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  • 线性代数中的基本内容,本资料总结了三种QR分解中的经典方法,具体包括:矩阵的 QR分解可利用 Schmidt正交化、矩阵的初等变换以及 Givens变换方法,这是学习QR分解的宝贵资料。若 n阶实非奇异矩阵 A可以分解为正交...
  • 数值分析--矩阵QR分解的三种方法

    万次阅读 2015-08-27 10:33:26
    QR分解法是目前求一般矩阵全部特征值最有效并广泛应用的方法,一般矩阵先经过正交相似变化成为Hessenberg矩阵,然后再应用QR方法求特征值和特征向量。它是将矩阵分解成一个正规正交矩阵Q与上三角形矩阵R,所以称为...

           

             QR分解法是目前求一般矩阵全部特征值的最有效并广泛应用的方法,一般矩阵先经过正交相似变化成为Hessenberg矩阵,然后再应用QR方法求特征值和特征向量。它是将矩阵分解成一个正规正交矩阵Q与上三角形矩阵R,所以称为QR分解法,与此正规正交矩阵的通用符号Q有关。

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  • QR分解的三种实现方法

    千次阅读 2020-08-15 15:58:44
    1.Gram-Schmidt正交化 ...假设正交化后矩阵为Q=[A,B],我们可以令A=a,那么我们目的根据AB=I来求B,B可以表示为b向量与b向量在a上投影误差向量: B=b−Pb=b−ATbATAAB=b−Pb=b−ATbATAA    2.Giv

    转载于:https://www.cnblogs.com/qw12/p/6079244.html

    1.Gram-Schmidt正交化

    假设原来的矩阵为[a,b],a,b为线性无关的二维向量,下面我们通过Gram-Schmidt正交化使得矩阵A为标准正交矩阵:
    假设正交化后的矩阵为Q=[A,B],我们可以令A=a,那么我们的目的根据AB=I来求B,B可以表示为b向量与b向量在a上的投影的误差向量:
    B=bPb=bATbATAAB=b−Pb=b−ATbATAA
     

     2.Givens矩阵与Givens变换

    为Givens矩阵(初等旋转矩阵),也记作
    由Givens矩阵所确定的线性变换称为Givens变换(初等旋转变换)。
    实数,故存在,使

     

    3.Householder矩阵与Householder变换

    平面直角坐标系中,将向量关于轴作为交换,则得到

    复制代码
     1 #coding:utf8
     2 import numpy as np
     3 
     4 def gram_schmidt(A):
     5     """Gram-schmidt正交化"""
     6     Q=np.zeros_like(A)
     7     cnt = 0
     8     for a in A.T:
     9         u = np.copy(a)
    10         for i in range(0, cnt):
    11             u -= np.dot(np.dot(Q[:, i].T, a), Q[:, i]) # 减去待求向量在以求向量上的投影
    12         e = u / np.linalg.norm(u)  # 归一化
    13         Q[:, cnt] = e
    14         cnt += 1
    15     R = np.dot(Q.T, A)
    16     return (Q, R)
    17 
    18 def givens_rotation(A):
    19     """Givens变换"""
    20     (r, c) = np.shape(A)
    21     Q = np.identity(r)
    22     R = np.copy(A)
    23     (rows, cols) = np.tril_indices(r, -1, c)
    24     for (row, col) in zip(rows, cols):
    25         if R[row, col] != 0:  # R[row, col]=0则c=1,s=0,R、Q不变
    26             r_ = np.hypot(R[col, col], R[row, col])  # d
    27             c = R[col, col]/r_
    28             s = -R[row, col]/r_
    29             G = np.identity(r)
    30             G[[col, row], [col, row]] = c
    31             G[row, col] = s
    32             G[col, row] = -s
    33             R = np.dot(G, R)  # R=G(n-1,n)*...*G(2n)*...*G(23,1n)*...*G(12)*A
    34             Q = np.dot(Q, G.T)  # Q=G(n-1,n).T*...*G(2n).T*...*G(23,1n).T*...*G(12).T
    35     return (Q, R)
    36 
    37 def householder_reflection(A):
    38     """Householder变换"""
    39     (r, c) = np.shape(A)
    40     Q = np.identity(r)
    41     R = np.copy(A)
    42     for cnt in range(r - 1):
    43         x = R[cnt:, cnt]
    44         e = np.zeros_like(x)
    45         e[0] = np.linalg.norm(x)
    46         u = x - e
    47         v = u / np.linalg.norm(u)
    48         Q_cnt = np.identity(r)
    49         Q_cnt[cnt:, cnt:] -= 2.0 * np.outer(v, v)
    50         R = np.dot(Q_cnt, R)  # R=H(n-1)*...*H(2)*H(1)*A
    51         Q = np.dot(Q, Q_cnt)  # Q=H(n-1)*...*H(2)*H(1)  H为自逆矩阵
    52     return (Q, R)
    53 
    54 np.set_printoptions(precision=4, suppress=True)
    55 A = np.array([[6, 5, 0],[5, -1, 4],[5, 1, -14],[0, 4, 3]],dtype=float)
    56 
    57 (Q, R) = gram_schmidt(A)
    58 print(Q)
    59 print(R)
    60 print np.dot(Q,R)
    61 
    62 (Q, R) = givens_rotation(A)
    63 print(Q)
    64 print(R)
    65 print np.dot(Q,R)
    66 
    67 (Q, R) = householder_reflection(A)
    68 print(Q)
    69 print(R)
    70 print np.dot(Q,R)
    复制代码

     

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  • 矩阵的QR分解三种方法)Python实现

    千次阅读 2017-11-28 15:37:07
    # 减去待求向量在以求向量上投影 e = u / np.linalg.norm(u) # 归一化 Q[:, cnt] = e cnt += 1 R = np.dot(Q.T, A) return (Q, R) def givens_rotation (A) : """Givens变换""" (r, c) = np....

    这里写图片描述

    #coding:utf8
    import numpy as np
    
    def gram_schmidt(A):
        """Gram-schmidt正交化"""
        Q=np.zeros_like(A)
        cnt = 0
        for a in A.T:
            u = np.copy(a)
            for i in range(0, cnt):
                u -= np.dot(np.dot(Q[:, i].T, a), Q[:, i]) # 减去待求向量在以求向量上的投影
            e = u / np.linalg.norm(u)  # 归一化
            Q[:, cnt] = e
            cnt += 1
        R = np.dot(Q.T, A)
        return (Q, R)
    
    def givens_rotation(A):
        """Givens变换"""
        (r, c) = np.shape(A)
        Q = np.identity(r)
        R = np.copy(A)
        (rows, cols) = np.tril_indices(r, -1, c)
        for (row, col) in zip(rows, cols):
            if R[row, col] != 0:  # R[row, col]=0则c=1,s=0,R、Q不变
                r_ = np.hypot(R[col, col], R[row, col])  # d
                c = R[col, col]/r_
                s = -R[row, col]/r_
                G = np.identity(r)
                G[[col, row], [col, row]] = c
                G[row, col] = s
                G[col, row] = -s
                R = np.dot(G, R)  # R=G(n-1,n)*...*G(2n)*...*G(23,1n)*...*G(12)*A
                Q = np.dot(Q, G.T)  # Q=G(n-1,n).T*...*G(2n).T*...*G(23,1n).T*...*G(12).T
        return (Q, R)
    
    def householder_reflection(A):
        """Householder变换"""
        (r, c) = np.shape(A)
        Q = np.identity(r)
        R = np.copy(A)
        for cnt in range(r - 1):
            x = R[cnt:, cnt]
            e = np.zeros_like(x)
            e[0] = np.linalg.norm(x)
            u = x - e
            v = u / np.linalg.norm(u)
            Q_cnt = np.identity(r)
            Q_cnt[cnt:, cnt:] -= 2.0 * np.outer(v, v)
            R = np.dot(Q_cnt, R)  # R=H(n-1)*...*H(2)*H(1)*A
            Q = np.dot(Q, Q_cnt)  # Q=H(n-1)*...*H(2)*H(1)  H为自逆矩阵
        return (Q, R)
    
    np.set_printoptions(precision=4, suppress=True)
    A = np.array([[6, 5, 0],[5, -1, 4],[5, 1, -14],[0, 4, 3]],dtype=float)
    
    (Q, R) = gram_schmidt(A)
    print(Q)
    print(R)
    print np.dot(Q,R)
    
    (Q, R) = givens_rotation(A)
    print(Q)
    print(R)
    print np.dot(Q,R)
    
    (Q, R) = householder_reflection(A)
    print(Q)
    print(R)
    print np.dot(Q,R)
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  • 矩阵QR分解

    千次阅读 2019-04-02 12:59:59
    1、Schmidt正交QR分解: 步骤:1、写出矩阵的列向量;2、schmidt正交化;3、得到QR分解结果; Schmidt正交化公式: 例子:1: ,列向量 正交得 ...参考,矩阵QR分解的三种方法 李建东 ...

    1、Schmidt正交QR分解:

           步骤:1、写出矩阵的列向量;2、schmidt正交化;3、得到QR分解结果;

             Schmidt正交化公式:\large \beta_i = \alpha_i - \sum_{j=1}^{i-1} {\frac{(\alpha_i,\beta_j)}{(\beta_j,\beta_j)}}*\beta_j

           例子:1:

    A=\begin{bmatrix} 1 &2 &2 \\ 2& 1 & 2\\ 1&2 &1 \end{bmatrix},列向量 \large \alpha_1 = (1,2,1)^T, \alpha_2 = (2,1,2)^T, \alpha_3 = (2,2,1)^T,

    正交得

    \large \beta _1 = \alpha_1 = (1,2,1)^T,

    \large \beta _2 = \alpha_2 - \beta _1\frac{(\alpha_2,\beta _1)}{(\beta _1,\beta _1)} = \alpha_2 - \beta _1 =(1,-1,1)^T,

    \large \beta _3 = \alpha_3 - \beta _1\frac{(\alpha_3,\beta _1)}{(\beta _1,\beta _1)}\large - \beta _2\frac{(\alpha_3,\beta _2)}{(\beta _2,\beta _2)}=\alpha_3 - \frac{7}{6}\beta _1\ - \frac{1}{3}\beta _2 = (\frac{1}{2},0,-\frac{1}{2})^T

    构造矩阵,\large \beta_1,\beta_2,\beta_3标准化的

    Q =[ \large \beta_1,\beta_2,\beta_3]标准化的,R = 对角标准化参数*计算参数

    \large Q=\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} &\frac{1}{\sqrt{3}} &\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{2}{\sqrt{6}}& -\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{6}}&\frac{1}{\sqrt{3}} &-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix},\large \dpi{120} \large R=\begin{bmatrix} \sqrt{6} &0 & 0\\ \0 & \sqrt{3} & 0 \\ \0& 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & \frac{7}{6}\\ 0& 1 & \frac{1}{3} \\ 0& 0 &1 \end{bmatrix} 

    A= Q*R

    参考,矩阵QR分解的三种方法 李建东

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  • QR分解

    千次阅读 2017-01-14 10:18:46
    QR分解法是三种将矩阵分解的方式之一。这种方式,把矩阵分解成一个正交矩阵与一个上三角...QR分解的实际计算有很多方法,例如Givens旋转、Householder变换,以及Gram-Schmidt正交化等等。每一种方法都有其优点和不足。
  • 豪斯霍尔德变换简介 之前介绍矩阵三角分解系列介绍了利用矩阵初等变换解决了矩阵三角化问题以及具体三角分解。但是以初等变换工具三角分解方法并不能消除病态线性方程组不稳定问题,...这里矩阵的QR分解系列教
  • QR分解,下面分别看看这三种方法的具体实现。并附上自己解决问题,仅供大家参考。https://blog.csdn.net/xingozd/article/details/50417233① 直接求解:求导,令导数为0,结果如下: InvA=(ATA)-1AT % 直接求伪逆 ...
  • 一、最小二乘法   最小二乘法是一数学优化方法,通过最小化误差平方和来拟合数据点。 二、QR分解 、最小二乘法中的QR分解 四、参考文献 [3]. UC Berkeley Stat154 讲义 [4]. 最小二乘法 ...
  • 矩阵分解

    2020-12-06 11:20:50
    LU分解 LU分解、LUP分解、Cholesky分解    QR分解 数值分析–矩阵QR分解的三种方法
  • cholesky、QR

    2014-06-26 12:48:44
    统计计算上机实习六第6题第7题,用消去变换、cholesky分解和矩阵正交三角分解三种方法求回归模型
  • 本节主要涉及Eigen块操作以及QR分解,Eigen的QR分解非常绕人,搞了很久才搞明白是怎么回事,最后是一个使用Eigen矩阵操作完成二维高斯拟合求取光点代码例子,关于二维高斯拟合求取光点详细内容可参考:...
  • 线性最小二乘问题

    2013-08-16 11:26:11
    求解线性最小二乘法的三种常用方法:正规方程、QR分解、SVD分解
  • 文章目录面向金融的R语言——Lecture6矩阵的创建、性质及运算构造矩阵的三种方法hibert矩阵example:对矩阵元素的访问example:特征值及特征向量example:SVD矩阵分解QR矩阵分解example其它矩阵操作example 矩阵的创建...
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  • 8.9 第三种边界条件的三次样条函数插值 8.10 二元三点插值 8.11 二元全区间插值 8.12 最小二乘曲线拟合 8.13 切比雪夫曲线拟合 8.14 最佳一致逼近的里米兹方法 8.15 矩形域的最小二乘曲线拟合 第9章 数值积分 9.1 ...
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  • 8.9 第三种边界条件的三次样条函数插值 8.10 二元三点插值 8.11 二元全区间插值 8.12 最小二乘曲线拟合 8.13 切比雪夫曲线拟合 8.14 最佳一致逼近的里米兹方法 8.15 矩形域的最小二乘曲线拟合 第9章 数值积分 9.1 ...
  • 这种表示允许在三种不同类型Krylov递归之间进行直接转换,并为隐式重启迭代提供了统一的方法。 还提供了一些用于处理块Krylov迭代代码。 标准克雷洛夫 在标准Krylov算法中,Krylov子空间是用Arnoldi方法构造,...
  • 8.9 第三种边界条件的三次样条函数插值 8.10 二元三点插值 8.11 二元全区间插值 8.12 最小二乘曲线拟合 8.13 切比雪夫曲线拟合 8.14 最佳一致逼近的里米兹方法 8.15 矩形域的最小二乘曲线拟合 第9章 数值积分 9.1 ...
  • 8.9 第三种边界条件的三次样条函数插值 8.10 二元三点插值 8.11 二元全区间插值 8.12 最小二乘曲线拟合 8.13 切比雪夫曲线拟合 8.14 最佳一致逼近的里米兹方法 8.15 矩形域的最小二乘曲线拟合 第9章 数值积分 9.1 ...
  • 本页讨论的三种方法是SVD分解,QR分解和正规方程。 其中,SVD分解通常是最准确的,但最慢的正规方程是最快但最不准确的,并且QR分解介于两者之间。 使用SVD分解 BDCSVD类中的solve()方法可以直接用于求解线性方....
  • 本页讨论的三种方法是SVD分解,QR分解和正态方程。其中,SVD分解通常最准确但最慢,法线方程最快但最不准确,QR分解介于两者之间。 使用SVD分解 的解决()中所述方法BDCSVD类可以直接用来求解线性最小二乘系统。...

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