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  • 在实际问题,常常要研究一个随机变量X取值小于某一数值x概率,这概率是函数,称这种函数为随机变量X概率分布函数,记作,如下: 显然有:、。概率分布函数完整地描述了随机变量X统计特性,由它可以...

    概率分布函数

    基本介绍

    在实际问题中,常常要研究一个随机变量X取值小于某一数值x的概率,这概率是x的函数,称这种函数为随机变量X的概率分布函数,记作F(x),如下:

                                                                               F(x)=P(X<x) (-\infty <x<+\infty )

    显然有:F(-\infty ) = 0F(+\infty ) = 1。概率分布函数F(x)完整地描述了随机变量X的统计特性,由它可以决定随机变量落入任何范围内的概率。

                                                                  P(a<X<b)=F(X<b) - F(X<a)

     分类

    (1)离散型随机变量概率分布函数

    于离散型随机变量,设x_{1},x_{2},..x_{n}为随机变量X的取值,而p_{1}p_{2},..p_{n}为对应上述取值的概率,则离散型随机变量X的概率分布为:

                                                                              P(X = x_{i}) = p_{i}, i = 1,2,...,n

    可以用下图表示:

    显然,概率p_{i}应满足条件\sum p_{i} = 1。因此,离散型随机变量X的概率分布函数为:

                                                                                         F(x) = \sum _{x_{i}<x}p_{i}

    (2)连续性随机变量概率分布函数

    与离散型随机变量不同,连续型随机变量是指随机变量X的所有可能取值不可以逐个列举出来,而是取数轴上某一区间内的任一点的随机变量。例如,一批电子元件的寿命、实际中常遇到的测量误差等都是连续型随机变量。

    正是因为连续型随机变量的取值是不能列举的,因此在求取概率分布函数时,不能像离散型随机变量那样,将每个离散值的概率相加。这里连续性随机变量的概率分布函数计算公式如下:

    也就是求取f(x)(-\infty,x)区间上的积分,f(x)表示概率密度函数。

    相应地,随机变量落在某一区间的概率,即P(x_{1}<X<x_{2}),可由下式计算:

    X取任一指定实数值a的概率为:。因此在计算连续性随机变量落在某一区间的概率时,可以不必区分该区间是开区间还是闭区间。 

    尽管P{X=a}=0,但{X=a}并不是不能发生的事件。 以元件的寿命为例,他的寿命年限在10年-20年之间,细化下去10年-20年之间有无穷个数,可能是10.25345..无限下去,那么在当无限细分后,这一点的概率自然就为0。

    可以参考:概率密度函数在某一点的值有什么意义?

     

     

     

     

     

     

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  • 概率论分布函数

    2020-04-06 10:27:28
    分布函数(英文Cumulative Distribution Function, 简称CDF),是概率统计重要函数 2、它可以用来干什么?在这里插入代码片 分布函数可以完整地描述随机变量统计规律,并且决定随机变量一切其他概率特 3、...

    1、什么是分布函数?

    分布函数(英文Cumulative Distribution Function, 简称CDF),是概率统计中重要的函数
    

    2、它可以用来干什么?在这里插入代码片

    分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律,并且决定随机变量的一切其他概率特
    

    3、分布函数由什么构成?

    1、(离散型)随机变量
    	1、什么是(离散性随机变量)?
    		它全部可能取到的点(1 || 有限个),也可以说概率1以一定的规律分布在各个可能值上。这种随机变量称为"离散型随机变量"
    
    2、(离散性随机变量)构成了什么?
    	构成了:(离散性)分布函数  P=P{X=xn},n=1,2...有限个
    3、(离散型随机变量)有什么性质?
    	(1)Pn≥0 n=1,2,…
    	(2)∑pn=1
    
    2、(连续型)随机变量
    	1、什么是(连续型随机变量)?
    		对于随机变量X,存在(非负)的( 可积函数f(x) ),则称X为连续性随机变量。
    	2、(连续型)随机变量构成了什么?
    		构成了:连续型分布函数
    	3、(连续型)随机变量有什么性质?
    		1、若f(x)在点x连续,则有F’(x)=f(x)
    		2、f(x)是可积,则它的原函数F(x)连续;
    		3、不用区分(开闭区间)管P{X=a}=0,但{X=a}  (并不是)不可能事件 :因为某个点可以忽略  
    

    4、分布函数有什么性质?

    F(x)为随机变量X的分布函数,其充分必要条件为:
    		1、非降性(F(x1) <= F(x2))
    		2、有界性(0 <= F(x)<= 1)、(F(-∞)=0 、F(+∞) = 1))
    		3、右连续性(F(x+0))原因:单调非减函数
    
    5、分布函数有哪些公式?
    		1、P{a <= x <= b} = F(b) - F(a-0)	
    

    6、具体问题:解决方法(离散型)

    1、已知:离散(分布列)求(画出分布函数)
    	      解法一:
    		①、根据离散点:
    		②、在(区间取一个值x) 
    		③、x = 3.111 代入 分区公式   F(3.111) = p(X <= 3.111)公式
    		④、得出:F(x)分布段
    		⑤、画出:分布函数
    	     解法二:
    		⒈、只求图
    		     ①、将(分布列 X)升序排列
    		     ②、直接画:右边为圈, 每一个概率上之前的。
    
    		⒉、函数表达式也要求
    		      ①、将(分布列 X)升序排列
    		      ②、分区:   按        x1<= X < x2   (左边为:<=  ;  右边为:>)
    		      ③、写概率:第一个为0,   最后一个为1;    其他的为(前面)叠加
    
    2、已知: (分布函数) 求(离散分布列)
    	①、检查:离散区间是否(升序)
    	②、根据离散区间:标点 ,  (x1 <= X < x2 )只要x2
    	③、根据  x1 <= 这一列:  减上一列即可
    	④、画图
    

    7、具体问题:解决方法(连续型)

    公式法:F(x) = P{x <= x}   等价于  ∫-∞ 到 x   (积分)   
    
    	1、已知:连续型分布函数, 求概率
    		①、分区:0 <= x < 2  (两点分:三区)
    		②、分别代公式:F(x) =   ∫-∞ 到 x   (积分)   例如:0 <= x < 2   等价于 ∫-无穷到0  +  ∫0到x的积分
    
    	2、已知:连续型(概率)求分布函数
    

    在这里插入图片描述

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  • 概率论中常见分布的数学期望、方差与特征函数推导 (一)离散型分布 #1.单点分布 #2.两点分布 #3.二项分布 #4.泊松分布 #5.超几何分布 #6.几何分布 #7.负二项分布 1.单点分布 随机变量取值,X=a(常数) 分布律:P(X...

    常见分布的数学期望、方差与特征函数推导 (一)离散型分布

    1.单点分布

    随机变量的取值,X=a(常数)
    分布律:P(X=a)=1
    X只取一个值,可以看成确定变量。

    2.两点分布

    随机变量的取值,X=k,k=0,1
    E(X)=p
    Var(X)=E(X2)(EX)2=pp2=pqVar(X)=E(X^2)-(EX)^2=p-p^2=pq
    φ(t)=EeitX=q+eitp\varphi(t)=Ee^{itX}=q+e^{it}p

    3.二项分布

    Xb(n,p)X\thicksim b(n,p)

    随机变量的取值,X=k,k=0,1,……,n
    P(X=k)=Cnkpk(1p)nk分布律:P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}
    E(X)=k=0nkCnkpk(1p)nkE(X)=\sum_{k=0}^{n}{kC_n^kp^k(1-p)^{n-k} }
    =k=1nn!(k1)!(nk)!pk(1p)nk=\sum_{k=1}^{n} \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} p^k (1-p)^{n-k}
    =npk=1n(n1)!(k1)!(nk)!pk1(1p)(n1)(k1)=np \sum_{k=1}^{n} \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}
    =npk=0n1(n1)!k!(nk1)!pk(1p)(n1)k,()=np \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!} p^{k}(1-p)^{(n-1)-k},(变量平移)
    =npk=0n1Cn1kpk(1p)(n1)k=np \sum_{k=0}^{n-1}C_{n-1}^kp^{k}(1-p)^{(n-1)-k}
    =np(p+1p)n1=np=np(p+1-p)^{n-1} =np
    E(X2)=k=0nk2Cnkpk(1p)nk(k)E(X^2)=\sum_{k=0}^{n} k^2 C_n^kp^k(1-p)^{n-k},( k与组合数约去一个)
    =k=1n(k1+1)n!(k1)!(nk)!pk(1p)nkk=\sum_{k=1}^{n}(k-1+1) \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k},(把剩下的另一个k拆分)
    =k=1nn!(k2)!(nk)!pk(1p)nk+E(X)=\sum_{k=1}^{n} \frac{n!}{(k-2)!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}+E(X)
    =n(n1)p2k=1nn!(k2)!(nk)!pk2(1p)(n2)(k2)+np=n(n-1)p^2 \sum_{k=1}^{n}\frac{n!}{(k-2)!(n-k)!}p^{k-2}(1-p)^{(n-2)-(k-2)}+np
    =n(n1)p2(p+(1p))n2+np=n(n-1)p^2(p+(1-p))^{n-2}+np
    =n(n1)p2+np=n(n-1)p^2+np
    故,Var(X)=E(X2)(EX)2Var(X)=E(X^2)-(EX)^2
    =n(n1)p2+np(np)2=n(n-1)p^2+np-(np)^2
    =npq=npq
    φ(t)=EeitX=k=0neitkCnkpk(1p)nk\varphi(t)=Ee^{itX}=\sum_{k=0}^{n} e^{itk} C_n^kp^k(1-p)^{n-k}
    =k=0nCnk(eitp)k(1p)nk=\sum_{k=0}^{n} C_n^k(e^{it}p)^{k}(1-p)^{n-k}
    =(1p+peit)n=(1-p+pe^{it})^n
    =(q+peit)n=(q+pe^{it})^n

    4.泊松分布

    XP(λ)X\thicksim P(\lambda)

    随机变量的取值,X=k,k=0,1,2,……

    P(X=k)=λkk!eλ分布律:P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
    EX=k=0kλkk!eλEX=\sum_{k=0}^{\infty} k\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
    =k=1λk(k1)!eλ=λk=0λkk!eλ,(k=0λkk!eλ=1)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^k}{(k-1)!}e^{-\lambda}=\lambda\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},(变量作平移改变积分项的起始项,再由正则性\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=1)
    =λ=\lambda
    EX2=k=0k2λkk!eλEX^2=\sum_{k=0}^{\infty} k^2\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
    =k=1(k1+1)λk(k1)!eλ,(kk)=\sum_{k=1}^{\infty} (k-1+1)\frac{\lambda^k}{(k-1)!}e^{-\lambda},(处理方法同二项分布,约去一个k,另一个k拆分)
    =k=2λk(k2)!eλ+EX=\sum_{k=2}^{\infty} \frac{\lambda^k}{(k-2)!}e^{-\lambda}+EX
    =λ2k=0λkk!eλ+λ,()=\lambda^2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} +\lambda,(变量平移,正则性)
    =λ2+λ=\lambda^2+\lambda
    故,Var(X)=E(X2)(EX)2Var(X)=E(X^2)-(EX)^2
    =λ2+λλ2=λ=\lambda^2+\lambda-\lambda^2=\lambda
    φ(t)=EeitX=k=0eitkλkk!eλ\varphi(t)=Ee^{itX}=\sum_{k=0}^{\infty} e^{itk}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}
    =k=0(eitλ)kk!eλ=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(e^{it}\lambda)^k}{k!}e^{-\lambda}
    =eλk=0(eitλ)kk!,(ex=k=0xkk!)=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(e^{it}\lambda)^k}{k!},(利用幂级数展开式e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!})
    =eλeλeit=eλ(eit1)=e^{-\lambda}e^{\lambda e^{it}}=e^{\lambda(e^{it}-1)}

    5.超几何分布

    Xh(n,N,M)X\thicksim h(n,N,M)
    N件产品,其中M件不合格品,从中抽取n件,则抽到不合格品的个数服从超几何分布

    随机变量的取值X=k,k=0,1,2,……r,(其中r=min{n,M})
    P(X=k)=(Mk)(NMnk)(Nn)P(X=k)=\frac{{M\choose k}{N-M \choose n-k}}{{N\choose n}}
    nNn \ll N时,可用二项分布近似,故数字特征用二项分布近似(待更新其精确的数字特征)

    6.几何分布

    XGe(p)X\thicksim Ge(p)

    随机变量的取值:X=k,k=1,2,……

    分布律:P(X=k)=p(1p)k1P(X=k)=p(1-p)^{k-1}

    EX=k=1kpqk1=pk=1kqk1EX=\sum_{k=1}^{\infty}kpq^{k-1}=p \sum_{k=1}^{\infty}kq^{k-1}

    =pk=1dqkdq()=p \sum_{k=1}^{\infty}\frac{dq^k}{dq}(凑微分)

    =pddq(k=0qk)(,0)=p\frac{d}{dq}(\sum_{k=0}^{\infty}q^k),(幂级数逐项微分,积分限从0开始)

    =pddq(11q),(1)=p\frac{d}{dq}(\frac{1}{1-q}),(收敛的等比级数求和,\frac{首项}{1-公比})

    =p(1q)2=1p=\frac{p}{(1-q)^2}=\frac{1}{p}

    EX2=k=1k2pqk1EX^2 = \sum_{k=1}^{\infty}k^2pq^{k-1}

    =pk=1k(k1+1)qk1=p \sum_{k=1}^{\infty}k(k-1+1)q^{k-1}
    =pk=1k(k1)qk1+EX=p\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)q^{k-1}+EX
    =pqk=2k(k1)qk2+1p=pq\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)q^{k-2}+\frac{1}{p}
    =pqk=2d2qkdq2+1p=pq\sum_{k=2}^{\infty} \frac{d^2q^k}{dq^2}+\frac{1}{p}
    =pqd2dq2k=0qk+1p=pq \frac{d^2}{dq^2}(\sum_{k=0}^{\infty} q^k)+\frac{1}{p}
    =pqd2dq2(11q)+1p=pq \frac{d^2}{dq^2}(\frac{1}{1-q})+\frac{1}{p}
    =pq2(1q)3+1p=pq\frac{2}{(1-q)^3}+\frac{1}{p}
    =2q+pp2=\frac{2q+p}{p^2}

    故,Var(X)=E(X2)(EX)2Var(X)=E(X^2)-(EX)^2
    =2q+pp21p2=qp2=\frac{2q+p}{p^2}-\frac{1}{p^2}=\frac{q}{p^2}

    φ(t)=EeitX=k=1eitkp(1p)k1\varphi(t)=Ee^{itX}=\sum_{k=1}^{\infty} e^{itk}p(1-p)^{k-1}
    =p1pk=1(eit(1p))k= \frac{p}{1-p}\sum_{k=1}^{\infty}(e^{it}(1-p))^k
    =p1p{k=0(eit(1p))k1}=\frac{p}{1-p} \{\sum_{k=0}^{\infty}(e^{it}(1-p))^k-1 \}
    =p1p(11eit(1p)1)=\frac{p}{1-p} (\frac{1}{1-e^{it}(1-p)}-1)
    =peit1qeit=\frac{pe^{it}}{1-qe^{it}}

    6.负二项分布

    XNb(r,p)X\thicksim Nb(r,p)
    定义1:在一系列伯努利独立重复试验中,记每次试验中事件A发生的概率为p,如果X表示事件A第r次(r为事先给定的常数)出现时所需要的试验总次数,则X服从负二项分布。

    随机变量X的取值,X=k,k=r,r+1,r+2,……\infty

    此时X可表示为r个独立同为几何分布的独立和。
    X=X1+X2++XrNb(r,p),X=X_1+X_2+……+X_r \thicksim Nb(r,p),
    其中XiGe(p),XiX_i \thicksim Ge(p),且X_i独立。
    则由数学期望的性质:

    EX=E(X1+X2++Xr) EX=E(X_1+X_2+……+X_r)
    =rEX1=rp=rEX_1=\frac{r}{p}
    Var(X)=Var(X1+X2++Xr) Var(X)=Var(X_1+X_2+……+X_r)
    =rVar(X1)=rqp2=rVar(X_1)=\frac{rq}{p^2}
    有特征函数的性质,φ(t)=EeitX\varphi(t)=Ee^{itX}
    =EeitX1+X2++Xr=Ee^{it(X_1+X_2+……+X_r)}
    =(EeitX1)r=(peit1qeit)r=(Ee^{itX_1})^r=(\frac{pe^{it}}{1-qe^{it}})^r

    (待更新超几何分布和负二项分布期望和方差的定义求法)

    参考文献:茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2004,3.

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  • 概率论和统计学重要的分布函数

    千次阅读 2020-08-19 08:25:50
    随机变量在概率空间遵循不同类型的分布,这决定了它们的特征并有助于预测。 本文内容列表: 引言 高斯/正态分布(Gaussian/Normal Distribution) 二项分布(Binomial Distribution) 伯努利分布(Bernoulli ...

    随机变量在概率空间中遵循不同类型的分布,这决定了它们的特征并有助于预测。

    本文内容列表:

    • 引言
    • 高斯/正态分布(Gaussian/Normal Distribution)
    • 二项分布(Binomial Distribution)
    • 伯努利分布(Bernoulli Distribution)
    • 对数正态分布(Log Normal Distribution)
    • 幂律分布(Power Law Distribution)
    • 分布函数的使用

    引言

    每当我们遇到任何概率实验,我们谈论的是随机变量,它只不过是获取实验预期结果的变量。例如,当我们掷骰子时,我们期望从集合{1,2,3,4,5,6}中得到一个值。所以我们定义了一个随机变量X,它在每次掷骰时取这些值。

    根据实验的不同,随机变量可以取离散值,也可以取连续值。骰子的例子是离散随机变量,因为它取一个离散值。但是假设我们讨论的是某个城镇的房价,那么相关的随机变量可以取连续的值(例如550000美元,1200523.54美元等等)。

    当我们将随机变量的期望值与实验中出现频率的关系图绘制出来时,我们得到了一个直方图形式的频率分布图。利用核密度估计对这些直方图进行平滑处理,得到了一条很好的曲线。这条曲线被称为“分布函数”。

    橙色平滑曲线是概率分布曲线

    高斯/正态分布

    高斯/正态分布是一个连续的概率分布函数,随机变量在均值(μ)和方差(σ²)周围对称分布。

    高斯分布函数

    平均值(μ):决定峰值在X轴上的位置。而且,所有数据都对称地位于X=μ线的两侧。如图所示,蓝色、红色和黄色曲线分布在X=0的两侧,而绿色曲线的中心位于X=-2。所以通过观察这些曲线,我们可以很容易地说,蓝色,红色和黄色的平均值是0,而绿色的平均值是-2。

    方差(σ²):决定曲线的宽度和高度。方差只不过是标准差的平方。请注意,图中给出了所有四条曲线的σ²值。现在不看数值,我们可以很直观地发现,黄色曲线的高度最低。

    如果我们设置μ=0和σ=1,则称为标准正态分布或标准正态变量,一般表达式变为:

    标准正态分布函数

    现在我们可以思考,分母意味着什么?这是为了确保正态分布曲线下的面积总是等于1。

    我们从正态分布中可以得到很多有用的数据分割信息。以下图为例:

    正态分布的值分割图

    如图所示,如果我们从平均值右移一个标准差,这个分布存储了总质量的34.1%;如果我们从平均值右移2个标准偏差,则为49.8%。因为这条曲线是对称的,所以两边都适用。

    所以,现在我们知道了,如果任何数据服从正态分布,例如城镇人口的权重,我们可以很容易地估计出很多值,而不需要进行实际的广泛分析。这就是正态分布的力量。

    二项分布(Binomial Distribution)

    正如我们在名字里看到的,有一个“Bi”。这个‘Bi’代表一个实验的2个结果,要么是肯定的,要么是失败的,要么是1或者0等等。最简单的说,这个分布是多次重复实验的分布以及它们的概率,其中预期结果要么是“成功”要么是“失败”。

    二项分布

    从图像上可以看出,它是一个离散的概率分布函数。主要参数为n(试验次数)和p(成功概率)。

    现在假设我们有一个事件成功的概率p,那么失败的概率是(1-p),假设你重复实验n次(试验次数=n)。那么在n个独立的伯努利试验中获得k个成功的概率是:

    二项分布函数

    其中k属于范围[0,n],并且:

    现在我们思考一个简单的问题。假设印度和澳大利亚之间正在进行板球比赛。Rohit Sharma已经得到了151分,根据你的经验,你知道150分之后,Rohit有0.3分的概率达到6分。这是最后一节了,你父亲问你Rohit有多大的机会能打4个全垒打。那你怎么判断呢?

    这是一个典型的二项试验的例子。所以,解决办法是:

    注:大括号中的6和4是6C4,它是6个球中4个全垒打的可能组合。

    伯努利分布

    在二项分布中,我们有一个特殊的例子叫做伯努利分布,其中n=1,这意味着在这个二项实验中只进行了一次试验。当我们把n=1放入二项PMF(概率质量函数)中时,nCk等于1,函数变成:

    伯努利分布PMF

    式中,k={0,1}。

    现在我们来看看印度队对澳大利亚队的比赛。假设当Rohit达到100分(a ton),那么印度获胜的几率是0.7。所以你可以简单地告诉你父亲印度有70%的机会赢了。

    对数正态分布

    我们已经了解了正态分布的性质,乍一看,许多人会说,对数正态曲线在某种程度上也让我们看到了正态分布是右偏态的。

    假设有一个随机变量X服从对数正态分布,均值=μ,方差=σ²。X有总共n个可能值(x1,x2,x3……xn)。现在取所有X值的自然对数,并创建一个新的随机变量Y=[Log(x1),Log(x2),Log(x3)…Log(xn)]。这个随机变量Y是正态分布的。

    换句话说,如果存在正态分布Y,并且我们取它的指数函数X=exp(Y),那么X将遵循对数正态分布。

    它还具有与高斯函数相同的参数:均值(μ)和方差(σ²)。

    幂律/帕累托分布

    幂律是两个量之间的关系,其中一个量的变化将成比例地改变另一个量。它遵循一个80-20法则:在前20%的值中,我们可以找到大约80%的质量密度。如图所示,稍暗的左侧部分为质量的80%,右侧亮黄色部分为20%。

    当概率分布遵循幂律时,我们称之为帕累托分布。
    帕累托分布由两个参数控制:x_m和α。
    xμm可以看作是控制曲线尺度的均值,α可以看作是控制曲线形状的σ。(注:x_m不是平均值,α不是σ。)
    现在我们可以在图像中看到,所有四条曲线的峰值都位于x=1。所以,我们可以说对于图中的所有曲线,x_m=1。
    随着α的增加,峰值也会上升,在α趋于无穷大的极端情况下,曲线仅转变为一条垂直线。这叫做Diracδ函数。
    随着α的减小,曲线变得更加平缓。

    帕累托分布PMF

    分布函数的使用

    如果我们知道一个特定的数据遵循一定的分布特征,那么我们可以采取部分样本,找到所涉及的参数,然后可以绘制出概率分布函数来解决许多问题。
    例如:在一个有10万人口的城镇,我们必须做身高分析,但我们不能对这么多人口进行调查。因此,我们选取一个随机样本,求出样本均值和样本标准差。
    现在假设一位医生或专家告诉我们身高服从正态分布。这样我们就可以轻松地回答许多问题了。

    作者: Saurabh Raj

    deephub翻译组:Oliver Lee

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