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  • 浅谈协方差矩阵

    2021-04-14 20:13:50
    前面提到的猥琐和受欢迎的问题是典型的二维问题,而协方差也只能处理二维问题,那维数多了自然就需要计算多个协方差, 必须要明确一点,协方差矩阵计算的是不同维度之间的协方差,而不是不同样本之间的。以下的演示...

    https://www.cnblogs.com/chaosimple/p/3182157.html

    https://blog.csdn.net/qq_23100417/article/details/84935692

    三、协方差矩阵

    前面提到的猥琐和受欢迎的问题是典型的二维问题,而协方差也只能处理二维问题,那维数多了自然就需要计算多个协方差,

    必须要明确一点,协方差矩阵计算的是不同维度之间的协方差,而不是不同样本之间的。以下的演示将使用Matlab,为了说明计算原理,不直接调用Matlab的cov函数:

    首先,随机生成一个10*3维的整数矩阵作为样本集,10为样本的个数,3为样本的维数。

    根据公式,计算协方差需要计算均值,前面特别强调了,协方差矩阵是计算不同维度之间的协方差,要时刻牢记这一点。样本矩阵的每行是一个样本,每列是一个维度,因此我们要按列计算均值(简单的例子:样本集合4*3(四个人*科目),一共列出四人的成绩;科目:英语,数学,物理,。那么如果要求物理好的人数学一般就会好,这样就是需要求的是列。而不是行,只要确定行或列是样本还是样本内的特征)。为了描述方便,我们先将三个维度的数据分别赋值:

    wps_clip_image-17278

    图 2 将三个维度的数据分别赋值

    计算dim1与dim2,dim1与dim3,dim2与dim3的协方差:

    wps_clip_image-19087

    图 3 计算三个协方差

    协方差矩阵的对角线上的元素就是各个维度的方差,下面我们依次计算这些方差:

    wps_clip_image-20207

    图 4 计算对角线上的方差

    这样,我们就得到了计算协方差矩阵所需要的所有数据,可以调用Matlab的cov函数直接得到协方差矩阵:

    wps_clip_image-25729

    图 5 使用Matlab的cov函数直接计算样本的协方差矩阵

    计算的结果,和之前的数据填入矩阵后的结果完全相同。

     

    五、总结

    理解协方差矩阵的关键就在于牢记它的计算是不同维度之间的协方差,而不是不同样本之间。拿到一个样本矩阵,最先要明确的就是一行是一个样本还是一个维度,心中明确整个计算过程就会顺流而下,这么一来就不会迷茫了。

     

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  • 协方差矩阵

    2019-12-05 11:41:28
    参考图二中的二维特征空间: 对于这个数据,我们可以用x轴方向计算出方差σ(x,x),用y轴方向计算出方差σ(y,y)。然而,数据的水平扩展和垂直扩展不能清晰解释对角线上的相关性。图二清晰表明,整...

    先讨论下方差的概念和样本方差。图一为标准差,标准差提供了一种衡量数据在特征空间的分布程度。
    在这里插入图片描述
    我们知道无偏估计的样本方差公式可以通过如下方式获得:
    在这里插入图片描述
    但是,方差只能用于解释数据在平行于特征空间轴上的扩展。参考图二中的二维特征空间:
    在这里插入图片描述
    对于这个数据,我们可以用x轴方向计算出方差σ(x,x),用y轴方向计算出方差σ(y,y)。然而,数据的水平扩展和垂直扩展不能清晰解释对角线上的相关性。图二清晰表明,整体而言,如果数据点x值增加,那么y值也增加,他们之间是正相关的。我们将方差的概念扩展为协方差时,就能更好地解释这种相关性。

    在这里插入图片描述
    对于二维的数据,我们可以得到σ(x,x),σ(y,y),σ(x,y),σ(y,x)。这四个值可以汇总成一个矩阵,称为协方差矩阵:
    在这里插入图片描述
    如果x正相关与y,那么y也同样正相关与x;换句话说,σ(x,y)=σ(y,x)。因此,协方差矩阵通常都是一个对称矩阵,其对角线上为方差,非对角线上为协方差。二维正态分布的数据完全由其均值和2x2的协方差矩阵解释。同样,3x3的协方差矩阵用来解释三维空间上的数据,NxN的协方差矩阵用来解释N维的空间数据。

    在这里插入图片描述
    协方差最大的特征向量永远指向能够使得投影方差最大的方向,其方向向量大小刚好等于对应的特征值。第二大的特征向量总是与第一大特征向量正交,并指向数据第二大扩展方向。

    下面我们将举例说明:
    如果协方差矩阵是对角矩阵,即协方差全为0,这就意味着常查等于特征值λ。如图四 ,其中特征向量用绿色和品红区分,可以明显看出特征值等于协方差矩阵的方差分量。
    在这里插入图片描述
    然而,如果协方差矩阵不是对角矩阵,情况就会变得复杂一些。特征值依然表示在最大扩展方向上的方差幅度,同时,协方差的方差分量依然表示数据关于x轴和y轴的方差幅度大小。因为这些数据不再是轴对称的,所以这些值不再相同。

    在这里插入图片描述
    通过比较图四和图五,特征值表示数据随特征向量方向的方差,同时,协方差的方差分量表示沿着坐标轴的扩散。如果不存在相关性,那么两个值都应该相等。

    链接:https://www.jianshu.com/p/a657bb8eabab

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  • 对于二维数据集(X,Y)来说协方差的计算公式为: 该计算公式表明,协方差是一个数值,当X与Y如果是正相关,那么协方差c必定是大于零的,同时如果X与Y如果都比较分散,则c的值也会非常大;当X与Y如果是负相关,...

    对于二维数据集(X,Y)来说协方差的计算公式为:

     cov(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))

    该计算公式表明,协方差是一个数值,当X与Y如果是正相关,那么协方差c必定是大于零的,同时如果X与Y如果都比较分散,则c的值也会非常大;当X与Y如果是负相关,那么协方差c必定是小于零的,同时如果X与Y如果都比较分散,则c的绝对值也会非常大;当c的值为0,则X与Y是相互独立的。通过协方差我们可以看出两个变量间的关系与元素的大概分布情况。

    但是协方差只能对二维数据进行计算,很多情况下我们的数据往往是多维的,因此需要用到协方差矩阵。

    如果有一个三维的数据集(X,Y,Z),那么它的协方差矩阵为:

    \LARGE \bigl(\begin{smallmatrix} cov(X,X) &cov(X,Y) &cov(X,Z) \\ cov(Y,X)&cov(Y,Y)&cov(Y,Z) \\ cov(Z,X)&cov(Z,Y) &cov(Z,Z) \end{smallmatrix}\bigr)

    很明显协方差矩阵是将样本中的各个维度相互之间计算协方差。对于一个包含m个n维向量的样本(m个样本,每个样本包含n个维度的信息),其协方差矩阵为n*n。使用矩阵运算表示协方差矩阵为:Cov(X)=E((X-E(X))(X-E(X))^T) =\frac{1}{m-1}\sum (X-\mu)(X-\mu)^T

    上述式子在具体运算的操作上为,首先对各个维度的数据求均值,然后单个的向量(样本,且为列向量)减去各维度的均值得到新的列向量,然后将新的列向量乘以其转置(矩阵的乘法,单个维度分别与各个维度的数据相乘)得到一个新的矩阵。然后将样本集中所有的向量运算后的矩阵进行相加,然后除以常数1/(m-1)(无偏估计),得到协方差矩阵。

    协方差矩阵是一个轴对称矩阵,其对角线为各个维度的方差。该矩阵体现的是样本的各个维度之间的关系,而非个样本之间的关系。

    散度矩阵又叫类内散度矩阵将协方差矩阵乘以(n-1)就得到了散度矩阵,散度矩阵是衡量样本分散程度的。

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  • 协方差矩阵对学统计的来说很重要,本文详细说明其相关知识(计算公式等)以及来历与实质含义。其实质主要是从一到多维的一个推广。从以下几个点去描述它的来历: 一、低样本情形的统计量:均值、标准差、方差 ...

    协方差矩阵对学统计的来说很重要,本文详细说明其相关知识(计算公式等)以及来历与实质含义。其实质主要是从一维到多维的一个推广。从以下几个点去描述它的来历:

    一、低维样本情形的统计量:均值、标准差、方差

    二、高维样本情形的统计量::均值、协方差

    三、相关复杂概念、问题的解释

     

    一、低维情形的统计量:均值、标准差、方差

    假设自然数集中抽取一个含有3个样本的集合  S:=(1,2,3), 我们简记这个集合的一些统计概念: 均值: {\bar S},方差:var(S),标准差: \sigma(S),   依次给出这些概念的公式描述。

    均值一般指平均数。平均数,统计学术语,是表示一组数据集中趋势的量数,是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数。它是反映数据集中趋势的一项指标。解答平均数关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数。对于样本S,其平均值为

    {\bar S} = \frac{1+2+3}{3}=2

    标准差: 简单来说,标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。一个较大的标准差,代表大部分数值和其平均值之间差异较大;一个较小的标准差,代表这些数值较接近平均值。 

    对于我们设的样本S,其标准差为

    \sigma(S)=\sqrt{\frac{(1-{\bar S})^2+(2-{\bar S})^2 + (3-{\bar S})^2}{3-1}}=1

    方差=标准差的平方。对于我们设的样本S,其方差为:

    var(S)=\frac{(1-{\bar S})^2+(2-{\bar S})^2 + (3-{\bar S})^2}{3-1}=1

    注: 如是总体(即估算总体方差),根号内除以n(对应excel函数:STDEVP);  如是抽样(即估算样本方差),根号内除以(n-1)(对应excel函数:STDEV);【这一点的理解具体在后面3.1节有详细解释。】

    二、高维矩阵情形的统计量:均值、协方差

    前面讲的是对于一维样本但往往现实生活中样本的特征是多维的,下面假设有3个样本(3行),每个样本有2个特征(2列):

    S=\begin{matrix} 1&2 \\ 2&3 \\ 3&4 \end{matrix}

    上面这个样本不妨假设成3个哥们儿:小王、小二和小三, 第一个特征是知识储备量,第二个特征是受女孩子欢迎度。比如:小王知识储备量为1个单位,受欢迎度为2。 面对这样的数据集,我们当然可以按照每一维独立的计算其方差,但是通常我们还想了解更多,比如,一个知识储备量跟他受女孩子欢迎程度是否存在一些联系啊,嘿嘿~协方差就是这样一种用来度量两个随机变量关系的统计量。

    首先记第一个特征(第一列)为   S_1:=\{1,2,3\}, 记第二个特征(第二列)为   S_2:=\{2,3,4\}, 很容易计算这两个特征的均值:

     

    {\bar S_1} = \frac{1+2+3}{3}=2,{\bar S_2} = \frac{2+3+4}{3}=3.

    以及其方差:

    var(S_1)=\frac{(1-{\bar S_1})^2+(2-{\bar S_1})^2 + (3-{\bar S_1})^2}{3-1}=1,\\~~~~~ var(S_2)=\frac{(2-{\bar S_2})^2+(3-{\bar S_2})^2 + (4-{\bar S_2})^2}{3-1}=1.

    我们仿照方差的定义 来 定义两个特征偏离其均值的程度,记为cov(S_1,S_2)

    cov(S_1,S_2)\\ =\frac{(1-{\bar S_1})(2-{\bar S_2})+(2-{\bar S_1})(3-{\bar S_2}) +(3-{\bar S_1})(4-{\bar S_2}) }{2-1}=1

    因此协方差矩阵可以写成如下形式:

    C=\bigl(\begin{smallmatrix} cov(S1,S1) & cov(S1,S2) \\ cov(S2,S1) & cov(S2,S2) \end{smallmatrix}\bigr).

    如果结果为正值,则说明两者是正相关的(从协方差可以引出“相关系数”的定义),也就是说一个人越知识越多就越受女孩子欢迎,那必须的~结果为负值就说明负相关的,越有知识女孩子越讨厌。 如果为0,也是就是统计上说的“相互独立”。

    此外,从协方差的定义上我们也可以看出一些显而易见的性质,如自协方差等于方差、交换性等:

    cov(S_1,S_1)=var(S_1), cov(S_1,S_2)=cov(S_2,S_1);

     

    三、相关复杂概念、问题的解释

    3.1对于前面提到的,为什么对于样本分母要n-1的一个回答:

    随机变量的方差描述的是变量的离散程度,

    Var(X)=E[(X-\mu)^2]=E(\frac{1}{n}\sum (X_i-\mu)^2)=\sigma^2

    而样本方差是对整体方差做的无偏估计:

    Var(X)=E[(X-\bar X)^2]=E(\frac{1}{n-1}\sum (X_i-\bar X)^2)=\sigma^2

    无偏估计, 上中学时第一次学习样本方差时便对分母n-1感到疑惑,为什么不是n呢?当年没有细究.现在消减一些困惑吧_.

    为什么分母为n不行?

    注意到公式中使用了最大似然法,用\bar X 来估算整体的均值\mu,

    \mathbb S^2 \nonumber &={1\over n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2

    则我们有

    \begin{align}E[\mathbb S^2] \nonumber &=E[{1\over n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2] \\ \nonumber &= E[{1\over n}\sum_{i=1}^n [(X_i-\mu)+(\mu-\bar X)]^2] \\ \nonumber &= E[[{1\over n}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu)^2]-(\bar X-\mu)^2] \\ \nonumber &=\text{Var}(X)-E[(\bar X-\mu)^2] \\ \nonumber &= \sigma^2-{1\over n}\sigma^2={n-1\over n}\sigma^2 \\ \nonumber &\le \sigma^2 \nonumber \end{align}

    其中,

    E[(\bar X-\mu)^2=var(\bar X)=var({1\over n}\sum_{i=1}^n (X_i))\\ ={1\over n^2}\sum_{i=1}^n var (X_i)={1\over n^2} n \sigma^2={1\over n} \sigma^2

    可以看到,分母为n时, 对整体方差的估计可能会变小,只有当 \bar X= \mu 时才是无偏估计, 因此我们可以将分母变小来使方差更接近真实值. 那么分母该为多少呢?为什么分母n-1行?

    替换式子中Var(X)如下:

    \text{Var}(X)=\sigma^2={n\over n-1}E[S^2] = {1\over n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar X)

    即为无偏估计.

     

    因此样本方差等于总体方差减样本均值的方差。如果用样本均值去估计总体均值,对总体方差的估计是有偏差的,偏差是样本均值的方差。需要做Bessel's correction去修正偏差,让偏差的期望等于0。

    当然了,当n很大的时候,其实除以n和除以n-1的区别并不大。随着样本的增多,两者都会收敛到真实的总体方差。

    方差是协方差的特殊情况,就是当两个变量x与y相等时候的情况。既然我们已经知道样本方差为什么是除以n-1。那么样本协方差也是一样的道理。

    分母是n-1的情况下,估计值是总体方差的无偏估计。分母是n的情况下,值是最大似然估计。

    如果觉得样本够大,那么用n-1是不错的,因为在大样本下,参数的方差就算大一点儿也不会多多少,影响也不会大到哪儿去。统计是一门很灵活的学科,不同的数据,会有不同的方法来处理。

     

    3.2 补充材料:极大似然估计的理解

    极大似然估计是建立在极大似然原理的基础上的一个统计方法,极大似然原理的直观想法是,一个随机试验如有若干个可能的结果A,B,C,... ,若在一次试验中,结果A出现了,那么可以认为实验条件对A的出现有利,也即出现的概率P(A)较大。极大似然原理的直观想法我们用下面例子说明。设甲箱中有99个白球,1个黑球;乙箱中有1个白球.99个黑球。现随机取出一箱,再从抽取的一箱中随机取出一球,结果是黑球,这一黑球从乙箱抽取的概率比从甲箱抽取的概率大得多,这时我们自然更多地相信这个黑球是取自乙箱的。一般说来,给定一个概率分布:如1000个球有a个黑b个白,而a和b就是我们需要估计的参数。   事件A发生的概率与未知参数a和b有关, 取值不同,则事件A发生的概率P(A|\theta)也不同,当我们在一次试验中事件A发生了,则认为此时的 \theta 应是 a 的一切可能取值中使P(A|\theta)达到最大的那一个,极大似然估计法就是要选取这样的a值作为参数a的估计值,使所选取的样本在被选的总体中出现的可能性为最大。极大似然估计,只是一种概率论在统计学的应用,它是参数估计的方法之一。说的是已知某个随机样本满足某种概率分布,但是其中具体的参数不清楚,参数估计就是通过若干次试验,观察其结果,利用结果推出参数的大概值。极大似然估计是建立在这样的思想上:已知某个参数能使这个样本出现的概率最大,我们当然不会再去选择其他小概率的样本,所以干脆就把这个参数作为估计的真实值。当然极大似然估计只是一种粗略的数学期望,要知道它的误差大小还要做区间估计。

     

    引用: https://blog.csdn.net/weixin_39849762/article/details/111800019

     

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