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  • 二次规划问题的KKT 条件求解方法

    千次阅读 2020-07-05 13:12:02
    专栏文章汇总文章结构如下:1: 等式约束优化问题2: 不等式约束优化问题3: 一个例子注:本文来自台湾周志成老师《线性代数》及其博客Karush-Kuhn-Tucker (KKT)条件是非线性规划(nonlinear programming)最佳解的...

    专栏文章汇总


    文章结构如下:

    1: 等式约束优化问题

    2: 不等式约束优化问题

    3: 一个例子


    注:本文来自台湾周志成老师《线性代数》及其博客

    Karush-Kuhn-Tucker (KKT)条件是非线性规划(nonlinear programming)最佳解的必要条件。KKT条件将Lagrange乘数法(Lagrange multipliers)所处理涉及等式的约束优化问题推广至不等式。在实际应用上,KKT条件(方程组)一般不存在代数解,许多优化算法可供数值计算选用。这篇短文从Lagrange乘数法推导KKT条件并举一个简单的例子说明解法。


    1: 等式约束优化问题

    给定一个目标函数 [公式] ,我们希望找到 [公式] ,在满足约束条件 [公式] 的前提下,使得 [公式] 有最小值。这个约束优化问题记为

    [公式]
    为方便分析,假设 [公式][公式] 是连续可导函数。Lagrange乘数法是等式约束优化问题的典型解法。定义Lagrangian函数

    [公式]
    其中 [公式] 称为Lagrange乘数。Lagrange乘数法将原本的约束优化问题转换成等价的无约束优化问题

    [公式]
    计算 [公式][公式][公式] 的偏导数并设为零,可得最优解的必要条件:

    [公式]
    其中第一式为定常方程式(stationary equation),第二式为约束条件。解开上面 [公式] 个方程式可得 [公式] 的stationary point [公式] 以及 [公式] 的值(正负数皆可能)。


    2: 不等式约束优化问题

    接下来我们将约束等式 [公式] 推广为不等式 [公式] 。考虑这个问题

    [公式]
    约束不等式 [公式] 称为原始可行性(primal feasibility),据此我们定义可行域(feasible region) [公式] 。假设 [公式] 为满足约束条件的最佳解,分开两种情况讨论:

    (1) [公式] ,最佳解位于 [公式] 的内部,称为内部解(interior solution),这时约束条件是无效的(inactive);

    (2) [公式] ,最佳解落在 [公式] 的边界,称为边界解(boundary solution),此时约束条件是有效的(active)。

    这两种情况的最佳解具有不同的必要条件。

    (1)内部解:在约束条件无效的情形下, [公式] 不起作用,约束优化问题退化为无约束优化问题,因此驻点 [公式] 满足 [公式][公式]

    (2)边界解:在约束条件有效的情形下,约束不等式变成等式 [公式] ,这与前述Lagrange乘数法的情况相同。我们可以证明驻点 [公式] 发生于 [公式] ,换句话说,存在 [公式] 使得 [公式] ,但这里 [公式] 的正负号是有其意义的。因为我们希望最小化 [公式] ,梯度 [公式] (函数 [公式] 在点 [公式] 的最陡上升方向)应该指向可行域 [公式] 的内部(因为你的最优解最小值是在边界取得的),但 [公式] 指向 [公式] 的外部(即 [公式] 的区域,因为你的约束是小于等于0),因此 [公式] ,称为对偶可行性(dual feasibility)

    因此,不论是内部解或边界解, [公式] 恒成立,称为互补松弛性(complementary slackness)。整合上述两种情况,最佳解的必要条件包括Lagrangian函数 [公式] 的定常方程式、原始可行性、对偶可行性,以及互补松弛性:

    [公式]
    这些条件合称为Karush-Kuhn-Tucker (KKT)条件。如果我们要最大化 [公式] 且受限于 [公式] ,那么对偶可行性要改成 [公式]

    上面结果可推广至多个约束等式与约束不等式的情况。考虑标准约束优化问题(或称非线性规划):

    [公式]

    定义Lagrangian 函数

    [公式]
    其中 [公式] 是对应 [公式] 的Lagrange乘数, [公式] $是对应 [公式] 的Lagrange乘数(或称KKT乘数)。KKT条件包括

    [公式]

    注:感谢评论区 追梦的lin 提出,在使用KKT条件时需要满足Regularity conditions (or constraint qualifications),维基在第三部分有了介绍:Karush-Kuhn-Tucker conditions 。比较常见的是Linearity constraint qualification (LCQ),即约束条件是仿射函数。

    3: 一个例子

    考虑这个问题

    [公式]
    其中 [公式] 为实数。写出Lagrangigan函数

    [公式]
    KKT 方程组如下:

    [公式]
    求偏导可得 [公式][公式] ,分别解出 [公式][公式] 。代入约束等式 [公式][公式] 。合并上面结果,

    [公式]
    最后再加入约束不等式 [公式][公式] 。底下分开三种情况讨论。

    (1) [公式] :不难验证 [公式] 满足所有的KKT条件,约束不等式是无效的, [公式] 是内部解,目标函数的极小值是 [公式]

    (2) [公式] :如同1, [公式] 满足所有的KKT条件, [公式] 是边界解,因为 [公式]

    (3) [公式] :这时约束不等式是有效的, [公式] ,则 [公式][公式] ,目标函数的极小值是 [公式]


    4: 参考文献

    周志成:《线性代数》,国立交通大学出版社

    Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 條件

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  • 问题讨论 第三周工作安排 会议结果汇总: 成员签到: 姓名 签到情况 郭祥临 是 胡凇源 是 张云汉 是 杨尚 是 张旭 是 本周工作: 面向对象需求分析:功能模型、静态模型、动态模型 安排下一周...

    本次会议内容概述:

    1. 面向对象需求分析学习
    2. 问题讨论
    3. 第三周工作安排



    会议结果汇总:

    成员签到:

    姓名 签到情况
    郭祥临
    胡凇源
    张云汉
    杨尚
    张旭

    本周工作:

    1. 面向对象需求分析:功能模型、静态模型、动态模型
    2. 安排下一周内容:完成结构化需求分析文档的编写





    GitHub地址:https://github.com/KirkGXL/SoftwareEngineeringPractice
    博客地址:https://blog.csdn.net/qq_39361620

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  • 可以说,软件工程是我们大学所学软件课程的一个汇总,不仅对编程的知识需要精通外,算法和数据结构同样占据很大的作用。因为算法是选修课程的原因,我并没有选修这们课程。而对于数据结构也并不是非常精通,那么这样...

    问题一(p1)

    程序=数据结构+算法
    软件=程序+软件工程
    程序(算法、数据结构)是基本功,但是在算法和数据结构之上,软件工程决定了软件的质量。
    ——第1章 概论

    可以说,软件工程是我们大学所学软件课程的一个汇总,不仅对编程的知识需要精通外,算法和数据结构同样占据很大的作用。因为算法是选修课程的原因,我并没有选修这们课程。而对于数据结构也并不是非常精通,那么这样对这门课程的学习影响是不是很大呢?是否需要自己去恶补这些内容呢?

    问题二(P75)

    结对编程让两个人所写的代码不断的处于“复审”的过程,程序员们能够不断地审核,提高设计和编码质量,可以及时发现并解决问题,避免把问题拖到后面的阶段去。

    所谓结对编程就是两个人合作,这样可以提高工作效率。但是我的疑惑是,对于我们在校生来说,每个同学的水平参差不齐,并且每个同学所精通的编程语言都不一样。想要找到一个“志同道合”的队友实属不易。如果这样去解决问题,极有可能出现名为结对,实则一个人劳动一个人看戏的局面,这实在有违老师们的初衷。请问有什么方法可以有效解决这个问题呢?

    问题三(p239)

    文学化编程( Literate Programming)
    程序员在写程序的时候,要理解在文档中的需求,同时还要在程序里写相关的注释,这些不同目的的“写作”各有价值,但是一旦需求或程序发生变化,这些不同的文档很难保持同步。更不用说程序员最常见的毛病“我以后会加上注释的……” Donald Knuth在20世纪70年代末开始尝试并提倡 Literate Programming的思想并在自己的软件项目中身体力行。这一方法和常见的“写程序,时不时加上一些注释释”相反,它是“写文档,时不时有些代码”。 它使用了宏来进行抽象和信息隐藏。

    注释的使用时评价一个程序员好坏的重要指标,而对于有些程序员不写注释或者写出一些没办法理解的注释着实让人头疼。但是,对于文中所说写文档时不时写些代码不是很理解。一个程序的书写需要一定的创作周期,能够按时展示出你的作品仍然是一个最重要的事情。如果把时间全部用在了书写文档上,是不是也会影响创作的效率呢?我的理解是合理的注释是可取的,但不能作为工作的主体,不知道自己是不是太片面,望解惑。

    问题四(P353)

    统计数据表明,70%的创新者说,他们最成功的创新,是在他们拿手领域之外发现的。

    对于这个统计结果,真的让我不敢相信。超越领域的创新真的会让一些内行人汗颜。我不是很清楚出现这个现象的原因。我的拙见是出事一个领域的人总会有一些固有思维,认为1就是1,2就是2.而其他行业的人不会有这种局限。但是这个结果同样让我产生了一个想法。是不是360行,行行有联系呢。一个领域的东西运用到另外一个领域,这是不是也算一种创新呢?

    问题五(118)

    另一份任务是,要在么一个任务记载我们完成这个这份任务还需要多长时间

    看到这句话,我的心里满是狐疑。对于我自己来说,“还需要多长时间”是一个难题。因为一个模块或者功能的编写总是能够遇到这样或者那样的bug,排除bug所用时间是一个未知数。我总是不知道成功和意外谁先来。我想知道怎样才能精确的算出自己还需要多长时间呢 ?

    转载于:https://www.cnblogs.com/lsl321/p/8595749.html

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  • 说明:这是武汉理工大学计算机学院【数据结构】课程的第二次实验:栈与队列的应用---表达式求值 >>点击查看WUTer计算机专业实验汇总 谨记:纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行。 实验二:栈与队列的应用 ...
    •  说明:这是武汉理工大学计算机学院【数据结构】课程的第二次实验:栈与队列的应用---表达式求值
    • >>点击查看WUTer计算机专业实验汇总
    • 谨记:纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行。

    实验二:栈与队列的应用

    学时:

      2学时

    实验目的:

      掌握栈与队列的基本结构和操作方法,并能利用其解决实际问题。

    实验内容: 

      输入一个表达式(4+2*4#),利用栈求表达式的值。(只对整数求值,目前只考虑操作数为个位数的情况,即24+34*34这种情况不考虑)

    提示:

      1,先实现栈的基本操作:初始化,入栈,出栈等。

      2,首先将一个中缀式变成后缀式,然后,对后缀式求值。

      3,可用顺序栈或者链栈实现。

    源代码:

    // 栈与队列的应用.cpp: 定义控制台应用程序的入口点。
    
    #include <iostream>
    using namespace std;
    
    #define STACK_INIT_SIZE 100
    #define STACKINCREASE 10
    #define SElemType int
    #define Status int
    #define OK 1
    #define OVERFLOW -1
    #define ERROR 0
    
    //运算符优先级表   
    char Prior[7][7] =
    {       // '+' '-' '*' '/' '(' ')' '#'   
    	/*'+'*/'>','>','<','<','<','>','>',  //当栈中的符号是加号时,此加号与下一个运算符进行比较优先级
    	/*'-'*/'>','>','<','<','<','>','>',  //下面几行类似
    	/*'*'*/'>','>','>','>','<','>','>',
    	/*'/'*/'>','>','>','>','<','>','>',
    	/*'('*/'<','<','<','<','<','=',' ',
    	/*')'*/'>','>','>','>',' ','>','>',
    	/*'#'*/'<','<','<','<','<',' ','='
    };
    char Precede(int a, int b) {//判断优先级
    	return Prior[a][b];
    }
    
    typedef struct {
    	SElemType *base;
    	SElemType *top;
    	int stacksize;
    }SqStack;
    
    //构造空栈S
    Status InitStack(SqStack &S) {
    	S.base = (SElemType *)malloc(STACK_INIT_SIZE * sizeof(SElemType));
    	if (!S.base) return OVERFLOW;
    	S.top = S.base;
    	S.stacksize = STACK_INIT_SIZE;
    	return OK;
    }
    
    //入栈操作
    Status Push(SqStack &S, SElemType e) {
    	if (S.top - S.base >= S.stacksize) {    //栈满,追加空间
    		S.base = (SElemType *)realloc(S.base, (S.stacksize + STACKINCREASE) * sizeof(SElemType));
    		if (!S.base) return ERROR;      //存储空间分配失败
    		S.top = S.base + S.stacksize;
    		S.stacksize += STACKINCREASE;
    	}
    	*S.top = e;
    	S.top++;
    	return OK;
    }
    
    //出栈操作
    Status Pop(SqStack &S, SElemType &e) {
    	if (S.top == S.base) return ERROR;
    	e = *--S.top;
    	return e;
    }
    
    //取栈顶元素
    Status GetTop(SqStack S, SElemType &e) {
    	if (S.top == S.base) {     //如果栈为空,返回错误
    		return ERROR;
    	}
    	e = *(S.top - 1);
    	return e;
    }
    
    int change(char a) {           //将字符转换成数字
    	if (a == '+') return 0;    //主要是因为建立的栈为int型  
    	if (a == '-') return 1;    //方便与存储到栈中
    	if (a == '*') return 2;
    	if (a == '/') return 3;
    	if (a == '(') return 4;
    	if (a == ')') return 5;
    	if (a == '#') return 6;
    	else return a-48;
    }
    
    //判断是不是运算符
    int In(char c) {
    	if (c-48>=0 && c-48<= 9) return ERROR;
    	else return OK;
    }
    
    //进行运算
    int Operator(int a, int theta, int b) {    
    	if (theta == 0) return a + b;
    	if (theta == 1) return a - b;
    	if (theta == 2) return a*b;
    	if (theta == 3) return a/b;
    }
    
    //输入表达式并求值
    int EvaluateExperession() {
    	SqStack optr; //运算符栈
    	SqStack opnd; //运算数栈
    	InitStack(optr);  //初始化
    	InitStack(opnd);  //初始化
    
    	Push(optr, 6);    //初始栈底元素为#,用数字6表示
    	char c[50];       //用字符串数组来保存输入的表达式
    	int i=0,  x,  result;
    	cin >> c;         //输入表达式
    	do
    	{
    		if (!In(c[i])) {     //如果不是运算符,将其进运算数栈
    			Push(opnd, change(c[i]));
    			i++;
    		}
    		else {               //是运算符,比较优先级并进行相关操作
    			switch (Precede(GetTop(optr, x), change(c[i]))) {
    			case '<':        //当前栈顶元素优先级低,新运算符入栈
    				Push(optr, change(c[i]));
    				i++;
    				break;
    			case '=':        //两个运算符相等,为左右括号,取出
    				Pop(optr, x);
    				i++; 
    				break;
    			case '>':        //当前栈顶运算符优先级高,进行计算
    				int a, b, theta;
    				Pop(optr, theta);  //取当前栈顶运算符
    				Pop(opnd, b);      //取栈顶运算数b,并从栈中删除
    				Pop(opnd, a);      //取栈顶运算数a,并从栈中删除
    				Push(opnd, Operator(a, theta, b));	 //进行计算,将计算结果		
    				break;
    			}
    		}
    	} while ( c[i] );
    	return GetTop(opnd, result);
    }
    
    int main()
    {
    	cout << "请输入一个表达式(以#结束):";
    	cout << "计算得结果为:"<<EvaluateExperession() << endl;
    	return 0;
    }

     

    运行结果:

    个人总结:

      实验最初,只建立了一个int类型的栈,而输入的是个字符串,所以,通过一个转化函数change,将输入的字符型数字,通过ASCII码转换成int型数字,而运算符则转换成与前面的运算符表相对应的数字。这样可以通过一个定义栈实现。

      其实还可以建立一个char型的栈来保存运算符,这也是可以的。

      如果再改进一下,可以实现多位数的计算,这里就不讨论了。后期课外研讨时写一下。

     

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