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  • 一类二阶差分方程边值问题多个解的存在性,张国栋,孙红蕊,本文运用Brezis和Rabinowitz建立的两个临界点定理研究了一类二阶差分方程在Dirichlet边值条件下多个解的存在性,并通过例子说明的定理结论�
  • 利用变分方法与临界点理论,研究了一类非线性二阶差分方程两点边值问题解的存在性,得到了若干关于该问题解的存在性的新的充分性条件。该讨论丰富了此类研究的结果。
  • 此代码是用4阶龙克库塔方法求解二阶差分方程的钟摆问题,仿真了阻尼,非阻尼,有外部驱动,无外部驱动,相空间轨迹等内容。
  • 离散时间系统的时域分析--一阶和二阶差分方程求解 成 绩 评 定 表 学生姓名 请叫我雷锋 班级学号 专 业 通信工程 课程设计题目 离散时间系统的时域分析--一阶和二阶差分方程求解 评语 组长签字: 成绩 日期 2014 年 ...

    41528d3028836879cd698677c3999917.gif离散时间系统的时域分析--一阶和二阶差分方程求解

    成 绩 评 定 表 学生姓名 请叫我雷锋 班级学号 专 业 通信工程 课程设计题目 离散时间系统的时域分析--一阶和二阶差分方程求解 评语 组长签字: 成绩 日期 2014 年 6月 日 课程设计任务书 学 院 信息科学与工程 专 业 通信工程 学生姓名 请叫我雷锋 班级学号 课程设计题目 离散时间系统的时域分析--一阶和二阶差分方程求解 内容及要求: 1、学习Matlab软件知识及应用 2、学习并研究离散时间系统的时域分析--一阶和二阶差分方程求解 3、利用Matlab编程,完成离散时间系统的时域分析--一阶和二阶差分方程求解 4、写出课程设计报告,打印程序,给出运行结果 进度安排: 第1-2天: 1、学习使用Matlab软件、上机练习 2、明确课题内容,初步编程 第3-5天: 1、上机编程、调试 2、撰写课程设计报告书 3、检查编程、运行结果、答辩 4、上交课程设计报告 指导教师: 2014 年 6月 日 专业负责人: 2014 年 6月 日 学院教学副院长: 2014 年 6 月 日 目 录 1引言1 2Matlab7.0入门1 3 利用Matlab 7.0实现一阶和二阶差分方程求解的设计2 3.1 设计原理分析2 3.1.1 差分方程定义2 3.1.2 差分方程的意义与应用2 3.1.3 用MATLAB仿真时用的相关函数说明3 3.2 一阶和二阶差分方程求解的编程设计及实现4 3.2.1 设计函数思路4 3.2.2 理论计算4 3.2.3 设计过程记录及运行结果4 4 结论5 5 参考文献6 1 引言 人们之间的交流是通过消息的传播来实现的,信号则是消息的表现形式,消息是信号的具体内容。 《信号与系统》课程是一门实用性较强、涉及面较广的专业基础课,该课程是将学生从电路分析的知识领域引入信号处理与传输领域的关键性课程,对后续专业课起着承上启下的作用. 该课的基本方法和理论大量应用于计算机信息处理的各个领域,特别是通信、数字语音处理、数字图像处理、数字信号分析等领域,应用更为广泛。 近年来,计算机多媒体教序手段的运用逐步普及,大量优秀的科学计算和系统仿真软件不断涌现,为我们实现计算机辅助教学和学生上机实验提供了很好的平台。通过对这些软件的分析和对比,我们选择MATLAB语言作为辅助教学工具,借助MATLAB强大的计算能力和图形表现能力,将《信号与系统》中的概念、方法和相应的结果,以图形的形式直观地展现给我们,大大的方便我们迅速掌握和理解老师上课教的有关信号与系统的知识。 2 Matlab7.0入门 MATLAB的名称源自Matrix Laboratory,它是一种科学计算软件,专门以矩阵的形式处理数据。MATLAB将高性能的数值计算和可视化集成在一起,并提供了大量的内置函数,从而被广泛地应用于科学计算、控制系统、信息处理等领域的分析、仿真和设计工作,而且利用MATLAB产品的开放式结构,可以非常容易地对MATLAB的功能进行扩充,从而在不断深化对问题认识的同时,不断完善MATLAB产品以提高产品自身的竞争能力。 Matlab7.0比Matlab的老版本提供了更多更强的新功能和更全面、更方便的联机帮助信息。当然也比以前的版本对于软件、硬件提出了更高的要求。 在国内外Matlab已经经受了多年的考验。Matlab7.0功能强大,适用范围很广。其可以用来线性代数里的向量、数组、矩阵运算,复数运算,高次方程求根,插值与数值微商运算,数值积分运算,常微分方程的数值积分运算、数值逼近、最优化方法等,即差不多所有科学研究与工程技术应用需要的各方面的计算,均可用Matlab来解决。 MATLAB是MATLAB产品家族的基础,它提供了基本的数学算法,例如矩阵运算、数值分析算法,MATLAB集成了2D和3D图形功能,以完成相应数值可视化的工作,并且提供了一种交互式的高级编程语言——M语言,利用M语言可以通过编写脚本或者函数文件实现用户自己的算法。 利用M语言还开发了相应的MATLAB专业工具箱函数供用户直接使用。这些工具箱应用的算法是开放的可扩展的,用户不仅可以查看其中的算法,还可以针对一些算法进行修改,甚至允许开发自己的算法扩充工具箱的功能。目前MATLAB产品的工具箱有四十多个,分别涵盖了数据采集、科学计算、控制系统设计与分析、数字信号处理、数字图像处理、金融财务分析以及生物遗传工程等专业领域。 综上,在进行信号的分析与仿真时,MATLAB7.0无疑是一个强大而实用的工具。尤其对于信号的分析起到了直观而形象的作用,非常适合与相关课题的研究与分析。 ·3 利用Matlab 7.0实现一阶和二阶差分方程求解的设计 3.1 设计原理分析 3.1.1 差分方程定义 含有未知函数y(t)=f(t)以及yt的差分Dy(t), D2y(t),…的函数方程,称为常差分方程(简称差分方程);出现在差分方程中的差分的最高阶数,称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为F(t,y(t),D y(t),…, Dn y(t))=0,其中F是t,y(t), D y(t),…, Dn y(t)的已知函数,且Dnyt一定要在方程中出现。 含有两个或两个以上函数值y(t),y(t+1),…的函数方程,称为(常)差分方程,出现在差分方程中未知函数下标的最大差,称为差分方程的阶。n阶差分方程的一般形式为F(t,y(t),y(t+1),…,y(t+n))=0,其中F为t,y(t),y(t+1),…,y(t+n)的已知函数,且y(t)和y(t+n)一定要在差分方程中出现。 3.1.2 差分方程的意义与应用 差分方程模型有着广泛的应用。实际上,连续变量可以用离散变量来近似逼近1,从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群数量结构规律分析、疫病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的的作用。可以这样讲,只要牵涉到关于变量的规律,性质,就可以适当的用差分方程模型来表现体与分析求解。 3.1.3 用MATLAB仿真时用的相关函数说明 在用MATLAB仿真离散系统的差分方程时可以用函数y=filter(p,d,x)实现差分方程的仿真,用y=impz(p,d,N)求系统的冲激响应。 (1)利用filter函数实现差分方程说明: filter([1,2],1,[1,2,3,4,5])实现 y[k]=x[k]+2*x[k-1] y[1]=x[1]+2*0=1%(x[1]之前状态都用0) y[2]=x[2]+2*x[1]=2+2*1=4 (2)用filter函数求该差分方程y[n]+0.75

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  • 差分方程预测模型差分方程人口预测模型一、名词和符号说明名词解释:(1)拟合: 对于某个变化过程中的多个相互依赖的变量,可建立适当的数学模型,用于分析预报决策或控制该过程.对于两个变量可通过用一个一元函数去...

    差分方程预测模型

    差分方程人口预测模型

    一、名词和符号说明

    名词解释:

    (1)拟合: 对于某个变化过程中的多个相互依赖的变量,可建立适当的数学模型,用于分析预报决策或控制该过程.对于两个变量可通过用一个一元函数去模拟这两个变量的取值.用不同的方法可得到不同的模拟函数.下面使用图表介用Mathematica做曲线拟合。

    (2)差分方程:含有自变量,未知函数以及未知函数差分的函数方程,称为差分方程。

    (3)迭代法:是牛顿在17世纪提出的一种求解方程f(x)=0.多数方程不存在求根公式,从而求精确根非常困难,甚至不可能,从而寻找方程的近似根就显得特别重要。 设r是f(x)=0的根,选取x0作为r初始近似值,过点(,f())做曲线y=f(x)的切线L,L的方程为,求出L与x轴交点的横坐标 ,称为r的一次近似值,过点(,f())做曲线y=f(x)的切线,并求该切线与x轴的横坐标称为r的二次近似值,重复以上过程,得r的近似值序列{Xn},其中,称为r的n+1次近似值。上式称为牛顿迭代公式。 第 k年i岁的女性总人数

    女性人口的(按年龄)分布向量

    第k年i岁的女性生育率

    第k年i岁的女性死亡率

    第 k年i岁的女性存活率

    i岁女性的生育模式 k年总和生育率(控制人口数量的主要参数)

    A 存活率矩阵

    B 生育模式矩阵

    二、模型假设

    针对本题中出现的数据的代表意义和建立模型时能够使问题理想化、简单化,我们应用已知数据,将时间离散化, ,因此本模型考虑女性人口的发展变化假设女性最大年龄为岁,,1年为1个时段,不考虑同一时间间隔内人口数量的变化不考虑生存空间等自然资源的制约,不考虑意外灾难等因素对人口变化的影响生育率仅与年龄有关,存活率也仅与年龄有关我们来建立一个离散的人口增长模型, 女性人口的发展变化Leslie人口模型,用差分方程:第k年i岁的女性生育率; : k年总和生育率,或生育胎次;

    :第k年i岁的女性死亡率; :第 k年i岁的女性存活率

    : i岁女性的生育模式

    用表示女性人口的(按年龄)分布向量,记A=

    B=则模型应表示为:

    =A+B

    利用matlab软件编程求解,程序如下:

    c=zeros(91);

    d1=[ … … ];

    for i=1:91

    for j=1:91

    if i==j

    c(i+1,j)=d1(i)

    end

    end

    end

    A=c1

    a1=[ … … ];

    b=zeros(91);

    for i=1:35

    b(1,i+15)=a1(i)

    end

    B=b1;

    =[ … …] %2001对应初始值

    y=zeros(91,n)%n表示要预测年数

    y(:,1)= ;

    for k=1:19

    y(:,k+1)=A*y(:,k)+(k)*B*y(:,k)

    end

    (一)用此模型预测中短期女性人口变化趋势

    考虑到男女性别比例波动不大,所以女性人口数量的发展趋势可以预测全国总人口的发展趋势。

    对所给数据进行处理,发现近期(k)变化很小,这里我们取=/5即:市:=1;镇:=1.254;乡:=1.649,代入模型方程,得:

    x(k)=……………………………………………………………(3.3-1)

    x(k)=………………………………………………………(3.3-2)

    x(k)=………………………………………………………(3.3-3)

    分别代入k=20,即可算出市、乡、镇从2001年到未来20年的预测数值。

    分别取2002、2004年的数据拟合,情况如下:

    图3-1 2002、2004拟合趋势图

    由上图可看出,拟合情况较好,此模型可用于短期预测,预测趋势图如下:

    图3-2

    预测数据表为:

    表3-1

    年份20012005201020152020女性人口数5.97E+086.37E+086.83E+087.34E+087.74E+08通过上面的预测数据和图像,可看出2020年之前女性人口呈增长趋势,全国人口总数也呈增长趋势。

    (二)长期预测

    进行长期预测时,考虑到国家计划生育一对夫妇只生一个孩子的政策,取=1,则模型可化简为 = 其中为2001年女性人口分布向量。

    图3-3模型检验拟合图

    利用数据来检验我们建立的差分方程模型,发现数据基本吻合,说明模型是很准确的,可以用此模型进行长期预测。

    利用方程预测的女性总人口数据如下:

    表3-2

    年份20012005201020152020202520302035204020452050女性总人口

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  • 二阶线性差分方程的齐次解/通解 以下面的二阶线性差分方程为例 $ay_{t+2}+by_{t+1}+cy_t = d$ 我们在求该差分方程的齐次解(通解)时,会令等式右边等于0,得到二阶齐次线性差分方程: $ay_{t+2}+by_{t+1}+cy_t ...

    二阶线性差分方程的齐次解/通解

    以下面的二阶线性差分方程为例

    $ay_{t+2}+by_{t+1}+cy_t = d$

    我们在求该差分方程的齐次解(通解)时,会令等式右边等于0,得到二阶齐次线性差分方程:

    $ay_{t+2}+by_{t+1}+cy_t = 0$

    并假设

    $y_t = A\omega^t$

    把该假设代入上面齐次方程,整理后得到:

    $a\omega^2+b\omega+c = 0$

    这个一元二次方程的根为

    $\omega = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

     

     

    二阶线性差分方程中的根

    $\omega$是该方程的根(characteristic root),又称为该方程的特征值(eigen value)。此时$\omega$可以分成三种情况讨论。

     

    $b^2-4ac >0 $

    此时$\omega$分别为两个不相同的实数

    差分方程的齐次解为:

    $y_h(t) = A_1\omega_1^t+A_2\omega_2^t$

     

    $b^2-4ac = 0$

    此时$\omega$为重根

    差分方程的齐次解为:

    $y_h(t) = (A_1n+A_2)\omega^t$

     

    $b^2-4ac <0$

    此时$\omega$分别为两个共轭复数

    $\omega = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = h\pm iv$

    即有:

    $\left\{\begin{matrix}
    h &= &-\frac{b}{2a} \\
    v &= &\frac{\sqrt{4ac-b^2}}{2a}
    \end{matrix}\right.$

    差分方程的齐次解为:

    $y_h(t) = A_1(h+iv)^t + A_2(h-iv)^t$

     

    该共轭的根还可以从极坐标方面进行讨论

    $h\pm iv = R(cos \theta \pm isin\theta)$

    其中

    $R = \sqrt{h^2+v^2} = \sqrt{\left| \frac{c}{a} \right|}$

    即R是一个固定的实数。

    image

     

    差分方程的齐次解为

    $\begin{align*}
    y_h(t)
    &= A_1R^t(cos\theta + isin\theta)^t + A_2R^t(cos\theta-isin\theta)^t \\
    &= A_1R^t(cos\theta t+isin\theta t)+A_2R^t(cos\theta t-isin\theta t)  \qquad de\ Moivre's\ theorem\\
    &=\left|\frac{c}{a}\right|^{\frac{t}{2}}(A_1(cos\theta t+isin\theta t)+A_2(cos\theta t-isin\theta t)) \\
    &=\left|\frac{c}{a}\right|^{\frac{t}{2}}(B_1cos\theta t+B_2sin\theta t) \qquad \left\{\begin{matrix}
    B_1 &= A_1+A_2\\
    B_2 &= (A_1-A_2)i
    \end{matrix}\right.
    \end{align*}$

    转载于:https://www.cnblogs.com/TaigaCon/p/6879479.html

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    #include <cstdio>
    #include <algorithm>
    using namespace std;
    const int c=100000;
    int  s[c],alpha[c],beta[c];  //s表示数值,alpha表示一阶差分,beta表示二阶差分
    int main()
    {
        int k,n;
        s[0]=0;
        s[1]=1;
        s[2]=4;
        alpha[1]=1;
        alpha[2]=3;
        beta[2]=2;
        for(int i=3;i<=c;i++)
        {
            s[i]=s[i-1]+alpha[i-1]+beta[i-1];
            alpha[i]=s[i]-s[i-1];
            beta[i]=alpha[i]-alpha[i-1];
        }
        while(~scanf("%d",&n))
            printf("%d\n",s[n]);
        return 0;
    }

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/WDKER/p/5487200.html

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二阶差分方程