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  • 2021-04-21 22:08:49

    这似乎是一个数值精度问题.

    实对称矩阵的特征向量are orthogonal.但您的输入矩阵A不是完全对称的.正如数值误差所预期的那样,差异在eps的数量级上.

    >> A-A.'

    ans =

    1.0e-16 *

    0 -0.2082 -0.2776 0 0.1388

    0.2082 0 0 -0.1388 0

    0.2776 0 0 -0.2776 0

    0 0.1388 0.2776 0 -0.5551

    -0.1388 0 0 0.5551 0

    如果你强制A完全对称,你将得到一个正交的V_A,直到eps的数字错误:

    >> A = (A+A.')/2;

    >> A-A.'

    ans =

    0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0

    0 0 0 0 0

    >> [V_A, D_A] = eig(A);

    >> disp(V_A*V_A' - eye(k))

    1.0e-15 *

    -0.3331 0.2220 0.0755 0.1804 0

    0.2220 -0.2220 0.0572 -0.1665 0.1110

    0.0755 0.0572 -0.8882 -0.0590 -0.0763

    0.1804 -0.1665 -0.0590 0 -0.0555

    0 0.1110 -0.0763 -0.0555 0

    令人惊讶的是,当A是对称的并且A几乎是对称的时,V_A获得了如此截然不同的结果.这是我对发生的事情的赌注:如noted by @ArturoMagidin,

    (1) Eigenvectors corresponding to distinct eigenvalues of a symmetric matrix must be orthogonal to each other. Eigenvectors corresponding to the same eigenvalue need not be orthogonal to each other.

    (2) However, since every subspace has an orthonormal basis,you can find orthonormal bases for each eigenspace, so you can find an orthonormal basis of eigenvectors.

    只有当A是对称的时,Matlab才可能采用路线(2)(因此迫使V_a正交).对于不完全对称的A,它可能需要路径(1)并给出每个子空间的基础,但不一定是正交向量.

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    一、
    如果: A A T = E AA^T=E AAT=E(E为单位矩阵, A T A^T AT表示“矩阵A的转置矩阵”)或 A T A = E A^TA=E ATA=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵,若A为正交阵,则满足以下条件:
    (1) A T A^T AT是正交矩阵
    (2) E为单位矩阵
    (3) A的各行是单位向量且两两正交
    (4) A的各列是单位向量且两两正交
    (5) ∣ A ∣ = 1 |A|=1 A=1 − 1 -1 1 a b s ( A ) = 1 abs(A)=1 abs(A)=1
    (6) A T = A − 1 A^T=A^{-1} AT=A1
    (7) 正交矩阵通常用字母Q表示。
    二、特征向量的长度限制为1,这些特征向量组成的矩阵,首先,这些特征向量是单位向量,其次,这些特征向量是正交的。
    三、内积是向量的一种运算。
    (1)向量的数量积(点积): a a a b b b都是列向量,有 a ⋅ b = ∣ a ∣ × ∣ b ∣ × c o s θ a·b = |a| × |b| × cosθ ab=a×b×cosθ,这2个向量是2维或3维。
    在3维空间中
    ( x 1 , x 2 , x 3 ) ⋅ ( y 1 , y 2 , y 3 ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 (x_1,x_2,x_3)·(y_1,y_2,y_3)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3 (x1,x2,x3)(y1,y2,y3)=x1y1+x2y2+x3y3
    (2)内积是数量积的一种推广,用内积来定义n维向量的长度和夹角
    ( a ⋅ b ) = ∑ i = 1 n a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n (a·b)=\sum_{i=1}^n a_ib_i=a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n (ab)=i=1naibi=a1b1+a2b2+...+anbn
    (3)n维向量 x x x的长度(或模)= ∣ ∣ x ∣ ∣ = x 1 2 + x 2 2 + . . . + x n 2 ||x||=\sqrt{x_1^2+x_2^2+...+x_n^2} x=x12+x22+...+xn2 ,当 ∣ ∣ x ∣ ∣ = 1 ||x||=1 x=1时,称 x x x为单位向量。
    (4)向量标准化
    x ≠ 0 时 , x ∣ ∣ x ∣ ∣ x \neq 0时,\frac{x}{||x||} x̸=0xx是一个单位向量,称这一运算为将向量 x x x标准化或单位化。
    (5)向量夹角
    c o s θ = x ⋅ y ∣ ∣ x ∣ ∣ × ∣ ∣ y ∣ ∣ cos\theta=\frac{x·y}{||x||\times ||y||} cosθ=x×yxy
    x ⋅ y = 0 x·y=0 xy=0表示 x 和 y x和y xy正交,当 x = 0 或 y = 0 x=0或y=0 x=0y=0则向量内积正交,零向量与任何向量都正交。

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    下文主要围绕以下问题展开:

    1. 施密特正交化的物理意义
    2. 特征子空间的含义
    3. 如何理解“实对称矩阵只用对同一特征值对应的特征向量进行正交化”(重点!)

    施密特正交化的物理意义

    施密特正交化的过程:

    α 1 \alpha_1 α1 α 2 \alpha_2 α2 进行施密特正交化(下简称为”正交化“)

    1. β 1 = α 1 \beta_1 = \alpha_1 β1=α1
    2. β 2 = α 2 − ( α 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 \beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 β2=α2(β1,β1)(α2,β1)β1

    整体上理解一下, ( α 2 , β 1 ) (\alpha_2, \beta_1) (α2,β1) 表示 α 2 \alpha_2 α2 β 1 \beta_1 β1 的内积,是一个数;同样地, ( β 1 , β 1 ) (\beta_1,\beta_1) (β1,β1) 也是一个数; β 1 \beta_1 β1 就是 α 1 \alpha_1 α1

    所以 β 2 \beta_2 β2 本质上就是 α 1 \alpha_1 α1 α 2 \alpha_2 α2 的线性组合。

    化简一下 β 2 = α 2 − ( α 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 \beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 β2=α2(β1,β1)(α2,β1)β1

    β 2 = α 2 − ( α 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 = α 2 − ∣ α 2 ∣ ∣ β 1 ∣ c o s θ ∣ β 1 ∣ 2 β 1 = α 2 − ∣ α 2 ∣ c o s θ ∣ β 1 ∣ β 1 = α 2 − ∣ α 2 ∣ β 1 ∣ β 1 ∣ c o s θ \beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 \\ =\alpha_2 - \frac{|\alpha_2||\beta_1|cos\theta}{|\beta_1|^2}\beta_1 \\ = \alpha_2 - \frac{|\alpha_2|cos\theta}{|\beta_1|}\beta_1 \\ = \alpha_2 - |\alpha_2|\frac{\beta_1}{|\beta_1|}cos\theta β2=α2(β1,β1)(α2,β1)β1=α2β12α2β1cosθβ1=α2β1α2cosθβ1=α2α2β1β1cosθ
    其中 θ \theta θ α 1 \alpha_1 α1 α 2 \alpha_2 α2 的夹角。

    可视化后:

    在这里插入图片描述

    特征子空间的含义

    简单理解:对于一个矩阵 A A A 的一个特征值 λ \lambda λ ,该特征值对应的线性无关的特征向量为 α 1 \alpha_1 α1 α 2 \alpha_2 α2 、 …… 、 α s \alpha_s αs,这 s s s 个线性无关的特征向量线性组合能构成的全部向量与零向量构成的集合称为 A A A 的特征值 λ \lambda λ 的特征子空间。

    严谨定义:

    给定 n n n 阶矩阵 A A A ,规定 V λ = { α ∈ C n ∣ A α = λ α } V_\lambda = \{\alpha∈C^n|A\alpha=\lambda \alpha\} Vλ={αCnAα=λα}

    (1) V λ V_\lambda Vλ 非空: 0 ∈ V λ 0 ∈ V_\lambda 0Vλ

    (2) V λ V_\lambda Vλ 对加法封闭:
    α , β ∈ V λ ⇒ A α = λ α , A β = λ β ⇒ A ( α + β ) = λ ( α + β ) ⇒ α + β ∈ V λ \alpha,\beta∈V_\lambda \\ \Rightarrow A\alpha=\lambda\alpha,A\beta=\lambda\beta \\ \Rightarrow A(\alpha+\beta)=\lambda(\alpha+\beta) \\ \Rightarrow \alpha+\beta∈V_\lambda α,βVλAα=λα,Aβ=λβA(α+β)=λ(α+β)α+βVλ
    (3) V λ V_\lambda Vλ 对数乘封闭:
    α ∈ V λ ⇒ A α = λ α ⇒ A ( k α ) = k ( A α ) = k ( λ α ) = λ ( k α ) ⇒ k α ∈ V λ \alpha∈V_\lambda \\ \Rightarrow A\alpha=\lambda\alpha\\ \Rightarrow A(k\alpha)=k(A\alpha)=k(\lambda\alpha) = \lambda(k\alpha) \\ \Rightarrow k\alpha∈ V_\lambda αVλAα=λαA(kα)=k(Aα)=k(λα)=λ(kα)kαVλ

    (4) α 1 , α 2 , . . . , α s ∈ V λ ⇒ k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s ∈ V λ , k i ∈ C \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_s∈ V_\lambda \Rightarrow k_1\alpha_1+k_2\alpha_2 + ... + k_s\alpha_s∈V_\lambda,k_i∈ C α1,α2,...,αsVλk1α1+k2α2+...+ksαsVλ,kiC

    (5) V λ V_\lambda Vλ n n n 维复向量空间的子空间

    λ \lambda λ A A A 的特征值 ⇔ \Leftrightarrow V λ ≠ 0 V_\lambda ≠{0} Vλ=0

    V λ V_\lambda Vλ 称为 A A A 的特征值 λ \lambda λ 的特征子空间

    如何理解“实对称矩阵只用对同一特征值对应的特征向量进行正交化”

    引发这个思考的原因来自一类线性代数题:

    已知矩阵 A = ? A=? A=?(实对称矩阵)
    (1)求可逆矩阵 P P P,使得 P − 1 A P P^{-1}AP P1AP 为对角矩阵
    (2)求正交矩阵 Q Q Q,使得 Q T A Q Q^{T}AQ QTAQ 为对角矩阵

    复习全面的同学肯定很熟练地就能计算出来。
    第一问:将每个特征值对应的全部线性无关的特征向量排在一起;
    第二问:将同一个特征值对应的全部线性无关的特征向量进行施密特正交化后,对全部特征向量进行规范化,再将全部线性无关的特征向量排在一起.
      \space  
    我们都知道实对称矩阵不同特征值对应的特征向量不仅线性无关,而且还正交(这个比较容易证明);所以我们只需要对同一特征值对应的全部特征向量进行正交化。
    但是你可能从未见过一类题,“规定矩阵 A A A 不是实对称矩阵,要求求正交矩阵 Q Q Q,使得 Q T A Q Q^{T}AQ QTAQ 为对角矩阵”,因为非实对称矩阵相似对角化过程中不可对特征向量进行正交规范化
      \space  
    这是为什么呢?下面就将讲解原因。

    “非实对称矩阵相似对角化过程中不可对特征向量进行正交规范化”的根本原因在于不同特征值对应的特征向量进行施密特正交化会导致新向量对应的特征值发生改变

    举个例子二维向量的例子,假设 A = ( 1 − 1 0 2 ) A=\left(\begin{matrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{matrix}\right) A=(1012),其特征值 λ 1 = 1 、 λ 2 = 2 \lambda_1=1、\lambda_2 = 2 λ1=1λ2=2,对应的特征向量分别为 α 1 = ( 1 0 ) 、 α 2 = ( 1 − 1 ) \alpha_1=\left(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right)、\alpha_2=\left(\begin{matrix} 1 \\ -1 \end{matrix}\right) α1=(10)α2=(11),将它们正交化得到 β 1 = ( 1 0 ) 、 β 2 = ( 0 1 ) \beta_1=\left(\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}\right)、\beta_2=\left(\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}\right) β1=(10)β2=(01)。但很显然, A β 2 ≠ λ 2 β 2 A\beta_2≠\lambda_2\beta_2 Aβ2=λ2β2,也就是说正交化后的 β 2 \beta_2 β2 对应的特征值不再是 λ 2 \lambda_2 λ2 了。

    为什么“不同特征值对应的特征向量进行施密特正交化会导致新向量对应的特征值发生改变”

    可视化上面的例子:
    在这里插入图片描述

    经过施密特正交化确实让两个向量正交了,但是根据特征值与特征向量的如下性质,由于 β 2 \beta_2 β2 不能由 α 2 \alpha_2 α2 线性表示,所以 β 2 \beta_2 β2 不是特征值 λ 2 \lambda_2 λ2 的特征向量,也即 β 2 \beta_2 β2 不在 λ 2 \lambda_2 λ2 的特征子空间中,所以 β 2 \beta_2 β2 对应的特征值也就不是 λ 2 \lambda_2 λ2。这样一来正交化就失去了意义。

    性质:若 α 1 , α 2 , . . . , α t \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_t α1,α2,...,αt 都是矩阵 A A A 的属于特征值 λ \lambda λ 的特征向量,则当 k 1 α + k 2 α 2 + . . . + k t α t k_1\alpha_+k_2\alpha_2+...+k_t\alpha_t k1α+k2α2+...+ktαt 非零时, k 1 α + k 2 α 2 + . . . + k t α t k_1\alpha_+k_2\alpha_2+...+k_t\alpha_t k1α+k2α2+...+ktαt 仍是矩阵 A A A 属于特征值 λ \lambda λ 的特征向量。


    为了更清楚地展示,我们扩展到三维空间中。

    假设矩阵 A = ( 3 2 0 1 2 0 2 0 1 2 0 3 2 ) A=\left(\begin{matrix} \frac{3}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 0 & 2 & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{3}{2} \end{matrix}\right) A=2302102021023 为三阶实对称矩阵,其三个特征值分别为 λ 1 = 1 、 λ 2 = 2 、 λ 3 = 2 \lambda_1=1、\lambda_2=2、\lambda_3=2 λ1=1λ2=2λ3=2,其中 λ 2 = λ 3 \lambda_2 = \lambda_3 λ2=λ3,由于实对称矩阵线性无关的特征向量个数一定与阶数相同,所以 λ 1 \lambda_1 λ1 对应的特征向量为 α 1 = ( − 1 , 0 , 1 ) T \alpha_1=(-1,0,1)^T α1=(1,0,1)T λ 2 \lambda_2 λ2 λ 3 \lambda_3 λ3 对应的特征向量分别为 α 2 = ( 0 , 1 , 0 ) T \alpha_2=(0,1,0)^T α2=(0,1,0)T α 3 = ( 1 , 2 , 1 ) T \alpha_3=(1,2,1)^T α3=(1,2,1)T,且不同特征值对应的特征向量正交,即 ( α 1 , α 2 ) = 0 (\alpha_1,\alpha_2)=0 (α1,α2)=0 ( α 1 , α 3 ) = 0 (\alpha_1,\alpha_3)=0 (α1,α3)=0 α 2 \alpha_2 α2 α 3 \alpha_3 α3 不正交。

    假设 α 1 \alpha_1 α1 α 2 \alpha_2 α2 α 3 \alpha_3 α3 在三维空间中如下:

    在这里插入图片描述
    α 2 \alpha_2 α2 α 3 \alpha_3 α3 进行施密特正交化后:

    在这里插入图片描述
    计算可以发现三个向量是两两正交的,且 β 2 \beta_2 β2 β 3 \beta_3 β3 对应的特征值还是 2 2 2


    如果我们处理的矩阵 A A A 不是一个实对称矩阵,只是一个一般矩阵,那么也就是说即使是不同的特征值对应的特征向量也不一定正交,如果我们对不同特征值对应的两个特征向量进行正交化会发生什么?

    首先我们要明确一点,如果 λ \lambda λ 的特征子空间是由两个线性无关的向量确定的,那么该特征值的特征子空间应该为由这两个线性无关的向量确定的平面内的全部向量组成,也就是说满足该特征值的特征向量应该在该平面内,不满足该特征值的向量都在平面外。

    假设对于一个非实对称三阶矩阵 A A A 而言,其特征值记为 λ 1 、 λ 2 、 λ 3 \lambda_1、\lambda_2、\lambda_3 λ1λ2λ3,其中 λ 2 = λ 3 \lambda_2 = \lambda_3 λ2=λ3,假设三个特征值对应的特征向量 α 1 \alpha_1 α1 α 2 \alpha_2 α2 α 3 \alpha_3 α3 如下:

    在这里插入图片描述
    很显然三者都不是正交的。

    如果对 α 2 \alpha_2 α2 α 3 \alpha_3 α3 进行施密特正交化,由于正交化只是对两个向量进行加法和数乘操作,所以不会影响二者构成的平面,也就是说 α 2 \alpha_2 α2 α 3 \alpha_3 α3 经过施密特正交化后得到的 β 2 \beta_2 β2 β 3 \beta_3 β3 仍是在 α 2 \alpha_2 α2 α 3 \alpha_3 α3 所构成的平面内,即 β 2 \beta_2 β2 β 3 \beta_3 β3 处于同一个特征值的特征子空间中,即施密特正交后二者的特征值没有发生改变。

    如果对 α 1 \alpha_1 α1 α 2 \alpha_2 α2 进行施密特正交化,将 α 2 \alpha_2 α2 视为 β 1 \beta_1 β1,将 α 1 \alpha_1 α1 转换为 β 2 \beta_2 β2,则可以得到 β 1 = α 2 = ( 1 , 1 , 0 ) T \beta_1 = \alpha_2 = (1, 1, 0)^T β1=α2=(1,1,0)T β 2 = ( 1 2 , 1 , 1 2 ) T \beta_2 = (\frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2})^T β2=(21,1,21)T,作图如下:

    在这里插入图片描述
    其中淡蓝色虚线表示的是 λ 1 \lambda_1 λ1 的特征子空间,即一维空间。经过施密特正交化后 λ 1 \lambda_1 λ1 对应的特征向量 α 1 \alpha_1 α1 变成了 ( 1 2 , 1 , 1 2 ) T (\frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2})^T (21,1,21)T,很显然该向量已经不在 λ 1 \lambda_1 λ1 的特征子空间中了,这说明 β 2 = ( 1 2 , 1 , 1 2 ) T \beta_2 = (\frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2})^T β2=(21,1,21)T 对应的特征值不是 λ 1 \lambda_1 λ1

    类似地,也可以将 α 1 \alpha_1 α1 视为 β 1 \beta_1 β1,将 α 2 \alpha_2 α2 转换为 β 2 \beta_2 β2,经过施密特正交化后会发现 β 2 \beta_2 β2 已经不在由 α 2 \alpha_2 α2 α 3 \alpha_3 α3 构成的平面内,说明 β 2 \beta_2 β2 的特征值发生改变。


    通过上面的例子,可以总结出之所以不同特征值对应的特征向量进行施密特正交化会导致新向量对应的特征值发生改变,是因为施密特正交化的本质是向量的加法和数乘,对于同一个特征子空间内的向量进行施密特正交化后得到的向量仍在原特征子空间中,但不同特征子空间的向量进行正交化就不好说了。

    汤家凤的教案上提到一个性质:
    A A A n n n 阶矩阵, λ 1 \lambda_1 λ1 λ 2 \lambda_2 λ2 A A A 的两个不相同的特征值,又 A α = λ 1 α A\alpha=\lambda_1\alpha Aα=λ1α A β = λ 2 β A\beta=\lambda_2\beta Aβ=λ2β α \alpha α β \beta β 为非零向量),对任意的 a ≠ 0 a≠0 a=0 b ≠ 0 b ≠ 0 b=0,向量 a α + b β a\alpha+b\beta aα+bβ 一定不是特征向量。
      \space  
    施密特正交化就是一个线性组合的过程,根据该性质也可以说明不同特征值对应的特征向量进行正交化得到的不是特征向量。

    做题时的施密特正交化

    如果要计算一个正交矩阵 Q Q Q,使得 Q T A Q = Λ Q^TAQ=\Lambda QTAQ=Λ,则 A A A 一定是一个实对称矩阵,且需要对同一个特征值对应的特征向量进行施密特正交,再对全部的特征向量进行规范化,将规范化后的特征向量排列起来得到 Q Q Q

    如果要计算一个可逆矩阵 P P P,使得 P − 1 A P = Λ P^{-1}AP=\Lambda P1AP=Λ,则 A A A 的要求就没那么苛刻了。如果 A A A 是非实对称矩阵,那么 P P P 一定不能化成正交矩阵。

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  • 本帖最后由 观奇峰 于 2017-4-21 21:02 编辑问题描述:一个不对称矩阵A,得到它的左右特征向量得不到正交关系。也就是附件m文件中右特征向量构成的矩阵bV乘以左特征向量构成的矩阵bV1得不到一个单位矩阵。希望能得到...

    本帖最后由 观奇峰 于 2017-4-21 21:02 编辑

    问题描述:

    一个不对称矩阵A,得到它的左右特征向量得不到正交关系。也就是附件m文件中右特征向量构成的矩阵bV乘以左特征向量构成的矩阵bV1得不到一个单位矩阵。希望能得到大神指导clear all

    %一个不对称矩阵A

    A=[         0         0    -3.1416e+000 -8.4750e-010            0  2.3256e-011            0            0            0           0

    0            0 -3.1416e+000 -8.4750e-010            0            0  2.3256e-011            0            0           0

    1.1857e+000  1.1857e+000            0            0            0            0            0  5.2782e-012  7.7917e-003           0

    2.8474e+009  2.8474e+009            0            0            0            0            0  7.7917e-003 -6.7863e+007           0

    0            0            0            0            0            0            0            0            0 -1.0000e+005

    1.8264e+012  9.4797e+011            0            0            0            0            0 -1.1857e+000 -2.8474e+009           0

    9.4797e+011  1.8264e+012            0            0            0            0            0 -1.1857e+000 -2.8474e+009           0

    0            0  1.2207e-004            0            0  3.1416e+000  3.1416e+000            0            0           0

    0            0            0 -2.8285e-007            0  8.4750e-010  8.4750e-010            0            0           0

    0            0            0            0 -9.8696e-005            0            0            0            0           0];

    [bV, bD]=eig(A) %bV为A的右特征向量所构成的举证;bD为特征值

    [bV1, bD1]=eig(A') %bV1为A的左特征向量所构成的举证;bD为特征值

    bV'*bV1

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  • 正交向量正交化

    千次阅读 2020-12-09 21:12:01
    正交向量正交化线性相关正交向量正交化 线性相关 定义 定义1:在向量空间 VVV 的一组向量 AAA :α1,α2,⋯αm\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots \alpha_{m}α1​,α2​,⋯αm​,如果存在不全为零的数 k1,k2,⋯...
  • 一、对称矩阵(Symmetric Matrices)是指元素以主对角线为对称轴对应相等的矩阵。 对称矩阵是一个方形矩阵,其转置...4.A的列向量组也是正交单位向量组。 5.正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵
  • 对称矩阵特征向量正交推导

    万次阅读 2017-02-25 12:15:12
    对于对称方阵A,如有特征解λ1对应特征向量p1,特征解λ2对应特征向量p2,根据特征向量的定义,有: A * p1 = λ1 * p1 ① A * p2 = λ2 * p2 ② 如p1和p2正交,则必有p1' * p2 = 0,欲证明此式,可构造非零...
  • 矩阵特征值和特征向量详细计算过程(转载)

    万次阅读 多人点赞 2018-09-02 09:43:47
    1.矩阵特征值和特征向量定义        A为n阶矩阵,若数λ和n维非0列向量x满足Ax=λx,那么数λ称为A的特征值,x称为A的对应于特...
  • 正交矩阵&正交向量

    千次阅读 2021-07-30 10:45:40
    两个向量的内积如果是零, 那么就说这两个向量正交的 两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交,则记为α⊥β 向量内积 两个向量的内积就等于两个向量对应各个维度的分量的乘积的和 我们通常把...
  • A的列向量组也是正交单位向量组。 特征向量 就是基坐标,特征值就是长度,相乘等于Ax,很好理解。 对角: 就是特征值在主对角线上。 标准: 当方程式2次的时候,一次项对图像的影响很小,不大会改变图像基本的...
  • 1、计算特征多项式例 计算以下矩阵的特征多项式参考输入表达式为characteristic polynomial {{-1,1,0},{-4,3,0},{1,0,2}}执行计算得到的结果如下.将鼠标指针移动到特征多项式结果上方,在右下角出现的按钮中选择...
  • 本节为线性代数复习笔记的第二部分,矩阵的概念与计算(1),主要包括:向量组的秩,向量内积、正交、模,施密特标准正交化正交规范),向量空间以及坐标变换公式。 1. 向量组的秩   向量组α1⃗,α2⃗,...,...
  • 向量正交

    千次阅读 2021-10-11 14:49:56
    向量的内积 α\alphaα 和 β\betaβ 的内积 (α,β)(\alpha, \beta)(α,β) 为对应元素相乘再相加。内积是一个数。 向量的长度(范数、模) ∣∣α∣∣=(α,α)||\alpha||=\sqrt{(\alpha,\alpha)} ∣∣α∣∣=(α,α)...
  • 最好使的其协方差成为单位矩阵,这是理想情况,我们知道对于单位矩阵的特征值与特征向量特征值为1,特征向量为每个维度上的单位正交向量,比如二维单位矩阵的特征向量为:[1,0]或者[0,1]),现在利用将单位矩阵分解...
  • 我们先来看图,看看这个方法的操作过程,等一下,我找找我的大学的线性代数课本,找到啦!(哈哈,虽然读研了,因为我是...1.首先我们看看这个正交化过程,因为a1,a2...an为一组基向量(大佬们请原谅我用a字母代替阿...
  • 正交向量 正交矩阵

    千次阅读 2017-11-12 22:36:10
    正交向量 正交矩阵
  • 该包实现了用于正交化或正交化向量的 Gram-Schmidt 算法和 Modified Gram-Schmidt 算法(MGS 提高了 GS 的数值稳定性)。 Gram-Schmidt 算法将矩阵 X 分解为两个矩阵 Q 和 R,其中 Q 是正交正交矩阵,R 是上三角...
  • 向量的施密特正交化

    万次阅读 2016-07-13 18:17:06
    单位化: γ 1 γ 2 γ 3 = 1 2 ‾ ‾ √ ( 1 , − 1 , 0 ) T = 1 6 ‾ ‾ √ ( 1 , 1 , − 2 ) T = 1 3 ‾ ‾ √ ( 1 , 1 , 1 ) T \begin{align} \gamma_1 & = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)^T\\ \gamma_2 & = \...
  • 对称阵有一个很优美的性质:它总能相似对角,对称阵不同特征值对应的特征向量两两正交。 假设矩阵AA是一个对称矩阵, xix_i和xjx_j 是矩阵AA 的任意两个特征向量,λi\lambda_i和λj\lambda_j 是与xix_i和xjx_j ...
  • 基于特征向量的主成分分析(PCA)原理,附matlab代码
  • 3.1 向量正交

    千次阅读 2019-10-18 22:18:03
    单位化 得标准正交向量组 η 1 , η 2 , ⋯   , η n \boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\cdots,\boldsymbol{\eta}_n η 1 ​ , η 2 ​ , ⋯ , η n ​ : η 1 = β 1 ∥ β 1 ∥ , η 2 = β 2 ∥ β ...
  • 施密特正交化

    万次阅读 2021-07-31 09:40:02
    从欧氏空间任意线性无关的向量组α1,α2,……,αm出发,求得正交向量组β1,β2,……,βm,使由α1,α2,……,αm与向量组β1,β2,……,βm等价,再将正交向量组中每个向量经过单位化,就得到一个标准正交...
  • gram_schmidt正交化

    2018-03-30 17:01:02
    从欧氏空间任意线性无关的向量组α1,α2,……,αm出发,求得正交向量组β1,β2,……,βm,使由α1,α2,……,αm与向量组β1,β2,……,βm等价,再将正交向量组中每个向量经过单位化,就得到一个标准正交...
  • Schmidt正交化正交规范方法)

    万次阅读 2020-05-15 09:34:11
    设有向量α1,α2...αn,则正交规范化方法为 ... 然后,再将每个向量单位化、 即 最后得到的一系列γ组成的向量组就正交且均为单位向量
  • 正交向量 引出 1.毕达哥拉斯定理/勾股定理(Pythagoras) 我们很容易得出 ∣∣x∣∣+∣∣y∣∣=∣∣x+y∣∣||x||+||y||=||x+y||∣∣x∣∣+∣∣y∣∣=∣∣x+y∣∣ ...
  • 今天晚上王小民同学问了助教姐姐一个问题,为什么对一个一般的矩阵对角化的时候,我们不用做正交单位化,对实对称矩阵对角化的时候却要做呢?这是一个很好的问题,所以和大家分享一下。 最后的结论就是...
  • 向量正交 与 函数正交

    万次阅读 2018-11-28 13:12:23
    2 向量正交 3 函数的正交 4 函数正交的意义 1 向量内积和外积 1.1 向量内积(点乘) 假设 a = [a1,a2,...,an], b = [b1,b2,...,bn]; 则a与b的内积为 a·b = a1·b1+a2·b2+...+a3·b3 = |a||b|cosθ; ...
  • 矩阵的特征值和特征向量

    千次阅读 2021-03-27 14:47:19
    矩阵的特征值和特征向量特征值的理解特征值 、特征向量、方阵的关系几何意义物理意义特征分解特征值和特征向量的含义的应用补充一点 特征值的理解 其实刚上大学的时候上的线性代数课上,也只是简单讲解了特征值和...
  • §6.5 对称矩阵,实特征值,正交特征向量Symmetric Matrices, Real Eigenvalues, Orthogonal EigenvectorsMIT公开课《微分方程和线性代数》6.5 对称矩阵、实特征值和正交特征向量​v.youku.com在线性微分方程组中会...

空空如也

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正交单位化特征向量