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  • 有很多方法可以进行QR迭代,本文使用的是Schmidt正交化方法 具体证明请参考链接 https://wenku.baidu.com/view/c2e34678168884868762d6f9.html 迭代格式 实际在进行QR分解之前一般将矩阵化为上hessnberg矩阵...

    QR分解:

    有很多方法可以进行QR迭代,本文使用的是Schmidt正交化方法

    具体证明请参考链接 https://wenku.baidu.com/view/c2e34678168884868762d6f9.html

    迭代格式

    实际在进行QR分解之前一般将矩阵化为上hessnberg矩阵(奈何这个过程比较难以理解,本人智商不够,就不做这一步了哈哈哈)

    迭代终止条件

    看了很多文章都是设置一个迭代次数,感觉有些不是很合理,本来想采用A(k+1)-A(k)的对角线元素的二范数来作为误差的,但是我有没有一些严格的证明,所以本文也采用比较大众化的思路,设置迭代次数。

    Python实现

      1 M = [[2, 4, 2], [-1, 0, -4], [2, 2, 1]]
      2 
      3 import copy
      4 import math
      5 
      6 
      7 class QR(object):
      8 
      9     def __init__(self, data):
     10         self.M = data
     11         self.degree = len(data)
     12 
     13     def get_row(self, index):
     14         res = []
     15         for i in range(self.degree):
     16             res.append(self.M[i][index])
     17         return res
     18 
     19     def get_col(self, index):
     20         res = []
     21         for i in range(self.degree):
     22             res.append(self.M[i][index])
     23         return res
     24 
     25     @staticmethod
     26     def dot(m1, m2):
     27         res = 0
     28         for i in range(len(m1)):
     29             res += m1[i] * m2[i]
     30         return res
     31 
     32     @staticmethod
     33     def list_multi(k, lt):
     34         res = []
     35         for i in range(len(lt)):
     36             res.append(k * lt[i])
     37         return res
     38 
     39     @staticmethod
     40     def one_item(x, yArr):
     41         res = [0 for i in range(len(x))]
     42         temp_y_arr = []
     43 
     44         n = len(yArr)
     45         if n == 0:
     46             res = x
     47         else:
     48             for item in yArr:
     49                 k = QR.dot(x, item) / QR.dot(item, item)
     50                 temp_y_arr.append(QR.list_multi(-k, item))
     51             temp_y_arr.append(x)
     52 
     53             for item in temp_y_arr:
     54                 for i in range(len(item)):
     55                     res[i] += item[i]
     56         return res
     57 
     58     @staticmethod
     59     def normal(matrix):
     60         yArr = []
     61         yArr.append(matrix[0])
     62 
     63         for i in range(1, len(matrix)):
     64             yArr.append(QR.one_item(matrix[i], yArr))
     65         return yArr
     66 
     67     @staticmethod
     68     def normalized(lt):
     69         res = []
     70         sm = 0
     71         for item in lt:
     72             sm += math.pow(item, 2)
     73         sm = math.sqrt(sm)
     74         for item in lt:
     75             res.append(item / sm)
     76         return res
     77 
     78     @staticmethod
     79     def matrix_T(matrix):
     80         mat = copy.deepcopy(matrix)
     81         m = len(mat[0])
     82         n = len(mat)
     83         for i in range(m):
     84             for j in range(n):
     85                 if i < j:
     86                     temp = mat[i][j]
     87                     mat[i][j] = mat[j][i]
     88                     mat[j][i] = temp
     89         return mat
     90 
     91     @staticmethod
     92     def matrix_multi(mat1, mat2):
     93         res = []
     94         rows = len(mat1[0])
     95         cols = len(mat1)
     96         for i in range(rows):
     97             temp = [0 for i in range(cols)]
     98             res.append(temp)
     99 
    100         for i in range(rows):
    101             for j in range(cols):
    102                 sm = 0
    103                 for k in range(cols):
    104                     sm += (mat1[k][i] * mat2[j][k])
    105                 res[j][i] = sm
    106         return res
    107 
    108     def execute(self):
    109         xArr = []
    110         for i in range(self.degree):
    111             xArr.append(self.get_col(i))
    112         yArr = QR.normal(xArr)
    113         self.Q = []
    114         for item in yArr:
    115             self.Q.append(QR.normalized(item))
    116 
    117         self.R = QR.matrix_multi(QR.matrix_T(self.Q), xArr)
    118         return (self.Q, self.R)
    119 
    120 
    121 # A = [
    122 #     [1, 0, -1, 2, 1],
    123 #     [3, 2, -3, 5, -3],
    124 #     [2, 2, 1, 4, -2],
    125 #     [0, 4, 3, 3, 1],
    126 #     [1, 0, 8, -11, 4]
    127 # ]
    128 # A = [
    129 #     [1, 2, 2],
    130 #     [2, 1, 2],
    131 #     [2, 2, 1]
    132 # ]
    133 A = [
    134     [3, 2, 4],
    135     [2, 0, 2],
    136     [4, 2, 3]
    137 ]
    138 
    139 temp = copy.deepcopy(A)
    140 val = []  # 特征值
    141 times = 20  # 迭代次数
    142 for i in range(times):
    143     qr = QR(temp)
    144     (q, r) = qr.execute()
    145     temp = QR.matrix_multi(r, q)
    146     temp = QR.matrix_T(temp)
    147 
    148 for i in range(len(temp)):
    149     for j in range(len(temp[0])):
    150         if i == j:
    151             val.append(temp[i][j])
    152 # 特征值
    153 print(val)

    结果展示

    总结

    使用QR分解迭代求特征值,收敛的比较快,也可以求出所有的特征值,但是如果要求特征向量的话,还是需要求解线性方程组(感觉很麻烦) 

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/oldBook/p/9927217.html

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  • 颜庆津版数值分析编程作业,C语言(少量C++语法)实现矩阵的QR分解法迭代求矩阵的全部复数格式特征值,先对矩阵进行拟上三角化再迭代,迭代求出全部特征值后使用列主元素高斯消元法求出所有实特征值对应的特征向量。
  • QR分解矩阵全部特征值

    万次阅读 2014-11-08 18:57:28
    QR算法矩阵全部特征值的基本思想是利用矩阵的QR分解通过迭代格式   将A=A1化成相似的上三角阵,从而出矩阵A的全部特征值。  QR方法的计算步骤如下:    下面就依次进行介绍。  一. ...

    QR算法求矩阵全部特征值的基本思想是利用矩阵的QR分解通过迭代格式

                                    

    将A=A1化成相似的上三角阵,从而求出矩阵A的全部特征值。

           QR方法的计算步骤如下:

              

              下面就依次进行介绍。


           一. 将一般矩阵化为上Hessenberg阵

            1.定义                                      

                     一个矩阵如果满足i>j+1时aij=0,则将这个矩阵成为上Hessenberg阵。上Hessenberg阵

             的形式如下:

                     

               2. Householder变换将一般矩阵转化为上Hessnberg阵

                           首先,选取Householder矩阵H1,使得经过H1相似变换后的矩阵H1AH1的元素a21下面的

                   元素全部为0,即a31, a41, ....., am1均为0,H1取如下形式

                                               

                        其中 为n-1阶HouseHolder矩阵。然后选取Householder矩阵H2,使得经过H2相似变换

                之后的矩阵H2(H1AH1)H2第二列中a32下面的a42, ....am2均为0。如此进行n-2次,可以构造

               n-2个householder矩阵H1,H2, Hn-2,使得 Hn-2....H2H2AH1H2....Hm-2 = H(H为上Hessenberg矩阵)。

                        对于一个n*m的矩阵A,第col次的H可以这样构造求得(col从0开始):

                          

                    其中,I为n*n的单位矩阵, v'表示矩阵v的转置, sign(x0)表示x0的符号的相反数( 当x0>0时sign=-1,当x<=0时为1),

                    ||x||表示向量x的长度, col等于所求的上hessenberg矩阵的序号,从0开始


          二. 用Givens变换对上hessnberg矩阵作QR分解

                      

                      

                           

                      

                              

                            此时有  H = R21' * R32' * ... * Rn(n-1)'R = QR。

                            多次计算H,直到H的变化小于一个较小的阈值时,停止迭代,此时H主对角线上的元素

                即为矩阵A的全部特征值。

                            下面举个例子来说明求解矩阵的全部特征值的过程。

                                     求矩阵的全部特征值

                                首先将A化成上hessenberg阵,取

                                  x = [0, 6, 4], 则 ||x|| = = 

                           则 w = [0, , 0] , v = w + 1 * x = [0, 6+, 4]

                           则 p = v*v'/v'*v =          

                           于是 H1 = I - 2*p =  

                                    所以 H = H1AH1 =

                                    H即为与A相似的上hessenberg矩阵。将H进行QR分解

                                    

                                                                                                             

                                         

                             

                  这个程序的完整代码可以到这里下载,http://download.csdn.net/detail/xxc1605629895/6473181

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  • 本文用qr分解办法求对称矩阵特征值和特征向量,适合于大型矩阵求特征值,而且用的是迭代法,不同于matlab原有程序的qr分解
  • (转)QR分解矩阵的全部特征值

    千次阅读 2015-01-09 21:24:49
    QR算法矩阵全部特征值的基本思想是利用矩阵的QR分解通过迭代格式   将A=A1化成相似的上三角阵,从而出矩阵A的全部特征值。  QR方法的计算步骤如下:    下面就依次进行介绍。  一. ...

    QR算法求矩阵全部特征值的基本思想是利用矩阵的QR分解通过迭代格式

                                    

    将A=A1化成相似的上三角阵,从而求出矩阵A的全部特征值。

           QR方法的计算步骤如下:

              

              下面就依次进行介绍。


           一. 将一般矩阵化为上Hessenberg阵

            1.定义                                      

                     一个矩阵如果满足i>j+1时aij=0,则将这个矩阵成为上Hessenberg阵。上Hessenberg阵

             的形式如下:

                     

               2. Householder变换将一般矩阵转化为上Hessnberg阵

                           首先,选取Householder矩阵H1,使得经过H1相似变换后的矩阵H1AH1的元素a21下面的

                   元素全部为0,即a31, a41, ....., am1均为0,H1取如下形式

                                               

                        其中 为n-1阶HouseHolder矩阵。然后选取Householder矩阵H2,使得经过H2相似变换

                之后的矩阵H2(H1AH1)H2第二列中a32下面的a42, ....am2均为0。如此进行n-2次,可以构造

               n-2个householder矩阵H1,H2, Hn-2,使得 Hn-2....H2H2AH1H2....Hm-2 = H(H为上Hessenberg矩阵)。

                        对于一个n*m的矩阵A,第col次的H可以这样构造求得(col从0开始):

                          

                    其中,I为n*n的单位矩阵, v'表示矩阵v的转置, sign(x0)表示x0的符号的相反数( 当x0>0时sign=-1,当x<=0时为1),

                    ||x||表示向量x的长度, col等于所求的上hessenberg矩阵的序号,从0开始


          二. 用Givens变换对上hessnberg矩阵作QR分解

                      

                      

                           

                      

                              

                            此时有  H = R21' * R32' * ... * Rn(n-1)'R = QR。

                            多次计算H,直到H的变化小于一个较小的阈值时,停止迭代,此时H主对角线上的元素

                即为矩阵A的全部特征值。

                            下面举个例子来说明求解矩阵的全部特征值的过程。

                                     求矩阵的全部特征值

                                首先将A化成上hessenberg阵,取

                                  x = [0, 6, 4], 则 ||x|| = = 

                           则 w = [0, , 0] , v = w + 1 * x = [0, 6+, 4]

                           则 p = v*v'/v'*v =          

                           于是 H1 = I - 2*p =  

                                    所以 H = H1AH1 =

                                    H即为与A相似的上hessenberg矩阵。将H进行QR分解

                                    

                                                                                                             

                                         

                             

                  这个程序的完整代码可以到这里下载,http://download.csdn.net/detail/xxc1605629895/6473181


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  • 为何QR分解收敛于特征值

    千次阅读 2019-09-01 15:17:58
    QR分解求特征值的方法很简单,计算过程如下: QR本身可以看作一个将矩阵A转化为上三角矩阵R的过程,通过householder,givens转换等手段,构造一系列的变换矩阵T,将矩阵转换为上三角矩阵R,而变换矩阵的逆矩阵...

    QR分解求特征值的方法很简单,计算过程如下:

     QR本身可以看作一个将矩阵A转化为上三角矩阵R的过程,通过householder,givens转换等手段,构造一系列的变换矩阵T,将矩阵转换为上三角矩阵R,而变换矩阵的逆矩阵则构成了Q。一定条件下,经过n次迭代后,迭代矩阵An会神奇的收敛成一个上三角矩阵,其对角阵对应的元素就是An的特征值,也是原始矩阵A的特征值,是不是很神奇。那么为什么会收敛成这样呢?直觉上,这是一种幂法,经过不断地迭代,使得特征值保留下来,非特征值部分要么变大,要么收敛为0。事实上,这种求特征值地方法确实属于一种特殊地幂法。我们所知道地幂法和反幂法都是针对最大或者最小的特征值来的,像QR这种一网打尽的方式,实在难以想象。为什么QR这种迭代方式会最终收敛到特征值呢?我找了国内外不少网站,也没有找到浅显的解释。这里将这几天找到的资料整理一下,按照自己的理解说一下。

    这个问题看来是一个复杂的问题,所以这里简化了它的收敛证明过程。考虑一种比较特殊的矩阵QR分解形式

    假定矩阵A满足以下两个条件

    1.A是对称正定矩阵,且特征值各不相同,保证了QR分解的唯一性

    2.A可以表示为A = Q\Lambda Q^T,I= Q Q^T且有Q = L_QU_Q,L为下三角矩阵,L的对角线全部为1,U为上三角矩阵

     

    另外,需要知道以下几点性质

    1.上三角矩阵乘以上三角矩阵仍然是上三角矩阵,对于下三角矩阵也是同理

    2.上三角矩阵求逆,仍然是上三角矩阵,对于下三角矩阵也是同理

    首先,求得A_n,A^n的推导公式

                                       \\A_1 = A = Q_1R_1 \\A_2 = Q_1^TA_1Q_1=Q_2R_2 \\A_3 = Q_2^TA_2Q_2 = Q_2^TQ_1^TA_1Q_1Q_2 =Q_2^TQ_1^TA_1Q_1Q_2 \\\Rightarrow A_n = (Q_{n-1}^T...Q_1^T)A(Q_1...Q_n) \\\Rightarrow Q_{n-1}R_{n-1} = R_{n}Q_{n} \\A^2 = Q_1R_1Q_1R_1=Q_1Q_2R_2R_1 \\A^n = (Q_1...Q_n)(R_n...R_1)

    假设我们的问题中A_n收敛成立,最终可以得到Q_n\rightarrow I,只要能证明这一点就行了,但是最关键的是想看到幂法是如何其作用的。

    \\\widetilde {Q}_n= (Q_1...Q_n) ,\widetilde {R}_n=(R_n...R_1)

    A^n = (Q\Lambda Q^T)^n = (Q\Lambda^n Q^T)

    Q =Q_QR_Q,Q^T = L_QU_Q,代入上式

    A^n = (Q\Lambda Q^T)^n = (Q_QR_Q\Lambda^n L_QU_Q)=Q_Q(R_Q\Lambda^n L_Q\Lambda^{-n}R_Q^{-1})R_Q\Lambda^{n}U_Q

    其中,\Lambda^n L_Q\Lambda^{-n} =\begin{cases} l_{ij}*(\lambda_i/\lambda_j)^n=0& \text{ , } i<j \\ l_{ij}=1& \text{ , } i=j \\ l_{ij}*(\lambda_i/\lambda_j)^n\rightarrow 0& \text{ , } i>j \end{cases}

    由此可以得到\Lambda^n L_Q\Lambda^{-n} \rightarrow I,于是有A^n = Q_QR_Q\Lambda^{n}U_Q = Q\Lambda^{n}U_Q=(Q_1...Q_n)(R_n...R_1)=\widetilde {Q}_n\widetilde {R}_n

    其中,\widetilde {Q}_n,\widetilde {R}_n分别为正交矩阵和上三角矩阵,由QR分解的唯一性可以知道,\widetilde {Q}_n\rightarrow QQ_n\rightarrow I

    再来看看A_n

                                   A_n = (Q_{n-1}^T...Q_1^T)A(Q_1...Q_{n-1}) =\widetilde{Q}_{n-1}^TA\widetilde{Q}_{n-1}= \widetilde{Q}_{n-1}^TQ\Lambda Q^T\widetilde{Q}_{n-1}=\Lambda

    我们可以看到,QR迭代过程,可以看作消去Q矩阵的过程。像幂法一样,QR也有平移的算法,以上介绍的是非平移的算法过程。由于A是对称正定矩阵,最终分解得到了对角阵,而不是上三角矩阵。为了尽量的描述简单,加了不少苛刻的条件,下面将条件稍微放宽些,A只是正定,不再是对称,其他条件保持不变,于是I= Q Q^T不再成立。

                                   \\A^n = Q_Q(R_Q\Lambda^n L_Q\Lambda^{-n}R_Q^{-1})R_Q\Lambda^{n}U_Q=\widetilde {Q}_n\widetilde {R}_n\\R_Q\Lambda^n L_Q\Lambda^{-n}R_Q^{-1} = \widehat{Q} _n\widehat{R}_n

    由于\\R_Q\Lambda^n L_Q\Lambda^{-n}R_Q^{-1} \rightarrow I\Rightarrow \widehat{Q} _n\rightarrow I,\widehat{R}_n\rightarrow I

    \\A^n = Q_Q\widehat{Q}_n\widehat{R}_nR_Q\Lambda^{n}U_Q=\widetilde {Q}_n\widetilde {R}_n\Rightarrow \widetilde {Q}_n = Q_Q\widehat{Q}_n,

    A_n = \widetilde{Q}_{n-1}^TQ\Lambda Q^{-1}\widetilde{Q}_{n-1}=\widetilde{Q}_{n-1}^TQ_QR_Q\Lambda R_Q^{-1}Q_Q^{-1}\widetilde{Q}_{n-1}=\widehat{Q}_{n-1}^ TR_Q\Lambda R_Q^{-1}\widehat{Q}_{n-1}

    由于\widehat{Q} _n\rightarrow IA_n \rightarrow R_Q\Lambda R_Q^{-1}

    M= R_Q\Lambda R_Q^{-1},T = R_Q^{-1},毫无疑问,M,R和T都是上三角矩阵,且有\\R_{i,i}*T_{i,i} = 1 ,M_{i,i}=\lambda_i*R_{i,i}*T_{i,i} =\lambda_i,可以看到M的对角线元素收敛于特征值。

    上面就是QR收敛的证明过程,证明过程并不严密,且由于条件特殊,并不具备普遍性。确实如此,这个算法本身收敛性是有限制的,并非对所有矩阵都能满足。要做到普遍适用,应该要用到移位的QR算法。

     

    参考:

    https://www.zhihu.com/question/54455860

    https://people.kth.se/~eliasj/qrmethod.pdf

    http://pi.math.cornell.edu/~web6140/TopTenAlgorithms/QRalgorithm.html

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