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  • >利用Matlab求解二阶偏微分方程的一般有以下步骤    → 题目定义:由方程(3.4.33)和(3.4.35)可以看出,参量 是二阶偏微 分方程的主要参量,只要这几个参量确定,就可以定下偏微分方程的结构。此外要做的事是确定偏...
    >利用Matlab求解二阶偏微分方程的一般有以下步骤
        → 题目定义:由方程(3.4.33)和(3.4.35)可以看出,参量 是二阶偏微 分方程的主要参量,只要这几个参量确定,就可以定下偏微分方程的结构。此外要做的事是确定偏微分 方程的求解区域,即边界条件。在PDE ToolBox中有许多类似circleg.m的m文件定义了不同的边界形状。 使用前可以借助help命令查看,或参考其它资料。
        →求解域的网格化:通常采用命令initmesh进行初始网格化,还可以采用命 令refinemesh进行网格的细化和修整。这些命令的用法同样可以使用help命令,如[p,e,t]=initmesh(g) ,这里的参量p、e、t提供给下面的问题求解时使用。
        → 问题的求解:在PDE工具箱中有许多求解我们在上面提到的不同类型 的二阶偏微分方程的指令,主要有:
        ◆assempde    调用格式为:u=assempde(b,p,e,t,c,a,f)
    该命令用来求解椭圆型偏微分方程(3.4.31),求解的边界条件由函数b确定,网格类型由p、e和t确 定,c、a、f是椭圆型偏微分方程(3.4.31)
        ◆hyperbolic  调用格式为:u1=hyperbolic (u0,ut0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d)
    该命令用来求解双曲型偏微分方程(3.4.35)。
        ◆ parabolic 调用格式为:u1=parabolic (u0,tlist,b,p,e,t,c,a,f,d)
    该命令用来求解抛物线型偏微分方程(3.4.33)。
        ◆pdeeig   调用格式为:[v,l]= pdeeig(b,p,e,t,c,a,d,r)
       该命令用来求解特征值型偏微分方程(3.4.37)。
        ◆pdenonlin 调用格式为:[u,res]= pdenonlin(b,p,e,t,c,a,f)
       该命令使用具有阻尼的Newton迭代法,在由参量p、e、t确定的网格上求解非线性椭 圆型偏微分方程(3.4.31)。
      ◆poisolv 该命令在一个矩形网格上求解Poisson方程。   

    →结果处理:如Matlab的主要特色一样,在PDE工具箱中提供了丰富的图形显 示,因此用户不但可以对产生的网格进行图形显示和处理,对求解的数据也可以选择多种的图形显示和 处理方法,甚至包括对计算结果的动画显示。用户可以参考相关资料来使用。
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  • 神经网络求解二阶微分方程

    千次阅读 热门讨论 2020-11-20 15:10:41
    基于相关程序源码,我将他的一阶常微分方程求解扩充到二阶微分方程求解。并且按照此方法可以求解高阶常微分方程。 理论分析 对于任意一个微分方程,我们都可以用这个方程表示出 求解目的就是找出这样的一个方程:...

    神经网络求解二阶常微分方程

    最近课题组老师给出一篇文献,文件原文如链接一所示。需要让我使用深度神经网络求解偏微分方程。在相关调研过程中,CSDN上作者Trytobenice分享过相关的程序源码。基于相关程序源码,我将他的一阶常微分方程求解扩充到二阶常微分方程求解。并且按照此方法可以求解高阶常微分方程。

    理论分析

    对于任意一个微分方程,我们都可以用这个方程表示出
    在这里插入图片描述
    求解目的就是找出这样的一个方程:ψ(x),能够满足以上的G()函数。
    对于计算机求解,第一步要将其离散化处理:
    在这里插入图片描述
    人工神经网络若要求解该方程,那就设方程ψ(x)函数如下形式:
    在这里插入图片描述
    将预设的ψ(x)带入原方程中,只需要让G()函数在定义范围内达到最小,那就求解出这个方程了。二次方项是为了将负数对结果的影响消除。
    在这里插入图片描述
    下面再来分析ψ(x)的内容:
    在讲解这个解函数之前,需要给出一个补充知识。要求解出常微分方程,仅仅给出常微分方程表达式是不够的,还要给出常微分方程的初始条件和边界条件。这样才能保证解函数的唯一性。

    ψ(x)函数中包含两项。第一项是A(x),这一项是为了满足初始条件或者边界条件。第二项F{x,N(x,p)},这一项是神经网络满足偏微分方程的部分,不考虑边界条件。【注:为什么F()项能够不考虑边界条件,文中例子会给出介绍】

    继续看F{x,N(x,p)},这一项中包含N(x,p)。这个N()函数就是神经网络函数表达式形式。x表示输入数据,p表示神经网络中的参数。通过BP网络优化神经网络中的参数p,使神经网络能够达到最适,就能得到神经网络的解函数ψ(x)。

    设出这个解函数之后,我们下一步要根据解函数表达出微分方程。微分方程中至少包含一个微分项,可能是一阶,也可能是二阶;可能是常微分,也可能是偏微分。论文中给出神经网络N(x,p)输出对输入x的微分公式。公式形式如下:在这里插入图片描述
    式中k表示k阶导数,j表示对输入数据 xj(j是下角标) 的偏导。本文仅仅探讨常微分形式。

    举例分析

    这里给出一个一阶常微分方程表达式,用这个方程分析如何使用神经网络求解。方程入下:
    在这里插入图片描述
    并且给出边界条件,在这里插入图片描述
    这个方程有很明确的解析解,解析解如下所示:
    在这里插入图片描述
    对于神经网络求解,我们可以设神经网络解ψ(x)形式为:
    在这里插入图片描述
    在这里,满足边界条件的A(x)直接为1。不需要考虑边界条件的项F{x,N(x,p)}设为x*N(x,p),那么在x=0的情况下,解第二项直接为0,仅仅保留A(x),这样就能解释前部分的【注】。

    方法提升

    以上分析全部针对论文1的内容,论文1出版年份为1998年,论文2于2019年提出了更进一步的方法,下面我们进一步分析论文2的内容:

    论文2设计的神经网络与论文1,解析解设计过程中,直接设神经网络输出的结果为
    在这里插入图片描述
    在这里不考虑边界值,边界值在损失函数上体现。损失函数第一项如论文1相同,第二项体现边界值。损失函数通过以下函数给出:在这里插入图片描述
    论文2设计的神经网络结构非常简单,中间只有一个隐藏层,隐藏层中只有10个神经元。

    在这里插入图片描述

    代码结果

    在这里展示我使用Tensorflow设计的,求解二阶常微分方程的程序结果。二阶常微分方程式由以下方程给出:
    在这里插入图片描述

    二阶微分方程的初始值:
    在这里插入图片描述

    该微分方程的解析解:
    在这里插入图片描述

    使用设计的程序,仿真出的结果如图所示:
    在这里插入图片描述
    其中,解析解和神经网络解之间的差值用下图可以看出:
    在这里插入图片描述
    可以看到,这个拟合结果还是非常不错的,误差数量级控制在10^-4以下。

    有时间会在github上开源代码,到时候下载别忘了给我点一个star。

    论文1: Artificial neural networks for solving ordinary and partial differential equations
    论文2: Solving differential equations with neural networks: Applications to the calculation of cosmological phase transitions.

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  • 文章目录(1)偏微分方程的类型(二阶)(2)抛物线型1.显式法2.Crank-Nicholson隐式算法 (3)双曲线型(4)椭圆型 (1)偏微分方程的类型(二阶) a∂2u∂x2+b∂2u∂y∂x+c∂2u∂x2+d∂u∂x+e∂u∂y+fu+g=0a\frac{\partial^2u}{\...

    (1)偏微分方程的类型(二阶)

    a2ux2+b2uyx+c2ux2+dux+euy+fu+g=0a\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+b\frac{\partial^2u}{\partial y\partial x}+c\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+d\frac{\partial u}{\partial x}+e\frac{\partial u}{\partial y}+fu+g=0

    • b24ac<0b^2-4ac<0 椭圆
    • b24ac=0b^2-4ac=0 抛物线
    • b24ac<0b^2-4ac<0 双曲线

    (2)抛物线型

    1.显式法

    • 求解思想:通过差分的方法一排一排向上推。
    • 做划分并代入方程ui,j+1ui,jk=ui+1,j2ui,j+ui1,jh2  (Δx=h,Δt=k)\frac{u_{i,j+1}-u_{i,j}}{k}=\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{h^2}~~(\Delta x=h,\Delta t=k)
    • 通过化简得到ui,j+1=rui1,j+(12r)ui,j+rui+1,j  (r=kh2)u_{i,j+1}=ru_{i-1,j}+(1-2r)u_{i,j}+ru_{i+1,j}~~(r=\frac{k}{h^2})
    • 具体推的步骤大概如下:
      • 由于已知 u(x,0)=f(x)u(x,0)=f(x),因此相当于知道 u0,0,u1,0,u2,0u_{0,0},u_{1,0},u_{2,0}\dots
      • 通过上面的公式就可以推出来 u1,1,u2,1,u3,1u_{1,1},u_{2,1},u_{3,1}\dots,注意由于已知左边界和右边界,因此u0,1u_{0,1}也知道,所以第二排就可以全部推出来。
      • 通过上面的方式可以求出区域内全部的数值解。

    2.Crank-Nicholson隐式算法

    • 求解思想:也是一排一排向上推,但是这次是使用线性方程组一次性求出一排。
    • 这里采用相同的划分方式,但是代入不同的差分方程
    • 通过化简得到
    • 具体推的步骤大概如下:
      • 由于已知 u(x,0)=f(x)u(x,0)=f(x),因此相当于知道 u0,0,u1,0,u2,0u_{0,0},u_{1,0},u_{2,0}\dots
      • 通过上面的公式就可以推出来方程rui1,1+(2+2r)ui,1rui+1,1=c   (c)-ru_{i-1,1}+(2+2r)u_{i,1}-ru_{i+1,1}=c~~~(c是一个常数),注意由于已知左边界和右边界,所以这个其实就转化成在一维上的差分问题,最后列出全部的方程构成方程组求解即可。
      • 通过上面的方式可以求出区域内全部的数值解。
    • 一个例子:
    • 做划分并且代入差分方程
      k=0.01,h=0.1k=0.01,h=0.1
      ui1,j+1+4ui,j+1ui+1,j+1=ui1,j+ui+1,j-u_{i-1,j+1}+4u_{i,j+1}-u_{i+1,j+1}=u_{i-1,j}+u_{i+1,j}
    • 进行求解(这里利用了对称性,在 x=0.5x=0.5 两边是对称的,将j=0j=0隐去,并根据对称性将u6u_6替换成u4u_4)

    (3)双曲线型

    • 得到的差分方程为 (r=khr=\frac{k}{h}注意和之前的定义不同):
    • 划分需要满足一定的条件kh1c\frac{k}{h}\le\frac{1}c{}
    • 具体求解按照之前类似的方法即可。

    (4)椭圆型

    • 得到的差分方程为 (这里取kkhh相等):
    • 求解
      • 可以采用类似之前的隐式或者显式方法求解。
      • 可以采用迭代法求解,比如雅克比迭代,转换成下面的迭代式
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  • 二阶微分方程数学有限元法 用于FEM的代码Matlab ...该代码使用有限元方法求解具有不同边界条件(Neumann边界条件,Drichelet边界条件和周期边界条件)的二阶偏微分方程。 有关精确方程,请阅读名为的文档。
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  • 求解二阶常微分方程的预测-校正法推广到解非线性双曲型偏微分方程,并给出几种预测-校正格式.并用数值例子证明这些格式是有效的.
  • ​ 考虑一个定义在[a,b][a,b][a,b]上的二阶微分方程边值问题: −u¨(t)+q(t)u(t)=f(t),a<t<bu(a)=0,u(b)=0 -\ddot u(t)+q(t)u(t) = f(t),a<t<b\\ u(a) = 0,u(b) = 0 −u¨(t)+q(t)u(t)=f(t),a<t<...

    1.问题的提出

    ​ 考虑一个定义在[a,b][a,b]上的二阶常微分方程边值问题:
    u¨(t)+q(t)u(t)=f(t),a<t<bu(a)=0,u(b)=0 -\ddot u(t)+q(t)u(t) = f(t),a<t<b\\ u(a) = 0,u(b) = 0
    其中q,fC[a,b]q,f \in C[a,b]为已知的函数,t[a,b],q(t)0\forall t\in[a,b],q(t) \geq0

    2.求解方法(试函数法)

    我们定义以下nn个线性无关的基函数:
    ϕ1(t),ϕ2(t),...ϕn(t)ϕi(a)=ϕi(b)=0 \phi_1(t),\phi_2(t),...\phi_n(t)\\\phi_i(a) = \phi_i(b)=0
    我们将上述问题中的u(t)u(t)表述为上述基函数的线性组合
    u(t)U(t)=j=1nxjϕj(t) u(t)\sim U(t) = \sum_{j = 1}^nx_j\phi_j(t)
    现在的关键问题就是要先设定一个这样的基函数ϕi(t)\phi_i(t)

    例如一般可以选择以下两个函数

    ϕi(t)=sin(iπtaba),i=1,2...n\phi_i(t) = sin(i\pi\frac{t-a}{b-a}),i = 1,2...n

    ϕi(t)=(ta)(bt)ti,i=1,2...n\phi_i(t) = (t-a)(b-t)t^i,i = 1,2...n

    我们将U(t)U(t)带入上述的二阶常微分方程,求出残余量:
    R(t;x)=j=1nxjϕ¨j(t)+j=1nxjq(t)ϕj(t)f(t) R(t;x) = -\sum_{j = 1}^nx_j\ddot \phi_j(t)+\sum_{j= 1}^nx_jq(t)\phi_j(t)-f(t)
    那么如果我们可以找到满足条件x=(x1,x2,..xn)Tx = (x_1,x_2,..x_n)^T使得R(t;x)=0R(t;x)\overline = 0。但是这实际上是不可能找到这样的函数的,那么我们就只能退而求其次,用最小二乘法求xx^{*}:
    F(x)=minxRnabR(t;x)2dx F(x^*) = min_{x\in R^n}\int_a^bR(t;x)^2dx
    那么此时我们用最小二乘法的方程来求此xx^*:
    Fxj=0j=1,2..n \frac{\partial F}{\partial x_j} = 0\quad j = 1,2..n
    因此可以求出来:
    Fxj=2abR(t;x)(ϕ¨j(t)+q(t)ϕj(t))dt=0 \frac{\partial F}{\partial x_j} = 2\int_a^bR(t;x)(-\ddot \phi_j(t)+q(t)\phi_j(t))dt = 0
    化简一下:
    2ab(ϕ¨j(t)+q(t)ϕj(t))(i=1n(ϕ¨i(t)+q(t)ϕi(t))xi)dt2abf(t)(ϕ¨j(t)+q(t)ϕj(t))dt=0 2\int_a^b(-\ddot \phi_j(t)+q(t)\phi_j(t))(\sum_{i = 1}^n(-\ddot\phi_i(t)+q(t)\phi_i(t))x_i)dt-2\int_a^bf(t)(-\ddot \phi_j(t)+q(t)\phi_j(t))dt =0
    因此上面的式子可以化成矩阵形式:
    Ax=b A\vec x = \vec b
    其中bj=abf(t)(ϕ¨j(t)+q(t)ϕj(t))dtb_j = \int_a^bf(t)(-\ddot \phi_j(t)+q(t)\phi_j(t))dtaij=ab(ϕ¨i+qϕi)(ϕ¨j+qϕj)dta_{ij} = \int_a^b(-\ddot \phi_i+q\phi_i)(-\ddot\phi_j+q\phi_j)dt。求解上面的线性方程组便可以求出最合适的xx^*

    如果我们采用Galerkin方法,我们就是要求满足以下条件的xx^*
    abR(t;x)ϕi(t)dt=0i=1,2...n \int_a^bR(t;x)\phi_i(t)dt = 0\\ i = 1,2...n
    同理也可以求出以下线性方程组:
    By=c B\vec y = \vec c
    其中Bij=ab(ϕ˙jϕ˙i+qϕjϕi)dtB_{ij} = \int_a^b(\dot \phi_j \dot \phi_i+q\phi_j\phi_i)dt,cj=abfϕjdt,c_j = \int_a^bf \phi_jdt,j=1,2..nj = 1,2..n

    为了提高精度,我们可以不断的增加nn,也就是基函数的个数,由逼近定理:
    u(t)=limnUn(t)(Un(t)0) u(t ) = lim_{n \rightarrow \infty}U_n(t)(Un(t)两端为0,二次可微分)
    但是缺点也是明显的,就是说整体多项式的方法对于给定区域很难满足事先给定的边界条件

    3.方法的改进

    那么我们可以尝试下面的改进方法

    我们将[a,b][a,b]划分成一些充分小的区间:
    a=t0<t1<t2...<tn+1=b a = t_0<t_1<t_2...<t_{n+1} = b
    我们记有以下式子的成立:
    hi=ti+1tih=max0inhi h_i = t_{i+1} - t_i\\ h = max_{0\leq i \leq n}h_i
    这时候我们的基函数ϕi(t)\phi_i(t)可以记录为满足以下条件的kk此多项式:

    (1)在[ti,ti+1][t_i,t_{i+1}]ϕi(t)\phi_i(t)kk此多项式。

    (2)在整个区间[a,b][a,b]上连续。

    (3)满足边界条件ϕi(a)=ϕi(b)=0\phi_i(a) = \phi_i(b) = 0

    我们取k=1k = 1,即是ϕi(t)=ait+bi(t[ti,ti+1])\phi_i(t) = a_it+b_i(t\in[t_i,t_{i+1}])
    ϕi(t)={tti1hi1,t[ti1,ti]ti+1thi,t[ti,ti+1]0,else \phi_i(t) = \begin{cases}\frac{t-t_{i-1}}{h_{i-1}},t\in[t_{i-1},t_i]\\ \frac{t_{i+1}-t}{h_i},t \in[t_{i},t_{i+1}]\\ 0,else\end{cases}
    [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-fT9xjYzL-1607094784166)(D:\文件\2020 09 19\美赛软件\草图2.png)]

    其导数可以描述为:
    ϕ˙i(t)={1hi1,t[ti1,ti]1hi,t[ti,ti+1]0,else \dot \phi_i(t) = \begin{cases}\frac{1}{h_{i-1}},t\in[t_{i-1},t_i]\\ -\frac{1}{h_i},t \in[t_{i},t_{i+1}]\\ 0,else\end{cases}
    ϕi(ti)\phi_i(t_{i})只有在(i1,i+1)(i-1,i+1)上才不为0,所以有:
    ϕi(t)ϕj(t)=0ϕ˙i(t)ϕ˙j(t)=0 \phi_i(t)\phi_j(t) = 0\\ \dot \phi_i(t)\dot \phi_j(t) = 0
    因此有:
    Bii=ab((ϕ˙i(t))2+q(ϕi(t))2)dtBii1=ab(ϕ˙i(t)ϕ˙i1(t)+qϕi(t)ϕi1(t))dtBii+1=ab(ϕ˙i(t)ϕ˙i+1(t)+qϕi(t)ϕi+1(t))dt B_{ii} = \int_a^b((\dot \phi_i(t))^2+q(\phi_i(t))^2)dt\\ B_{ii-1} = \int_a^b(\dot \phi_i(t) \dot \phi_{i-1}(t)+q\phi_i(t)\phi_{i-1}(t))dt\\ B_{ii+1} = \int_a^b(\dot \phi_i(t) \dot \phi_{i+1}(t)+q\phi_i(t)\phi_{i+1}(t))dt\\
    我们对上面的式子化简可以得到:
    Q1,i=1hi2titi+1(ti+1t)(tti)q(t)dt,i=1,2...n1Q2,i=1hi12ti1ti(tti1)2q(t)dt,i=1,2...nQ3,i=1hi2titi+1(tti+1)2q(t)dt,i=1,2...nQ4,i=1hi1ti1ti(tti1)f(t)dt,i=1,2...nQ5,i=1hititi+1(ti+1t)f(t)dt,i=1,2...n Q_{1,i} = \frac{1}{h_i^2}\int_{t_i}^{t_{i+1}}(t_{i+1}-t)(t - t_{i})q(t)dt,i = 1,2...n-1\\ Q_{2,i} = \frac{1}{h_{i-1}^2}\int_{t_{i-1}}^{t_{i}}(t - t_{i-1})^2q(t)dt,i = 1,2...n\\ Q_{3,i} = \frac{1}{h_{i}^2}\int_{t_{i}}^{t_{i+1}}(t - t_{i+1})^2q(t)dt,i = 1,2...n\\ Q_{4,i} = \frac{1}{h_{i-1}}\int_{t_{i-1}}^{t_{i}}(t - t_{i-1})f(t)dt,i = 1,2...n\\ Q_{5,i} = \frac{1}{h_{i}}\int_{t_{i}}^{t_{i+1}}(t_{i+1} - t)f(t)dt,i = 1,2...n\\
    矩阵系数是:
    Bii=Q2,i+Q3,i+1hi1+1hiBi,i+1=Q1,i1hi,i=1,2..n1Bi,i1=Q1,i11hi1,i=2,3..nci=Q4,i+Q5,i B_{ii} = Q_{2,i}+Q_{3,i}+\frac{1}{h_{i-1}}+\frac{1}{h_i}\\ B_{i,i+1} = Q_{1,i}-\frac{1}{h_i},i = 1,2..n-1\\ B_{i,i-1} = Q_{1,i-1}-\frac{1}{h_{i-1}},i =2,3..n\\ c_i = Q_{4,i}+Q_{5,i}

    4.代码实现

    例如用有限元法求解以下的方程组:
    u¨+π2u=2π2sinπt0<t<1u(0)=0u(1)=0 -\ddot u + \pi^2u = 2\pi^2sin \pi t \quad 0<t<1\\ u(0) = 0\quad u(1) = 0
    在这里取hi=h=0.1,ti=0.1i,i=0,1..9h_i = h = 0.1,t_i = 0.1i,i = 0,1..9

    clc,clear;
    q = @(t)pi^2;
    f = @(t)2*pi^2*sin(pi*t);
    h = 0.1;
    Q = zeros(5,10);
    B = zeros(10,10);
    c = zeros(10,1);
    t = @(i)h*i;
    for i = 1:10
        if i< 10
            Q(1,i) = 1/h^2*quad(@(x)(t(i+1)-x).*(x-t(i))*pi^2,t(i),t(i+1));
        else
            Q(1,i) = 1/h^2*quad(@(x)(t(10)-x).*(x-t(9))*pi^2,t(9),t(10));
        end
        Q(2,i) = 1/h^2*quad(@(x)(x - t(i-1)).^2*pi^2,t(i-1),t(i));
        Q(3,i) = 1/h^2*quad(@(x)(x - t(i+1)).^2*pi^2,t(i),t(i+1));
        Q(4,i) = 1/h*quad(@(x)(x - t(i-1))*2*pi^2.*sin(pi*x),t(i-1),t(i)); 
        Q(5,i) = 1/h*quad(@(x)(t(i+1) - x)*2*pi^2.*sin(pi*x),t(i),t(i+1)); 
        B(i,i) = Q(2,i)+Q(3,i)+1/h+1/h;
        if i<=9
            B(i,i+1) = Q(1,i) - 1/h;
        end
        if i>1
            B(i,i-1) = Q(1,i-1)-1/h;
        end
        c(i) = Q(4,i)+Q(5,i);
    end
    x = inv(B)*c
    
    

    结果是:

    
    x =
    
        0.3165
        0.6032
        0.8335
        0.9864
        1.0489
        1.0177
        0.8992
        0.7100
        0.4750
        0.2261
    
    
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空空如也

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二阶偏微分方程求解