保持依赖的判断。 

如果F上的每一个函数依赖都在其分解后的某一个关系上成立，则这个分解是保持依赖的（充分条件）。 

如果上述判断失败，并不能断言分解不是保持依赖的，因为上面只是充分条件，还要使用下面的通用方法来做进一步判断。 

过程表述如下： 

对F上的每一个α→β使用下面的过程：

result:=α; 
while(result改变)do 
for each 分解后的Ri 
t=(result∩Ri)+ ∩Ri 
result=result∪t

例1：考虑关系模式R（A，B，C，D）分解｛R1（A，B），R2（BC），R3（C，D）｝，

函数依赖集F=｛A→B，B→C，C→D，D→A}

显然，AB包含于R1，BC包含于R2，CD包含于R3。因此，只需要验证是否有D→A呗分解p所保持。为此，我们使用算法。

首先，result=｛D｝进入 repeat循环，当i=1时不改变，因为｛D｝U（（｛D｝∩｛A，B｝）+∩｛A，B｝）仍是｛D｝。

同样方法，当i=2时Z不变。然而，i=3时，我们得到

result=｛D｝U（（｛D｝∩{C，D｝）+∩{C,D｝

=｛D｝U（｛D｝+∩｛C，D｝)=｛D｝U（｛A，B，C，D｝∩｛C，D｝）

=｛C，D}

再次执行 repeat的循环体，当i=2时产生result=｛B，C，D｝而第三遍，当i=1时置result为｛A，B，C，D｝。此后，T不再改变。这样，result=｛A，B，C，D}它包含A，因此，D→A被分解所保持。从而是保持函数依赖的分解。

例2：已知R<U,F>，U={A,B,C,D,E}，F={A→C,B→C,C→D,DE→C,CE→A}，R的一个分解为R1(AD)，R2(AB)，R3(BE)，R4(CDE)，R5(AE)，判断这个分解是否具有函数依赖性。

先看F中每一个函数依赖，R4有C->D,DE->C。A->C,B->C,CE->A。这三个函数依赖分解模式里均未能覆盖。

开始使用算法进行检测：

首先对于A->C，result = A，（A）+ = ACD ，T=AD，result=AD，result改变，进入下一个循环：result = AD,（ABD）+ = ABCD ，t=AB，result=ABD。

result改变：result = ABD, （ABD）+ = ABCDE, t=BE，result=ABDE。

result改变：result = ABDE，（ABCD）+=ABCDE，t=CDE，result=ABCDE。

result改变：（从这一步就能看出来，保持了函数依赖了，因为已经包含C了）result = ABCDE，（ABCDE）+=ABCDE,t=AE，result=ABCDE。

result未改变。退出循环。、由于result=ABCDE，包含了C，所以分解保持函数依赖。
 

是否为无损连接

方法一：无损连接定理

关系模式R(U，F)的一个分解，ρ={R1<U1,F1>,R2<U2,F2>}具有无损连接的充分必要条件是：

U1∩U2→U1-U2 €F+ 或U1∩U2→U2 -U1€F+

方法二：算法

ρ={R1<U1,F1>,R2<U2,F2>,…,Rk<Uk,Fk>}是关系模式R<U,F>的一个分解，U={A1,A2,…,An}，F={FD1,FD2,…,FDp}，并设F是一个最小依赖集，记FDi为Xi→Alj，其步骤如下：

① 建立一张n列k行的表，每一列对应一个属性，每一行对应分解中的一个关系模式。若属性Aj Ui，则在j列i行上真上aj，否则填上bij；

② 对于每一个FDi做如下操作：找到Xi所对应的列中具有相同符号的那些行。考察这些行中li列的元素，若其中有aj，则全部改为aj，否则全部改为bmli，m是这些行的行号最小值。

如果在某次更改后，有一行成为：a1,a2,…,an，则算法终止。且分解ρ具有无损连接性，否则不具有无损连接性。

对F中p个FD逐一进行一次这样的处理，称为对F的一次扫描。

③ 比较扫描前后，表有无变化，如有变化，则返回第② 步，否则算法终止。如果发生循环，那么前次扫描至少应使该表减少一个符号，表中符号有限，因此，循环必然终止。

举例1： 已知R<U,F>，U={A,B,C}，F={A→B}，如下的两个分解：

① ρ1={AB,BC}

② ρ2={AB,AC}

判断这两个分解是否具有无损连接性。

①因为AB∩BC=B，AB-BC=A，BC-AB=C

所以B→A ¢F+，B→C ¢ F+

故ρ1是有损连接。

② 因为AB∩AC=A，AB-AC=B，AC-AB=C

所以A→B €F+，A→C ¢F+

故ρ2是无损连接。

举例2： 已知R<U,F>，U={A,B,C,D,E}，F={A→C,B→C,C→D,DE→C,CE→A}，R的一个分解为R1(AD)，R2(AB)，R3(BE)，R4(CDE)，R5(AE)，判断这个分解是否具有无损连接性。

① 构造一个初始的二维表，若“属性”属于“模式”中的属性，则填aj，否则填bij

② 根据A→C，对上表进行处理，由于属性列A上第1、2、5行相同均为a1，所以将属性列C上的b13、b23、b53改为同一个符号b13（取行号最小值）。

③ 根据B→C，对上表进行处理，由于属性列B上第2、3行相同均为a2，所以将属性列C上的b13、b33改为同一个符号b13（取行号最小值）。

④ 根据C→D，对上表进行处理，由于属性列C上第1、2、3、5行相同均为b13，所以将属性列D上的值均改为同一个符号a4。

⑤ 根据DE→C，对上表进行处理，由于属性列DE上第3、4、5行相同均为a4a5，所以将属性列C上的值均改为同一个符号a3。

⑥ 根据CE→A，对上表进行处理，由于属性列CE上第3、4、5行相同均为a3a5，所以将属性列A上的值均改为同一个符号a1。

⑦ 通过上述的修改，使第三行成为a1a2a3a4a5，则算法终止。且分解具有无损连接性。

是否保持函数依赖

方法一：算法
对于关系模式R(U,F), 设P = {R1(U1,F1) , R2(U2,F2) , … , Rn(Un,Fn)}是R的一个分解，若F+ = （UFi)+ ，则称分解P是保持函数依赖。 注：U：并集

例：R ={A，B，C，D，E}，F = {B → A ， D → A ， A → E , AC → B}，判断分解P ={R1（ABCE） ， R2（CD）}是否保持函数依赖

解：
首先，我们需要将R1和R2的函数依赖F1，F2找到。
显然有 F1 = {B → A ，A → E ， AC → B} ，F2 = { }
注：这样就找全了吗？其实不然，在这一步中最容易漏掉部分函数依赖，比如传递依赖等关系会因为F的分组而丢失。
因此，在这一步，我的习惯是计算一下左边属性的闭包 B+ ={B,A,E} 显然 B 和 E存在传递依赖 即 B → E，同理 D+={D，A，E} ，发现D+没有C，即D推不出C A+={A，E} (AC)+ = {A ,C , B, E}，显然 AC → A ， AC→ E
综上，F1 更新为 F1 = {B → A ，A → E ， AC → B， B → E，AC → A ， AC→ E}
F2依旧是空集
令 G = F1 ∪ F2 = {B → A ，A → E ， AC → B， B → E，AC → A ， AC→ E}
我们检查一下F中的函数依赖，是否在G中全部都出现，如果出现，则算法结束，保持函数依赖 发现，D → A 不在G中，此时，我们需要计算元素D在G下的闭包
显然，D+ ={D} 不包含A，因此该分解不保持函数依赖。
注：如果D+ ={D ,A }，包含了A，则该分解保持函数依赖.

判断无损连接性：

方法一：无损连接定理

关系模式R(U，F)的一个分解，ρ={R1<U1,F1>,R2<U2,F2>}具有无损连接的充分必要条件是：

U1∩U2→U1-U2 ∈F+ 或U1∩U2→U2 -U1∈F+

方法二：算法

ρ={R1<U1,F1>,R2<U2,F2>,...,Rk<Uk,Fk>}是关系模式R<U,F>的一个分解，U={A1,A2,...,An}，F={FD1,FD2,...,FDp}，并设F是一个最小依赖集，记FDi为Xi→Alj，其步骤如下：

① 建立一张n列k行的表，每一列对应一个属性，每一行对应分解中的一个关系模式。若属性Aj ∈Ui，则在j列i行填上aj，否则填上bij；

② 对于每一个FDi做如下操作：找到Xi所对应的列中具有相同符号的那些行。考察这些行中li列的元素，若其中有aj，则全部改为aj，否则全部改为bmli，m是这些行的行号最小值。

如果在某次更改后，有一行成为：a1,a2,...,an，则算法终止。且分解ρ具有无损连接性，否则不具有无损连接性。

对F中p个FD逐一进行一次这样的处理，称为对F的一次扫描。

③ 比较扫描前后，表有无变化，如有变化，则返回第② 步，否则算法终止。如果发生循环，那么前次扫描至少应使该表减少一个符号，表中符号有限，因此，循环必然终止。

判断保持函数依赖：

若F+=F1+∪F2+∪...∪Fk+，则R<U，F>的分解ρ={R1<U1，F1>，R2<U2，F2>，...，Rk<Uk，Fk>}保持函数依赖。

例题：

对于属性集ABCDEF和函数依赖集{A→BC，CD→E，B→D，BE→F，EF→A}，说明下列分解a.是否是无损连接分解；b.是否保持函数依赖。

(1){ABCD，EFA}

a.判断无损连接分解

U1∩U2=A,

U1-U2=BCD,

U2-U1=EF

存在A→BCD∈F+，所以分解是无损连接分解。

b.判断保持函数依赖

U1=ABCD，F1+={A→BC，B→D}

U2=EFA，F2+={EF→A}

丢失了CD→E，BE→F，因此没有保持函数依赖。

用算法判断是否无损连接

设有关系模式R(U，V，W，X，Y，Z)，其函数依赖集：F＝{U→V，W→Z，Y→U，WY→X}，现有下列分解：p＝{UVY，WXYZ}

判断分解p是否为无损连接

一、画出这样的二维图

二、在纵轴每个关系中拥有的元素添加ai（看下面）

三、根据函数依赖集（F＝{U→V，W→Z，Y→U，WY→X}）中的每个依赖，填充二维表（看下面）

根据U→V有

就是看U列和V列在某个关系中是否存在，如果存在，则在其他关系里的V列加上

这里是U 和 V在UVY里都存在，所以在WXYZ 里加上V关系

根据W→Z

根据Y→U

根据WY→X

无损连接分解在二维图里的表示方式就是，有其中一行全部覆盖了ai（这里是WXYZ行）

所以是无损分解。