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  • 概率论中的常用分布

    2021-04-08 23:07:57
    概率论中的常用分布(用于考试前记忆) 离散情形 二项分布 描述:假设进行 nnn 次试验,每次试验成功的概率是 ppp ,失败的概率是 1−p1-p1−p .令随机变量 XXX 为成功的次数,则 XXX 服从二项分布.P(X=k)=(nk)pk(1...

    概率论中的常用分布(用于考试前记忆)

    离散情形

    1. 二项分布

    描述:假设进行 nn 次试验,每次试验成功的概率是 pp ,失败的概率是 1p1-p .令随机变量 XX 为成功的次数,则 XX 服从二项分布.P(X=k)=(nk)pk(1p)nk\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}且有E(X)=np;Var(X)=np(1p).\mathbb{E}(X)=np; Var(X)=np(1-p).

    1. 几何分布

    描述:假设进行 nn 次试验,每次试验成功的概率是 pp ,失败的概率是 1p1-p .令 XX 表示直到第一次成功所需的试验次数,则 XX 服从几何分布.P(X=k)=p(1p)k\mathbb{P}(X=k)=p(1-p)^k且有E(X)=1p;Var(X)=1pp2.\mathbb{E}(X)=\frac{1}{p}; Var(X)=\frac{1-p}{p^2}.

    1. 负二项分布

    描述:假设进行 nn 次试验,每次试验成功的概率是 pp ,失败的概率是 1p1-p .令 XX 表示直到成功 rr 次所需的试验次数,则 XX 服从负二项分布.P(X=k)=(k1r1)pr(1p)kr\mathbb{P}(X=k)=\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r}且有E(X)=rp;Var(X)=r(1p)p2.\mathbb{E}(X)=\frac{r}{p}; Var(X)=\frac{r(1-p)}{p^2}.

    1. 泊松分布

    描述:用于近似二项分布.P(X=k)=λkeλk!\mathbb{P}(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}且有E(X)=Var(X)=λ.\mathbb{E}(X)=Var(X)=\lambda.

    1. 超几何分布

    描述:假设盒子中有 nn 个球,rr 个黑球,nrn-r个白球,从盒子中取出 mm 个球.令 XX 表示抽到的黑球数,则 XX 服从超几何分布.P(X=k)=(rk)(nrmk)(nm)\mathbb{P}(X=k)=\frac{\binom{r}{k}\binom{n-r}{m-k}}{\binom{n}{m}}且有E(X)=mrn()\mathbb{E}(X)=m\frac{r}{n}(类似于二项分布的期望)

    连续情形

    1. 均匀分布

    1. 正态分布
      pdf
      f(x)=1σ2πe12σ2(xμ)2 f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2}

    2. 指数分布
      pdf
      f(x)=eλxf(x)=e^{-\lambda x}且有E(X)=1λ,Var(X)=1λ2\mathbb{E}(X)=\frac{1}{\lambda},Var(X)=\frac{1}{\lambda^2}

    3. Γ\Gamma分布、β\beta分布、χ2\chi^2分布一般不要求记忆,从略.

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  • 概率论中的关键定理的理解 楼主作为小白最近再搞强化学习方面的项目,发现和当初初学机器学习一样,概率论是一个永恒的话题,痛定思痛决定好好看下概率论及梳理统计相关的基础知识,写的比较零散,后续会跟进这些...

    对概率论中的关键定理的理解
    楼主作为小白最近再搞强化学习方面的项目,发现和当初初学机器学习一样,概率论是一个永恒的话题,痛定思痛决定好好看下概率论及梳理统计相关的基础知识,写的比较零散,后续会跟进这些理论在机器学习及预测控制上的应用(等我学会了,我认为强相关,立贴为证!
    贝叶斯公式的目的: 已知某事件已经发生,考察引发该事件的各种原因或情况的大小(P(Ai|B))
    样本量足够大,概率比较小的二项分布,近似于泊松分布
    寿命多服从指数分布
    一个随机变量收到许多随机因素的影响,并且其中的每一个因素都不起主导作用,则符合正太(高斯)分布
    指数分布的特点是,平均寿命就是该分部的参数
    柯西分布特征
    随机变量函数的期望等于变量期望的函数–很重要的行之,计算期望时直接复用随机变量的概率分布计算期望
    大量小概率事件的分布符合泊松分布:查下该分布的起源
    标准化定理:可以变量的数值归一化,从而削弱不同量级数值分布带来的影响
    多维随机分布:多特征随机分布,应对特征间相关联的分布的定义和分析
    大数定理:随机现象的平均结果的稳定性-大数定理
    切比雪夫不等式:随机变量分布未知的情况下,时间围绕期望的下限估计
    概率很小的随机事件,在个别试验中几乎不会发生-小概率原理
    中心极限定理: 随机变量和的极限分布式正太分布
    最大似然估计:如何根据样本,在假设的概率分布的基础上对参数进行“最大似然化”的估计
    两个随机变量的协方差表征两个随机变量分布趋势的趋同度:首先协方差本身是要描述两个随机变量之间的关系,其次
    譬如:相互独立时,两者共同发生的概率没有交合区,表征完全独立分布毫无关联,协方差对两个随机变量关系的反映,是通过进一步计算得到的相关系数来反应的:同时也表征了两个变量之间的线性相关程度!

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  • 最近在看信息论中的概念,对于联合熵的概念比较混乱,从而引发出对联合概率的思考, 当提到联合概率的时候大家都会看到这么一...对于P(A,B)指的是在(A,B)形成的空间中的概率,Sa和Sb分别是A和B的空间,则形成总空间为S

    最近在看信息论中的概念,对于联合熵的概念比较混乱,从而引发出对联合概率的思考,

    当提到联合概率的时候大家都会看到这么一个图:

    学习概率论是这样理解还可以,还能解释条件概率,总体挺好的;

    但是总感觉有点啥问题,当AB完全独立是不是这个:

    这样就会随之想到的是P(AB)=0,书上又说A,B在相互独立时,P(AB)=P(A)*P(B),是不是哪个地方有问题呢?

    既然出现分歧,这就从概念出发吧。

    对于P(A,B)指的是在(A,B)形成的空间中的概率,Sa和Sb分别是A和B的空间,则形成总空间为Sa*Sb。

    假设A和B分别是线性空间,那么(A,B)就是二维平面。

    P(AB)也可以写成P(AiBj),或许这样就更好理解了。

    举个例子,小明所穿的袜子,每星期内都随机穿,袜子有红黄绿蓝,星期几和穿袜子的颜色也是随机对应:

    星期/颜色

    绿

    1

    -

    -

    -

    -

    2

    -

    -

    -

    -

    3

    -

    -

    -

    -

    4

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    -

    -

    -

    5

    -

    -

    -

    -

    6

    -

    -

    -

    -

    7

    -

    -

    -

    -

    P(红2)代表星期二穿红色的概率;

    当两者相互独立时,P(红2)=P(红)*P(2)=1/4*1/7=1/28;

    当小明在周六和周天不想穿绿色和蓝色,对于观察者进行大量实验后发现:

    星期/颜色

    绿

    1

    -

    -

    -

    -

    2

    -

    -

    -

    -

    3

    -

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    -

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    4

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    -

    -

    -

    5

    -

    -

    -

    -

    6

    - -

    - -

     

     

    7

    - -

    - -

     

     

    此时发现P(红6)=P(红|6)*P(6),其中P(6)的空间为整个空间,而P(红|6)的空间为6的空间;

    此时观察者发现P(红|6)>P(红)说明红和6有某种关系,6使得红的概率增加;

    同时发现P(绿|6)=0<P(红),说明6阻断绿的发生;

    总之,用韦恩图代表概率容易让人混乱,联合时间并不是A和B同时发生的概率而是,A和B的特定组合占整个空间的概率;

    所以P(AB)则衡量A和B空间联合的确定度,这样就和信息熵的概念一致了。

    最后更正一下刚开始的图,相交的部分是P(A∩B),而不是P(AB):

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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  • 概率论中的基本公式

    万次阅读 2018-03-25 17:01:53
    P(B|A)=P(AB)P(A)P(B|A)=P(AB)P(A)P(B|A)=\frac {P(AB)}{P(A)} 2.乘法定理 P(AB)=P(B|A)P(A)P(AB)=P(B|A)P(A)P(AB)=P(B|A)P(A) 推广多个事件积事件 P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)P(ABC)=P(C|AB)P(B...

    1.条件概率

    事件A已经发生的条件下,事件B发生

    P(B|A)=P(AB)P(A)

    2.乘法定理

    P(AB)=P(B|A)P(A)

    推广多个事件的积事件
    P(ABC)=P(C|AB)P(B|A)P(A)

    更一般地有
    P(A1A2...An)=P(An|A1A2...An1)P(An1|A1A2...An2)P(A2|A1)P(A1)

    3.全概率公式

    概念:
    试验E的样本空间S,事件Bii=1,2...,n是样本空间的一个划分,每次试验有且仅有一个发生。

    • BiBj=,ij
    • B1B2...Bn=S

    如果A是E的事件,事件A发生,

    P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)

    全概率公式的理解
    例子:
    人患肺癌的概率为0.1%,人群中有20%吸烟者,他们患肺癌的概率为0.4%, 那个不吸烟的人患肺癌的概率是多少?
    换个人能看懂的说法,P()=0.001, P()=0.2, P(|)=0.004, 求 P(|)=?
    P()=0.001 既包括了吸烟患肺癌的概率又包括不吸烟患肺癌的概率。

    P()=P()+P()
    =P(|)P()+P(|)P()
    =0.004×0.2+P(|)×(10.2)=0.001

    所以不吸烟的人患肺癌的概率为0.00025.

    4.贝叶斯公式

    P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)j=1nP(A|Bj)P(Bj)

    n=2时,
    P(B|A)=P(A|B)P(B)P(A|B)P(B)+P(A|B¯)P(B¯)

    用条件概率、全概率公式理解贝叶斯公式:

    P(A|B)=P(AB)P(A)
    或者
    P(B|A)=P(BA)P(A)
    因为
    P(AB)=P(BA)
    所以
    P(B|A)=P(A|B)P(B)P(A)

    P(A)发生的概率就用到了全概率公式,包括B在各种情况下A发生的概率:
    j=1nP(A|Bj)P(Bj)

    实际应用中的定义


    bayes

    经典例子:
    癌症诊断事件,人患癌症的统计概率为0.005,一个不患癌症的受诊者试验呈阳性的概率为0.05,一个患癌症的病人做诊断时呈阳性的概率为0.95,那么受诊者试验呈阳性,他患癌症的概率?
    分析:
    P()=0.005
    P(|)=0.05
    P(|)=0.95
    P(|)=?

    使用条件概率计算:

    P(|)=P(|)P()P()
    P(|)P()=0.005×0.95=0.00475
    P()=P(|)P()+P(|)P()
    =0.05×(10.005)+0.95×0.005=0.0545
    P(|)=0.004750.0545=0.08715

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  • 概率论 中的 链式法则

    千次阅读 2019-08-31 10:19:43
    其中:P(a, b)表示 a和b事件同时发生概率,P(a | b)是一个条件概率,表示在b事件发生条件下,a发生概率 3个事件概率链式调用: P(a, b, c) = P(a | b, c) * P(b, c)  =P(a | b, c) * P(b | c) * P(c) ...
  • 概率论中的一些概念

    2020-08-11 16:15:03
    即等可能概型,空间包含有限个元素,每个元素出现概率是一样,例如掷硬币。 条件概率 P(B|A)表示在发生A情况下发生B。 独立性 P(AB)表示既发生了A也发生了B。P(AB)=P(A)P(B),则AB相互独立。 ***通常说分布...
  • 概率论中的Keyword

    2015-12-11 10:11:32
    P(我当时学时候是A)表示排列方法,表示一些物体按顺序排列起来,总共方法是多少. 计算是固定套路,熟能生巧,多计算几个就熟练了. 举个例子,C(5,2)=(5*4)/(2*1)=10,C(7,3)=7*6*5 / 3*2*1=35 P(5,3
  • 概率论中的独立性

    千次阅读 2020-04-21 17:14:27
    若随机事件A和事件B概率满足关系:P{AB}=P{A}*P{B} ,则称事件A和事件B是随机独立(或简称独立) 随机变量独立性 随机变量:定义在样本空间上函数(离散或连续) 在同一样本空间内,若随机事件A发生时...
  • 有这样一道概率论题目,我认为将其编写为C程序实现是一件非常有意思事情,题目如下: 在一个人数很多团体中普查某种疾病,为此要抽验N...在概率论中,这是一道依照期望来比较题目,但当我们将它视为一道C语言题
  • E, F分别表示某类事件,于是E可以表示成E=EF∪E(F^c), 即E中的事件要么同时属于E和F,要么仅属于E而不属于F。 那么E事件发生的概率可表示为: 可以这样理解上述公式: 事件E发生的概率,等于 F发生时,E发生的...
  • 概率论中的常见分布

    2015-10-15 15:20:00
    转载于:https://www.cnblogs.com/tuty/p/4882509.html
  • 概率论中的独立和不相关的区别

    千次阅读 2020-05-28 10:02:57
    A、B 发生概率分别为 P(A) 和 P(B) , AB 事件同时发生概率为 P(AB) 若 P(A)×P(B)=P(AB) ,则 A 与 B 相互独立。事件 A 发生概率不影响事件 B 发生概率,反应是概率运算上关系。 不相关:不相关随机...
  • 注:其实从中学就开始学习统计学了,最早的写"正"字唱票(相当于寻找众数),就是一种统计分析的过程。还有画直方图,求平均值,找位数等。自己在学校里并没有完整系统...从最初的p值的含义,到各种分布,假设检验...
  • 连续型随机变量(or 连续型概率分布) ... P 概率(函数) P 概率(函数)、分布列、分布律 f 概率密度(函数)PDF PDF、PMF、CDF 区别详见https://blog.csdn.net/wzgbm/article/details/51680540...
  • 机器学习中的概率论知识 古典概型 P(Aˉ)=1−P(A)P(\bar{A}) = 1-P(A)P(Aˉ)=1−P(A) P(A−B)=P(A)−P(AB)P(A-B) = P(A) - P(AB)P(A−B)=P(A)−P(AB) P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB)P(A+B)=P(A)+...
  • 动态规划应用十分常见,今天介绍一种在概率论中求期望时所用动态规划方法。 因为在求期望时,我们需要知道N种结果中,每种结果概率p[i]和每种结果值k[i],那么最终期望值即为E=p[1]k[1]+p[2]k[2]+...p[N]k[N...
  • 定义: ...如果P(B∣A)=P(B)P(B|A)=P(B)P(B∣A)=P(B),则表明事件A对B无影响,即A和B是相互独立。 例:抛硬币2次,设A为第一次出现正面,B为第二次出现正面事件,则: P(A)=12P(A)=\frac{1}{2}P
  • 在随机试验,可能出现也可能不出现,而在大量重复试验具有某种规律性事件 2.条件概率 假设实验A和B是试验E事件, 考虑A已发生情况下B发生概率: P(B∣A)=P(AB)/P(A)P(B|A)=P(AB)/P(A)P(B∣A)=P(AB)/P(A)...
  • 概率论

    2021-02-27 17:59:41
    一 事件与概率 概率空间 样本点:在试验每一...概率频率解释:设在相同条件下重复地进行试验,则随着试验次数地不断增大,事件A频率在某一确定值附近趋于稳定,这一确定值称为事件A概率,记为P(A)P(A)P(A)
  • P(B|A)=13 表示意思为当A发生时候,B发生概率 公式: P(B|A)=P(AB)P(A) P(AB)=P(B|A)∗P(A)=P(A|B)∗P(B) P(A|B)=P(B|A)∗P(A)P(B) 全概率公式 B1,B2,B3……Bn 为样本空间S一个划分则可以得到 P(A)=P(B1)P...
  • 若x为离散/连续变量,则P=(x=x0)表示x0发生概率/概率密度 1.2 累计分布函数 Φ(x)=P(≤x0) Φ(x)一定为单增函数 min(Φ(x))=0,max(Φ(x))=1 将值域为[0,1]某函数y=f(x)看成x事件累积概率 若y=f(x)可导,则...
  • 独立:对于事件$A$和$B$,如果$P(AB)$=$P(A)P(B)$,那么称$A$和$B$是独立。 所谓独立,即两事件结果不会相互影响。从样本点⻆度来考虑,即两者不包含相同样本点。 条件概率 条件概率: 如果$P(B)&gt...
  • 泊松分布,要明白:泊松分布是二项分布n很大而p很小时一种极限形式。 二项分布:已知某件事情发生概率是p,那么做n次试验,事情发生次数就服从二项分布。 泊松分布式某段连续时间内事情发生次数。事情...
  • 概率论中常见分布数学期望、方差与特征函数推导 (一)离散型分布 #1.单点分布 #2.两点分布 #3.二项分布 #4.泊松分布 #5.超几何分布 #6.几何分布 #7.负二项分布 1.单点分布 随机变量取值,X=a(常数) 分布律:P(X...

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