 条件概率

    学习条件概率的时候会碰到下面的条件概率公式:

    P(E|F)=\frac{P(EF)}{P(F)}, P(F)>0           

    这个式子的意思就是F事件发生的条件下,E事件发生的概率。从字面上,主观的感受觉这个是很容易被理解的一个公式。要深刻理解这个条件公式概率的话,是需要深刻理解这里面讨论概率问题时"样本空间"的切换。用“维恩图”来理解更容易掌握实质:

    P(E|F)=\frac{S_{red}}{S_{F}},即条件概率P(E|F)等于红色部分面积(EF相交部分面积)除以F事件面积(绿色+红色面积)

    也就是说求P(E|F)时候的样本空间是以F事件的样本空间为参考的,这与P(E)=\frac{S_{E}}{S_{A}}(即F事件面积除以A原始样本空间面积)。

    也就是说P(E|F)P(E)两个概率所参考的样本空间完全不一样:

    P(E)是基于原始样本空间A,P(E|F)是基于新的样本空间F。

    2. 事件独立

    定义对于事件E和事件F,如果满足下面的公式,那么称它们是独立的。若两个事件E和F不独立,则称它们是相依的,或者相互不独立

    P(EF)=P(E)P(F)

    因此如果事件E和事件F独立,那么肯定满足下满的式子:

    P(E)=P(E|F)

    观察上面的维恩图,可知:

    \frac{S_{red}}{S_{F}}=\frac{S_{E}}{S_{A}}

    这也就说明了事件F的样本空间对事件E样本空间的切割后这部分(即形成维恩图中红色部分空间)在F中的比例和事件E在原来总体样本空间A中的比例是一致的,实际上这种"同比例切割"的特性,是确定F与E是否独立的一个标志,如果F事件样本空间同比例切割E事件空间,那么E和F就是独立的。这样子的描述和"F事件的发生并不影响E发生的概率,那么E和F就是独立的", 事实上这样子的描述在主观上有时候不是特别容易判断的。用"同比例切割"有时候更容易判断两个事件是否是独立的。相反的,不能同比例切割的话,那可以判断E和F是不独立的。

    利用这个结论,观察上面这个维恩图,它告诉我们,E和F事件没有相交的部分,按照"同比例切割"的观点,F事件和E事件是"不独立"的! 当然也可以利用是否满足公式P(EF)=P(E)P(F)方式去验证独立性。 这个图告诉我们:

    两个不相交的事件,反而是"相互不独立"的。除了一种情况,事件E不可能出现,也就是P(E)=0。

    这给我们一种新的认识:世界上两个没有任何交集的人,却相互不独立。除非你不存在。

    造成这种错觉的原因是,讨论问题的角度不一样,相交讨论的是两个事件的集合,而"独立性"与否讨论的是比例(也就是概率)的问题。另外,概率论中的"独立"都是特别针对概率值的影响的,而人的独立性讨论的是人格特征。概率论中只是借用了"独立"这个词,概念上被赋予了严格的数学意义。

    例1. 从一副洗好的52张扑克牌里随机抽取一张牌,令E表示事件"抽取的牌为一张A",令F表示事件"抽取的牌为一张黑桃",那么E和F就是独立的。因为P(EF)=1/52,而P(E)=4/52且P(F)=13/52。

    这个例子也可以用"同比例分割"的方法来判断。原始样本空间大小为52,事件E空间大小有4(因为有4张牌A),因此事件E在原来空间中的分割比例时4/52。 相交事件EF样本空间(既是牌A又是黑桃)1,事件F的样本空间很明显是13(因为有13张黑桃),因此,EF在F中的分割比例为1/13。4/52=1/13,因此是独立的。

    例2. 掷两枚均匀的骰子,令E_{1}表示事件"骰子点数和为6",令F表示事件"第一枚骰子点数为4",那么

    P(E_{1}F)=P({4,2})=\frac{1}{36}

    P(E_{1})P(F)=\frac{5}{36}\times \frac{1}{6}=\frac{5}{216}

    因此,E_{1}和F不独立。也可以用"同比例分割"法。E1F相交事件在F中分割的比例为1/6,而E1事件在原来空间的比例是5/36。

    例2, 如果令E_{2}表示事件"骰子点数和为7",那么F和E_{2}是独立的。请自证。

    需要强调的是,两个事件独立并不代表两个事件之间没有影响,影响这个词太笼统了,因为,影响这个词没有说具体什么影响。而概率论中,事件之间是否独立,它强调的是事件F的出现与否对事件E原来发生的概率是否有影响!它明确了影响什么!即便事件F对事件E产生其他影响,只要不影响E的概率,那就是"独立"!

     

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  • 不放回抽样是一种抽样方法,它是在逐个抽取个体时,每次被抽到个体不放回总体参加下一次抽取方法。采用不重复抽样方法时,总体单位数在抽样过程逐渐减小,总体各单位被抽中的概率先后不同。不放回抽样也指...

    基本知识点

    • 随机试验:1.不确定性2.可预知性3.可重复性
    • 基本事件:包含一个样本点
      必然事件:全集
      不可能事件:空集
      子集2^n-1-1(减去空集与真集)

    事件间的关系

    1.包含关系包含关系
    2.和运算AUB=A+B,A与B至少有一个发生
    3.积事件A∩B=AB,AB同时发生
    4.差事件A-B=AB ̅=A-AB,A发生但B不发生
    5.互不相容或互斥AB=∅,两个事件不能同时发生
    6.对立事件或逆事件A+B=1,AB=∅,其中必有一个发生的互斥事件
    7.独立事件:PAB=PA*PB

    在这里插入图片描述

    独立事件

    1.若A与B独立,A与B-独立,A-与B独立,A-与B-独立
    2.两个事件发生互不影响,PA|B=PA;PB|A=PB
    3.A,B两两独立不能保证A,B,C相互独立

    n重伯努利事件(二项分布)

    只有两个可能的结果:A发生或不发生,将这个试验独立地进行n次
    p=Cnkp^k
    *(1-p)^n-k

    公式与重点

    1.常见逆事件
    两个事件至少有一个发生---->两个事件都不发生
    在这里插入图片描述
    两个事件同时发生—>至少有一个事件不发生
    在这里插入图片描述
    2.单调性
    在这里插入图片描述
    3.逆事件的概率
    在这里插入图片描述

    公式

    等可能概型(古典概型)

    在这里插入图片描述

    不放回抽样

    不放回抽样是一种抽样方法,它是在逐个抽取个体时,每次被抽到的个体不放回总体中参加下一次抽取的方法。采用不重复抽样方法时,总体单位数在抽样过程中逐渐减小,总体中各单位被抽中的概率先后不同。不放回抽样也指整个样本一次同时抽取的抽样方法 .
    不放回抽样

    有放回抽样

    有放回抽样是简单随机抽样的操作方式之一。把总体中的抽样单位从 1 至 N 编号, 每抽取一个号码后再将它放回总体。对于任意一次抽取而言,由于总体容量不变,所以 N 个号码被抽中的机会均等,1/n
    抽奖:
    在这里插入图片描述

    几何概型

    在这里插入图片描述

    常用计算知识点

    1.一元二次方程的通式为:ax²+bx+c=0(a>0),并且判别式Δ=b²-4ac

    2、若Δ>0,一元二次方程有两个不等实根

    3、若Δ=0,一元二次方程有两个相等实根,实际上就是一个实根

    4、若Δ<0,一元二次方程没有实根
    在这里插入图片描述
    参考B站高斯课堂

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  • 概率论中的独立性

    千次阅读 2020-04-21 17:14:27
    随机事件的独立性 若随机事件A和事件B的概率满足关系:P{AB}=P{A}*P{B} ,则称事件A和事件B是随机独立的(或简称独立) 随机变量的独立性 随机变量:定义在样本空间上的函数(离散或连续的) 在同一样本空间内,...

    随机事件的独立性

    若随机事件A和事件B的概率满足关系:P{AB}=P{A}*P{B} ,则称事件A和事件B是随机独立的(或简称独立)

    随机变量的独立性

    随机变量:定义在样本空间上的函数(离散或连续的)

    在同一样本空间内,若随机事件A发生时随机变量X的值已知,可以对随机事件B发生时随机变量Y的值做一些推测,则表明两个随机变量不独立。附上随机变量相互独立的定义:

    从上述定义上看:随机变量之间的独立性是从条件概率的角度上入手的!

    随机变量的期望和协方差

    从上面两个定理可知:(1)两随机随机变量相互独立,可推出随机变量乘积的期望或协方差;(2)期望的关系跟协方差的关系基本上是等价的(协方差要求方差有限!)

    但是期望满足条件或协方差满足条件,并不能保证随机变量的随机独立性。举例如下:

    显然,随机变量N和X不完全独立。因为某些时候知道N的取值,如N=3时,X肯定不可能取0,2,3,只有一个可能X=1,即知道N的取值是可以对X做一些推测!

    总结

    根据定义,知道随机变量(事件)的独立性(或随机独立性)取决其条件概率或联合概率关系,而期望、协方差只是在随机独立条件下,且满足某些条件(能量有限)时的推论关系!

     

    参考文献:

    Kingman J F C , Feller W . An Introduction to Probability Theory and Its Applications[J]. Journal of the Royal Statal Society Series A (General), 1972, 135(3):430. (中文版)

     

     

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  • 概率论中的独立和不相关区别

    千次阅读 2020-05-28 10:02:57
    事件 A 发生的概率不影响事件 B 发生的概率,反应的是概率运算上的关系。 不相关:不相关随机变量是指两个变量的相关系数为0的变量,是相互间没有线性关系的变量。 1.不相关是指的两个变量之间没有线性关系,并不...

    首先,变量间的关系主要有互不相容、对立、独立和互不相关。
    独立:有两随机事件 A、B 。 A、B 发生的概率分别为 P(A) 和 P(B) , AB 事件同时发生的概率为 P(AB) 若 P(A)×P(B)=P(AB) ,则 A 与 B 相互独立。事件 A 发生的概率不影响事件 B 发生的概率,反应的是概率运算上的关系。
    不相关:不相关是指两个变量的相关系数为0,两个变量之间没有线性关系的。

    1.不相关是指的两个变量之间没有线性关系,并不一定没有其他关系。而独立指的是两个随机变量之间什么关系都没有。so,独立一定不相关,不相关不一定独立。
    2.特别的,当随机变量x,y是服从于二维正态分布时,不相关和独立等价。

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  • 一、包含 AB(A包含于B)或BA(B包含A)==A发生必然导致B发生 注意:(1)AΩ (2)元素∈集合 集合集合 二、相等 若AB并且BA,则A=B ...表示A与B至少有一个发生。 A+BA A+A=A A+=A A+Ω=Ω ...
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  • 事件中的关系以及运算 之描绘重点 包含关系 相等关系 事件的和 事件A和事件B至少有一个发生就是一个事件; A U B = { w | w 属于 A 或 w 属于 B}; 事件的积 事件A和事件B都发生就是事件的积; 事件的差 ...
  • 2. 随机事件的包含关系 3. 和事件(若干个事件至少有一个发生) 4. 积事件(若干个事件同时发生) 5. 互斥事件(互不相容事件,即在一次试验不可能同时发生的事件) 6. 逆事件(对立...
  • CDA数据分析师 出品 摘要 本文作为学习概率论的前导知识,主要是为了帮助大家了解以下知识点: 什么是随机事件和随机变量?...首先,我们需要知道是在自然界和人类社会,存在着两种现象,一种是确定性现象...
  • 随机事件与概率事件与集合事件间的关系包含关系相等关系互不相容(互斥)对立事件(互逆事件)事件的运算交(积)∩并(和)∪差—事件运算的性质 事件与集合 样本点——>集合元素 样本空间Ω——>全集 事件...
  • 有了测度论,才可以在集合的基础上完备定义事件的集合(样本空间)、样本空间事件集合的集合(西格玛代数)和对于集合的测度(概率)。这是奠定概率论的基本公理,没有这些数学上的严谨定义,概率论自然不能如此严谨...
  • 参考文献:《概率论与数理统计》-陈希孺 1. 概率是什么  1)主观概率  (1)主观概率含义:为根据其经验和知识及利害关系的一种心态或倾向性 ... (2)主观概率特点:不是在...(c)在涉及利益得失决策
  • 随机试验,样本空间,随机事件以及事件的关系和运算 ##随机试验 定义:把具有以下三个特征的试验称为随机试验.通常用E来表示. 1.可以在相同的条件下重复地进行;(可重复) 2.试验前能事先明确实验的所有可能结果;(可预知)...
  • 概率论(记录

    2018-07-11 18:15:46
    1、贝叶斯决策(Bayesian Deceision Theory):就是在不完全情报下,对部分未知的状态用主观概率估计,然后用贝叶斯公式对发生的概率进行修正,...然而,这两者是有确定的关系,贝叶斯法则就是这种关系的陈述。2、...
  • 在茆诗松教授主编概率论与数理统计教程》(2011年第2版)有这么一个用于讲解事件(集合)之间相等关系的例题: 假设口袋有a个黑球与b个白球(a与b均大于零)。现在我们要将这些球一一无返回地摸出来,直到...
  • p(a,b)指a、b两个事件同时发生的概率,逗号在这里连接两个事件,表示与的关系 p(x|theta)不总是代表条件概率;也就是说p(x|theta)不代表条件概率时与p(x;theta)等价。而一般地,写竖杠表示条件概率,是随机变量。 分号...
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    千次阅读 2017-06-05 23:52:03
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  • 概率论初探

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    2020-07-12 15:56:56
    概率论中的事件A对应集合论中集合A , 即.事件可以看作是集合。 A⊂BA⊂BA⊂B 在概率论中的意义 : 事件A发生必然导致事件B发生。 A−B=A∩Bˉ=ABˉ=A−AB=(A∪B)−BA-B= A∩\bar B=A\bar B=A-AB=(A∪B)-BA−B=A∩B...
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  • 1.事件的关系与运算 (1) 子事件:,若发生,则发生。 (2) 相等事件:,即,且。 (3) 和事件:(或),与至少有一个发生。 (4) 差事件:,发生但不发生。 (5) 积事件:(或),与同时发生。 (6) 互斥事件...
  • 概率论基础学习

    2020-03-14 08:00:19
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  • 设AAA,BBB,CCC为三个事件,用AAA,BBB,CCC运算关系表示下列各事件: (1)AAA发生,BBB与CCC不发生. (2)AAA与BBB都发生,而CCC不发生. (3)AAA,BBB,CCC至少有一个发生. (4)AAA,BBB,CCC都...
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  • 【初等概率论】 02

    2017-02-09 15:15:40
    概率空间是事先给定的,其中样本空间是定义的基础,事件及其概率是我们讨论的对象。那么面对一个给定的概率空间,我们... 对于整个事件域,我们不光要知道每个事件的概率,还要知道事件之间的关系。具体讲就是,如果事

空空如也

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概率论中事件的关系