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  • 三个向量叉乘公式的证明推导

    千次阅读 2021-03-28 17:23:19
    三个向量叉乘的公式 二重积应该都看得懂有手就行 那么三重积应该怎么推导呢? 首先看标量三重积 标量三重积是三个向量中一个和另两个向量叉积相乘得到点积,其结果是个标量。 设a,b,c为三个向量,则标量三重...

    三个向量叉乘的公式

    在这里插入图片描述
    二重积应该都看得懂有手就行 那么三重积应该怎么推导呢?

    首先看标量三重积
    标量三重积是三个向量中的一个和另两个向量的叉积相乘得到点积,其结果是个标量。
    a,b,c为三个向量,则标量三重积定义为 a·(bxc)

    证明
    a=a1i+a2j+a3k
    b=b1i+b2j+b3k
    c=c1i+c2j+c3k

    用两张图第一张是百度文库的,第二张是我用鼠标写的,因为百度文库少了一步关键的拆解过程
    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    然后是矢量三重积
    在这里插入图片描述
    [流氓证法]先算bxc 会获得b向量和c向量所在平面的法向量 再叉乘a结果必为b和c所在平面
    ax(bxc)=nb+mc

    又因为此时的a必垂直(nb+mc
    故 a·(nb+mc)=na·b+ma·c=0
    则 n = ac , m = -ab
    ax(bxc)=(ac) b-(ab)c

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  • 点乘公式的推导叉乘 叉乘概念: 叉乘几何意义 点乘: 向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。要求一维向量a和...

    目录

    点乘:

    点乘的几何意义:

    点乘公式:

    点乘公式的推导:

    叉乘

    叉乘概念:

    叉乘几何意义


    点乘:

    向量的点乘,也叫向量的内积、数量积,对两个向量执行点乘运算,就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,点乘的结果是一个标量。要求一维向量a和向量b的行列数相同。

    简单说:相乘之后求和的操作。

    点乘的几何意义:

       是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角,以及在b向量在a向量方向上的投影。

    点乘公式:

    对于向量a和向量b:

                                                               

     

    a和b的点积公式为:


    点乘公式的推导:

    推导过程如下,首先看一下向量组成:

     

     

    定义向量:

    根据三角形余弦定理有:

    根据关系c=a-b(a、b、c均为向量)有:

    即:

    向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:

     

    -----------------------------------------------------------------------

    叉乘

     

    叉乘概念:

    两个向量的叉乘,又叫向量积、外积、叉积,叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直

     

    叉乘几何意义

    在三维几何中,向量a和向量b的叉乘结果是一个向量,更为熟知的叫法是法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。

    在3D图像学中,叉乘的概念非常有用,可以通过两个向量的叉乘,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示: 

    在二维空间中,叉乘还有另外一个几何意义就是:aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

    以下是求平面面积的技巧:知道ab向量,ac 向量,得出面积。

    对于向量a和向量b:

     

     

    a和b的叉乘公式为:

     

     

    其中:

     

     

    根据i、j、k间关系,有:

     

     

     

     

     

     

    转自:

     

     

     

     

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  • Unity中点乘和叉乘

    2020-09-21 12:09:58
    点乘很多资料上都是说表示两个向量的相似度,具体是怎么表示相似度,结果大小如何表示相似度,越大越相似,还是越差,如果细细去推导才发现很多东西以前理解是有错误或者说是不清不楚。 点乘定义: a·b=|a|·...

    Unity中的点乘和叉乘

    点乘很多资料上都是说表示两个向量的相似度,具体是怎么表示相似度,结果大小如何表示相似度,越大越相似,还是越差,如果细细去推导才发现很多东西以前的理解是有错误或者说是不清不楚的。
    点乘的定义:
    a·b=|a|·|b|cos<a,b> 【<a,b>表示向量a,b的夹角,取值范围为[0,180]】

    根据上面的公式可以知道 a·b 可以看出结果是一个标量
    点乘可以求出两个向量的夹角,但是点乘的结果不是两个向量的夹角。

    举例图片

    假设上面的oa长度为1 ob长度为2 角度aoc为30°
    a·b=12cos30≈1.732 这个几何意义无法用相似度或者夹角来表示的。
    几何意义:是一条边向另一条边的投影乘以另一条边的长度.
    表示向量的夹角的几何意义:
    cos<a,b> =(a·b)/(|a|·|b|)

    向量的叉乘
    定义:c = a x b,其中a b c均为向量
    可以看出向量叉乘得到的是一个向量,很多看过资料的都知道结果表示是垂直于两个向量组成面的方向那么有两个问题需要进一步的解答。
    问题1:在Unity中垂直方向有两个的,比如垂直于地面是朝上的也可以朝下的,具体朝哪个方向。
    问题2:在Unity中向量是有大小和方向的,问题1 计算出了方向,那请问叉乘后向量的大小是多少。

    两个向量 a b
    a=(a1,a2,a3)
    b=(b1,b2,b3)

    i j k来表示三维坐标轴
    a=(a1i,a2j,a3k)=a1i+a2j+a3k
    b=(b1i,b2j,b3k)=b1i+b2j+b3k

    已知
    ii=0 jj=0 kk=0
    i
    j=k jk=i ki=j
    ji=-k kj=-i i*k=-j

    axb=(a1i+a2j+a3k)*(b1i+b2j+b3k)
    根据上面推导可以得出结论
    axb=(a2b3-a3b2)i+(a3b1-a1b3)j+(a1b2-a2b1)k
    结果写成多项式
    在这里插入图片描述
    变换形式得到叉乘矩阵:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    称为a向量的叉乘矩阵。

    性质1:c⊥a,c⊥b,即向量c与向量a,b所在平面垂直
    性质2:模长|c| = |a||b| sin<a,b>

    方向上Unity为左手坐标系,最终的方向是根据向量a到向量b的旋转方向来定义的,建议代码实际体验

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  • 点积和叉乘的区别

    万次阅读 2018-01-17 16:22:38
    2018-01-17 创建人:Ruo_Xiao ... 假设: 一、点积(内积) ...1、A和B点积公式: ...2、几何意义:A乘以B在A上投影。...推导过程如下: ...二、叉乘(外积、叉积、向量积) 假设: 1、人为定义运算,需要
    2018-01-17   创建人:Ruo_Xiao
    邮箱:xclsoftware@163.com
    

    假设:
    这里写图片描述

    一、点积(内积)

    这里写图片描述
    1、A和B的点积公式:
    这里写图片描述
    其结果是标量。
    2、几何意义:A乘以B在A上的投影。
    这里写图片描述
    推导过程如下:
    根据三角形余弦定理:
    这里写图片描述
    而C = A - B,则:
    这里写图片描述
    所以:
    这里写图片描述

    二、叉乘(外积、叉积、向量积)

    假设:
    这里写图片描述
    1、人为定义的运算,需要满足如下条件:
    (1)|C| = |A||B|sinθ。
    (2)C的方向遵循右手螺旋定则。
    (3)C垂直A和B确定的平面,计算结果是向量。
    (上述据说是高等数学里面的东西,后续再查)
    拓展:右手螺旋定则
    右手四指由矢量A的方向,并沿小于180°角向矢量B的方向弯曲(环绕),则伸直的大拇指所指的方向就是矢量C的方向。
    由(1)可知:
    这里写图片描述
    这里写图片描述
    2、公式推导
    (1)这里写图片描述
    (2)这里写图片描述
    (3)展开:
    这里写图片描述
    (4)进一步计算,得:
    这里写图片描述
    (5)最后合并,得:
    这里写图片描述
    (6)结论:
    这里写图片描述
    (7)简易理解方法:
    这里写图片描述
    3、几何意义
    叉乘结果的模长|C|正好是A向量和B向量组成的平行四边形的面积。(巧合)

    展开全文
  • 数学:点乘与叉乘

    2018-12-20 14:08:00
    点乘 公式 几何意义 ...可用余弦定理推导 ...三维上,是垂直于ab向量的向量。 二维上,是ab向量所围成平行四边形面积,即absinθ。 转载于:https://www.cnblogs.com/fr-ruiyang/p/10148991.html...
  • Unity_数学_点乘和叉乘的应用

    千次阅读 2016-06-09 17:56:53
    术语点乘来自A·B中点号(点乘· 叉乘* )向量点乘对应分量乘机和,它结果是一个标量它的公式  A·B=Ax*Bx+AyBy+AzBz 例如(3,1,-1)·(7,2,1)=3*7+1*2+(-1)*1=22 看下图就好。感受手写比打字方便多了呀!!!! ...
  • 右手坐标系下LookAt视图矩阵的推导

    千次阅读 2017-06-30 09:49:48
    右手坐标系下LookAt视图矩阵的推导 基本知识 右手坐标系 右手手掌弯曲,手指方向由正X轴指向正Y轴,如果这时Z轴正方向与大拇指方向保持一致,...向量叉乘的方向 向量(1,0,0)与向量(0,1,0)叉乘的结果可以由公式计算
  • 使用向量叉乘得到,如下图所示: 具体参考matlab中推导:https://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance3-Dimensional.html 参考博客:https://blog.csdn.net/lcfactorization/article/details/5328563
  • 注意:向量的平方为什么不是叉乘运算而是点乘运算? 工具:mathtype 试用版 已知条件 已知向量a,向量b,向量c。向量c是箭头从b指向a的向量。 三角形余弦定理​​​​​​​ 点乘几何意义(参考:向量种类...
  • 由于所写公式为word中编辑中,上传图片形式。 对于向量的说明: 如果对两个向量做点乘以及叉乘操作时,如果需要将向量表示为坐标形式,应将两个向量放到同一个坐标系。
  • 罗德里格旋转公式

    千次阅读 2018-09-26 10:06:09
    用来计算两个向量旋转矩阵,详见 https://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues'_rotation_formula 其中部分公式推导用到了拉格朗日向量公式叉乘,区别于数量积) ...
  • 罗德里格斯旋转公式

    千次阅读 2018-09-20 10:03:45
    罗德里格斯旋转公式用于...稍微复习一下点乘和叉乘,然后通过下面这个图可以把这个推导很清楚地表示出来(注意我们规定k是单位向量): 得到: 我们还可以通过罗德里格斯旋转公式得到旋转矩阵.将上式两端被旋...
  • 运动学(Kinematics) 1.基础部分(叉乘相关知识) 2. 推导坐标系变换的公式
  • 第一次看到的是一个来自国外网站的透视投影的推导,依靠线性插值,对不等式进行变形,将世界坐标中的点,乘以相机矩阵,得到了在相机视椎体中的相机坐标位置,而相机坐标系也有一套很容易理解的推到公式,...
  • 多边形面积公式推导: 使用二维向量求三角形面积:对于...二维向量的叉乘公式为:  如果A(x1,y1),B(x2,y2),那么S=(x1*y2-x2*y1) / 2   得出多边形计算公式: (由于叉乘有正负,可处理凹多边形...
  • 空间中直线可由一点坐标和一方向向量来表示,在计算两平面交线时,可先由两平面法向量的叉乘来得到交线方向向量,再求取直线上任意一点。 公式推导: 平面1:a1x+b1y+c1z+d1=0;平面2:a2x+b2y+c2z+d2=0 平面法...
  • 判断三角形顺逆时针

    2014-10-23 19:56:27
     * 此题借助线数所学右手系,向量叉乘等数学概念,之后运用推导出来的公式可以非常简单AC。 ? 已知三角形三点坐标, 求三角形面积,且判断三点方向 先介绍一下三维中两点之间距离之式,和二维几乎...
  • 学习了任意多边形计算,通过向量叉乘来进行计算。 计算公式 S = 1 / 2 * (∑(xiy(i + 1) - x(i + 1) yi) + (xky0 - x0yk) 如果逆时针给出坐标,求得是正,就是答案。如果顺时针给出坐标,求得是负,需要变正 ...
  • 地理信息系统软件开发中经常需要求取点、线、面之间的交点、交线、封闭区域面积和闭合集等结果,采用以矢量点乘和叉乘为基础的求取算法符合实际工作中已...首先给出基本公式的推导。 矢量的结合率和交换率: U+(V+W)
  • 地理信息系统软件开发中经常需要求取点、线、面之间...首先给出基本公式的推导。 矢量的结合率和交换率: U+(V+W) = (U+V) + W; U+V=V+U; 而设线段的起点和终点为P,Q;则中间任意一点R可以表示为: R = P + r(Q -...
  • ·旋转变换,就是将一个3D向量进行旋转,在推导旋转公式时我们先说一下叉乘的一个重要结论: ||nx v||=||n||||v||sina=||v||sina=|||| (其中n是单位向量) 这个证明很简单,各位可以推演一下。 ·叉乘的几何含义...

空空如也

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向量叉乘公式的推导