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  • 本节为概率论与数理统计复习笔记的第二节,随机事件与概率(2),主要包括:加法公式、减法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式以及两道例题。

    本节为概率论与数理统计复习笔记的第二节,随机事件与概率(2),主要包括:加法公式、减法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式以及两道例题。

    1.常用的求概率公式

    1.加法公式

    P(AB)=P(A)+P(B)P(AB) P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC) P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)\\\ \\ P(A\cup B \cup C)=\\P(A)+P(B)+P(C)\\-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

    2.减法公式

    P(AB)=P(A)P(AB)=P(ABˉ)P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A\bar B)

    3.条件概率公式

      已知事件A发生的条件下,事件B发生的概率:
    P(BA)=P(AB)P(A) P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}
      引申一下还有:
    P(BˉA)=1P(BA) P(BCA)=P(BA)P(BCA) P(\bar B|A)=1-P(B|A)\\\ \\ P(B-C|A)=P(B|A)-P(BC|A)
    4.乘法公式

    P(AB)=P(A)P(BA)=P(B)P(AB) P(ABC)=P(A)P(BA)P(CAB) P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)\\\ \\ P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)
    5.全概率公式(全集分解公式)
      若i=1nAi=ΩAiAj=ij;i,j=1,...,n\cup_{i=1}^n A_i=\Omega,A_iA_j=\empty(i\neq j;i,j=1,...,n),则对任一事件B有B=i=1nAiBP(B)=i=1nP(Ai)P(BAi)B=\cup_{i=1}^n A_iB,P(B)=\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)
    6.贝叶斯公式(逆概公式)
      如果i=1nAi=ΩAiAj=ij;i,j=1,...,nP(Ai)>0\cup_{i=1}^n A_i=\Omega,A_iA_j=\empty(i\neq j;i,j=1,...,n),P(A_i)>0,则对任一事件BB,只要P(B)>0P(B)>0,即有P(AjB)=P(Aj)P(BAj)Σi=1nP(Ai)P(BAi)P(A_j|B)=\frac{P(A_j)P(B|A_j)}{\Sigma_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)}

    2. 两道例题

      eg1.设有两批数量相同的零件,已知有一批产品全部合格,另一批产品有25%不合格。从两批产品中任取已知,经检验是正品,放回原处,并在原处所在批次再取一只,试求这只产品是次品的概率。
    解:设事件Hi(i=1,2)H_i(i=1,2)为“第一次从第i批产品中抽取”,事件AA为取正品,则P(H1)=P(H2)=12P(AH1)=1P(H_1)=P(H_2)=\frac12,P(A|H_1)=1P(AH2)=34P(A|H_2)=\frac34
      则有P(A)=P(H1)P(AH1)+P(H2)P(AH2)=78P(A)=P(H_1)P(A|H_1)+P(H_2)P(A|H_2)=\frac78(全概率公式);
      从而(贝叶斯):
    P(H1A)=P(H1)P(AH1)P(A)=47 P(H2A)=P(H2)P(AH2)P(A)=37 P(H_1|A)=\frac{P(H_1)P(A|H_1)}{P(A)}=\frac47\\\ \\ P(H_2|A)=\frac{P(H_2)P(A|H_2)}{P(A)}=\frac37 (当第一次取正品之后,概率就发生了变化,不是1/2了)
      设Ci(i=1,2)C_i(i=1,2)表示“第二次从第i批产品中抽取”,则有:
    P(Aˉ)=P(C1)P(AˉC1)+P(C2)P(AˉC2) =47×0+37×14=328 P(\bar A)=P(C_1)P(\bar A|C_1)+P(C_2)P(\bar A|C_2)\\\ \\=\frac47 \times 0+\frac37 \times \frac14=\frac3{28}
      eg2.设有两箱零件,第一箱内装50件,其中10件是一等品;第二箱内装30件,其中18件是一等品。
    求:
    (1)先去除的零件是一等品的概率pp
    (2)在先取出的是一等品的条件下,后取出的零件仍然是一等品的概率qq
      解:记AA={从第一箱中取},B1B_1={先取出的是一等品},B2B_2={后取出的是一等品},则有:

      P(A)=P(Aˉ)=12P(B1A)=15P(B1Aˉ)=35P(A)=P(\bar A)=\frac12,P(B_1|A)=\frac15,P(B_1|\bar A)=\frac35

      P(B1B2A)=1050×949P(B1B2Aˉ)=1830×1729P(B_1B_2|A)=\frac{10}{50}\times \frac9{49},P(B_1B_2|\bar A)=\frac{18}{30}\times \frac{17}{29}

      (1)p=P(A)P(B1A)+P(Aˉ)P(B1Aˉ)=25p=P(A)P(B_1|A)+P(\bar A)P(B_1|\bar A)=\frac25

      (2)P(B1B2)=P(A)P(B1B2A)+P(Aˉ)P(B1B2Aˉ)=2761421P(B_1B_2)=P(A)P(B_1B_2|A)+P(\bar A)P(B_1B_2|\bar A)=\frac{276}{1421}

    q=P(B2B1)=P(B1B2)P(B1)=6901421q=P(B_2|B_1)=\frac{P(B_1B_2)}{P(B_1)}=\frac{690}{1421}


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  • 概率公式3.Bayes 公式4.乘法公式4.独立性1.事件的独立性2.独立重复试验3.重要公式结论 1.概率基本概念 1.随机试验、样本空间、随机事件 随机试验:扔硬币、掷骰子 试验 描述 E1E1E1 抛掷一...

    1.概率基本概念

    1.随机试验、样本空间、随机事件

    随机试验:扔硬币、掷骰子

    试验 描述
    E1E1 抛掷一枚硬币,观察正面HH、反面TT出现的情况
    E2E2 将一枚硬币抛掷三次,观察正面HH、反面TT出现的情况
    E3E3 将一枚硬币抛掷三次,观察正面HH的次数
    E4E4 抛掷一枚硬币,观察出现的点数

    样本空间:随机试验E的所有可能结果构成的集合称为E的样本空间

    样本空间 描述
    S1S1 {H,T}\{H,T\}
    S1S1 {HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}\{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT\}
    S1S1 {0,1,2,3}\{0,1,2,3\}
    S1S1 {1,2,3,4,5,6}\{1,2,3,4,5,6\}

    随机事件:试验EE的样本空间SS的任意一个子集称为EE的随机事件,简称事件.

    2.概率

    定义  设EE是随机试验,SS是它的样本空间,对于EE的每一事件AA赋予一个实数,记为P(A)P(A),称为事件AA概率,如果集合函数P()P(\centerdot )满足下列条件:

    1. 非负性:对于每一个事件AA,有P(A)0P(A)\geq0
    2. 规范性:对于必然事件SS,有P(S)=1P(S)=1
    3. 可列可加性:设A1,A2,{\mathrm A}_1,{\mathrm A}_2,\cdots是两两互不相容的事件,即对于AiAj=,ij,i,j,=1,2,{\mathrm A}_i{\mathrm A}_{\mathrm j}=\varnothing,i\neq j,i,j,=1,2,\cdotsP(A1A2)=P(A1)+P(A2)+P\left(A_1\cup A_2\cup\cdots\right)=P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+\cdots

    2.事件的关系与运算

    1.事件关系

    (1) 子事件:ABA \subset B,若AA发生,则BB发生。

    (2) 相等事件:A=BA = B,即ABA \subset B,且BAB \subset A

    (3) 和事件:ABA\bigcup B(或A+BA + B),AABB中至少有一个发生。

    (4) 差事件:ABA - BAA发生但BB不发生。

    (5) 积事件:ABA\bigcap B(或AB{AB}),AABB同时发生。

    (6) 互斥事件(互不相容):ABA\bigcap B=\varnothing

    (7) 互逆事件(对立事件):AB=,AB=Ω,A=Bˉ,B=AˉA\bigcap B=\varnothing ,A\bigcup B=\Omega ,A=\bar{B},B=\bar{A}

    2.运算律

    (1) 交换律:AB=BA,AB=BAA\bigcup B=B\bigcup A,A\bigcap B=B\bigcap A
    (2) 结合律:(AB)C=A(BC)(A\bigcup B)\bigcup C=A\bigcup (B\bigcup C)
    (3) 分配律:(AB)C=A(BC)(A\bigcap B)\bigcap C=A\bigcap (B\bigcap C)

    (4)德摩根律AB=AˉBˉ\overline{A\bigcup B}=\bar{A}\bigcap \bar{B} AB=AˉBˉ\overline{A\bigcap B}=\bar{A}\bigcup \bar{B}

    3.完全事件组

    A1A2An{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}}两两互斥,且和事件为必然事件,即AiAi=ij,i=1n=ΩA_i\cap A_i=\varnothing,i\neq j,\bigcup_{i=1}^n=\Omega

    3.概率的基本公式

    1.条件概率

    P(BA)=P(AB)P(A)P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)},表示AA发生的条件下,BB发生的概率。

    2.全概率公式

    P(A)=i=1nP(ABi)P(Bi)=P(AB1)P(B1)+P(AB2)P(B2)++,BiBj=,ij,ni=1Bi=Ω P\left( A \right) =\sum\limits_{i=1}^n{P\left( A|B_i \right) P\left( B_i \right) =P\left( A|B_1 \right) P\left( B_1 \right) +P\left( A|B_2 \right) P\left( B_2 \right) +\cdots +,B_iB_j}=\varnothing ,i\ne j,\underset{i=1}{\overset{n}{\bigcup{}}}\,B_i=\Omega

    3.Bayes 公式

    P(BjA)=P(ABj)P(Bj)i=1nP(ABi)P(Bi),j=1,2,,nP({{B}_{j}}|A)=\frac{P(A|{{B}_{j}})P({{B}_{j}})}{\sum\limits_{i=1}^{n}{P(A|{{B}_{i}})P({{B}_{i}})}},j=1,2,\cdots ,n
    注:上述公式中事件Bi{{B}_{i}}的个数可为可列个。

    4.乘法公式

    P(A1A2)=P(A1)P(A2A1)=P(A2)P(A1A2)P({{A}_{1}}{{A}_{2}})=P({{A}_{1}})P({{A}_{2}}|{{A}_{1}})=P({{A}_{2}})P({{A}_{1}}|{{A}_{2}})

    P(A1A2An)=P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)P(AnA1A2An1)P({{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n}})=P({{A}_{1}})P({{A}_{2}}|{{A}_{1}})P({{A}_{3}}|{{A}_{1}}{{A}_{2}})\cdots P({{A}_{n}}|{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cdots {{A}_{n-1}})

    4.独立性

    1.事件的独立性

    (1)AABB相互独立 P(AB)=P(A)P(B)\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)

    (2)AABBCC两两独立
    P(AB)=P(A)P(B)\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C)P(BC)=P(B)P(C) ;P(AC)=P(A)P(C)P(AC)=P(A)P(C);

    (3)AABBCC相互独立
    P(AB)=P(A)P(B)\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B); P(BC)=P(B)P(C)P(BC)=P(B)P(C) ;
    P(AC)=P(A)P(C)P(AC)=P(A)P(C) ; P(ABC)=P(A)P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

    2.独立重复试验

    将某试验独立重复nn次,若每次实验中事件 A 发生的概率为pp,则nn次试验中AA发生kk次的概率为:
    P(X=k)=Cnkpk(1p)nkP(X=k)=C_{n}^{k}{{p}^{k}}{{(1-p)}^{n-k}}

    3.重要公式与结论

    (1)P(Aˉ)=1P(A)(1)P(\bar{A})=1-P(A)

    (2)P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)(2)P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB)
    P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)P(A\bigcup B\bigcup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)

    (3)P(AB)=P(A)P(AB)(3)P(A-B)=P(A)-P(AB)

    (4)P(ABˉ)=P(A)P(AB),P(A)=P(AB)+P(ABˉ),(4)P(A\bar{B})=P(A)-P(AB),P(A)=P(AB)+P(A\bar{B}),
    P(AB)=P(A)+P(AˉB)=P(AB)+P(ABˉ)+P(AˉB)P(A\bigcup B)=P(A)+P(\bar{A}B)=P(AB)+P(A\bar{B})+P(\bar{A}B)

    (5)条件概率P(B)P(\centerdot |B)满足概率的所有性质,
    例如:. P(Aˉ1B)=1P(A1B)P({{\bar{A}}_{1}}|B)=1-P({{A}_{1}}|B)
    P(A1A2B)=P(A1B)+P(A2B)P(A1A2B)P({{A}_{1}}\bigcup {{A}_{2}}|B)=P({{A}_{1}}|B)+P({{A}_{2}}|B)-P({{A}_{1}}{{A}_{2}}|B)
    P(A1A2B)=P(A1B)P(A2A1B)P({{A}_{1}}{{A}_{2}}|B)=P({{A}_{1}}|B)P({{A}_{2}}|{{A}_{1}}B)

    (6)若A1,A2,,An{{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{n}}相互独立,则P(i=1nAi)=i=1nP(Ai),P(\bigcap\limits_{i=1}^{n}{{{A}_{i}}})=\prod\limits_{i=1}^{n}{P({{A}_{i}})},
    P(i=1nAi)=i=1n(1P(Ai))P(\bigcup\limits_{i=1}^{n}{{{A}_{i}}})=\prod\limits_{i=1}^{n}{(1-P({{A}_{i}}))}

    (7)互斥、互逆与独立性之间的关系:
    AABB互逆\Rightarrow AABB互斥,但反之不成立,AABB互斥(或互逆)且均非零概率事件\RightarrowAABB不独立.

    (8)若A1,A2,,Am,B1,B2,,Bn{{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{m}},{{B}_{1}},{{B}_{2}},\cdots ,{{B}_{n}}相互独立,则f(A1,A2,,Am)f({{A}_{1}},{{A}_{2}},\cdots ,{{A}_{m}})g(B1,B2,,Bn)g({{B}_{1}},{{B}_{2}},\cdots ,{{B}_{n}})也相互独立,其中f(),g()f(\centerdot ),g(\centerdot )分别表示对相应事件做任意事件运算后所得的事件,另外,概率为 1(或 0)的事件与任何事件相互独立.

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  • 1 重要概念与公式: 1.1 样本空间——\(\Omega\)(全集),其基本元素\(\omega_i\)叫样本点 1.2 事件——样本空间的子集\(A、B、C\)… \(\Phi\)——不可能事件 \(\Omega\)——必然事件 1.3 完备事件组 \(\...

    1 重要概念与公式:

    1.1 样本空间——\(\Omega\)(全集),其基本元素\(\omega_i\)叫样本点

    1.2 事件——样本空间的子集\(A、B、C\)…

            \(\Phi\)——不可能事件

            \(\Omega\)——必然事件

    1.3 完备事件组

            \(\cup_i{A_i}=\Omega\)

            \({A_i}\cap{A_j}=\Phi  (两两互斥)(交集可省略符号, 写成A_iA_j=\Phi), i\neq{j}\)

    1.4 运算、关系

    ——略,可看集合论中的运算、关系

     

    2 古典概型

            若\(\Omega\)中有有限个等可能的样本点,称为古典概型

    $$P(A)={{N_A}\over{N_\Omega}}$$

     

    3 几何概型

            若\(\Omega\)是一个可度量的集合区域,且样本点落入\(\Omega\)中的某一可度量子区域A的可能性大小与A的几何度量成正比,而与A的位置和形状无关,称为几何概型

    $$P(A)={{M_A}\over{M_\Omega}}$$

    $$M代表度量measure,可以是面积S,长度L等$$

     

    4 重要公式

    4.1 对立事件:

    $$P(A)=1-P(\bar{A})$$

    4.2 事件减法:

    $$P(A-B)=P(A)-P(AB)$$

    4.3 事件加法:

    $$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$$

    $$P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)$$

    互斥事件\(A_1、A_2、…、A_n\)的概率:(互斥事件"和的概率"为"概率的和")

    $$P(\cup_{i=1}^n{A_i})=\sum_{i=1}^nP(A_i)$$

    相互独立事件\(A_1、A_2、…、A_n\)的概率:(相互独立事件"乘积的概率"为"概率的乘积")

    $$P(A_1A_2…A_n)=P(A_1)P(A_2)…P(A_n)$$

    4.4 条件概率:

    $$P(A|B)={{P(A)}\over{P(B)}}, P(B)>0$$

    4.5 概率乘法:

    $$P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)$$

    4.6 全概率公式(全集分解公式):

    $$P(B)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)$$


    举例说明:一个村子有且仅有3个小偷,这3个小偷偷东西的事件构成完备事件组(两两互斥的,就是其中1个去偷时,另外2个小偷不去偷)。这个村子失窃的概率就是全概率公式求出。这里的全概率公式表述为:

    村子失窃的概率\(P(B)\)=第1个小偷去偷\(P(A_1)\)且偷成功的概率\(P(B|A_1)\)+…

    推导:

    $$P(B)=P(B\Omega)=P(B(A_1A_2A_3))=P(BA_1+BA_2+BA_3)=P(BA_1)+P(BA_2)+P(BA_3)=P(A_1)P(B|A_1)+P(A_2)P(B|A_2)+P(A_3)P(B|A_3)$$


    4.7 贝叶斯公式(逆概公式):条件同4.6,现已知\(B\)发生了!

    $$P(A_j|B)={{P(A_jB)}\over{P(B)}}={{P(A_j)P(B|A_j)}\over{\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)}}$$

    $$条件概率={{乘法公式}\over{全概率公式}}$$

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  • 随机事件与概率 1.充要条件; 2.条件概率: 3. 全概率公式 4.贝叶斯公式 随机变量及其分布 1. 随机变量 2. 分布函数的三个基本性质:3. 概率分布列: 4. 数学期望: 5 期望的数学性质: 6. 方差: 7 期望的数学...

    目录

    随机事件与概率

    1.充要条件;      2.条件概率:   3. 全概率公式      4.贝叶斯公式

    随机变量及其分布

    1. 随机变量        2. 分布函数的三个基本性质:   3. 概率分布列:  

    4. 数学期望:        5 期望的数学性质:           6. 方差:

    7  期望的数学性质:      8  标准差                9 切比雪夫不等式【chebyshev's theorem】

    10 随机变量的标准化          11 期望的另外两个性质:


    随机事件与概率

    1.充要条件

    A的充要条件是B,则充分性是:B\Rightarrow A;     必要性是:A\Rightarrow B

    2.条件概率:

    设A,B是两个事件,若P(B) > 0 ,则称P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} 为“在事件B发生的前提下,事件A发生的概率"

    3. 全概率公式

    B_{1},B_{2},...B_{n}, 互不相容,且  \bigcup_{i=1}^{n}B_{i} =\Omega,如果 P(B_{i}) > 0\, ,i=1,2,....,n ,则对任意事件A有P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_{i})P\left ( A|B_{i} \right ).

    4.贝叶斯公式

    B_{1},B_{2},...B_{n}, 互不相容,且  \bigcup_{i=1}^{n}B_{i} =\Omega,如果 P\left ( A \right )> 0,\: P(B_{i}) > 0\, ,i=1,2,....,n,则

    P(B_{i}|A)=\frac{P(B_{i})P\left ( A|B_{i} \right )}{\sum_{j=1}^{n}P(B_{j})P\left ( A|B_{j} \right )}\: \: i=1,2,...,n

    其中P(B_{i}) 为B_{i} 的先验概率,P(B_{i}|A) 为B_{i} 的后验概率,表示在“事件A发生”这个新信息后,对B_{i} 的概率作出的修正。

     

    随机变量及其分布

    1. 随机变量

    • 离散型:仅取有限个或可列个值,
    • 连续型:取值充满某个区间(a,b)其中a 可取 +\infty ,b可取-\infty

    2. 分布函数的三个基本性质:

    单调性,有界性,右连续性

    3. 概率分布列:

    两个基本性质:1)非负性,2)正则性 : \sum_{i=1}^{+\infty }p\left ( x_{i} \right )=1  

    离散型:p_{i}=p\left ( x_{i} \right )=p\left ( X=x_{i} \right ),\: i=1,2,..,n,..

    概率密度函数

    两个基本性质:1)非负性,2)正则性 :\int_{-\infty }^{+\infty }p\left ( x \right ) \mathrm{d}x=1

        零概率(概率为0)的事件不一定是不可能事件,因为连续变量的概率就在具体的某个点都为零。

           连续型的分布函数F(x)是(-\infty+\infty)上的连续函数,(除可能在有限个点或可列个点上不可导以外)与概率密度函数p(x)的关系:F{}'\left ( x \right )=p\left ( x \right ) 

    P\left ( x\leq a \right )=F\left ( a \right )\:; \: P\left ( x< a \right )=F\left ( a-0 \right ) \: ;\: P\left ( x > a \right )=1-F\left ( a\right ) \: ;\:

    P\left ( x= a \right )=F\left ( a \right )-F\left ( a-0 \right )\:\: \: \: ; \: P\left ( x \geq a \right )=1-F\left ( a-0 \right ) \: \: \: ;\: P\left ( \left | x| < a \right )=F\left ( a-0\right )- F\left ( -a \right )\: ;\:

    4. 数学期望:

    对于离散型随机变量:E\left ( X \right )=\sum _{i}x_{i}p\left ( x_{i} \right )

    对于连续型随机变量:E\left ( X \right )=\int _{-\infty }^{+\infty }xp\left ( x \right )\mathr{d}x

        期望是分布的位置特征,方差是分布的离散特征/散步特征。

    5 期望的数学性质:

    假定以下所涉及的数学期望与方差均存在:

    • X的某一函数g \left ( X \right ) 的数学期望为:

    【X离散时】:E\left [g \left ( X \right ) \right ] =\sum _{i}\left g (x_{i} )\right p\left ( x_{i} \right )

    【X连续】:E\left [g \left ( X \right ) \right ] = \int_{-\infty }^{+\infty }g\left ( x \right )p\left ( x \right )\mathr{d}x} 

    • 若c是常数,则 E\left ( c \right )=c
    • 对任意常数a,有  E\left ( ax \right )=aE\left ( x \right )
    • 对任意的两个函数g_{1}\left ( x \right ) 和  g_{2}\left ( x \right ) ,有E\left [g_{1}\left ( x \right )\pm g_{2}\left ( x \right ) \right ] =E\left [ g_{1}\left ( x \right ) \right ]\pm E\left [ g_{2}\left ( x \right ) \right ]

    6. 方差:

    随机变量X对其期望E\left ( X \right ) 的偏差平方的数学期望,是分布的散布特征

    Var\left ( X \right )=E\left [ X-E\left ( X \right ) \right ]^{2} =E\left ( X^{2} \right )-\left [ E\left ( X \right ) \right ]^{2}

    7  方差的数学性质:

    假定以下所涉及的方差均存在: 

    • 若c是常数,则 Var\left ( c \right )=0
    • 对任意常数a,b,有  Var\left ( aX+b\right )=a^{2}Var\left ( x \right )
    • 若随机变量X的方差存在,则Var\left ( X\right )=0 的充要条件是,X几乎处处为某个常数a, 即P\left ( X=a \right )=1

    8  标准差 

    方差的正平方根\sigma \left ( X \right )=\sigma _{x} =\sqrt{Var\left ( X \right )} 即为标准差;

    9 切比雪夫不等式【chebyshev's theorem】

     设X的数学期望与方差都存在,则对任意常数\epsilon > 0 ,有

    P\left [ |X-E(X)| \geqslant \epsilon \right ] \leqslant \frac{Var(X)}{\epsilon ^{2}}   或者 P\left [ |X-E(X)| < \epsilon \right ]\geq 1- \frac{Var(X)}{\epsilon ^{2}}

    切比雪夫不等式 给出了随机变量取值的大偏差(指事件|X-E(X)| \geqslant \epsilon )发生的概率的上限,该 上限与分布的方差成正比。

    10 随机变量的标准化

    对任意随机变量X,如果X的数学期望与方差存在,则称X^{\ast} = \frac{X-E(X)}{\sqrt{Var(X)}}  为X的标准化随机变量,此时有

    E\left ( X^{\ast} \right )=0 \: ;\: \: Var\left ( X^{\ast} \right ) =1 

    11 期望的另外两个性质:

    • 设随机变量X的分布函数为F\left ( x \right ) ,且E\left ( X \right ) 存在,则E\left ( X \right )=\int_{0}^{+\infty }\left [ 1-F\left ( x \right ) \right ]\mathr{d}x -\int_{-\infty }^{0 }F\left ( x \right ) \mathr{d}x 
    • 设g(x)为随机变量X取值的集合上的非负不减函数,且E\left ( g\left ( X \right ) \right ) 存在,则对任意的\epsilon > 0 有P\left ( X> \epsilon \right ) \leqslant \frac{E\left ( g\left ( X \right ) \right )}{g\left ( \epsilon \right )}

     

    参考资料:

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