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  • 向量的夹角

    2020-03-30 08:13:53
    怎么计算两个向量的夹角呢? 这里主要分两种情况,对于二维向量和三维向量来分别讨论。...如果调用C/C++数学库函数acos,计算得到的结果的取值范围在 [0,π]。 这里得到的夹角并不在0到36...

    怎么计算两个向量间的夹角呢?

    这里主要分两种情况,对于二维向量和三维向量来分别讨论。

    1. 二维向量

    二维向量的情况相对简单,根据向量间的点乘关系

    v1⋅v2=||v1||||v2||cosθ


    可以得到:

    θ=acos(v1⋅v2/||v1||||v2||)

    如果调用C/C++数学库函数acos,计算得到的结果的取值范围在 [0,π]。

     

    这里得到的夹角并不在0到360度之间(或者-180到180度),也就是说得到的结果并不能告诉我们v1

    在v2前面或者v1在v2后面,考虑到atan2函数可以用来计算出角度准确处于哪一个象限,可以用atan2来计算夹角。
    计算从v2到v1的夹角公式:

    θ=atan2(v2.y,v2.x)−atan2(v1.y,v1.x)

    需要注意的是:atan2的取值范围是[−π,π],在进行相减之后得到的夹角是在[−2π,2π],因此当得到的结果大于π时,对结果减去2π,当结果小于−π时,对结果加上2π

     

    2. 三维向量

    2.1 使用旋转轴和旋转角的方式

    旋转角可以使用上面讨论的方式得到:

    θ=acos(v1⋅v2/||v1||||v2||)

    旋转轴是两个向量的叉乘向量,长度是||v1||||v2||sin(θ)
    需要注意的是在acos取值在0度和180度这两个特殊值的时候,要注意一下,当两个向量夹角是0度或者180度的时候,它们是平行的关系(同向或者反向),当夹角是0度时,旋转轴可以是任意轴,因为根本就没有旋转。当夹角是180度的时候,旋转轴只要和向量呈90度夹角即可,可以有无穷多个可能的选择轴。

     

    2.2 使用四元数的方式

    使用四元数来旋转一个向量,使用下面的方式:
    p2 = q * p1 * conj(q)
    其中:
    p2 是旋转之后的向量
    p1是旋转之前的向量
    q是用来旋转的四元数
    在这里知道p2和p1,用来求解四元数还是相当麻烦的。因此一个比较好的思路仍然是使用上面旋转轴和旋转角的方式,不过将结论转换成四元数罢了。
    关于转换的方式,可以参考我写的另外一篇文章《旋转变换(三)四元数》

    参考文献:

    1. Maths - Angle between vectors
    2. Maths - Trigonometry - Inverse trig functions
    3. Maths - Issues with Relative Angles

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

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  • 首先,C++中acos的取值范围是[0,M_PI],也就对应cos[-1,1]。因此,当acos(alpha)中alpha不在[-1,1]中时,运行结果就会是:-1.#IND00。 这里是在求取向量夹角时所遇到问题。公式如下所示: |a|=√[x1^2+y1^2...

    当出现如题的结果时,主要是因为越界导致的。

    首先,C++中acos的取值范围是[0,M_PI],也就对应cos的[-1,1]。因此,当acos(alpha)中的alpha不在[-1,1]中时,运行结果就会是:-1.#IND00。

    这里是在求取向量夹角时所遇到的问题。公式如下所示:

    |a|=√[x1^2+y1^2]
    |b|=√[x2^2+y2^2]
    a*b=(x1,y1)(x2,y2)=x1x2+y1y2
    cos=a*b/[|a|*|b|]
    =(x1x2+y1y2)/[√[x1^2+y1^2]*√[x2^2+y2^2]]

    出现越界情况也只能是cos约等于+1或-1时。因此这里添加了一个if判断,如下,最终解决问题。

    			float seata = acos(fz / fm);
    			if (isnan(seata))//acos取值范围[-1,1],若超出范围则越界,输出-1.#IND00
    			{
    				seata = acos(fm / fz);
    			}

     

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  • 计算向量的角度

    千次阅读 2019-06-25 17:15:26
    C 语言里 double atan2(double y,double x) 返回的是原点至点(x,y)的方位角,即与 x 轴的夹角。也可以理解为复数 x+yi 的辐角。返回值的单位为弧度,取值范围为 ; Excel 里 ATAN2(x,y)返回的是原点至点(x,y)的方位...

    C 语言里 double atan2(double y,double x) 返回的是原点至点(x,y)的方位角,即与 x 轴的夹角。也可以理解为复数 x+yi 的辐角。返回值的单位为弧度,取值范围为


    Excel 里 ATAN2(x,y)返回的是原点至点(x,y)的方位角。返回值的单位为弧度,取值范围为


    注意:
    1、C 函数与 Excel 函数的参数顺序正好相反;
    2、C 函数允许 x、y 同时为零,Excel 不允许 x、y 同时为零。
    与 atan 的不同
    atan2 比 atan 稳定。
    如:atan(y/x),当 y 远远大于 x 时,计算结果是不稳定的。
    atan2(y,x)的做法:当 x 的绝对值比 y 的绝对值大时使用 atan(y/x);反之使用 atan(x/y)。这样就保证了数值稳定性。
    举例
    atan2(y,x)是表示X-Y平面上所对应的(x,y)坐标的角度,它的值域范围是(-Pi,Pi)
    用数学表示就是:atan2(y,x)=arg(y/x)-Pi
    当y<0时,其值为负,
    当y>0时,其值为正.

    例子:

    #include <stdio.h> 
    #include <math.h> 
    
    int main(void) 
    { 
    double result; 
    double x = 20.0, y = 10.0; 
    
    result = atan2(y, x); 
    printf("The arc tangent ratio of %lf is %lf\n", (y / x), result); 
    return 0; 
    }
    

    在C语言的math.h或C++中的cmath中有两个求反正切的函数atan(double x)与atan2(double y,double x) 他们返回的值是弧度 要转化为角度再自己处理下。

    前者接受的是一个正切值(直线的斜率)得到夹角,但是由于正切的规律性本可以有两个角度的但它却只返回一个,因为atan的值域是从-90~90 也就是它只处理一四象限,所以一般不用它。

    第二个atan2(double y,double x) 其中y代表已知点的Y坐标 同理x ,返回值是此点与远点连线与x轴正方向的夹角,这样它就可以处理四个象限的任意情况了,它的值域相应的也就是-180~180了

    例如:

    例1:斜率是1的直线的夹角

    cout<<atan(1.0)*180/PI;//45°
    
    cout<<atan2(1.0,1.0)*180/PI;//45° 第一象限
    
    cout<<atan2(-1.0,-1.0)*180/PI;//-135°第三象限
    

    后两个斜率都是1 但是atan只能求出一个45°

    例2:斜率是-1的直线的角度

    cout<<atan(-1.0)*180/PI;//-45°
    
    cout<<atan2(-1.0,1.0)*180/PI;//-45° y为负 在第四象限
    
    cout<<atan2(1.0,-1.0)*180/PI;//135° x为负 在第二象限
    

    常用的不是求过原点的直线的夹角 往往是求一个线段的夹角 这对于atan2就更是如鱼得水了

    例如求A(1.0,1.0) B(3.0,3.0)这个线段AB与x轴正方向的夹角

    用atan2表示为 atan2(y2-y1,x2-x1) 即 atan2(3.0-1.0,3.0-1.0)

    它的原理就相当于把A点平移到原点B点相应变成B’(x2-x1,y2-y1)点 这样就又回到先前了

    例三:

    A(0.0,5.0) B(5.0,10.0)

    线段AB的夹角为

    cout<<atan2(5.0,5.0)*180/PI;//45°

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  • 假设有两个向量a、b,...如果a和b分别是单位向量 ,那么它们做点乘运算之后得到的值就是夹角θ的余弦值,即cosθ,取值范围[-1,1] 等于1时,a与b平行且方向相同,即0度; (0,1)时,a与b的夹角小于90度; 等于0时,a...

    假设有两个向量a=(x,y,z)、b=(i,j,k),它们之间的夹角为 θ
    在这里插入图片描述

    1、加法

    数学运算a+b=(x+i, y+j,z+k)
    例如 a=(1,2,4) b=(3,5,6),那么a+b=(1+3, 2+5,4+6) = (4, 7,10)
    向量加法符合“三角形法则”和“平行四边形法则”,其中“平行四边形法则”只适用于不共线的向量。
    “三角形法则”:将ab平移使b的头与a的尾相连,那么它们的和就是以a的头开始指向b的尾的向量
    在这里插入图片描述
    “平行四边形法则”:将ab平移使ab的头重合,以ab为两条边做一个平行四边形,它们的和就是ab两条边之间的四边形的对角线表示的向量
    在这里插入图片描述

    2、减法

    数学公式a-b=(x-i, y-j,z-k)
    例如a=(6,2,1) b=(3,5,4),那么a-b=(6-3, 2-5,1-4) = (3, -3,-3)
    a-b相当于a+(-b),与加法具有相同的性质,也符合“三角形法则”和“平行四边形法则”
    “三角形法则”:a-b是由b的尾开始指向a的尾的向量
    “平行四边形法则”:取b的反向向量-b那么a-b就等价于a+(-b)a-b就是a-b两条边之间的四边形的对角线表示的向量在这里插入图片描述

    3、内积(点乘)

    数学公式a·b =xi+ yj+zk = |a||b|cosθ
    例如a = (1,2,3),b=(4,5,8),那么a·b = 1×4+2×5+3×8 = 38

    意义:两个向量点乘得到一个矢量,可以用来判断ab之间的夹角。
    如果ab分别是单位向量 ,那么它们做点乘运算之后得到的值就是夹角θ的余弦值,即cosθ,取值范围[-1,1]
    等于1时,ab平行且方向相同,即0度;
    (0,1)时,ab的夹角小于90度;
    等于0时,a垂直于b
    (-1,0)时,ab大于90度小于180度;
    等于-1时,ab平行且方向相反,即180度;

    4、外积(叉乘)

    数学公式a×b = (yk-zj, zi-xk, xj-yi)
    例如a = (1,2,3),b=(4,5,8),那么a×b =(2×8 - 3×5, 3×4 - 1×8, 1×5 - 2×4) = (1, 4, -3)

    意义:两个向量叉乘得到一个新的向量。a×b = c 得到的新的向量c是垂直于ab所在的平面的,c的模是ab为边组成的四边形的面积。如果坐标系是满足右手定则的,c的方向也符合右手定则:四指弯曲由a以不超过180°指向b大拇指竖起指向的方向即为c的方向。
    在这里插入图片描述

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向量的夹角取值范围