精华内容
下载资源
问答
  • 首先需要清楚一件事情,样本均值为X拔(上面有个棍) 样本均值是讲从总体中抽样,这些样本均值,...卡方n-1分布,抽样-均值,他们的方差和期望如何推导? 卡方n分布,抽样-样本均值,他们的方差和期望如何推导?

    首先需要清楚一件事情,样本均值为X拔(上面有个棍)在这里插入图片描述
    样本的均值是讲从总体中抽样,这些样本的均值,而均值是指所有样本的真实均值。
    在这里插入图片描述
    后面部分很好推导,将括号展开后,由三部分组成,中间的部分为2倍的样本和样本均值的乘积,将样本的和变成n倍的样本均值即可。
    那么分四种情况进行讨论。分别是:

    • 样本均值服从什么样的分布?特殊的卡方1分布。
    • 样本均值的经过变换后服从t分布,此时还可以写成什么样的F分布?
    • 卡方n-1的分布,抽样-均值,他们的方差和期望如何推导?
    • 卡方n的分布,抽样-样本均值,他们的方差和期望如何推导?这里有个条件,样本均值和样本方差相互独立。,这里有(n-1)s2服从卡方推导的过程,这个是记住的第一个公式
    • 第五点的话需要记住第二个公式,以它为基础推出其他四种情况。

    在这里插入图片描述

    展开全文
  • 数学公式定义偏差、方差、噪声四、泛化误差、偏差和方差的关系?五、用图形解释偏差和方差六、偏差、方差囧境七、偏差、方差与过拟合、欠拟合的关系?八、偏差、方差与模型复杂度的关系九、偏差、方差与bagging、...

    一、期望、概率论方差、均方差

    1. 期望
      概率论中描述一个随机事件中的随机变量的平均值的大小可以用数学期望这个概念,数学期望的定义是实验中可能的结果的概率乘以其结果的总和。
      在这里插入图片描述
    2. 方差
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述
    3. 标准差
      又叫均方差, 是离均差平方的算数平方根。标准差能体现一个数据集的离散程度,平均数相同的两组数,标准差未必相同。
      在这里插入图片描述
      标准差和方差都是用来衡量样本离散程度的量,那么为什么要有标准差呢?
      因为方差和样本的量纲不一样。换句话说不在一个层次,怎么理解这个层次,从公式来看方差是样本和均值的平方和的平均。这里有一个平方运算,这是导致量纲不在一个层次的原因。而标准差和均值的量纲(单位)是一致的,在描述一个波动范围时标准差比方差更方便。

    二、为什么会有偏差和方差

    对学习算法除了通过实验估计其泛化性能之外,人们往往还希望了解它为什么具有这样的性能。
    “偏差-方差分解”(bias-variance decomposition)就是从偏差和方差的角度来解释学习算法泛化性能的一种重要工具。

    在机器学习中,我们用训练数据集去训练一个模型,通常的做法是定义一个误差函数,通过将这个误差的最小化过程,来提高模型的性能。然而我们学习一个模型的目的是为了解决训练数据集这个领域中的一般化问题,单纯地将训练数据集的损失最小化,并不能保证在解决更一般的问题时模型仍然是最优,甚至不能保证模型是可用的。
    这个训练数据集的损失与一般化的数据集的损失之间的差异就叫做泛化误差(generalization error)。

    而泛化误差可以分解为偏差(Biase)、方差(Variance)和噪声(Noise)。

    三、偏差、方差、噪声是什么?

    1. 简述偏差、方差、噪声

    如果我们能够获得所有可能的数据集合,并在这个数据集合上将损失最小化,那么学习得到的模型就可以称之为“真实模型”。
    当然,在现实生活中我们不可能获取并训练所有可能的数据,所以“真实模型”肯定存在,但是无法获得。我们的最终目的是学习一个模型使其更加接近这个真实模型。

    Bias和Variance分别从两个方面来描述我们学习到的模型与真实模型之间的差距。

    Bias是用所有可能的训练数据集训练出的所有模型的输出的平均值与真实模型的输出值之间的差异。

    Variance是不同的训练数据集训练出的模型输出值之间的差异。

    噪声的存在是学习算法所无法解决的问题,数据的质量决定了学习的上限。假设在数据已经给定的情况下,此时上限已定,我们要做的就是尽可能的接近这个上限。

    注意:我们能够用来学习的训练数据集只是全部数据中的一个子集。想象一下,我们现在收集几组不同的数据,因为每一组数据的不同,我们学习到模型的最小损失值也会有所不同,它们与“真实模型”的最小损失也是不一样的。

    2. 数学公式定义偏差、方差、噪声

    在这里插入图片描述
    以回归任务为例,学习算法的期望预测为:
    在这里插入图片描述
    这里的期望预测也就是针对不同数据集D,模型 f 对样本 x 的预测值取其期望,也叫做平均预测(average predicted)。
    (1)方差定义:
    使用样本数相同的不同训练集产生的方差为:
    在这里插入图片描述
    方差的含义:方差度量了同样大小的训练集的变动所导致的学习性能的变化,即刻画了数据扰动所造成的影响。
    (2)偏差定义:
    期望输出与真实标记的差别称为偏差(bias),即:
    在这里插入图片描述
    偏差的含义:偏差度量了学习算法的期望预测与真实结果的偏离程度,即刻画了学习算法本身的拟合能力。

    噪声的含义:噪声则表达了在当前任务上任何学习算法所能达到的期望泛化误差的下界,即刻画了学习问题本身的难度。

    偏差度量的是单个模型的学习能力,而方差度量的是同一个模型在不同数据集上的稳定性。
    (3)噪声:
    噪声为:
    在这里插入图片描述
    噪声的含义:噪声则表达了在当前任务上任何学习算法所能达到的期望泛化误差的下界,即刻画了学习问题本身的难度。

    偏差度量的是单个模型的学习能力,而方差度量的是同一个模型在不同数据集上的稳定性。

    四、泛化误差、偏差和方差的关系?

    在这里插入图片描述
    也就是说,泛化误差可以通过一系列公式分解运算证明:泛化误差为偏差、方差与噪声之和。证明过程如下:

    为了便于讨论,我们假定噪声期望为零,即 [公式] 。通过简单的多项式展开合并,可对算法的期望泛化误差进行分解:
    在这里插入图片描述
    于是,最终得到:
    在这里插入图片描述
    “偏差-方差分解”说明,泛化性能是由学习算法的能力、数据的充分性以及学习任务本身的难度所共同决定的。给定学习任务,为了取得好的泛化性能,则需使偏差较小,即能够充分拟合数据,并且使方差较小,即使得数据扰动产生的影响小。

    五、用图形解释偏差和方差

    在这里插入图片描述
    假设红色的靶心区域是学习算法完美的正确预测值,蓝色点为训练数据集所训练出的模型对样本的预测值,当我们从靶心逐渐往外移动时,预测效果逐渐变差。

    从上面的图片中很容易可以看到,左边一列的蓝色点比较集中,右边一列的蓝色点比较分散,它们描述的是方差的两种情况。比较集中的属于方差比较小,比较分散的属于方差比较大的情况。

    我们再从蓝色点与红色靶心区域的位置关系来看,靠近红色靶心的属于偏差较小的情况,远离靶心的属于偏差较大的情况。

    思考:从上面的图中可以看出,模型不稳定时会出现偏差小、方差大的情况,那么偏差和方差作为两种度量方式有什么区别呢?

    Bias的对象是单个模型,是期望输出与真实标记的差别。它描述了模型对本训练集的拟合程度。

    Variance的对象是多个模型,是相同分布的不同数据集训练出模型的输出值之间的差异。它刻画的是数据扰动对模型的影响。

    六、偏差、方差囧境

    一般来说,偏差与方差是有冲突的,这称为偏差-方差窘境(bias-variance dilemma)。
    下图给出了一个示意图。给定学习任务,假定我们能控制学习算法的训练程度,则在训练不足时,学习器的拟合能力不够强,训练数据的扰动不足以使学习器产生显著变化,此时偏差主导了泛化错误率;随着训练程度的加深,学习器的拟合能力逐渐增强,训练数据发生的扰动渐渐能被学习器学到,方差逐渐主导了泛化错误率;在训练程度充足后,学习器的拟合能力已经非常强,训练数据发生的轻微扰动都会导致学习器发生显著变化,若训练数据自身的、非全局的特性被学习器学到了,则将发生过拟合。
    在这里插入图片描述

    七、偏差、方差与过拟合、欠拟合的关系?

    一般来说,简单的模型会有一个较大的偏差和较小的方差,复杂的模型偏差较小方差较大。

    欠拟合:模型不能适配训练样本,有一个很大的偏差。

    举个例子:我们可能有本质上是多项式的连续非线性数据,但模型只能表示线性关系。在此情况下,我们向模型提供多少数据不重要,因为模型根本无法表示数据的基本关系,模型不能适配训练样本,有一个很大的偏差,因此我们需要更复杂的模型。那么,是不是模型越复杂拟合程度越高越好呢?也不是,因为还有方差。

    过拟合:模型很好的适配训练样本,但在测试集上表现很糟,有一个很大的方差。

    方差就是指模型过于拟合训练数据,以至于没办法把模型的结果泛化。而泛化正是机器学习要解决的问题,如果一个模型只能对一组特定的数据有效,换了数据就无效,我们就说这个模型过拟合。这就是模型很好的适配训练样本,但在测试集上表现很糟,有一个很大的方差。

    八、偏差、方差与模型复杂度的关系

    由前面偏差和方差的介绍,我们来总结一下偏差和方差的来源:
    我们训练的机器学习模型,必不可少地对数据依赖。但是,如果你不清楚数据服从一个什么样的分布,或是没办法拿到所有可能的数据(肯定拿不到所有数据),那么我们训练出来的模型和真实模型之间存在不一致性。这种不一致性表现在两个方面:偏差和方差。

    那么,既然偏差和方差是这么来的,而且还是无法避免的,那么我们有什么办法尽量减少它对模型的影响呢?

    一个好的办法就是正确选择模型的复杂度。复杂度高的模型通常对训练数据有很好的拟合能力,但是对测试数据就不一定了。而复杂度太低的模型又不能很好的拟合训练数据,更不能很好的拟合测试数据。因此,模型复杂度和模型偏差和方差具有如下图所示关系。
    在这里插入图片描述

    九、偏差、方差与bagging、boosting的关系?

    Bagging算法是对训练样本进行采样,产生出若干不同的子集,再从每个数据子集中训练出一个分类器,取这些分类器的平均,所以是降低模型的方差(variance)。
    Bagging算法和Random Forest这种并行算法都有这个效果。

    Boosting则是迭代算法,每一次迭代都根据上一次迭代的预测结果对样本进行权重调整,所以随着迭代不断进行,误差会越来越小,所以模型的偏差(bias)会不断降低。

    十、偏差、方差和K折交叉验证的关系?

    K-fold Cross Validation的思想:将原始数据分成K组(一般是均分),将每个子集数据分别做一次验证集,其余的K-1组子集数据作为训练集,这样会得到K个模型,用这K个模型最终的验证集的分类准确率的平均数作为此K-CV下分类器的性能指标。

    在这里插入图片描述
    当K较大时,m较小,模型建立在较大的N-m上,经过更多次数的平均可以学习得到更符合真实数据分布的模型,Bias就小了,但是这样一来模型就更加拟合训练数据集,再去测试集上预测的时候预测误差的期望值就变大了,从而Variance就大了;k较小的时候,模型不会过度拟合训练数据,从而Bias较大,但是正因为没有过度拟合训练数据,Variance也较小。

    十一、如何解决偏差、方差问题?

    整体思路:首先,要知道偏差和方差是无法完全避免的,只能尽量减少其影响。
    (1)在避免偏差时,需尽量选择正确的模型,一个非线性问题而我们一直用线性模型去解决,那无论如何,高偏差是无法避免的。
    (2)有了正确的模型,我们还要慎重选择数据集的大小,通常数据集越大越好,但大到数据集已经对整体所有数据有了一定的代表性后,再多的数据已经不能提升模型了,反而会带来计算量的增加。而训练数据太小一定是不好的,这会带来过拟合,模型复杂度太高,方差很大,不同数据集训练出来的模型变化非常大。
    (3)最后,要选择合适的模型复杂度,复杂度高的模型通常对训练数据有很好的拟合能力。

    针对偏差和方差的思路:
    偏差:实际上也可以称为避免欠拟合。

    1、寻找更好的特征 -- 具有代表性。
    2、用更多的特征 -- 增大输入向量的维度。(增加模型复杂度)
    方差:避免过拟合
    1、增大数据集合 -- 使用更多的数据,减少数据扰动所造成的影响
    2、减少数据特征 -- 减少数据维度,减少模型复杂度
    3、正则化方法
    4、交叉验证法
    

    参考
    【1】https://blog.csdn.net/siyue0211/article/details/80309799

    展开全文
  • 1大数定律 大数定律分为 伯努利大数定律,辛钦大数定律,切比雪夫大数定律。 其中伯努利大数定律揭示了概率与频率之间的关系,后...定理条件:每个随机变量都有数学期望和方差,随机变量的高阶中心矩的和是对应阶的方

    1大数定律

    大数定律分为 伯努利大数定律,辛钦大数定律,切比雪夫大数定律。

    其中伯努利大数定律揭示了概率与频率之间的关系,后两者揭示了,样本算术平均值与样本均值算术平均值的关系。后两者用到了切比雪夫不等式证明,区别是第二个要求独立同分布,第三个只要求独立即可

    中心极限定理

    需要注意的是,分为独立同分布情况和独立不同分布情况,尤其是后者,有很重要的意义,说明无论随机变量是什么分布,只要满足定理条件,当n很大时,就近似的服从正态分布。定理条件:每个随机变量都有数学期望和方差,随机变量的高阶中心矩的和是对应阶的方差的高阶无穷小

    t分布等

    样本统计量的运算使其满足这几种分布,前提条件是这些样本都是独立同分布的正态分布

    无偏估计证明(n-1)

    展开全文
  • 概率论中方差用来度量随机变量其数学期望(即均值)之间偏离程度。统计中的方差(样本方差)是每个样本值与全体样本值平均数之差平方值平均数。在许多实际问题中,研究方差即偏离程度有着重要意义...

    样本方差

    先求出总体各单位变量值与其算术平均数离差的平方,然后再对此变量取平均数,就叫做样本方差。

    样本方差用来表示一列数的变异程度。

    方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。统计中的方差(样本方差)是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中,研究方差即偏离程度有着重要意义。

    样本均值又叫样本均数。即为样本的均值。均值是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数。

    mean, variance = tf.nn.moments(x, axes, name=None, keep_dims=False) 
    计算统计矩,mean 是一阶矩即均值,variance 则是二阶中心矩即方差,axes=[0]表示按列计算;

    tf.nn.batch_normalization(x, mean, variance, offset, scale, variance_epsilon, name=None) 
    tf.nn.batch_norm_with_global_normalization(x, mean, variance, beta, gamma, variance_epsilon, scale_after_normalization, name=None);
    tf.nn.moments 计算返回的 mean 和 variance 作为 tf.nn.batch_normalization 调用参数; 

     

    import tensorflow as tf

    W = tf.constant([[-2.,12.,6.],[3.,2.,8.]], )

    mean,var = tf.nn.moments(W, axes = [0])    #按列计算

    with tf.Session() as sess:

        sess.run(tf.global_variables_initializer())

        resultMean = sess.run(mean)

        print(resultMean)

        resultVar = sess.run(var)

        print(resultVar)

    #输出

    [ 0.5      7.    7.  ]

    [ 6.25   25.     1.  ]

     

     

     

     

     

    展开全文
  • 各种分布的数学期望和方差。 如果说条件分布是变量X与Y的相依关系在概率上的完全刻画,那么,条件期望则在一个很重要的方面刻画了二者的关系,它反映了随着X取值x的变化,Y的平均变化的情况如何。统计学上,常把...
  • 目录概率公式条件概率与全概率公式贝叶斯公式常见的概率分布两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布常见概率分布的期望方差Beta分布Beta分布的期望事件的独立性期望期望的性质方差协方差协方差的意义...
  • 文章目录一、概率论基础1....协方差独立与不相关的关系协方差的意义协方差的上界Pearson相关系数协方差矩阵联想思考三、大数定律1.切比雪夫不等式2.大数定律3.伯努利定理4.中心极限定理四、最大似然估计 一
  • **1. 期望** 定义: 期望有两种形式,离散型: ...2.方差定义: n个样本分布规律偏离于平均值程度 性质: 3.协方差定义: 性质: 协方差矩阵: ——–怎样评价多个特征属性之间相关关系呢?
  • 最近在看各种算法时候,都会涉及到各种各样数字特征,比如在KNN中会涉及到众数概念,KD中会涉及到中位数概念,决策树中会涉及到期望的概念,本篇则主要对这些数字特征进行一下对比总结。 如下是最简单...
  • 文章目录概率公式统计数字概率本福特定律条件概率与全概率公式贝叶斯公式概率分布两点分布二项分布泊松分布均匀分布指数分布正态分布常见分布总结Beta分布事件独立性期望期望的类型性质方差协方差协方差定义...
  • 根据工程系统的可分解性,将...然后依据概率论多元随机变量理论,推出水电工程总体造价概率分布的期望和方差,并确定了造价随机变化的概率分布关系曲线。该估计方法客观、全面地反映了工程造价的实际随机变化特性。
  • 文章目录前言1.常见的数据分析师的面试问题1.1 基础知识考查**1.1.1概率论与数理统计:**(1)用简洁的话语简述**随机变量**的含义。(2) 随机变量和随机试验间有什么关系...(9) 常见分布的期望和方差是什么?(10)如何给没
  • 三角矩阵,对称矩阵向量内积,相关性正交向量组,标准正交基,正交矩阵特征值分解概率论事件的关系与运算条件概率,全概率公式,贝叶斯公式随机变量的期望方差协方差,相关系数,协方差矩阵概率分布:0-1分...
  • 概率论 主要公式复习:条件概率、全概率公式与贝叶斯公式 ...期望和方差的定义与性质 协方差的定义 与 协方差和独立、不相关之间的关系 相关系数与协方差矩阵 ...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5
收藏数 92
精华内容 36
关键字:

概率论的期望和方差的关系