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  • 在[1]给出的实四元数体上矩阵范数的定义的基础上,讨论了它的一些性质和构造新范数的方法.矩阵;实四元数体;右向量空间;矩阵范数
  • 为了对模糊范数的若干性质和模糊赋范空间进行研究,在研究模糊赋范线性空间的同时对模糊范数及其相对应的模糊等价范数的性质进行必要研究。在此基础上讨论了模糊等价范数的相关性质,给出一些例子来说明以上研究结果的...
  • 范数的基本几何特征是它的单位球,透过它可以深入洞察范数的性质.   定义 1 : 设 \(\lVert \cdot \rVert\) 是实或者复向量空间 \(V\) 上的一个范数,\(x\) 是 \(V\) 的一个点,又设给定 \(r>0\). 以 \(x\) 为...

    将学习到什么

    介绍范数的单位球以及对偶定理.

     


    范数的单位球

     
    范数的基本几何特征是它的单位球,透过它可以深入洞察范数的性质.
     
      定义 1 :\(\lVert \cdot \rVert\) 是实或者复向量空间 \(V\) 上的一个范数,\(x\)\(V\) 的一个点,又设给定 \(r>0\). 以 \(x\) 为中心、\(r\) 为半径的球定义为集合
    \begin{align}
    B_{\lVert \cdot \rVert}(r;x)=\{y \in V: \lVert y-x \rVert \leqslant r \}
    \end{align}
    \(\lVert \cdot \rVert\) 的单位球是集合
    \begin{align}
    B_{\lVert \cdot \rVert} =B_{\lVert \cdot \rVert}(1;0) = \{y \in V: \lVert y \rVert \leqslant 1 \}
    \end{align}
     
    以任意点 \(x\) 为中心具有给定半径的球与以原点为中心有同样半径的球看起来相同,它正好是平移到点 \(x\). 我们的目的是要精确地确定 \(\mathbb{C}^n\) 的哪些子集能是某个范数的单位球.
     
      定义 2 : 如果范数的单位球是一个多面体,则称该范数是多面体的.
     
    \(l_1,l_{\infty}\) 范数是多面体的
     

    对偶定理

     
    任何范数都是其对偶范数之对偶.
     
      定理 3 :\(f\)\(V=\mathbb{R^n}\) 或者 \(\mathbb{C}^n\) 上一个准范数,用 \(f^D\) 表示 \(f\) 的对偶范数,用 \(f^{DD}\) 表示 \(f^D\) 的对偶范数,设 \(B=\{x \in V:f(x) \leqslant 1 \}\),又设 \(B''=\{x \in V :f^{DD}(x) \leqslant 1\}\). 那么
      (a) 对所有 \(x \in V\)\(f^{DD}(x) \leqslant f(x)\),所以 \(B \subset B''\)
      (b) \(B'' = \overline{\mathrm{Co}(S)}\)\(B\) 的凸包的闭包
      (c) 如果 \(f\) 是范数,那么 \(B=B''\),且 \(f^{DD}=f\)
      (d) 如果 \(f\) 是范数且给定 \(x_0 \in V\),那么就存在某个 \(z \in V\)(不一定是唯一的),使得 \(f^D(z)=1\) 以及 \(f(x_0)=z^*x_0\),也即对所有 \(x \in V\)\(\lvert z^*x \rvert \leqslant f(x)\),以及有 \(f(x_0)=z^*x_0\).
     
      证明:(a) 如果 \(x \in V\) 是一个给定的向量,那么对偶范数的一种等价的表达方式确保对任何 \(y \in V\) 都有 \(\lvert y^*x \rvert \leqslant f(x)f^D(y)\),从而
    \begin{align}
    f^{DD}(x)=\max\limits_{f^D(y)=1}\lvert y^*x\rvert \leqslant \max\limits_{f^D(y)=1}f(x)f^D(y) = f(x)
    \end{align}
    于是,对所有 \(x \in V\) 都有 \(f^{DD}(x) \leqslant f(x)\),这是一个与几何命题 \(B \subset B''\) 等价的不等式.
      (b) 集合 \(\\{t \in V:\mathrm{Re}\,\,t^*v \leqslant 1 \\}\) 是一个包含原点的闭的半空间,且任何这样的半空间都可以用这样的方式表示. 利用对偶范数的定义,设 \(u \in B''\) 是一个给定的点,并注意到
    \begin{align}
    u & \in \{ t: \mathrm{Re}\,\,t^*v \leqslant 1,\text{对每个满足}\,\, f^D(v) \leqslant 1 \,\,\text{的}\,\, v \} \notag \\
    & = \{ t: \mathrm{Re}\,\,t^*v \leqslant 1,\text{对每个满足}\,\, v^*w \leqslant 1 \,\,\text{的}\,\, v (\text{对每个满足}\,\, f(w) \leqslant 1 \,\,\text{的}\,\,w)\} \notag \\
    & = \{ t: \mathrm{Re}\,\,t^*v \leqslant 1,\text{对每个满足}\,\, w^*v \leqslant 1 \,\,\text{的}\,\, v (\text{对所有}\,\, w\in B)\} \notag
    \end{align}
    这样一来,\(u\) 就在每一个包含 \(B\) 的闭的半空间之内. 由于这样闭的半空间的交是 $ \overline{\mathrm{Co}(S)}$,我们断定有 \(u\in \overline{\mathrm{Co}(S)}\). 但是点 \(u \in B''\) 是任意的,故有 \(B'' \in \overline{\mathrm{Co}(S)}\). 由于 \(\mathrm{Co}(B)\) 是包含 \(B\) 的所有凸集的交,而 \(B''\) 是包含 \(B\) 的凸集,故而我们有 \(\mathrm{Co}(B) \subset B''\). 集合 \(B''\) 是一个范数的单位球,所以它是紧的,从而是闭的. 我们断言有 \(\overline{\mathrm{Co}(S)} \subset \overline{B''}=B''\),从而 \(B'' = \overline{\mathrm{Co}(S)}\).
      (c) 如果 \(f\) 是一个范数,那么它的单位球就是凸的且是闭的,所以 \(B=\overline{\mathrm{Co}(S)} =B''\). 由于它们的单位球相同,故而范数 \(f\)\(f^{DD}\) 相同.
      (d) 对每个给定的 \(x_0 \in V\),(c) 确保有 \(f(x_0)=\max_{f^D(y)=1} \mathrm{Re}\,\,y^*x_0\),而范数 \(f^D\) 的单位球面的紧性确保存在某个 \(z\),使得 \(f^D{z}=1\) 以及 \(\max_{f^D(y)=1} \mathrm{Re}\,\,y^*x_0 = \mathrm{Re}\,\,z^*x_0\). 如果 \(z^*x_0\) 不是实数且不是非负的,就会存在一个实数 \(\theta\),使得 \(\mathrm{Re}(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}z^*x_0) >0> \mathrm{Re}\,\,z^*x_0\)(当然就有 \(f^D(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}z)=f^D(z)=1\)),这与最大性矛盾:对 \(f^D\) 的单位球面中的所有 \(y\) 都有 \(\mathrm{Re}\,\,z^*x_0 \geqslant \mathrm{Re}\,\,y^*x_0\).
     
    上一定理的结论 (c) 可能是对偶定理的最要且应用最广泛的部分. 例如,它允许我们将任何范数 \(f\) 表示为
    \begin{align}
    f(x) = \max\limits_{f^D(y)=1}\mathrm{Re}\,\,y^*x
    \end{align}
    这个表示就是拟线性化的一个例子.
     
      推论 4: \(\mathbb{R^n}\) 或者 \(\mathbb{C}^n\) 上的范数是单调的.
     
      证明:假设 \(\lVert \cdot \rVert\)\(\mathbf{F}\) 上一个绝对范数. 定理 3(b) 确保它的对偶 \(\lVert \cdot \rVert^D\) 是绝对的. 对偶定理告诉我们:\(\lVert \cdot \rVert\) 是绝对范数 \(\lVert \cdot \rVert^D\) 的对偶,故而推出 \(\lVert \cdot \rVert\) 是单调的.
     


    应该知道什么

    • 任何范数都是其对偶范数之对偶

    转载于:https://www.cnblogs.com/zhoukui/p/8097510.html

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  • 范数的代数性质描述了构造新范数的方法,解析性质描述了两个不同的范数之间可能存在的关系. 代数性质 从给定的范数出发,可以用若干种方法构造出新的范数,比如两个范数的和是一个范数、一个范数的任意正的倍数...

    将学习到什么

    范数的代数性质描述了构造新范数的方法,解析性质描述了两个不同的范数之间可能存在的关系.

     


    代数性质

     
    从给定的范数出发,可以用若干种方法构造出新的范数,比如两个范数的和是一个范数、一个范数的任意正的倍数还是范数、由已知两个范数取最大值构造的函数也是范数,这些结论全都是如下结果的特例.
     
      定理 1:\(\lVert \cdot \rVert _{\alpha_1}, \cdots, \lVert \cdot \rVert _{\alpha_m}\) 是域 \(\mathbf{F}\)\(\mathbf{F}=\mathbb{R}\) 或者 \(\mathbb{C}\))上的向量空间 \(V\) 上给定的范数,又令 $\lVert \cdot \rVert $ 是 \(\mathbb{R}^m\) 上一个满足 \(\lVert y \rVert \leqslant \lVert y+z \rVert\)(对所有非负元素的向量 \(y,z \in \mathbb{R}^m\))的范数. 那么,由 \(f(x)=\lVert [ \lVert x \rVert_{\alpha_1},\cdots, \lVert x \rVert _{\alpha_m}]^T \rVert\) 所定义的函数 \(f\)\(V \rightarrow \mathbb{R}\)\(V\) 上的一个范数.
     
    定理中关于范数 $\lVert \cdot \rVert $ 的单调性的假设是确保所构造的函数 \(f\) 满足三角不等式所需要的. 每一个 \(l_p\) 范数都有这个单调性. 但是某些范数没有这个性质.
     

    解析性质

     
    在一个实的或者复的向量空间上许多不同的实值函数都能满足范数的公理,对某个给定的目的来说,一个范数有可能比另一个范数更方便或者更合适. 在实际应用中,可以建立起一套理论的范数与在一种给定的情形最容易计算的范数可能并不相同. 这样一来,重要的就是要知晓两个不同的范数之间可能存在的关系. 幸运的是,在有限维的情形下,所有范数在某种加强的意义下都是“等价的”.
     
    分析中一个基本概念是序列的收敛性. 在赋范线性空间中,我们有如下的收敛性定义.
     
      定义 2:\(V\) 是有给定范数 $\lVert \cdot \rVert $ 的一个实的或者复的向量空间. 我们称 \(V\) 中一个向量序列 \(\{x^{(k)}\}\) 关于 $\lVert \cdot \rVert $ 收敛于一个向量 \(x \in V\),当且仅当 \(\lim_{k \rightarrow \infty} \lVert x^{(k)} -x\rVert=0\). 如果 \(\{x^{(k)}\}\) 关于 $\lVert \cdot \rVert $ 收敛于 $x $,我们就写成关于 $\lVert \cdot \rVert $ 有 \(\lim_{k \rightarrow \infty}x^{(k)} =x\).
     
    序列的极限如果存在,就是唯一的,也就是说向量序列不可能收敛于两个不同的极限. 一个向量序列有可能关于一个范数收敛,而关于另一个范数不收敛(这种情况在有限维赋范线性空间中不可能出现).
     
      引理 3: 设 $\lVert \cdot \rVert $ 是域 \(\mathbf{F}\)\(\mathbf{F}=\mathbb{R}\) 或者 \(\mathbb{C}\))上的向量空间 \(V\) 上一个范数,\(m \geqslant 1\) 是一个给定的正整数,\(x^{(1)},x^{(2)},\cdots, x^{(m)} \in V\) 是给定的向量,又对任意的 \(z=[z_1 \cdots z_m]^T \in \mathbf{F}^m\) 定义 \(x(z) = z_1x^{(1)}+ z_2x^{(2)} + \cdots + z_mx^{(m)}\). 那么,由
    \begin{align}
    g(z) = \lVert x(z) \rVert = \lVert z_1x^{(1)}+ z_2x^{(2)} + \cdots + z_mx^{(m)} \rVert
    \end{align}
    所定义的函数 \(g\)\(\mathbf{F}^m \rightarrow \mathbb{R}\) 就是 \(\mathbf{F}^m\) 上关于 Euclid 范数一致连续的函数.
     
    上一个引理中的赋范线性空间 \(V\) 不一定是有限维的. 然而, \(V\) 的有限维度对于下面的基本结果是极其重要的.
     
      定理 4:\(f_1\)\(f_2\) 是域 \(\mathbf{F}\)\(\mathbf{F}=\mathbb{R}\) 或者 \(\mathbb{C}\))上一个有限维向量空间 \(V\) 上的实值函数,设 \(\mathscr{B}=\{x^{(1)},\cdots, x^{(n)}\}\)\(V\) 的一组基,又设对所有 \(z=[z_1 \quad \cdots \quad z_n]^T \in \mathbf{F}^n\)\(x(z) = z_1x^{(1)}+ z_2x^{(2)} + \cdots + z_nx^{(n)}\). 假设 \(f_1\)\(f_2\)
      (a) 正的:对所有 \(x \in V\)\(f_i(x) \geqslant 0\),又设 \(f_i(x) = 0\) 当且仅当 \(x=0\)
      (b) 齐性的:对所有 \(\alpha \in \mathbf{F}\) 以及所有 \(x \in V\)\(f_i(\alpha x) =\lvert \alpha \rvert f_i(x)\)
      (c) 连续的:\(f_1(x(z))\)\(\mathbf{F}^n\) 上关于 Euclid 范数是连续的
    那么就存在有限的正常数 \(C_m\) 以及 \(C_M\),使得
    \begin{align}
    C_m f_1(x) \leqslant f_2(x) \leqslant C_Mf_1(x),\quad \text{对所有}\,\, x \in V
    \end{align}
    如果一个有限维实的或者复的向量空间上的实值函数满足上述定理陈述的正性、齐性以及连续性这三个假设,它就称为一个准范数. 当然,准范数的最重要的例子是范数,引理 3 是说,每个范数都满足定理 4 中的连续性假设 (c). 满足三角不等式的准范数是范数.
     
      推论 5:\(\lVert \cdot \rVert _{\alpha}\) 以及 \(\lVert \cdot \rVert _{\beta}\) 是有限维实的或者复向量空间 \(V\) 上给定的范数. 那么就存在有限的正常数 \(C_m\)\(C_M\),使得对所有 \(x \in V\) 都有 \(C_m \lVert \cdot \rVert _{\alpha} \leqslant \lVert \cdot \rVert _{\beta} \leqslant C_M \lVert \cdot \rVert _{\alpha}\) .
     
    推论 5 的一个重要的推论是如下事实:有限维复向量空间中向量序列的收敛性与所采用的范数无关.
     
      推论 6: 如果 \(\lVert \cdot \rVert _{\alpha}\) 以及 \(\lVert \cdot \rVert _{\beta}\) 是有限维实的或者复向量空间 \(V\) 上给定的范数. 又如果 \(x^{(k)}\)\(V\) 中一列给定的向量,那么,关于 \(\lVert \cdot \rVert _{\alpha}\)\(\lim_{k \rightarrow \infty}x^{(k)} =x\) 的充分必要条件是:关于 \(\lVert \cdot \rVert _{\beta}\)\(\lim_{k \rightarrow \infty}x^{(k)} =x\).
     
      证明:由于对所有 \(k\) 都有 \(C_m \lVert x^{(k)}-x \rVert _{\alpha} \leqslant \lVert x^{(k)}-x \rVert _{\beta} \leqslant C_M \lVert x^{(k)}-x \rVert _{\alpha}\),由此推出:当 $k \rightarrow \infty $ 时有 \(\lVert x^{(k)}-x \rVert _{\alpha} \rightarrow 0\) 成立的充分必要条件是当 $k \rightarrow \infty $ 时有 \(\lVert x^{(k)}-x \rVert _{\beta} \rightarrow 0\).
     
      定义 7: 实的或者复向量空间上两个给定的范数称为等价的,如果只要一个向量序列 \(x^{(k)}\) 关于其中一个范数收敛于一个向量 \(x\),那么它就关于另一个范数也收敛于 \(x\)
     
    推论 6 确保对有限维实或者复向量空间,所有的范数都是等价的. 对无限维向量空间来说,情况是非常不同的.
     
    由于 \(\mathbb{R}^n\)\(\mathbb{C}^n\) 上所有的范数都等价于 \(\lVert \cdot \rVert _{\infty}\),对给定的一列向量 \(x^{(k)}=[x_i^k]_{i=1}^n\),关于任何范数都有 \(\lim_{k \rightarrow \infty}x^{(k)} =x\) 的充分必要条件是:对每个 \(i=1,\cdots, n\) 都有 \(\lim_{k \rightarrow \infty}x_i^{(k)} =x_i\). 另一个重要事实是:单位球以及单位球面关于 \(\mathbb{R}^n\)\(\mathbb{C}^n\) 上任意的准范数或者范数永远都是紧的. 由此,在这样一个单位球或者单位球面上的连续的实值或者复值函数都是有界的. 如果它是实值函数的话,它还取到它的最大以及最小值.
     
      推论 8:\(V=\mathbf{F}^n\)\(\mathbf{F}=\mathbb{R}\) 或者 \(\mathbb{C}\)),并设 \(f(\cdot)\)\(V\) 上的一个准范数或者范数. 那么集合 \(\{ x:f(x) \leqslant 1 \}\)\(\{ x:f(x) = 1 \}\) 是紧集.
     
    有时我们会遇到确定一个给定的序列 \(x^{(k)}\) 究竟是否收敛这样的问题. 为此,重要的是要有一个收敛的判别法,这个差别法里不明显含有该序列的极限(如果它存在的话). 如果有这样的一个极限,那么,当 \(k,j \rightarrow \infty\) 时就有
    \begin{align}
    \lVert x^{(k)}-x^{(j)} \rVert = \lVert x^{(k)}-x+x-x^{(j)} \rVert \leqslant \lVert x^{(k)}-x \rVert + \lVert x-x^{(j)} \rVert \rightarrow 0
    \end{align}
    这就是下述定义之动因.
     
      定义 9: 向量空间 \(V\) 中一个序列 \(x^{(k)}\) 称为是关于范数 $\lVert \cdot \rVert $ 的一个 Cauchy 序列,如果对每个 \(\varepsilon >0\),都存在一个正整数 \(N(\varepsilon)\),使得只要 \(k_1,k_2 \geqslant N(\varepsilon)\) 就有 \(\lVert x^{(k_1)}-x^{(k_2)} \rVert \leqslant \varepsilon\).
     
      定理 10:\(\lVert \cdot \rVert\) 是有限维实或者复向量空间 \(V\) 上的一个给定的范数,又设 \(x^{(k)}\)\(V\) 中一个给定的向量序列. 序列 \(x^{(k)}\) 收敛于 \(V\) 中一个向量,当且仅当它关于范数 \(\lVert \cdot \rVert\) 是一个 Cauchy 序列.
     
    一个序列是 Cauchy 序列,当且仅当它收敛于某个实的或者复的纯量. 这个结论是实数域或者复数域的一个基本性质. 这个性质称为实数域以及复数域的完备性. 我们刚刚证明了:完备性可以延拓到关于任何范数的有限维实或者复向量空间. 不幸的是,无限维赋范线性空间可能没有完备性.
     
      定义 11:一个赋范线性空间 \(V\) 称为关于它的范数 \(\lVert \cdot \rVert\)完备的,如果 \(V\) 中每一个关于 \(\lVert \cdot \rVert\) 是 Cauchy 序列的序列都收敛于 \(V\) 的一个点.
     

    对偶范数

     
    利用 \(\mathbb{R}^n\) 或者 \(\mathbb{C}^n\) 上任何范数或者准范数的单位球都是紧集这一事实,我们可以引进另外一个有用的方法,此外可以利用 Euclid 内积从老的范数生成新的范数.
     
      定义 12:\(f(\cdot)\)\(V=\mathbf{F}^n\)\(\mathbf{F}=\mathbb{R}\) 或者 \(\mathbb{C}\))上的一个准范数. 那么函数
    \begin{align}
    f^D(y) = \max\limits_{f(x)=1} \mathrm{Re} \langle x, y \rangle = \max\limits_ {f(x)=1} \mathrm{Re} \,\,y^*x
    \end{align}
    称为 \(f\)对偶范数.
     
    对偶范数是 \(V\) 上一个具有良好定义的函数,因为对每个固定的 \(y \in V\),$ \mathrm{Re} \,\,y^*x$ 都是 \(x\) 的连续函数,且集合 \(\{x:f(x)=1\}\) 是紧的. Weierstrass 定理确保 $ \mathrm{Re} \,\,y^*x$ 的最大值能在这个集合中的某个点取到. 对偶范数的一种等价的、有时用起来方便的另一种表达方式是
    \begin{align}
    f^D(y) = \max\limits_{f(x)=1} \lvert y^*x \rvert = \max\limits_{x \neq 0} \frac{\lvert y^*x \rvert}{f(x)}
    \end{align}
    函数 \(f^D(\cdot)\) 显然是齐次的. 值得注意的是,即使 \(f(\cdot)\) 不服从三角不等式,\(f^D(\cdot)\) 也总是服从的. 准范数的对偶范数是正的、齐次的,且满足三角不等式,所以它是一个范数. 特别地,范数的对偶范数恒为一个范数. 下面的引理中给出对偶范数的一个简单的不等式,它是 Cauchy-Schwarz 不等式的一个自然的推广.
     
      引理 13:\(f(\cdot)\)\(V=\mathbf{F}^n\)\(\mathbf{F}=\mathbb{R}\) 或者 \(\mathbb{C}\))上的一个准范数. 那么对所有 \(x,y \in V\) 我们有
    \begin{align}
    \lvert y^*x \rvert \leqslant f(x)f^D(y)
    \end{align}
    以及
    \begin{align}
    \lvert y^*x \rvert \leqslant f^D(x)f(y)
    \end{align}
     
      证明:如果 \(x\neq 0\),那么
    \begin{align}
    \lvert y^* \frac{x}{f(x)} \rvert \leqslant \max\limits_{f(x)=1} \lvert y^*x \rvert = f^D(y)
    \end{align}
    从而 \(\lvert y^*x \rvert \leqslant f(x)f^D(y)\). 当然,这个不等式对 \(x=0\) 也成立. 第二个不等式由第一个推出,这是因为 \(\lvert y^*x \rvert = \lvert x^*y\rvert\).
     
    辨认出与某些熟悉的范数对偶的范数是有益的. 例如
    \begin{align}
    \lVert \cdot \rVert _1^D = \lVert \cdot \rVert_{\infty}, \quad \lVert \cdot \rVert_{\infty}^D=\lVert \cdot \rVert_1,\quad \lVert \cdot \rVert_2^D = \lVert \cdot \rVert_2
    \end{align}

    \begin{align}
    \lVert \cdot \rVert_p^D = \lVert \cdot \rVert_q, \quad \text{其中}\,\, \frac{1}{p} + \frac{1}{q}=1, \quad p \geqslant 1
    \end{align}
      引理 14:\(f(\cdot)\)\(g(\cdot)\)\(V=\mathbf{F}^n\)\(\mathbf{F}=\mathbb{R}\) 或者 \(\mathbb{C}\))上的准范数,又设给定 \(c >0\). 那么
      (a) \(cf(\cdot)\)\(V\) 上的准范数,且它的对偶范数是 \(c^{-1}f^D(\cdot)\)
      (b) 如果对所有 \(x\in V\) 都有 \(f(x) \leqslant g(x)\),那么对所有 \(y \in V\) 都有 \(f^D(y) \geqslant g^D(y)\).
     
      定理 15:\(f(\cdot)\)\(g(\cdot)\)\(V=\mathbf{F}^n\)\(\mathbf{F}=\mathbb{R}\) 或者 \(\mathbb{C}\))上的范数,又设给定 \(c>0\). 那么对所有 \(x\in V\) 都有 \(\lVert x \rVert = c\lVert x \rVert ^D\) 成立的充分必要条件是 \(\lVert \cdot \rVert = \sqrt{c}\lVert x \rVert _2\). 特别地,\(\lVert \cdot \rVert = \lVert x \rVert ^D\) 成立的充分必要条件是 \(\lVert x \rVert = \lVert x \rVert _2\).
     
    \(\mathbb{R}^n\) 或者 \(\mathbb{C}^n\) 上的每一个 \(k\) 范数以及每一个 \(l_p\) 范数都具有如下的性质:向量的范数仅与其元素的绝对值有关且还是 \(x\) 的元素的绝对值的非减函数. 这两个性质并非是不相干的.
     
      定义 16: 如果 \(x=[x_i] \in V=\mathbf{F}^n\)\(\mathbf{F}=\mathbb{R}\) 或者 \(\mathbb{C}\)),设 \(\lvert x \rvert = [\lvert x_i \rvert]\) 表示 \(x\) 逐个元素的绝对值. 我们说 \(\lvert x \rvert \leqslant \lvert y \rvert\),如果对所有 \(i=1,\cdots,n\) 都有 \(\lvert x_i \rvert \leqslant \lvert y_i \rvert\). \(V\) 上的范数称为是
      (a)单调的,如果 \(\lvert x \rvert \leqslant \lvert y \rvert\) 蕴含对所有 \(x,y \in V\) 都有 \(\lVert x \rVert \leqslant \lVert y \rVert\)
      (b)绝对的,如果对所有 \(x \in V\) 都有 \(\lVert x \rVert = \lVert \lvert x \rvert \rVert\).
     
      定理 17:\(\lVert \cdot \rVert\)\(V=\mathbf{F}^n\)\(\mathbf{F}=\mathbb{R}\) 或者 \(\mathbb{C}\))上一个范数.
      (a) 如果 \(\lVert \cdot \rVert\) 是绝对的,那么对所有 \(y \in V\) 都有
    \begin{align}
    \lVert y \rVert ^D = \max\limits_{x \neq 0} \frac{\lvert y \rvert ^T \lvert x \rvert}{\lVert x \rVert}
    \end{align}
      (b) 如果 \(\lVert \cdot \rVert\) 是绝对的,那么 \(\lVert \cdot \rVert^D\) 是绝对的且是单调的.
      (c) 范数 \(\lVert \cdot \rVert\) 是绝对的,当且仅当它是单调的.
     
      证明:(a)假设 \(\lVert \cdot \rVert\) 是绝对的. 对一个给定的 \(y=[y_k] \in \mathbb{C}^n\),任意的 \(x=[x_k] \in \mathbb{C}^n\) 以及任意的 \(z=[z_k] \in \mathbb{C}^n\),其中 \(\lvert z \rvert = \lvert x \rvert\),我们有 \(\lvert y^*z \rvert = \lvert \sum\limits_{k=1}^n \bar{y}_kz_k \rvert \leqslant \sum\limits_{k=1}^n \lvert y_k \rvert \lvert z_k \rvert = \lvert y \rvert^T\lvert z \rvert = \lvert y \rvert^T \lvert x \rvert\),其中等式对 \(z_k = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_k} x_k\) 成立,如果我们选取实参数 \(\theta_1,\cdots, \theta_n\) 使得 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta_k} \bar{y}_kz_k\) 是非负实数. 从而有
    \begin{align} \label{e20}
    \lVert y \rVert ^D =\max\limits_{x \neq 0} \frac{\lvert y^*x \rvert}{\lVert x \rVert} =\max\limits_{x \neq 0}\max\limits_{\lvert z \rvert = \lvert x \rvert} \frac{\lvert y^*z \rvert}{\lVert z \rVert} =\max\limits_{x \neq 0} \frac{\lvert y \rvert ^T \lvert x \rvert}{\lVert x \rVert}
    \end{align}
      (b) 如果 \(\lVert \cdot \rVert\) 是绝对的,表达式 \ref{e20} 表明:对所有 \(y \in \mathbb{C}^n\) 都有 \(\lVert y \rVert ^D=\lVert \lvert y \rvert \rVert ^D\). 此外,如果 $ \lvert z \rvert \leqslant \lvert y \rvert$,那么
    \begin{align}
    \lVert z \rVert ^D = \max\limits_{x \neq 0} \frac{\lvert z \rvert ^T \lvert x \rvert}{\lVert x \rVert} \leqslant \max\limits_{x \neq 0} \frac{\lvert y \rvert ^T \lvert x \rvert}{\lVert x \rVert} = \lVert y \rVert ^D
    \end{align}
    所以 \(\lVert \cdot \rVert ^D\) 是单调的.
      (c) 如果 \(\lVert \cdot \rVert\) 是单调的,且 \(\lvert y \rvert = \lvert x \rvert\),那么有 \(\lvert y \rvert \leqslant \lvert x \rvert\) 以及 \(\lvert y \rvert \geqslant \lvert x \rvert\),所以 \(\lVert y \rVert \leqslant \lVert x \rVert\)\(\lVert y \rVert \geqslant \lVert x \rVert\),故而 \(\lVert y \rVert = \lVert x \rVert\). 反之,假设 \(\lVert \cdot \rVert\) 是绝对的. 设 \(k \in \{1,\cdots, n \}\) 以及 \(\alpha \in [0,1]\). 那么
    \begin{align}
    &\quad \lVert [x_1 \quad \cdots \quad x_{k-1} \quad \alpha x_k \quad x_{k+1} \quad \cdots \quad x_n]^T \rVert \notag \\
    &= \lVert \frac{1}{2}(1-\alpha) [x_1 \quad \cdots \quad x_{k-1} \quad -x_k \quad x_{k+1} \quad \cdots \quad x_n]^T + \frac{1}{2}(1-\alpha)x + \alpha x \rVert \notag \\
    &\leqslant \frac{1}{2}(1-\alpha) \lVert [x_1 \quad \cdots \quad x_{k-1} \quad -x_k \quad x_{k+1} \quad \cdots \quad x_n]^T \rVert + \frac{1}{2}(1-\alpha)\lVert x \rVert + \alpha \lVert x \rVert \notag \\
    & = \frac{1}{2}(1-\alpha)\lVert x \rVert + \frac{1}{2}(1-\alpha)\lVert x \rVert + \alpha \lVert x \rVert = \lVert x \rVert \notag
    \end{align}
    由此推出,对每一个 \(x \in \mathbb{C}^n\) 以及对 \(\alpha_k \in [0,1]\)\(k=1,\cdots, n\))的所有选取都有 \(\lVert [\alpha_1 x_1 \quad \cdots \quad \alpha_n x_n]^T \rVert \leqslant \lVert x \rVert\). 如果 \(\lvert y \rvert \leqslant \lvert x \rvert\),那么存在 \(\alpha_k \in [0,1]\) 使得 \(\lvert y_k \rvert = \alpha_k \lvert x_k \rvert\)\(k=1,\cdots, n\),故而 \(\lVert y \rVert \leqslant \lVert x \rVert\).

     


    应该知道什么

    • 从给定的范数出发,可以用若干种方法构造出新的范数
    • 在有限维的情形下,所有范数在某种加强的意义下都是等价
    • 准范数的对偶范数是范数

    转载于:https://www.cnblogs.com/zhoukui/p/8092621.html

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  • 0. 引文最近学习了一些基础的矩阵理论知识,趁着刚刚考试结束知识还记得,将课本上没有要求证明的诱导范数的证明过程记录下来,以免日后遗忘,同时也借此练习基本的 LaTex 公式输入。1. 向量范数和矩阵范数向量范数...

    0. 引文

    最近学习了一些基础的矩阵理论知识,趁着刚刚考试结束知识还记得,将课本上没有要求证明的诱导范数的证明过程记录下来,以免日后遗忘,同时也借此练习基本的 LaTex 公式输入。

    1. 向量范数和矩阵范数

    向量范数可以粗略当作一个

    到非负实数的映射,需要满足:

    (1)正定性:

    ,当且仅当

    (2)线性:

    (3)三角不等式:

    矩阵范数将上述三个表达式中的向量

    换成矩阵
    ,除此之外还需要满足:

    (4)相容性:

    2.诱导范数

    若将上述(4)性质中的矩阵

    改为向量
    仍然成立,则称这个矩阵范数和向量范数是相容的。

    而诱导范数的定义是

    ,其中向量范数均为经典的p-范数。

    定义如下:

    设矩阵

    ,则三种基本诱导范数分别是:

    (1)1-范数:

    ,也就是列和范数

    (2)2-范数:

    ,其中
    为最大的奇异值(singular value)

    (3)∞-范数:

    ,也就是行和范数。

    3.三个结论的证明

    由于1-范数和∞-范数的结果形式上都比较初等,因此最容易最直观的方法就是使用初等的代数方法来得到。分别证明如下。

    (1)1-范数的证明

    首先复习定义:

    我们注意到:

    (三角不等式)

    (合并同类项)

    因而:

    另外,取

    ,其中
    对应的是上一个表达式中最大的
    位置,则验算可知等号成立,因此这就证明了1-范数的表达式。

    (2)∞-范数的证明

    首先复习定义:

    运用磨光变换,逐次逼近的方法,首先固定

    我们注意到:

    (三角不等式)

    (把
    当成合并同类项的系数,凑范数定义)

    因而

    变动

    即可得到(注意这里分母上的
    是不变的)

    另外,取

    ,使得每个分量
    满足
    ,则等号成立。

    这个取等号条件的观察相对较难。注意到:

    的取等号条件是所有的

    线性相关且方向相同。又注意到:

    对于变动的

    的一个取等号充分条件是
    为常数。

    事实上,注意到这个恒等式:

    和:

    时,为了让方向相同,取这个
    分量为1,这就得到了取等号的一个充分条件。事实上,从这里的推导可以看出,这时候的
    可以是任何一个模不超过
    的复数。

    (3)2-范数的证明

    这个结果的形式运用到特征值和奇异值的概念,这启发我们进行 Schur 分解来证明,证明如下。

    容易注意到

    是正规矩阵(因为
    是 Hermite 矩阵),于是 Schur 分解如下:

    其中

    是酉矩阵。

    按照列分块可得:

    于是就可以得到:

    这个的 latex 较为复杂,标注如下:

    U_i^{H}bold{A}^{H}bold{A}U_j=
    left{
    begin{aligned}
    &lambda_i=lambda_iU_i^{H}U_ispace left({rm ifspace i=j}right)newline
    &0({rm else})
    end{aligned}
    right.

    注意到

    是复空间
    的一组基,于是任意一个向量都可以用这组基进行线性表示:

    我们接下来证明:

    将上面的正交性质代入,可知这个表达式等价于:

    而这个不等式的部分不等式为:

    这是显然的。

    这就证明了

    ,取
    ,容易验证等号是成立的,这就证明了2-范数的确是这个结果。

    4. 一些关于诱导范数的补充性质和证明

    (1)对任意诱导范数都有:

    。证明如下:

    根据诱导范数的相容性可以知道,对任意一个特征值对应的特征向量有:

    因此:

    (因为特征向量是非零向量)

    (2)如果矩阵

    对于某种诱导范数满足:
    ,那么必然有:
    可逆,且
    。证明如下:

    若不然,则

    有非零解,设为

    这就得出了矛盾。另一方面:

    注意单位矩阵的诱导范数一定是 1,这就证明完了。

    (3)Hermite 矩阵

    一定满足:
    ,证明如下:

    由于 ​

    是 Hermite 矩阵,因此
    就是
    ,那么矩阵 ​
    的特征值就是矩阵 ​
    对应的平方。两边同时取模的最大值开平方就证明完了。

    EOF。

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  • 在计算中经常出现矩阵和向量的乘积,因此希望矩阵范数和向量范数间有某种协调性,因此提出了矩阵范数和向量范数的相容性: 注意写法:matrix:M,矩阵;vector:V,向量 上一次提到相容性,是在矩阵范数内部的...

    一、矩阵算子范数

    1.提出

    在计算中经常出现矩阵和向量的乘积,因此希望矩阵范数和向量范数间有某种协调性,因此提出了矩阵范数和向量范数相容性
    在这里插入图片描述

    • 注意写法:matrix:M,矩阵;vector:V,向量

    上一次提到相容性,是在矩阵范数内部的相容性,是由于矩阵相乘所提出的
    在这里插入图片描述

    2.算子范数

    由关系式:

    定义的矩阵范数 为从属向量范数 的矩阵范数,简称 从属范数/算子范数
    在这里插入图片描述

    • 算子范数为矩阵范数
    • 与向量范数是从属关系

    通过证明,可知算子范数满足:
    1.存在性
    2.是矩阵范数(符合非负性、齐次性、三角不等式)
    3.满足矩阵范数的相容性

    3.具体算子范数

    写法 名称 解释
    1 在这里插入图片描述 列和范数 元素的模每列相加 → 选最大值
    在这里插入图片描述 行和范数 元素的模每行相加 →选最大值
    2 在这里插入图片描述 谱范数 λmax为最大特征值

    范数写法区分

    目前已经提到了4种范数,分别为:

    名称 写法 注意事项
    向量范数 //x// 在写到p-范数时,给范数加下标p
    向量加权范数 在这里插入图片描述 //x//的下标为矩阵W
    矩阵范数 //A// 写到具体的矩阵范数时,下标为 m1,m∞,F
    算子范数 在这里插入图片描述 算子范数的下标直接为 1,2,∞(区别于矩阵范数,下标没有m)
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