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  • 逻辑函数的表示方法
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    2021-03-20 17:36:17

    一、公式法化简:是利用逻辑代数的基本公式,对函数进行消项、消因子。常用方法有:
    ①并项法 利用公式AB+AB’=A 将两个与项合并为一个,消去其中的一个变量。
    ②吸收法 利用公式A+AB=A 吸收多余的与项。
    ③消因子法 利用公式A+A’B=A+B 消去与项多余的因子
    ④消项法 利用公式AB+A’C=AB+A’C+BC 进行配项,以消去更多的与项。
    ⑤配项法 利用公式A+A=A,A+A’=1配项,简化表达式。
    二、卡诺图化简法
    逻辑函数的卡诺图表示法
    将n变量的全部最小项各用一个小方块表示,并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上相邻排列,得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。
    逻辑相邻项:仅有一个变量不同其余变量均相同的两个最小项,称为逻辑相邻项。
    1.表示最小项的卡诺图
    将逻辑变量分成两组,分别在两个方向用循环码形式排列出各组变量的所有取值组合,构成一个有2n个方格的图形,每一个方格对应变量的一个取值组合。具有逻辑相邻性的最小项在位置上也相邻地排列。
    用卡诺图表示逻辑函数:
    方法一:1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。
    2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应 的方格中填 1,其余方格中填 0。
    方法二:根据函数式直接填卡诺图。
    用卡诺图化简逻辑函数:
    化简依据:逻辑相邻性的最小项可以合并,并消去因子。
    化简规则:能够合并在一起的最小项是2n个。
    如何最简: 圈数越少越简;圈内的最小项越多越简。
    注意:卡诺图中所有的 1 都必须圈到, 不能合并的 1 单独画圈。
    说明,一逻辑函数的化简结果可能不唯一。
    合并最小项的原则:
    1)任何两个相邻最小项,可以合并为一项,并消去一个变量。
    2)任何4个相邻的最小项,可以合并为一项,并消去2个变量。
    3)任何8个相邻最小项,可以合并为一项,并消去3个变量。
    卡诺图化简法的步骤:
    画出函数的卡诺图;
    画圈(先圈孤立1格;再圈只有一个方向的最小项(1格)组合);
    画圈的原则:合并个数为2n;圈尽可能大(乘积项中含因子数最少);圈尽可能少(乘积项个数最少);每个圈中至少有一个最小项仅被圈过一次,以免出现多余项。

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    第二周、逻辑函数的表示方法及其相互转换

    一个逻辑函数可以用真值表、表达式、逻辑图、波形图
    等方法来表示。既然它们都是表示同一种逻辑关系,显然可以
    互相转换 。

    1. 由真值表写逻辑式
    2. 由表达式画逻辑图
    3. 由函数表达式求真值表
    4. 已知逻辑图写逻辑表达式
    5. 由真值表画波形图
    6. 由波形图求逻辑真值表

    逻辑代数的公式和运算规则

    1、基本公式

    范围说明名称逻辑与(非)逻辑或
    常量与变量的关系0-1律A · 0 = 0A +0 = A
    A · 1= AA +1 =1
    和普通代数相似规律交换律A· B = B · AA + B = B + A
    结合律A · (B ·C) = (A · B) ·CA + (B + C) = (A + B) + C
    分配律A·(B + C) = AB + ACA · B +C = (A + B)(A + C)
    逻辑代数的特殊规律互补律A · A’ = 0A + A’ =1
    重叠律A·A = AA + A = A
    反演律(摩根定律)(AB)’ = A’ + B’(A + B) ‘= A’ ·B’
    还原律(A’)’ = A

    2、常用公式

    1. A+AB=A
    2. AB`+AB=A
    3. A+A`B = A+B
    4. AB+A` C+BC = AB+A`C
    5. (AB`+A`B)`=AB+A` B`

    3、逻辑代数的基本运算规则

    1. 代入规则:将等式两边同时出现的某一变量都以一个相同的逻辑函数代入,则等式仍然成立,这一规则称为代入规则。
    2. 反演规则:对于任何一个逻辑式Y,如果将其中所有的“”变为“+”,“+”变为“”;“0”换成“1”,“1”换成“0”;原变量换成反变量,反变量换成原变量。就可得到函数Y的反函数。

    Y = ( A ‾ B + C ) C D ‾ Y ‾ = ( A ‾ + B ) ⋅ C ‾ + C ‾ + D ‾ ‾ = A ‾ ⋅ C ‾ + B ⋅ C ‾ + C ⋅ D Y = (\overline A B+C) \overline{CD} \\ \overline Y =(\overline A+B)\cdot \overline C+\overline{\overline C+\overline D}= \overline A\cdot \overline C+B\cdot \overline C+C\cdot D Y=(AB+C)CDY=(A+B)C+C+D=AC+BC+CD

    1. 对偶规则:对于任何一个逻辑式Y,如果将其中所有的“”变为“+”,“+”变为“”;“0”换成“1 ”,“1”换成“0”,并保持原来的运算顺序,则得到Y的对偶式 Y `。 Y`与 Y互为对偶函数式。

    ( A + A B ) = A A ( A + B ) = A (A+AB) = A\\ A(A+B) = A (A+AB)=AA(A+B)=A

    公式法化解

    常用的公式法化简

    方法名称所用公式说明
    并项法AB '+AB = A将两项合并为一项,并消去一 个因子。
    吸收法A + AB = A将多余的乘积项吸收掉
    消去法A + A’B = A + B(1)消去乘积项中多余的因子;
    AB + A’C + BC = AB + A’C(2)消去多余的项。
    配项法A + A’ =1(1)用该式乘某一项,可使其变 为两项,再与其它项合并化简;
    A ·A = 0 A + A = A(2)用该式在原式中配重复项或 互补项,再与其它项合并化简。

    逻辑函数的卡诺图化简

    1、逻辑函数的最小项表达式

    1.1、最小项

    1. 最小项的含义:对于一个n变量函数,如果其与或表达式的每一个乘积项都包含n个因子,而这n个因子分别以原变量或反变量的形式在乘积项中出现一次且仅出现一次,这样的乘积项称为函数的最小项。
    2. 最小项的编号:若ABC三变量,ABC`的编号则为M 110 .
    3. 逻辑相邻最小项:如果两个最小项只有一个变量取值不同,则称为逻辑相邻最小项 。

    1.2、最小项的性质

    1. 任何一组变量取值下,只有一个最小项的值为1,其余均为0 。
    2. 任何两个不同的最小项之积为0 。
    3. 全部最小项之和为1,即

    ∑ i = 0 2 n − 1 m i = 0 ( 其 中 n 为 变 量 数 ) \sum_{i=0}^{2^n-1}m_i=0 (其中n为变量数) i=02n1mi=0(n)

    1. 两相邻最小项之和可以合并为一项,且消去一个因子。如

    m 0 + m 4 = A ‾ B ‾ C ‾ + A B ‾ C ‾ = B ‾ C ‾ m_0+m_4 = \overline A\overline B\overline C + A\overline B\overline C =\overline B\overline C m0+m4=ABC+ABC=BC

    1.3、逻辑函数最小项表达式

    全部由最小项组成的与或式为最小项表达式。最小项表达式可以写成变量形式,如 :
    Y = A ‾ B C + A B ‾ C + A B C ‾ Y =\overline A B C + A\overline B C + A B\overline C Y=ABC+ABC+ABC
    也可用最小项编号表示。如 :
    Y ( A , B , C ) = m 3 + m 5 + m 6 Y (A, B,C) =m_3 + m_5 + m_6 Y(A,B,C)=m3+m5+m6

    Y ( A , B , C ) = ∑ m ( 3 , 5 , 6 ) = ∑ ( 3 , 5 , 6 ) Y (A, B,C) =\sum m(3,5,6) = \sum (3,5,6) Y(A,B,C)=m(3,5,6)=(3,5,6)

    2、逻辑函数的卡诺图表示

    2.1、卡诺图画法

    2.2、卡诺图的特点

    1. 上下边界、左右边界、以对称轴对称的位置、紧挨着的最小项均为逻辑相邻最小项 。如m0和m1、 m4、m2为逻辑相邻 ;
    2. 变量位置是以高位到低位排列,如A、B、 C、D ,按先行后列的顺序排列。排在不同位置的变量因其位权不同,其取值影响最小项编号的大小;
    3. 变量取值为1的区域为原变量区(标以原变量如A),取值为0的区域为反变量区(标以反变量如 A`或不标出);
    4. 所有几何位置相邻的最小项也逻辑相邻,如m0和m1、 m~4 ~ 。

    2.3、用卡诺图表示逻辑函数

    既然任何一个函数都能表示为若干最小项之和的形式,而最小项在卡诺图上又对应特定位置,自然就可以用卡诺图来表示逻辑函数了。那么如何填卡诺图呢?方法有两个:化成最小项法和观察法。

    1. 化成最小项法 :把逻辑式通过配项法写成最小项表达式,表达式中包含的最小项在卡诺图中对应的方格中填1,不包含的最小项在对应方格中填0(0也可以不填)。
    2. 观察法 :先将函数式转换成与或表达式,找出每一个乘积项使函数Y为1的条件,即乘积项中各变量的交集,并在相应位置填1。

    3、用卡诺图化简逻辑函数

    ​ 两个逻辑相邻的最小项之和可以合并为一项,且消去一个因子。所以在卡诺图中两个位置相邻方格的最小项之和亦可合并化简,得到简化的函数式 ,这种化简函数的方法称为卡诺图法。

    3.1、合并最小项的规则

    1. 两个函数值为1的相邻方格(最小项)可以合并成一项,并消去那个不同的一个因子,保留公因子;
    2. 四个函数值为1的相邻并排成矩形的方格(最小项)可以合并成一项,并消去两个因子 ;
    3. 八个函数值为1的相邻并排成矩形的方格(最小项)可以合并成一项,且消去三个因子;

    2n个函数值为1的相邻并排列成矩形的方格(最小项)可以合并成一项,并消去n个因子,合并结果是保留这些项的公因子。

    3.2、用卡诺图化简逻辑函数的步骤

    1. 首先将逻辑函数变换成与或表达式;
    2. 画出逻辑函数的卡诺图;
    3. 用圈将那些函数值为1的可以合并的最小项 (2n个)包围起来,并找出其公因子;
    4. 每个圈对应一个乘积项(即公因子),将所有乘积项相加就得到化简后的与或式。

    注意点:

    1. 圈要最大且必须是2的整数次幂;
    2. 圈的个数要最少;
    3. 1可以重复利用,但每个圈都要有其它圈没有包围过的最小项,以免出现多余项;
    4. 不能遗漏任何一个函数值为1的最小项。

    4、具有无关项的逻辑函数及其化简

    4.1、无关项的含义及其表示

    1. 完全描述的逻辑函数 : 对于自变量的所有取值组合,函数值是完全确实的,不是0就是1 ,可写成

    Y = ∑ m Y=\sum m Y=m

    1. 非完全描述的逻辑函数 :由于受实际条件的限制,输入变量的某些取值组合不会在电路中出现,或者某些取值组合所产生的输出不影响整个电路的工作情况 ,这样的逻辑函数为非完全描述的逻辑函数 ,可写成

    Y = ∑ m + ∑ d Y=\sum m+\sum d Y=m+d

    1. 约束项:由于逻辑变量之间具有一定的约束关系,使得有些变量的取值不可能出现,它所对应的最小项恒等于0。
    2. 任意项: 是在某些变量取值下,函数值为1或为0均可,并不影响电路的逻辑功能。

    4.2、无关项在卡诺图化简函数中的应用

    述的逻辑函数 ,可写成

    Y = ∑ m + ∑ d Y=\sum m+\sum d Y=m+d

    1. 约束项:由于逻辑变量之间具有一定的约束关系,使得有些变量的取值不可能出现,它所对应的最小项恒等于0。
    2. 任意项: 是在某些变量取值下,函数值为1或为0均可,并不影响电路的逻辑功能。

    4.2、无关项在卡诺图化简函数中的应用

    无关项在画圈时,既可以当作“1”画在包围圈内,也可以当作“0”不圈。目的是使画出的包围圈最大、个数最少。

    展开全文
  • 数字电子技术之逻辑函数的化简及表示

    千次阅读 多人点赞 2020-05-24 23:21:40
    逻辑功能中简单概括得出的逻辑函数,往往不是最简表达式,根据这样的非最简式来实现电路,系统会过于复杂,成本过高,同时,电路运行的安全性和可靠性也无法得到保障。 为了降低系统成本,提高工作可靠性,应在不...

    数字电路的作用是用来表达一个现实的逻辑命题,实现逻辑功能。但是,从
    逻辑功能中简单概括得出的逻辑函数,往往不是最简表达式,根据这样的非最简式来实现电路,系统会过于复杂,成本过高,同时,电路运行的安全性和可靠性也无法得到保障。

    为了降低系统成本,提高工作可靠性,应在不改变逻辑功能的基础上,化简
    逻辑表达式,降低其规模,并进行相应变形,用更合理的函数式表达逻辑命题,以期用最少、最合理的门电路器件实现逻辑功能。

    逻辑函数的化简原则:

    • 逻辑电路所用的门最少
    • 每个门的输入端要少
    • 逻辑电路所用的级数要少
    • 逻辑电路能可靠地工作

    逻辑函数的化简:

    1. 公式化简法
    1. 卡诺图化简法

    逻辑函数的表示工具:

    1. 真值表
    2. 逻辑表达式
    3. 卡诺图
    4. 逻辑电路图
    5. 波形图

    公式化简法

    与或逻辑函数的公式法化简

    在这里插入图片描述公式化化简思路:

    • 有直接利用化简公式的结构,就直接化简
    • 若没有,就改变表达式结构,创造环境去化简(拆项、提取公因子)

    特殊技巧:

    • 反用多余项定律
    • 加0因子

    另外,化简结果可能不唯一,但最后结果的长度都是一样的

    5类逻辑函数之间的转换

    在这里插入图片描述
    方法结构图如下所示:
    在这里插入图片描述

    卡诺图化简法

    卡诺图的由来和原理

    对于一个给定了变量数目的逻辑函数,所有变量都参加相“与”的与项称为最小项,下面的ABC、AB C ‾ \overline{\text{C}} C A ‾ \overline{\text{A}} ABC、 AB ‾ \overline{\text{AB}} ABC都是最小项:

    F = f(A,B,C) = AB + A ‾ \overline{\text{A}} AC = AB(C+ C ‾ \overline{\text{C}} C) + A ‾ \overline{\text{A}} AC(B+ B ‾ \overline{\text{B}} B)
    = ABC + AB C ‾ \overline{\text{C}} C + A ‾ \overline{\text{A}} ABC + AB ‾ \overline{\text{AB}} ABC

    最简与或表达式拆项后得到的表达式的每个与项中,三输入变量均以原变量或者反变量形式,出现且仅出现一次。所以说,这 4 个与项都是该逻辑函数的最小项。

    • 最小项的特点:
      每个与项均包含了该逻辑函数的所有变量,且每个变量只能
      以原变量或反变量形式出现且仅出现一次。

    由此可知:

    • 1 变量逻辑函数 有 2 个最小项:
      A、 A ‾ \overline{\text{A}} A
    • 2 变量逻辑函数 有 4 个最小项:
      AB、 A ‾ \overline{\text{A}} AB、A B ‾ \overline{\text{B}} B AB ‾ \overline{\text{AB}} AB
    • 3 变量逻辑函数 有 8 个最小项:
      ABC、 A ‾ \overline{\text{A}} ABC、A B ‾ \overline{\text{B}} BC、AB C ‾ \overline{\text{C}} C AB ‾ \overline{\text{AB}} ABC、A BC ‾ \overline{\text{BC}} BC A ‾ \overline{\text{A}} AB C ‾ \overline{\text{C}} C ABC ‾ \overline{\text{ABC}} ABC

    n变量逻辑函数共有2”个最小项

    所谓“标准与或式”,就是用最小项相加 , 得到的与或表达式,也称为最
    小项标准式、“最小项之和”形式

    一个具体逻辑函数的标准与或式中,到底存在哪个最小项,要看表达
    式的具体情况

    标准与或式和真值表的联系

    逻辑函数F = AB + A ‾ \overline{\text{A}} AC的真值表:
    在这里插入图片描述
    由真值表可知,该逻辑函数共有 4 种输入组合,能使输出成立:
    001、011、110、111

    该逻辑函数的最简与或式和标准与或式分别为:

    F = AB + A ‾ \overline{\text{A}} AC
    = ABC + AB C ‾ \overline{\text{C}} C + A ‾ \overline{\text{A}} ABC + AB ‾ \overline{\text{AB}} ABC

    F 的标准与或式由 4 个最小项组成,用 0 表示反变量,1 表示原变量,则能使输出成立的 4 种输入组合,恰好和 4 个最小项一一对应。也就是说, 一个最小项就 对应着真值表上的 一行, 对应着一组确定的输入条件组合。

    真值表上,有 4 种输入组合能使输出为 1,就将这 4 种输入组合所对应的 4
    个最小项相或,从而得到逻辑函数的标准与或式。由此可知, 逻辑函数的真值表和标准与或式是严格对应的,都准确地表达了一个逻辑命题的功能 , 这就是最小项、标准与或式的逻辑含义。

    综上所述:

    • 标准与或式具有唯一性,和该逻辑函数的真值表严格对应 ,代表了逻辑函数的功能 ;
    • 一般式则具有多样性,代表了实现逻辑函数 的电形式的多样性。

    最小项的基本性质

    在这里插入图片描述

    • 在输入的任一种取值下,有且仅有一个最小项的值为1
    • 一个逻辑函数的任意两个最小项之积必为0
    • 一个逻辑函数的全体最小项之和必为1

    最小项的编号

    在这里插入图片描述

    卡诺图的结构规则

    卡诺图上的一个方格就对应着逻辑函数的一个最小项
    在这里插入图片描述

    • 同一个逻辑函数,真值表的输出部分有几个1 ,卡诺图方格内就要填几个1 ,都表示了有几个输入组合能够使输出成立;
    • 逻辑函数的输入变量个数确定了真值表的结构、卡诺图的结构。

    卡诺图的化简原理

    拿四输入卡诺图举例:
    在这里插入图片描述

    注意列写顺序: 00,01,11,10

    A ‾ \overline{\text{A}} AB C ‾ \overline{\text{C}} CD = m5

    在一个最小项标准中,所有跟这一与项逻辑相邻的,只有四种可能:

    • ABC ‾ \overline{\text{ABC}} ABCD = m1
    • A ‾ \overline{\text{A}} AB CD ‾ \overline{\text{CD}} CD = m4
    • A ‾ \overline{\text{A}} ABCD = m7
    • AB C ‾ \overline{\text{C}} CD = m13

    逻辑相邻的意思,就意味着四输入变量中,两个与项相对应,只有一个变量,原变量、反变量不同,剩余三个变量是相同的

    如果将以上五项标在图上:
    在这里插入图片描述
    类似的:
    AB ‾ \overline{\text{AB}} ABC D ‾ \overline{\text{D}} D = m2

    跟这一与项逻辑相邻的:

    • ABCD ‾ \overline{\text{ABCD}} ABCD = m0
    • AB ‾ \overline{\text{AB}} ABCD = m3
    • A ‾ \overline{\text{A}} ABC D ‾ \overline{\text{D}} D = m6
    • A B ‾ \overline{\text{B}} BC D ‾ \overline{\text{D}} D = m10

    在这里插入图片描述
    m0与m2是相邻的,所以整个卡诺图是左右相通的,就想个滚筒一样:
    在这里插入图片描述而一个五输入的卡诺图却是左右对称的:
    在这里插入图片描述
    跟某一项逻辑相邻的,有5种可能:
    在这里插入图片描述
    卡诺图能帮助我们更好地寻找逻辑相邻关系,但是到了五输入时,这一规则被打破了。也就是说,五变量以上的卡诺图就没有太多的使用意义

    与或逻辑函数的卡诺图法化简

    最小项合并规则

    在卡诺图中,凡是相邻的最小项,它们在逻辑上也是相邻的,逻辑相邻,就是指二个最小项中除一个变量的形式不同为互反变量外,其它都是相同的,因此它们可以合并成一个与项,消去其中互反变量

    两个相邻项的合并

    在这里插入图片描述
    首先先把相邻项圈起来,这个圈叫卡诺圈:
    在这里插入图片描述
    每一个卡诺圈表示可以进行一次 吸收定理1:
    二个最小项合并,消去一个互反变量,保留公共变量(两项变一项,谁变干掉谁)

    对于上面的两个圈:

    • A BC ‾ \overline{\text{BC}} BC + A B ‾ \overline{\text{B}} BC = A B ‾ \overline{\text{B}} B
    • A ‾ \overline{\text{A}} AB C ‾ \overline{\text{C}} C + AB C ‾ \overline{\text{C}} C = B C ‾ \overline{\text{C}} C

    再来看看下面这张卡诺图:

    在这里插入图片描述画出卡诺圈:
    在这里插入图片描述
    对这三个圈进行化简:

    • A ‾ \overline{\text{A}} AB C ‾ \overline{\text{C}} CD + AB C ‾ \overline{\text{C}} CD = B C ‾ \overline{\text{C}} CD
    • AB ‾ \overline{\text{AB}} ABCD + A B ‾ \overline{\text{B}} BCD = B ‾ \overline{\text{B}} BCD
    • A ‾ \overline{\text{A}} AB CD ‾ \overline{\text{CD}} CD + A ‾ \overline{\text{A}} ABC D ‾ \overline{\text{D}} D = A ‾ \overline{\text{A}} AB D ‾ \overline{\text{D}} D

    四个相邻项的合并

    刚刚的两个相邻项可以消去1个变量,这里的四个相邻项可以消去2个变量

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    八个相邻项的合并

    有了上面的基础,这里应该就可以知道,八个相邻项可以消3个变量

    在这里插入图片描述
    换句话说就是: 谁不变,就把谁留下

    奇葩相邻项

    看一下这两个圈:
    在这里插入图片描述
    注意!这样画圈是无法化简的!!!

    应该转换成2个两项圈和2个四项圈:
    在这里插入图片描述
    总结:

    • 2”个相邻最小项组成的卡诺圈合并,可以消去n个变量
    • 不存在包含非2"个最小项的卡诺圈
    • 看坐标化简,多项变一项,保留不变的,消去变化的。

    在这里插入图片描述

    用卡诺图表达待化简的逻辑函数

    步骤:

    1. 根据表达式中输入变量个数, 画出卡诺图的结构
    2. 表达式中包含什么样的最小项,在卡诺图对应的方格上填1 ,其余的填0或者不填,就得到了完整的卡诺图

    三种典型情况:

    1. 与或表达式
    2. 标准与或式(最小项标准式、最小项之和)
    3. 其他任何一般表达式

    与或表达式

    [例] F = A ‾ \overline{\text{A}} AB D ‾ \overline{\text{D}} D + AC

    确定为四输入卡诺图:
    在这里插入图片描述
    坐标1表示原变量、0表示反变量,按坐标规定,将与或式中的各个与项逐一填入卡诺图

    先看第一项 A ‾ \overline{\text{A}} AB D ‾ \overline{\text{D}} D,拆项后即 A ‾ \overline{\text{A}} AB D ‾ \overline{\text{D}} D(C+ C ‾ \overline{\text{C}} C):
    在这里插入图片描述
    再来看看第二项AC经过拆项后AC(B+ B ‾ \overline{\text{B}} B)(D+ D ‾ \overline{\text{D}} D):

    在这里插入图片描述

    标准与或式

    在这里插入图片描述即 F = m1 + m4 + m5 + … + m15

    最小项标准式中,最小项编号最大是15 ,说明是四输入逻辑函数,由此得到卡诺图的结构:
    在这里插入图片描述
    根据最小项的排列规律填入最小项:
    在这里插入图片描述

    其他一般表达式

    在这里插入图片描述有了上面的基础,这里很容易就能判断出是四输入:
    在这里插入图片描述
    变形后得到与或式:
    在这里插入图片描述
    填入卡诺图:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    再来看下一道例题:
    在这里插入图片描述这道题也再次证明了化简结果是不唯一的,但化简得长度是唯一的

    在这里插入图片描述对于下面这一题,我们可以找出 F=0的情况,再填入1:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    最终结果如下:
    在这里插入图片描述

    5类逻辑函数的卡诺图法化简

    在这里插入图片描述

    • 其实真正用到卡诺图法的是:
      与或式、或与式以及与或非式

    与非-与非式

    1. 用卡诺图表达出待化简函数,圈“1”得到最简与或式
    2. 与或式两次求反,摩根定律展开一层,得到最简与非-与非式。

    [例] F = AC ‾ \overline{\text{AC}} ACD + AB ‾ \overline{\text{AB}} ABD + A ‾ \overline{\text{A}} ABC + A C ‾ \overline{\text{C}} CD

    在这里插入图片描述

    或与式

    1. 用卡诺图表达出待化简逻辑函数
    2. 图上圈0, 并且,坐标0表示原变量 ,1表示反变量,变量相“或”得到每一个或项(反演定律)
    3. 最后再将所有的或项相“与",得到最简或与式

    [例] F = AC ‾ \overline{\text{AC}} ACD + AB ‾ \overline{\text{AB}} ABD + A ‾ \overline{\text{A}} ABC + A C ‾ \overline{\text{C}} CD

    在这里插入图片描述
    再来看另一题:
    在这里插入图片描述

    或非-或非式

    已知最简或与式,两次求反,再摩根定律展开一层,得到最简或非-或非式。

    在这里插入图片描述利用公式化两次取反:
    在这里插入图片描述

    与或非式

    1. 在卡诺图上圈"0”,求出反函数的最简与或式;
    2. 然后取反,不处理,就得到最简与或非式。

    在这里插入图片描述

    完整总结

    在这里插入图片描述

    具有约束关系的逻辑函数

    • 约束关系:
      输入变量的取值不是任意的,而是有条件的,并不是所有的输入组合都可以出现

    • 具有约束的变量:
      在实际应用中,某些现实条件限制了输入变量的取值,将具有限制关系的一组输入变量称为一组具有约束的变量

    • 具有约束的逻辑函数:
      由具有约束关系的输入变量所决定的逻辑函数,就称为具有约束的逻辑函数

    • 完全描述问题:
      n输入的逻辑函数的2的n次方种输入取值组合下的输出取值都是明确的,这样的逻辑函数就是完全描述问题,其功能与每一个最小项均有关

    • 非完全描述问题:
      具有约束的逻辑函数就是非完全描述问题,其功能只与能够出现的最小项有关

    • 约束项:
      不可能出现的最小项,自然谈不上输出是0还是1

    • 任意项:
      某些最小项出现时输出是1还是0均可,不影响逻辑电路的功能

    • 无关项:
      约束项和任意项统称为无关项,逻辑函数的功能都跟他们无关
      但并不是所有无关项都适合加入,有的无关项加入表达式后,反而会使表达式变得复杂。

    总结:

    • 具有约束关系时,首选卡诺图法化简,保证最简原则
    • 化简结果中要同时写上约束条件
    • 最好将约束条件也做相应化简

    例如,设计一个现实的逻辑电路,用一个指示灯来表示一架电梯的运行状态,从而能估计电梯日常使用频率。设计要求:当电梯在上升和下降时,指示灯点亮,表示电梯正在响应用户的使用要求;而当电梯悬停在某一层时,指示灯灭,表示电梯空闲。

    在这里插入图片描述

    不难发现:这是三条件、一结论的逻辑命题,设输入变量为 A 、 B 、 C ,分别表示电梯处于“上升”、“下降”和“悬停”,输出变量为 F ,表示指示灯点亮。在这个逻辑函数的八种输入取值组合中,能够使输出为 1 的组合只有两个,因此可以简单得到逻辑表达式:

    • F = A BC ‾ \overline{\text{BC}} BC + A ‾ \overline{\text{A}} AB C ‾ \overline{\text{C}} C

    同时,因为一些现实因素的限制,输入变量的某些取值组合永远不可能出现

    电梯是不可能同时一边上升、一边下降的,也不可能一边上升、一边停止,
    同样,也不可能既不上升、又不下降。也不停止。

    以此类推,逻辑函数有五种输入组合是永远不可能出现,自然谈不上在这些输入组合下,输出取值为:

    • ABC ‾ \overline{\text{ABC}} ABC = m0
    • A ‾ \overline{\text{A}} ABC = m3
    • A B ‾ \overline{\text{B}} BC = m5
    • AB C ‾ \overline{\text{C}} C = m6
    • ABC = m7

    这就是该命题所包含的约束关系

    此外,理论上还有一种情况,就是在输入变量的某些最小项出现(即对应的
    输入组合出现)时,输出函数值是 1 还是 0 均可,不影响逻辑电路的功能,这样的最小项称为任意项

    • 如果是约束项,则意味着不可能出现的最小项,那么谈不上输出是1 还是0
    • 如果是任意项,则输出无所谓 1 还是 0

    不论是约束项还是任意项,逻辑函数的功能都跟它们无关,因此, 约束项和任意项统称为无关项

    既然约束项和任意项最终对输出造成的影响是类似的,一般不对它们做过于
    绝对的区分,具有这种特点的逻辑函数统称为 具有无关项的逻辑函数,或者称为具有约束关系的逻辑函数,两者是一个概念

    约束关系的理解和表述

    • 约束关系的表述:
      约束表达式限制了什么样的输入组合出现,把它们总结起来,就是约束关系的语言表达。

    • 约束关系的数学化:
      将一个现实的逻辑约束所限制的输入组合用表达式总结出来。

    BC ‾ \overline{\text{BC}} BC = 0
    B、C不能同时为0

    BC = 0:
    B、C不能同时为1

    BC ‾ \overline{\text{BC}} BC = 1:
    B、C取值必为00
    B、C中不能有1

    B + C = 1:
    B、C不能同时为0

    波形图

    以时间为横轴,画出一个逻辑函数的输入、输出变量对应变化的波形,从而形成输入信号和输出信号的对应图形,即逻辑电路的波形图

    在这里插入图片描述

    波形图的整体分析法

    1.将3个输入波形的所有变化点标记出来,这也就是输出波形可能的变化点。

    2.以整体分析的方式画输出波形(似于真值表的列写过程,切忌从头到属地逐个片段画)

    F = A + BC

    在这里插入图片描述
    找出A和BC分别为1时的对应段,那么剩下的都是0:
    在这里插入图片描述

    组合逻辑电路分析和设计基础

    五个逻辑函数的表示工具

    1. 真值表
    2. 逻辑表达式
    3. 卡诺图
    4. 逻辑电路图
    5. 波形图

    各种表示工具的相互转化

    由逻辑表达式转换为其他工具

    在这里插入图片描述

    其他工具转化为逻辑表达式

    在这里插入图片描述

    真值表转化为电路图

    在这里插入图片描述

    电路图转化为真值表

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    展开全文
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    1. 逻辑函数的描述方法

    1.1 真值表

    概念:表征逻辑事件输入和输出之间全部可能状态的表格。列出命题公式真假值的表。通常以1表示真,0 表示假
    下面我们来看一张真值表:

    A,B,C表示输入,F表示输出
    通常我们在写真值表的时候,最好是按照一定的排列组合顺序把输入变量所有取值写出来,再根据电路或者其他方式看看输出情况。这样可以避免遗漏或者重复

    1.2 逻辑函数式

    这些概念其实是很好理解的,所谓逻辑函数式,也就是将输入和输出之间的逻辑关系写成与,或,非等运算的组合式,举个例子:Y = A(B + C) ;这就是一个逻辑函数式

    1.2.1 逻辑代数的基本公式和常用公式

    这里我们可能是已知逻辑函数式,需要通过不同的0或1的输入判断输出的Y是0还是1,这有时候需要我们对逻辑函数式进行一定的化简,下面我们插入逻辑代数的基本公式和常用公式,以便日后复习使用:(博主只是记录了部分较重要的)

    序号公式
    1 0 • A = 0 \quad\quad\quad\quad 0•A = 0 \quad\quad\quad\quad 0A=0
    2 1 • A = 1 \quad\quad\quad\quad 1•A = 1 \quad\quad\quad\quad 1A=1
    3 A • A = A \quad\quad\quad\quad A•A = A \quad\quad\quad\quad AA=A
    4 A ′ • A = 0 \quad\quad\quad\quad A'•A = 0 \quad\quad\quad\quad AA=0
    5 A • ( B + C ) = A • B + A • C \quad\quad\quad\quad A•(B + C) = A • B + A • C \quad\quad A(B+C)=AB+AC
    6 A • ( B • C ) = ( A • B ) • C \quad\quad\quad\quad A • (B•C) = (A•B) • C \quad\quad A(BC)=(AB)C
    7 ( A • B ) ′ = A ′ + B ′ \quad\quad\quad\quad (A•B)' = A' + B' \quad\quad\quad\quad (AB)=A+B
    8 ( A ′ ) ′ = A \quad\quad\quad\quad (A')' = A \quad\quad\quad\quad (A)=A
    9 1 + A = A ; 0 + A = A ; A + A = A ; A + A ′ = 1 \quad\quad\quad\quad 1 + A = A; \quad0 + A = A; \quad A + A = A; \quad A + A' = 1\quad\quad\quad 1+A=A;0+A=A;A+A=A;A+A=1
    10 ( A + B ) ′ = A ′ • B ′ \quad\quad\quad\quad (A+B)' = A' • B' \quad\quad\quad\quad (A+B)=AB
    11 A + A • B = A \quad\quad\quad\quad A + A• B = A \quad\quad\quad\quad A+AB=A
    12 A + A ′ • B = A + B \quad\quad\quad\quad A + A'• B = A + B \quad\quad\quad\quad A+AB=A+B
    13 A • ( A + B ) = A \quad\quad\quad\quad A • (A + B) = A \quad\quad\quad A(A+B)=A
    14 A • B + A • B ′ = A \quad\quad\quad\quad A • B + A • B' = A \quad\quad\quad AB+AB=A

    1.3 逻辑图

    逻辑图就是将逻辑函数式中各个变量之间与,或,非等逻辑关系用图形表示出来
    下面我们来复习一下两套表示与,或,非的符号:

    而由与,或,非还能组成另一些复合逻辑:与非,或非,与或非,同或,异或

    1. 与非:Y = (AB)’ 顾名思义,先将两个输入做“与”运算,在将与运算的结果取反
    2. 或非:Y = (A+B)’ 类似,先做或运算,在做非运算
    3. 与或非:Y = (AB + CD)’ 与或非逻辑一般有4个输入,我们将他们两两为一组,先对每组进行与运算,再将两组与运算得到的结果进行或运算,最后再将得到的结果进行取反
    4. 同或:Y = A ⊕ B 相同为真“1”,不同为假“0”
    5. 异或:Y = A ⊙ B 相同为假“0”,不同为真“1”

    这些逻辑符号的不同组合就能够得到我们的逻辑图啦

    1.4 波形图

    将逻辑函数输入变量每一种可能出现的取值与对应的输出值按时间顺序依次排列起来,就得到了描述该逻辑函数的波形图,也成为“时序图”。我们看看下面的例子:

    2. 各种描述之间的转换方法解析

    一,波形图转化为真值表:

    这个比较简单,首先,我们先把输入的所有排列组合的情况先列出来,然后再根据输入组合的情况依次在波形图中找到对应的Y,并且填入真值表中
    以上面的波形图为例:我们先写出输出A,B,C所有的组合情况:

    ABCY
    000
    010
    001
    011
    100
    101
    110
    111

    接下来,就是根据上面不同A,B,C的组合找到对应的Y

    ABCY
    0000
    0100
    0010
    0111
    1000
    1011
    1101
    1110

    二,真值表得到逻辑表达式

    这里有一个技巧:首先,我们找到真值表上输出为1的所有组合(以上表为例)
    那么,在上表中,Y为1的所有输入组合分别为:(011,101,110)
    然后,每一组输入变量取值的组合对应一个乘积项,其中,取值为1的写入原变量,取值为0的写入反变量
    最后,将这些乘积项相加,得到逻辑表达式

    比如011的组合就写成:A’BC;101的组合写成:AB’C;110的组合写成:ABC’
    因此,该真值表对应的逻辑表达式为:Y = A’BC + AB’C + ABC’

    这里用到的知识是逻辑函数的标准形式,我们在后面的博文中会对它进行记录

    三,由逻辑表达式得到波形图

    这个是最简单的,直接将每一个取值画出来就OK

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空空如也

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