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    1. 概述

    序列二次规划法(SQP,Sequential Quadratic Programming)算法是将复杂的非线性优化问题转换为较简单的二次规划问题来求解的算法。而二次规划问题则是指目标函数为二次函数,约束函数为线性函数的的最优化问题。二次规划问题是最简单的非线性优化问题,有很多成熟的快速求解的方法。

    2. 基本思想

    序列二次规划的基本思想即是利用泰勒展开将非线性优化问题的目标函数在迭代点处简化为二次函数,同时将约束函数简化为线性函数:
    1
    由于只是原问题的近似问题,求得的解并不是原问题的解,只是一个在局部更好的一个解,可以为下一步的迭代提供一个方向,所以我们想求解的其实是一个方向:
    2
    将其化为二次规划的标准形式:
    3
    4

    3. 求解方法

    问题的求解主要分为两个部分,第一个部分为通过求解二阶导数矩阵,将原非线性优化问题转换为多个简单的二次优化问题,第二个部分为对简单的二次优化问题进行求解。

    迭代求解的步骤如下所示:
    5

    3.1 求解二阶导数矩阵

    6
    这里的ΔX指的是决策变量的差值,Δq指的是梯度的差值。

    3.2 二次规划问题的求解

    根据约束条件的不同,二次规划可分为等式约束二次规划问题和不等式约束二次规划问题。等式约束二次规划问题即只含有等式约束,常见的解法有直接消去法、广义消去法、拉格朗日(Lagrange)法;对于不等式约束二次规划问题,其基本思想是把不等式约束转化为等式约束再求解,常见解法有有效集(active set)方法,有效集方法在每步迭代中把有效约束作为等式约束,然后可以用拉格朗日法求解,重复直到求得最优解。

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    主要参考了高翔老师的14讲中的知识,以及结合imu预积分论文(On-manifold preintegration for real-time visual-inertial Odometry),结合自己的理解,做了一下整理。

    整体思路是从状态估计——最大后验估计——最小二乘——非线性最小二乘

    状态估计——最大后验估计

    非线性优化在slam中的应用是对物体自身的状态估计,状态变量为Xi=[Ri , pi , vi , bi ] ,这几个变量分别时旋转、平移、速度和偏置。状态估计问题就是在已知传感器输入u,和观测数据z时,对Xi的条件概率分布进行估计。
    现在只考虑观测数据对状态变量的影响,即计算p (Xk |Zk ),Xk 表示所有关键帧的状态,Zk={Ci , Iij} ,(i,j )∈Kk,Ci为相机在i时刻的测量值,Iij为从i到j时刻imu的测量数据。根据最大后验估计(MAP),
    p (Xk |Zk )=p (Zk |Xk )p (X0),p (X0)为先验,即已知的物体状态。最后化简为

    最大后验估计——最小二乘

    对于最大后验估计,我们的目的是最大化概率p (Xk |Zk )。观测方程的表达假定为Zk=h(Xk)+Vij,假定噪声Vij服从零均值的高斯分布,其协方差为Σ,Vij~N(0,Σ)。
    那么对于p (Zk |Xk )=N(h(Xk),Σ),这仍然是一个高斯分布。计算Xk使得这个概率分布趋于最大,使用最小化负对数的方法。
    考虑一个高斯分布x~N(u,Σ),其概率密度函数的展开形式为

    求负对数后变成在这里插入图片描述
    取完负对数的最小值,就是其概率密度函数的最大值,注意红框内的部分,其前面1/2ln()的值是一个固定值,因此只和红框内的大小变化有关,现在问题就变成了一个最小二乘问题。在这里插入图片描述
    定义Zk,j —h(Xk,Yj)=Ev,k ,用真实值减去观测值,取得观测方程的误差,同理对运动方程也求误差,最小化两者的误差
    在这里插入图片描述
    对于On-manifold preintegration for real-time visual-inertial Odometry中的最小二乘问题代入后就是,这里的r表示测量残差。在这里插入图片描述

    最小二乘——非线性最小二乘

    通过以上,我们将状态估计转化为最小二乘问题,如何求解这个最小二乘问题。引入非线性优化,非线性优化方法主要使用高斯牛顿法、列文伯格-马夸尔特方法,具体不展开。

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  • 最近在做方程组的非线性优化问题,用到了fgoalattain函数,总结一下: 意义 解决多目标的非线性优化问题 函数形式 函数表示形式如下: 上式中,weight, goal, b和beq 是向量(组),A 和Aeq 是矩阵, c(x), ceq(x)和F...

    最近在做方程组的非线性优化问题,用到了fgoalattain函数,总结一下:

    1. 意义
      解决多目标的非线性优化问题
    2. 函数形式
      函数表示形式如下:
      在这里插入图片描述
      上式中,weight, goal, b和beq 是向量(组),A 和Aeq 是矩阵, c(x), ceq(x)和F(x) 返回值为向量的函数,函数可以是非线性的,x, lb, ub 可以以向量或者矩阵的形式传递或者表示;
    3. 在不同场景下的语法形式
    x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight)
    x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)
    x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq)
    x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
    x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) 
    x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
    x = fgoalattain(problem)
    [x,fval] = fgoalattain(...)
    [x,fval,attainfactor] = fgoalattain(...) 
    [x,fval,attainfactor,exitflag] = fgoalattain(...)
    [x,fval,attainfactor,exitflag,output] = fgoalattain(...)
    [x,fval,attainfactor,exitflag,output,lambda] = fgoalattain(...)
    
    1. 描述
    x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight)  的作用是使函数fun提供的目标函数通过改变x的值来实现goal指定的目标,x的数值从x0开始,权重由weight指定;
    x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b) 的作用是解决线性不等式A*x ≤ b的目标优化问题;
    x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq) 的作用是解决线性等式Aeq * x = beq的目标优化问题。 如果不存在不等式,则通过指定设置A = []和b = []的形式进行填充。
    x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 的作用是在以上式子的基础上,在x中的设计变量上定义了一组下限和上限,因此解决方案始终在lb≤x≤ub的范围内。
    x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) 的作用是将目标优化问题置于nonlcon参数中定义的非线性不等式c(x)或非线性等式ceq(x)。 fgoalattain优化使得c(x)≤0且ceq(x)= 0.如果不存在边界,则设置lb = []或ub = [];
    x = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)的作用是通过options中指定的优化选项进行最小化优化,选项设置可以使用optimoptions;
    x = fgoalattain(problem) 的作用是找到问题(problem)的最小值,其中问题是输入参数中描述的结构;其中我们可以通过从Optimization应用程序导出的问题来创建问题结构;
    [x,fval] = fgoalattain(...) 返回在解x的过程中fun计算的目标函数的值;
    [x,fval,attainfactor] = fgoalattain(...) 返回解x处的目标达到因子;
    [x,fval,attainfactor,exitflag] = fgoalattain(...)返回exitflag参数,描述计算的退出条件;
    [x,fval,attainfactor,exitflag,output] = fgoalattain(...)返回包含优化信息的输出参数output;
    [x,fval,attainfactor,exitflag,output,lambda] = fgoalattain(...) 返回包含拉格朗日乘子的lambda参数。
    
    1. 函参详解
      <1>. fun:要进行优化的函数;
      fun是一个接受向量x并返回向量F的函数,在x处计算目标函数, fun可以通过函数文件的函数句柄进行指定;例如x = fgoalattain(@myfun,x0,goal,weight),其中,myfun就是MATLAB中的函数比如 :function F = myfun(x); F = ...,fun也可以是匿名函数的函数句柄,比如x = fgoalattain(@(x)sin(x.*x),x0,goal,weight),其中的sin函数就是匿名函数;如果x和F的用户定义值是数组,则系统会使用线性索引将它们转换为向量。
      为了使目标函数尽可能接近目标值(即,既不大于也不小于),使用优化将EqualityGoalCount选项设置为需要在目标值附近的目标数量。 必须将这些目标划分为fun返回的向量F的第一个元素。
      如果也可以计算目标函数的梯度,并且SpecifyObjectiveGradient选项为true,则设置为options = optimoptions('fgoalattain','SpecifyObjectiveGradient',true),那么函数fun必须在第二个输出参数中返回梯度值G,即x处的矩阵。 梯度由点x处的每个F的偏导数dF/dx组成。 如果F是长度为m且x长度为n的向量,其中n是x0的长度,则F(x)的梯度G是n×m矩阵,其中G(ij)是偏导数 F(j)相对于x(i)(即第j列的第j列是第j个目标函数F(j)的梯度)。
      <2>. goal:目标需要努力达到的向量的值。
      其中向量的长度与fun返回的目标向量F相同,fgoalattain尝试最小化向量F中的值以达到goal给出的目标值。
      <3>. nonlcon:计算约束条件中非线性不等式c(x)≤0和非线性等式ceq(x)= 0的函数;
      函数nonlcon接受向量x并返回两个向量c和ceq。 向量c包含在含有x的非线性不等式中,并且ceq包含在含有x的非线性等式中。 函数nonlcon可以通过函数句柄进行指定,比如x = fgoalattain(@myfun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,.. lb,ub,@mycon),其中mycon就是nonlcon的函数,示例如下:function [c,ceq] = mycon(x) c = ... % compute nonlinear inequalities at x. ceq = ... % compute nonlinear equalities at x.
      <4>. options: 提供选项值的功能特定详细信息。
      <5>. weight: 加权矢量用于控制fgoalattain中目标的相对不足或超额数值。 当目标值全部为非零时,为了确保活动目标的低于或超过相同百分比,将加权函数设置为abs(goal);
      当加权函数权重为正时,fgoalattain会尝试使目标小于目标值。 要使目标函数大于目标值,请将权重设置为负值而不是正值。 要使目标函数尽可能接近目标值,请使用EqualityGoalCount选项并将该目标作为fun返回的向量的第一个元素(请参阅前面的fun和options描述)。
      <6>. problem:
      目标:目标函数的向量;
      x0:x的初始点;
      goal:需要实现的目标;
      weight:目标的相对重要性因素;
      Aineq:线性不等式约束的矩阵;
      bineq:线性不等式约束的向量;
      Aeq:用于线性等式约束的矩阵;
      beq:线性等式约束的向量;
      lb:下界矢量;
      ub:上界矢量;
      nonlcon:非线性约束函数;
      solve:‘fgoalattain’;
      options:使用optimoptions创建的选项;

    2. 返回值详解
      <1>. attainfactor: 表征目标的过度或不足的程度。
      achiefactor包含解决方案中γ的值。 如果attainfactor是负的,那么设定的目标类似于过拟合; 如果attainfactor是正的,设定的目标便欠拟合。
      <2>. exitflag : 整数标识算法终止的原因。 以下列出了exitflag的值以及算法终止的相应原因。
      1:函数收敛到解x。
      4:搜索方向的幅度小于指定的容差和约束违规小于options.ConstraintTolerance
      5:方向导数的幅度小于指定的容差和约束违规小于options.ConstraintTolerance
      0:迭代次数超出options.MaxIterations或函数评估次数超出options.MaxFunctionEvaluations
      -1:由输出功能或绘图功能停止。
      -2:找不到可行点。
      <3>. lambda :在解x中包含拉格朗日乘数的结构(由约束类型分隔)。 结构的范围是:
      lower:下限lb
      upper:上限ub
      ineqlin:线性不等式
      eqlin:线性均衡
      ineqnonlin:非线性不等式
      eqnonlin:非线性等式
      <4>. output : 包含有关优化的信息的结构。 结构的范围是:
      iterations:迭代次数
      funcCount:函数评估的数量
      lssteplength:相对于搜索方向的最终行搜索步骤的大小
      stepize:x中的最终位移
      algorithm :使用的优化算法
      firstorderopt:一阶最优性的度量
      constrviolation:约束函数的最大值
      message :退出消息

    3. 应用案例
      某工厂因生产需要欲采购一种原材料,市场上的这种原料有两个等级,甲级单价2元/千克,乙级单价1元/千克。要求所花总费用不超过200元,购得原料总量不少于100千克,其中甲级原料不少于50千克,问如何确定最好的采购方案。
      设x1、x2分别为采购甲级和乙级原料的数量(千克),要求采购总费用尽量少,采购总重量尽量多,采购甲级原料尽量多。由题意可得:
      首先需要编写目标函数的M文件lwj.m,返回目标计算值:

    function f=myfun(x)
    f(1)=2*x(1)+ x(2); % f(1)表示的是原料采购总费用
    f(2)=-x(1)- x(2); % f(2)表示的是采购总重量
    f(3)=-x(1); % f(3)甲级原料的总质量
    

    给定目标,权重按目标比例确定,给出初值:
    在这里要注意的地方时,fgoalattain函数以最小优化为目的,所以目标函数的数值目标(也就是下边的goal)是≤的时候,系数为+,目标函数是≥的时候,系数为-;

        goal=[200 –100 -50]; %goal中的数据表示f(1),f(2),f(3)各自的目标数值;
        weight=[2040 –100 -50]; %权重中的数值意义同上
        x0=[55 55]; %初始值x0可自己随意按照符合条件的数值进行设定【不是真的随心所欲】,此处55和55符合条件;
    

    给出约束条件的系数:

    A=[2 1;-1 –1;-1 0]; % 此处3*2矩阵A中的数值是目标函数的系数矩阵
    b=[200 -100 -50]; % 目标函数结果的矩阵
    
    lb=zeros(2,1); %限定条件
    

    调用:

    [x,fval,attainfactor,exitflag] =fgoalattain(@lwj,x0,goal,weight,A,b,[],[],lb,[]);  % 函数调用
    

    输出计算结果:

    x =
        50    50
    fval =
       150  -100   -50
    attainfactor =
      1.3235e-023
    exitflag =
         1
    

    所以,最好的采购方案是采购甲级原料和乙级原料各50千克。此时采购总费用为150元,总重量为100千克,甲级原料总重量为50千克。

    如果觉得本文写的还不错的伙伴,可以给个关注一起交流进步,如果有在找工作且对阿里感兴趣的伙伴,也可以发简历给我进行内推:
    在这里插入图片描述

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    在《视觉slam十四讲》中提到的非线性优化问题,之前相关知识比较匮乏,在此记录一下。书中提到了高斯-牛顿法、马夸尔特-列文伯格法。这些非线性优化方法都是建立在牛顿法基础上的一个方法。牛顿法可以求方程的根以及求目标函数的极小值(优化问题)。

    引1:牛顿法迭代求解方程

    • 首先我们引入牛顿法:
    • 例: 迭代法求函数

    y=3x2 y=3^x-2
    的根:
    为了对比效果,先来画一下函数的图像。函数图像是这样的:
    函数图像

    • 牛顿法的基本思路是:
    • 首先给定一个初值x0,然后在该处对函数进行一阶泰勒展开,用一阶泰勒展开式去拟合,即:

    f(x)f(x0)+(xx0)f(x0) f(x)\approx f(x_{0})+(x-x_{0})f^{'}(x_{0})
    令:
    f(x)=0 f(x)=0
    即:
    f(x0)+(xx0)f(x0)=0 f(x_{0})+(x-x_{0})f^{'}(x_{0})=0

    • 其中只有未知数x的一次项和0次项,是y=kx+b形式的方程,在几何上的表现为过x0点,函数的切线的方程。所以可以认为是用x0点处的切线方程拟合了非线性函数。将上述线性方程求解,得到:

    x=x0f(x0)f(x0) x=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f^{'}(x_{0})}

    • 新得到的x要比x0更加接近方程的根,因此作为新的初值重复以上步骤n次,直到:f(xn)<εf(x_{n})<\varepsilon 这个值为容限误差(精度),就可以认为xn为该方程的解。

    • 在几何上的理解可能比较直观,过程为:
      1.过一点做切线
      2.根据切线找到与x轴的交点
      3.交点作为新的x0,找到该处的y0值,再在该点处做切线

    • python代码:

    import matplotlib.pyplot as plt
    import numpy as np
    x=np.linspace(-5,5,1000)
    y=[pow(3,i)-2 for i in x]
    
    ax = plt.gca()  # get current axis 获得坐标轴对象
    ax.spines['right'].set_color('none')  # 将右边 边沿线颜色设置为空 其实就相当于抹掉这条边
    ax.spines['top'].set_color('none')
    ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
    ax.yaxis.set_ticks_position('left')
    # 设置中心的为(0,0)的坐标轴
    ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))  # 指定 data 设置的bottom(也就是指定的x轴)绑定到y轴的0这个点上
    ax.spines['left'].set_position(('data', 0))
    # plt.xticks(rotation=45)#x轴数值倾斜45度显示
    plt.xlim(0, 4) #x轴数值设置
    plt.ylim(0, 30)
    #选初值x0=3
    x0=3
    #误差为0.01
    ep=0.01
    x0_list = []
    fx0_list = []
    
    for i in range(50):
        y0 = pow(3, x0)-2
        f_p = pow(3, x0)*np.log(3)
        x_solve = x0-y0/f_p
        plt.annotate('n='+str(i), xy=(x0+0.05, y0+0.05))
        #切点(x0,y0)
        x0_list.append(x0)
        fx0_list.append(y0)
        # 切线方程的解的点
        x0_list.append(x_solve)
        fx0_list.append(0)
        x0=x_solve
    
        plt.plot([x_solve, x_solve],[-10,15],color='blue',linestyle='--',linewidth=0.8)
        plt.plot(x0_list, fx0_list,'o')#画出(x0,f(x0),与解出来的(x,0))
        plt.plot(x0_list, fx0_list)#画切线(x0,f(x0),与解出来的(x,0))
        x0_list.clear()
        fx0_list.clear()
        print("第"+str(i)+"次迭代"+"f(x)="+str(y0)+"当前解为x="+str(x_solve))
    
        if(y0<ep and f_p>-ep):
            break
    plt.plot(x,y,linewidth=1,color='black')
    plt.show()
    

    执行结果:
    在这里插入图片描述
    第0次迭代f(x)=25当前解为x=2.157185901271447
    第1次迭代f(x)=8.696439617615772当前解为x=1.4171414794893509
    第2次迭代f(x)=2.7440397665231444当前解为x=0.890642386345392
    第3次迭代f(x)=0.6603845245503774当前解为x=0.6646946358018277
    第4次迭代f(x)=0.07558220511108127当前解为x=0.6315483273792328
    第5次迭代f(x)=0.001359607497144033当前解为x=0.6309299637068171
    可见,当初值为3,时,算法迭代6次,算法就求出了方程的零点,x=0.6309

    引2:牛顿法求解优化问题

    • 牛顿法同样可以用来求解优化问题,优化问题的任务是寻找目标函数的极值点。寻找极值点的方法就是求解一阶导数的极值点,即:

    f(x)=0 f^{'}(x)=0

    • 因此,我们只需要求导函数方程的零点,即为优化问题的解。
    • 类似地,我们将原函数在x0处进行泰勒展开,因为是求导函数(一阶)的零点,所以需要二阶泰勒展开:
      f(x+Δx)=f(x)+f(x)Δx+12f(x)Δx2 f(x+\Delta x)=f(x)+f'(x)\Delta x+\frac{1}{2}f''(x)\Delta x^{2}

      Δx0 \Delta x\rightarrow 0
      时:
      f(x)Δx+f(x)=0 f''(x)\Delta x+f'(x)=0
      可以求出迭代的增量为:
      Δx=f(x)f(x) \Delta x=-\frac{f'(x)}{f''(x)}

    牛顿法解多元函数最小二乘优化问题

    在实际问题中,我们经常接触到的方程形式大多为多元方程。在一元函数中,函数的映射为:
    f(x)R f(x)\rightarrow R
    而在多元函数中,映射为:
    f(x)Rn f(\overrightarrow{x})\rightarrow R^{n}

    多元函数的二阶泰勒展开形式为:

    在这里插入图片描述
    多元函数的一阶导数为雅克比矩阵J,二阶导数为海森矩阵H。
    当雅克比矩阵为0时,得到的迭代关系式为:
    xk=xk1H(xk1)1f(xk1) x_{k}=x_{k-1}-H(x_{k-1})^{-1}\triangledown f(x_{k-1})
    这样就把一维的情形映射到高维空间中了。
    matlab代码有空再补全吧~

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  • 想要最传统的多目标算法,是基于非线性优化的,这应该属于遗传算法吧,希望这个多目标算法的非线性优化问题的Matlab程序
  • 多元函数的无约束最小值问题在Matlab中有2个经常使用的函数 1fminsearch 2fminunc;使用格式 [x,fval]=fminsearch@f,x0) 输入参数@f: 目标函数x0: 初始点(向量. 输出参数x: 最优解fval: 最优解对应的函数值. 例...
  • SHOT是用于解决混合整数非线性规划(MINLP)类的数学优化问题的软件。 除了MINLP问题外,SHOT还可以用于子类,例如NLP和MI(QC)QP。 SHOT最初仅用于凸MINLP问题,但从1.0版开始,它还具​​有解决非凸MINLP问题的...
  • 利用摄动投影矩阵建立求解非线性约束优化问题的记忆梯度摄动投影下降算法,并证明算法的收敛性,同时给出结合FR、PR、HS参数和拟牛顿方程的记忆梯度摄动投影算法,从而将经典的共轭梯度法推广用于求解约束优化问题。...
  • 对于只有等式约束的非线性优化问题,拉格朗日定理是可以适用的,但是当存在不等式约束时就不适用了,此时Karush–Kuhn–Tucker(KKT)条件是更为通用的处理技术,拉格朗日定理其实只是KKT条件定理的特殊情况。...
  • HiOp是用于解决某些数学优化问题(表示为非线性规划问题)的优化求解器。 HiOp是一种轻量级的HPC解算器,它利用应用程序现有的数据并行性,通过使用专用的线性代数内核来并行化优化迭代。 构建/安装说明 HiOp使用...
  • SLAM位姿求解问题根本上是一个不断进行非线性优化到最优值的问题。 1. 最大似然问题。位姿估计本身是求解最大似然估计,即在什么样的状态下xk,最可能产生现在观测到的数据。 运动方程:; 表示从k-1时刻到k时刻的...
  • 非线性优化包括相当丰富的内容,我们这里就Matlab提供的一些函数来介绍相关函数的用法及其所能解决的问题
  • 1. 牛顿法求解动态非线性优化问题 动态非线性优化问题的定义: 求解优化问题的牛顿法的迭代公式: 目标函数的梯度: 目标函数的海塞矩阵: 目标函数对于时间t的导数: 最终根据牛顿法的定义,可以...
  • 用python求解非线性优化问题

    千次阅读 2020-05-04 18:12:02
    一元 例题: 代码: 二元 例题: 代码: 二元问题也可转化为一元的方法来解决 例二是简便后的结果,例一方法便于理解 欢迎讨论、提问和交流
  • 问题取自 SS Rao 的 Engineering Optimization。 第 321 页该问题在文本中存在计算错误,因此不要将结果与文本进行比较。
  • 提出使用两块校正方法结合滤子线搜索策略求解带等式约束的非线性规划问题,滤子方法的使用避免了使用罚函数法时每次确定罚参数的困难,并且证明了在一定的假设条件下该算法的整体收敛性。数值计算结果表明本算法有效...
  • M文件包,用于使用原始对偶内点法解决非线性编程问题(NLP)。 MIPS由王宏业(他是康奈尔大学的研究生)基于最佳功率流应用而设计。 后来,Ray D. Zimmerman将其移植到了MATLAB / Octave语言中,以用于。 系统要求 ...
  • 在之前《matlab中解决线性规划问题》与《matlab解决有约束的的二次规划问题》两篇博文中,我们已经成功解决了两种多项式优化问题,现在我们来看更一般的情况。 这里需要使用函数fmincon()。 先使用help fmincon...
  • min w= min a*x1+b*x2+c*x3 s.t.x1>1 x2>10 x2为常数,需通过判断x1的条件语句,然后基于相关公式求得 x3为常数,需通过判断x1的条件语句,然后基于相关公式求得 这个应该怎么编写程序呢?

空空如也

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非线性优化问题