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  • 特征函数概率论

    千次阅读 2017-01-19 19:15:56
    特征函数和 cdf (cumulative distribution function,也叫分布函数)一样提供了另外一种描述随机变量的方法,φX(t)=E[eitX] \varphi_X(t) = \operatorname{E} \left [ e^{itX} \right ] 和 cdf 一样,能够完整地...

    特征函数和 cdf (cumulative distribution function,也叫分布函数)一样提供了另外一种描述随机变量的方法,

    φX(t)=E[eitX]

    和 cdf 一样,能够完整地确定随机变量概率分布的性质。

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  • 概率论基础+复旦+李贤平版+课后答案+第四章数字特征与特征函数(1-14题).doc
  • https://www.zhihu.com/question/23686709
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  • UA MATH563 概率论的数学基础 中心极限定理24 随机变量的特征函数 定义 假设XXX是定义在(Ω,F,P)(\Omega,\mathcal{F},P)(Ω,F,P)上的随机变量,定义 ϕ(t)=E[eitX]\phi(t) = E[e^{itX}]ϕ(t)=E[eitX] 为XXX的特征...

    UA MATH563 概率论的数学基础 中心极限定理24 随机变量的特征函数

    定义 假设XX是定义在(Ω,F,P)(\Omega,\mathcal{F},P)上的随机变量,定义
    ϕ(t)=E[eitX]\phi(t) = E[e^{itX}]

    XX的特征函数(characteristic function)。

    说明
    μX\mu_XXX的分布,则ϕ(t)=E[eitX]=eitXdμX\phi(t) = E[e^{itX}] = \int e^{itX}d\mu_X

    也就是说ϕ(t)\phi(t)其实是μX\mu_X的Fourier变换,因此任意随机变量的特征函数总是存在的。我们可以将特征函数与矩母函数(moment generating function,也就是μX\mu_X的Laplace变换)做个对比,
    MX(t)=E[etX]M_X(t) = E[e^{tX}]

    被称为矩母函数,当且仅当E[etX]<E[e^{tX}]<\infty时,矩母函数存在。而eitX1|e^{itX}| \le 1,因此E[eitX]E[e^{itX}]必定存在。

    常用分布的特征函数

    1. 正态分布N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2):ϕ(t)=exp(itμσ2t22)\phi(t)=\exp(it\mu-\frac{\sigma^2t^2}{2})
    2. Gamma分布Γ(α,β)\Gamma(\alpha,\beta):ϕ(t)=(1itβ)α\phi(t)=(1-\frac{it}{\beta})^{-\alpha}
    3. 二项分布B(n,p)B(n,p):ϕ(t)=(1p+peit)n\phi(t)=(1-p+pe^{it})^n
    4. Poisson分布π(λ)\pi(\lambda):ϕ(t)=exp(λ(eit1))\phi(t)=\exp(\lambda (e^{it}-1))
    5. 负二项分布NB(r,p)NB(r,p):ϕ(t)=(p1(1p)eit)r\phi(t)=(\frac{p}{1-(1-p)e^{it}})^r

    特征函数的简单计算性质

    1. ϕ(0)=1\phi(0)=1
    2. ϕ(t)=ϕ(t)\phi(t)=\overline{\phi(-t)} (共轭),如果XX对称,则ϕX(t)\phi_X(t)是实函数
    3. ϕ(t)1|\phi(t)| \le 1
    4. ϕ(t)\phi(t)一致收敛,因为ϕ(t+h)ϕ(t)=E(eit(X+h)eitX)Eeit(X+h)eitX=EeitXeihX1EeihX1|\phi(t+h)-\phi(t)|=|E(e^{it(X+h)}-e^{itX})| \le E|e^{it(X+h)}-e^{itX}|=E|e^{itX}||e^{ihX}-1| \le E|e^{ihX}-1|,根据有界收敛定理,h0h \to 0EeihX10E|e^{ihX}-1| \to 0
    5. ϕaX+b(t)=eitbϕX(at)\phi_{aX+b}(t)=e^{itb}\phi_X(at)
    6. 假设X1+X2X_1+X_2独立,则ϕX1+X2(t)=ϕX1(t)ϕX2(t)\phi_{X_1+X_2}(t)=\phi_{X_1}(t)\phi_{X_2}(t)

    特征函数的分析性质: 特征函数与分布一一对应

    证明
    第一条。假设F1,F2F_1,F_2是两个分布,并且它们有相同的特征函数ϕ\phi,我们需要说明F1=F2F_1=F_2。假设XF1,YF2X \sim F_1,Y \sim F_2,引入ZN(0,σ2)Z \sim N(0,\sigma^2),其中σ\sigma是一个非常小的数。

    第六讲时我们介绍过一个技巧,在对实际问题进行建模时,我们常常需要用随机变量,记为XX,描述一些复杂的随机性,这样的随机变量通常是没有办法写出密度函数的解析式的,但是我们可以加上一个非常“小”的正态分布YN(0,ϵ2)Y \sim N(0,\epsilon^2),使得X+YX+Y有密度函数的解析式。这里用的就是这个思路,因为我们没有对F1,F2F_1,F_2做任何假设,为了让它们解析性质更好一些,便于我们分析,就让他们对一个正态分布做卷积。

    定义
    G1=F1FZ=F1(zy)dFZ(y)G2=F2FZ=F2(zy)dFZ(y)G_1 = F_1 *F_Z = \int F_1(z-y)dF_Z(y) \\ G_2 = F_2*F_Z = \int F_2(z-y)dF_Z(y)

    根据Fourier变换的反演公式,
    g1=fZ(zy)dF1(y)=12πϕ(t)eitxet2σ22dtg2=fZ(zy)dF2(y)=12πϕ(t)eitxet2σ22dtg_1 = \int f_Z(z-y)dF_1(y)=\frac{1}{2\pi}\int \phi(t)e^{-itx}e^{-\frac{t^2\sigma^2}{2}}dt \\ g_2= \int f_Z(z-y)dF_2(y)=\frac{1}{2\pi}\int \phi(t)e^{-itx}e^{-\frac{t^2\sigma^2}{2}}dt

    于是g1=g2g_1=g_2,进一步,根据分布与密度的对应关系G1=G2G_1=G_2,因为
    G1(x)=E[F1(xZ)],G2(x)=E[F2(xZ)]G_1(x) = E[F_1(x-Z)],G_2(x) = E[F_2(x-Z)]

    我们考虑σ20\sigma^2 \downarrow 0,则N(0,σ2)δ0N(0,\sigma^2) \to \delta_0,于是
    E[F1(xZ)]=F1(x)+E[F1(xZ)F1(x)]E[F_1(x-Z)] = F_1(x)+E[F_1(x-Z)-F_1(x)]

    考虑E[F1(xZ)F1(x)]E[F_1(x-Z)-F_1(x)],我们用truncation trick计算
    E[F1(xZ)F1(x)]=E[F1(xZ)F1(x),Zϵ]+E[F1(xZ)F1(x),Z>ϵ]E[F_1(x-Z)-F_1(x)] = E[F_1(x-Z)-F_1(x),|Z|\le \epsilon] \\+ E[F_1(x-Z)-F_1(x),|Z|> \epsilon]

    根据右连续性,E[F1(xZ)F1(x),Zϵ]0E[F_1(x-Z)-F_1(x),|Z|\le \epsilon] \to 0
    E[F1(xZ)F1(x),Z>ϵ]2P(Z>ϵ)=0E[F_1(x-Z)-F_1(x),|Z|> \epsilon] \le 2P(|Z|>\epsilon) = 0

    因为Zδ0Z \to \delta_0,于是
    F1(x)=E[F1(xZ)]=E[F2(xZ)]=F2(x)F_1(x)=E[F_1(x-Z)] = E[F_2(x-Z)] = F_2(x)

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  • UA MATH563 概率论的数学基础 中心极限定理25 随机变量特征函数的连续性定理 Continuity Theorem 假设{μn},μ\{\mu_n\},\mu{μn​},μ是概率测度,{ϕn},ϕ\{\phi_n\},\phi{ϕn​},ϕ是他们的特征函数: μn⇒μ\...

    UA MATH563 概率论的数学基础 中心极限定理25 随机变量特征函数的连续性定理

    Continuity Theorem
    假设{μn},μ\{\mu_n\},\mu是概率测度,{ϕn},ϕ\{\phi_n\},\phi是他们的特征函数:

    1. μnμ\mu_n \Rightarrow \mu,则ϕnϕ\phi_n \to \phi
    2. ϕnψ\phi_n \to \psi并且ψ\psi在零处连续,则ψ\psi是特征函数,如果还知道μnν\mu_n \Rightarrow \nu,则ψ\psiν\nu的特征函数。

    说明
    根据这个定理的两条结论,我们可以得到ϕnϕ\phi_n \to \phi等价于μnμ\mu_n \Rightarrow \mu。第二条结论中有一个有趣的条件,ψ\psi在0处连续,为什么需要这个条件呢?我们可以用一个例子说明如果这个条件不成立,则定理不成立:

    如果XnN(0,n)X_n \sim N(0,n),则XnX_n的密度函数会越来越平,考虑特征函数
    ϕXn(t)=en2t2/2ψ(t)={1,t=00,t0\phi_{X_n}(t) = e^{-n^2t^2/2} \to \psi(t) = \begin{cases} 1, t= 0 \\ 0, t \ne 0 \end{cases}

    显然ψ\psi在0处不连续。不难验证
    μn(,x]=x/n12πes2/2ds1/2\mu_n(-\infty,x] = \int_{-\infty}^{x/\sqrt{n}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-s^2/2}ds \to 1/2

    因此显然XnX_n的极限分布是不存在的。


    证明思路
    第一条结论,如果μnμ\mu_n \Rightarrow \mu,根据单调收敛定理,ϕnϕ\phi_n \to \phi

    第二条结论:假设ϕnψ\phi_n \to \psi并且ψ\psi00处连续,并且μnν\mu_n \Rightarrow \nu,证明分为下面几步:

    1. 说明{μn}\{\mu_n\}是紧的;
    2. 根据Bolzano-Weierstrass定理,{μn}\{\mu_n\}的子列{ϕnk}\{\phi_{n_k}\}弱收敛,根据第一条结论,ϕnkψ\phi_{n_k} \to \psiψ\psi是特征函数

    这里贴一个Durrett的证明:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
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    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

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    千次阅读 2018-05-25 17:44:17
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