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  • 向量内积

    2019-10-14 10:58:00
    向量内积的理解向量内积的定义向量内积的性质向量内积的几何意义向量内积可以做什么 向量内积的定义 概括地说,向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作...

    向量内积的定义

    概括地说,向量的内积(点乘/数量积)。对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b:
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述
    a和b的点积公式为:
    在这里插入图片描述
    这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意:点乘的结果是一个标量(数量而不是向量)

    定义:两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),特别地,0·a =a·0 = 0;若a,b是非零向量,则a与b为正交的充要条件是a·b = 0。

    向量内积的性质

    1. a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a = 0. (正定性)
    2. a·b = b·a. (对称性)
    3. (λa + μb)·c = λa·c + μb·c,对任意实数λ, μ成立. (线性)
    4. cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).
    5. |a·b| ≤ |a||b|,等号只在a与b共线时成立.

    向量内积的几何意义

    内积(点乘)的几何意义包括:

    1. 表征或计算两个向量之间的夹角
    2. b向量在a向量方向上的投影
      公式:
      在这里插入图片描述

    向量内积可以做什么

    一个重要的应用就是可以根据内积判断向量a和向量b之间的夹角和方向关系,具体来说:

    a·b>0 方向基本相同,夹角在0°到90°之间
    a·b=0 正交,相互垂直
    a·b<0 方向基本相反,夹角在90°到180°之间
    简单来说就是内积可以反映出两个向量之间的某种关系或联系。

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    表格

    Markdown Extra 表格语法:

    项目 价格
    Computer $1600
    Phone $12
    Pipe $1

    可以使用冒号来定义对齐方式:

    项目 价格 数量
    Computer 1600 元 5
    Phone 12 元 12
    Pipe 1 元 234

    定义列表

    Markdown Extra 定义列表语法:
    项目1
    项目2
    定义 A
    定义 B
    项目3
    定义 C

    定义 D

    定义D内容

    代码块

    代码块语法遵循标准markdown代码,例如:

    @requires_authorization
    def somefunc(param1='', param2=0):
        '''A docstring'''
        if param1 > param2: # interesting
            print 'Greater'
        return (param2 - param1 + 1) or None
    class SomeClass:
        pass
    >>> message = '''interpreter
    ... prompt'''

    脚注

    生成一个脚注1.

    目录

    [TOC]来生成目录:

    数学公式

    使用MathJax渲染LaTex 数学公式,详见math.stackexchange.com.

    • 行内公式,数学公式为:Γ(n)=(n1)!nN
    • 块级公式:

    x=b±b24ac2a

    更多LaTex语法请参考 这儿.

    UML 图:

    可以渲染序列图:

    Created with Raphaël 2.1.2张三张三李四李四嘿,小四儿, 写博客了没?李四愣了一下,说:忙得吐血,哪有时间写。

    或者流程图:

    Created with Raphaël 2.1.2开始我的操作确认?结束yesno
    • 关于 序列图 语法,参考 这儿,
    • 关于 流程图 语法,参考 这儿.

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    1. 这里是 脚注内容.
    展开全文
  • 向量的点积,也叫向量内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果一个标量。设有两个向量:则它们的点积为:可以表示为: X . Y 1) 坐标点到原点的距离...

    向量的点积,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。

    设有两个向量:


    则它们的点积为:


    可以表示为: X . Y 

    1)  坐标点到原点的距离公式为:

    sqrt( X1^2  + X2^2 + .... + Xn^2)

    所以可以采用向量点积表示: sqrt( V. V),也就是等于向量与自己本身的点积再开根号。因此在图形学里,计算坐标点到原点的距离,就采用计算点积开根号。


    2)三维空间座标两点间距离公式: 

    记A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则A,B之间的距离为 
    d=√[(x1-x2)^2+(y1-y2)^2+(z1-z2)^2]

    所以两点之间的距离可以使用向量表示为:

    设置点P, Q,那么距离等于 向量Q - P的长度,也就是等于sqrt( (Q-P). (Q-P))。


    3)点积可以表示向量夹角:


    点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影。

    根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向,是否正交(也就是垂直)等方向关系,具体对应关系为:


         a·b>0    方向基本相同,夹角在0°到90°之间
         a·b=0    正交,相互垂直  
         a·b<0    方向基本相反,夹角在90°到180°之间 


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    以前从未深入想过格林公式的含义,只是隐约知道二维的面积积分和一维的曲线积分有什么关联,书上也讲得很含糊,不肯道明。今天我对着这个公式看了半个多小时,领悟了新的旋转内涵。

    把PQ看着一个向量场<P,Q>, 那么公式左边就是旋度,用旋度对面积微元进行积分,好像也是个和旋转程度相关东西。那么公式的右边是什么玩意儿,想了很久,右边可以看作向量场和路径向量的内积( <P,Q > , <dx, dy>), 一下子就明了了。左边是向量场在一块面积上的旋转程度,右边是向量场在这块面积边缘一圈的旋转程度。这两个等价。意思就是,面积中所有的旋转都能在它的边缘体现出来。

    画成图表示就是

    四个小正方形的旋转,叠加起来,就是外面的大旋转,小正方形共边的地方旋转两两抵消

    我想了一下这个旋转的含义,这是以前看教科书上的标准证明没有表达过的。自喜之余,我用“格林公式 旋转”网上一搜,果不其然,结果很多。很奇怪当年数学老师都没有在课上点出这样的思想

    有类似思想的还有高斯公式

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