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  • 1平面向量的所有公式设a=(x,y),b=(x',y')。1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。AB+BC=AC。a+b=(x+x',y+y')。a+0=0+a=a。向量加法的运算律:交换律:a+b=b+a;结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。2、...

    1

    平面向量的所有公式

    a=

    (

    x

    y

    )

    b=(x'

    y')

    1

    、向量的加法

    向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

    AB+BC=AC

    a+b=(x+x'

    y+y')

    a+0=0+a=a

    向量加法的运算律:

    交换律:

    a+b=b+a

    结合律:

    (a+b)+c=a+(b+c)

    2

    、向量的减法

    如果

    a

    b

    是互为相反的向量,那么

    a=-b

    b=-a

    a+b=0. 0

    的反向量为

    0

    AB-AC=CB.

    共同起点,指向被减

    a=(x,y) b=(x',y')

    a-b=(x-x',y-y').

    3

    、数乘向量

    实数

    λ

    和向量

    a

    的乘积是一个向量,记作

    λa

    ,且∣

    λa

    =

    λ

    a

    ∣。

    λ

    0

    时,

    λa

    a

    同方向;

    λ

    0

    时,

    λa

    a

    反方向;

    λ=0

    时,

    λa=0

    ,方向任意。

    a=0

    时,对于任意实数

    λ

    ,都有

    λa=0

    注:按定义知,如果

    λa=0

    ,那么

    λ=0

    a=0

    实数

    λ

    叫做向量

    a

    的系数,

    乘数向量

    λa

    的几何意义就是将表示向量

    a

    的有向线段伸长或压

    缩。

    当∣

    λ

    ∣>

    1

    时,表示向量

    a

    的有向线段在原方向(

    λ

    0

    )或反方向(

    λ

    0

    )上伸长为原来

    的∣

    λ

    ∣倍;

    当∣

    λ

    ∣<

    1

    时,表示向量

    a

    的有向线段在原方向(

    λ

    0

    )或反方向(

    λ

    0

    )上缩短为原来

    的∣

    λ

    ∣倍。

    数与向量的乘法满足下面的运算律

    结合律:

    (λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)

    向量对于数的分配律(第一分配律)

    (λ+μ)a=λa+μa.

    数对于向量的分配律(第二分配律)

    λ(a+b)=λa+λb.

    数乘向量的消去律:

    如果实数

    λ≠0

    λa=λb

    那么

    a=b

    如果

    a≠0

    λa=μa

    那么

    λ=μ

    4

    、向量的的数量积

    定义:

    已知两个非零向量

    a,b

    OA=a,OB=b,

    则角

    AOB

    称作向量

    a

    和向量

    b

    的夹角,

    记作

    a,b

    〉并规定

    0≤

    a,b

    ≤π

    定义:

    两个向量的数量积

    (内积、

    点积)

    是一个数量,

    记作

    a•b

    a

    b

    不共线,

    a•b=|a|•|b|•cos

    a

    b

    ;若

    a

    b

    共线,则

    a•b=+

    -

    a

    ∣∣

    b

    ∣。

    向量的数量积的坐标表示:

    a•b=x•x'+y•y'

    向量的数量积的运算律

    a•b=b•a

    (交换律)

    (λa)•b=λ(a•b)(

    关于数乘法的结合律

    )

    (

    a+b)•c=a•c+b•c

    (分配律)

    向量的数量积的性质

    a•a=|a|

    的平方。

    a

    b

    =

    a•b=0

    |a•b|≤|a|•|b|

    向量的数量积与实数运算的主要不同点

    1

    、向量的数量积不满足结合律,即:

    (a•b)•c≠a•(b•c)

    ;例如:

    (a•b)^2≠a^2•b^2

    展开全文
  • 先把所有公式一并列出,以便查找:1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、(拉普拉斯算子定义) 13、(旋度散度为零) 14、(梯度旋度为零) 15、 16、 17、 下面逐个证明这17条公...

    60b0f04f94e7cf59597097240ab12108.png

    本文中,矢量场均用箭头指示,例如

    为矢量场,
    为标量场。

    本文只涉及吴望一《流体力学》第一章中所列的17条微分运算公式,不含积分运算公式。

    先把所有公式一并列出,以便查找:

    1、


    2、

    3、

    4、

    5、

    6、

    7、

    8、

    9、

    10、

    11、

    12、(拉普拉斯算子的定义)

    13、(旋度的散度为零)

    14、(梯度的旋度为零)

    15、

    16、

    17、

    下面逐个证明这17条公式。

    1、

    证明:Nabla算子是线性的。这个显然成立,过程略。

    2、

    证明:可以像计算两函数乘积的微分一样计算Nabla算子。也就是:

    ,其中下标c是“视作常量”的意思。在
    中,
    被视作常量,不参与微分运算,因此可以移到Nabla算子之外,也就是
    。类似地
    。证毕。

    3、

    ,其中矢量
    是矢径
    ,标量
    是矢径长度(注:书中可能把标量r和矢量r搞反了)。

    证明:我们先来考察

    的x分量,根据梯度的定义,它应该是
    ,注意这里
    是一个标量场,
    是一个标量到标量的函数。那么,根据复合函数的微分运算法则,我们有:

    这样把三个分量加起来就是:

    ,显然,这个其实也就是:
    .

    后面那个式子,就是把函数

    换了个名字叫
    (它和第一问中的
    毫无关系),并且把用于产生函数参数的标量场取作矢径长度
    ,我们可以轻易计算出
    ,对其他两个坐标轴有类似推导,总之可以得到
    ,证毕。

    4、

    证明:和梯度一样,散度算子也是线性的。略。

    5、

    证明:先展开,也就是

    ,其中
    就代表矢量场
    分量。

    然后可以使用函数乘积的微分运算规则,比如说

    ,把后面两项也作类似展开,那就是:

    合并一下就是:

    前面一项就是

    ,后面那项就是
    .

    有一个简便的理解:也可以采用函数乘积微分运算法则写成

    ,前一项自然没什么问题,就是
    ,而后一项,Nabla算子要和标量场
    作用,怎么作用呢,那就只有
    ,再和
    做点积了。

    6、

    证明:这个同样适用乘积的运算法则,也就是

    而,“先叉积再点积”就是标量三重积(混合积),参与运算的是三个矢量场,结果是一个 标量场,这个标量场等于一个行列式:

    在做运算的时候,可以把Nabla算子看作一个矢量,像这样用行列式展开也就是:

    其中

    的意思就是“视作常量的
    分量”。而Nabla算子的三个分量就是沿三个坐标的偏导数,比如
    .

    然后我们试图把上面两个行列式写回三重积的形式。我们希望把Nabla算子放在第二项,这就需要按循环顺序重新排列三行,这不会改变行列式的值:

    但这样还不行,因为Nabla算子不能和常量作用,

    这是无意义的。所以需要交换第一个行列式的1,3行,这样会导致行列式变号:

    当然,最终结果里的

    下标没有意义,可以略去,因为我们并没有计算它的微分。也就是:

    ,证毕。

    7、

    证明:和梯度、散度一样,旋度算子也是线性的。

    8、

    证明:我们用旋度的行列式定义将左端展开为

    类似用乘积微分法则展开之:

    先来看第一项,这个

    不参与微分运算,而且是一个标量场,因此完全可以提到外边,则行列式变成:

    再来看第二项。我们可以观察到,在行列式展开的每一项里面,

    的各个分量都不参与微分运算,所有微分运算都在
    上发生,而
    又是一个标量场,所以可以把它“提”到第二行,也就是:

    到这里你可以发现,第二行的

    是啥?那不就是
    么,整个行列式也就等于
    ,这样把两项加起来,得到
    ,证毕。

    当然和第5题一样,也有一个比较简便的理解方式:

    ,其中
    ,后一项也是因为标量场
    只能做梯度,所以需要把叉乘“保留”到后面。这类似第5题里面的
    .

    9、

    这里注意,矢量点积Nabla算子的结果仍然是一个微分算子,比如

    ,而后如果把这个算子作用于矢量场
    ,得到的结果仍然是一个矢量,每个分量单独计算,比如它的x分量就是
    。可以发现,这个微分算子
    并不会改变作用对象的维数,它作用在矢量场上得到一个矢量场,作用在标量场上还得到一个标量场。所以在我们可以把这个微分算子认为是一个“标量”。

    计算这个需要用到向量三重积(矢量三重积)公式:

    ,注意后面两项都是矢量乘标量。可以用口诀“bac-cab”(音back-cab)记忆。

    使用乘积微分法则:

    用向量三重积公式展开第一项:

    这个

    该如何理解呢?理解方法就是,
    不参与微分运算,它和
    点积得到的就是一个微分算子,作用在
    上。也可以理解为,利用乘法交换律,调换一下顺序:

    省略了

    代表常量的下标
    ,同时省略了不必要的括号。

    然后再来展开第二项,也需要类似调换一下顺序:

    把两项起来就得到:

    证毕。

    10、

    证明:还是先用乘积微分法则展开:

    右边两项怎么展开呢?需要用一下向量三重积。用向量三重积展开

    得到:

    第一个等号右端给

    加常量下标
    的原因,是它并没有在
    中参与微分运算。

    把等式右端的

    移到左端,我们就得到了:

    类似地也有:

    加起来就得到:

    证毕。

    11、

    这里面的

    意思是矢量
    模长的平方,也就是

    证明方法很简单,在上面的第10题里取

    即可。

    然后这个式子可以写作

    12、(拉普拉斯算子的定义)

    证明:

    13、(旋度的散度为零)

    证明:这是

    三个矢量的混合积

    等于零的原因是行列式中两行相同。

    14、(梯度的旋度为零)

    证明:

    观察可以发现,它的

    分量为

    类似地,

    分量也为零。

    15、

    证明:用向量三重积展开得到

    当然最后一项就是

    .

    16、

    证明:在第5题中我们得到

    令这里面的

    ,则有:

    其中

    证毕

    17、

    证明:

    而根据乘积微分法则,

    因此

    在其中用两次第16题的结果,就得到

    证毕。

    展开全文
  • Unity向量运算

    2015-08-30 18:44:18
    一、所有向量的表示都是与原点(0,0)的相对位置 二、点积 1、可以判断两个向量是否垂直,为0则垂直 2、在Unity中计算公式: Vector3.Dot(VectorA,VectorB),返回值为一个标量 3、举例:在模拟...

    一、所有向量的表示都是与原点(0,0)的相对位置

    所有向量的表示都是与原点(0,0)的相对位置
    这里写图片描述
    游戏中的预判功能
    Unity支持的是左手坐标系
    这里写图片描述
    计算向量大小

    二、点积
    1、可以判断两个向量是否垂直,为0则垂直
    2、在Unity中计算公式:
    Vector3.Dot(VectorA,VectorB),返回值为一个标量
    3、举例:在模拟飞行游戏中,飞行向上的向量和飞行前进的方向的向量,
    1、点积为0,则飞机直行
    2、点积大于0,则向上飞行
    3、点击小于0,则向下飞行

    这里写图片描述

    三、差积(Cross Product)

    这里写图片描述
    1、两个向量的差积,是一个同时垂直与两个向量的向量
    这里写图片描述
    差积示意图
    2、差积的计算方法
    这里写图片描述
    3、差积的应用,判断扭矩
    这里写图片描述
    这里写图片描述
    这里写图片描述


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  • 向量内积运算中各元素的运算间存在简单联系,即需要累加所有元素乘积结果。 向量内积结果的累加过程称为归约(reduction) 向量内积运算在数学上的计算公式为 也就是A和B的向量长度相等,相同索引的元素相乘,然后将...

    博主CUDA学习系列汇总传送门(持续更新):编程语言|CUDA入门



    本文章为 《GPU编程与优化 大众高性能计算》的读书笔记,例子也都取自书中教程。


    向量内积运算中各元素的运算间存在简单联系,即需要累加所有元素乘积结果。
    向量内积结果的累加过程称为归约(reduction)
    向量内积运算在数学上的计算公式为
    在这里插入图片描述也就是A和B的向量长度相等,相同索引的元素相乘,然后将乘积结果累加,得到结果C


    一、CPU上实现向量内积

    #include <stdio.h>
    #include <iostream>
    
    const int N = 2048;
    /* 一、cpu 向量内积 */
    template <typename T>
    void dot_cpu(T *a, T *b, T *c, int n)
    {
        double dTemp = 0;
        for (int i=0; i<n; ++i)
        {
            dTemp += a[i] * b[i];
        }
        *c = dTemp;
    }
    
    int main()
    {
        float a[N], b[N];
        float c = 0;
        for(int i=0; i<N; ++i) // 为数组a、b赋值
        {
            a[i] = i * 1.0;
            b[i] = 1.0;
        }
        dot_cpu(a, b, &c, N);
        printf("a * b = %f\n", c);
        printf("hello world\n");
    }
    

    二、GPU下单Block分散归约向量内积

    1. 各线程独立完成所有向量元素的乘积运算,然后将乘积的结果累加到向量内积结果。
    2. thread是私有的,block内的threads要进行数据通信,必须使用共享内存或者全局内存。
    3. 共享内存的访存速度比全局快一个量级,所以我们这边采用共享内存。

    假设单Block 8 线程求内积, 0-7分别表示各线程内内积结果
    在这里插入图片描述该方法存在缺陷

    #include "cuda_runtime.h"
    #include "device_launch_parameters.h"
    #include <stdio.h>
    #include <iostream>
    
    const int N = 2048;
    
    const int threadnum = 32;//开32个线程
    
    /* 二、单block 分散归约 */
    template <typename T>
    __global__ void dot_gpu_1(T *a, T *b, T *c, int n)
    {
        __shared__ T tmp[threadnum];
        const int nThreadIdX = threadIdx.x; //线程ID索引号
        const int nBlockDimX = blockDim.x; // 一个block内开启的线程总数
        int nTid = nThreadIdX;
        double dTemp = 0.0;
        while (nTid < n)
        {
            dTemp += a[nTid] * b[nTid];
            nTid += nBlockDimX;
        }
        tmp[nThreadIdX] = dTemp; // 将每个线程中的内积放入到共享内存中
        __syncthreads(); // 同步操作,即等所有线程内上面的操作都执行完
    
        int i=2, j=1;
        while(i <= threadnum)
        {
            if (nThreadIdX%i == 0)
            {
                tmp[nThreadIdX] += tmp[nThreadIdX + j];
            }
            __syncthreads();
            i *= 2;
            j *= 2;
        }
        if (0 == nThreadIdX)
        {
            c[0] = tmp[0];
        }
    }
    
    
    int main()
    {
        float a[N], b[N];
        float c = 0;
        for(int i=0; i<N; ++i) // 为数组a、b赋值
        {
            a[i] = i * 1.0;
            b[i] = 1.0;
        }
        float *d_a = NULL, *d_b = NULL, *d_c = NULL;
        cudaMalloc(&d_a, N *sizeof(float));
        cudaMemcpy(d_a, a, N *sizeof(float), cudaMemcpyHostToDevice);
    
        cudaMalloc(&d_b, N *sizeof(float));
        cudaMemcpy(d_b, b, N *sizeof(float), cudaMemcpyHostToDevice);
    
        cudaMalloc(&d_c, sizeof(float));
        dot_gpu_1<<<1, threadnum>>>(d_a, d_b, d_c, N);
        cudaMemcpy(&c, d_c, sizeof(float), cudaMemcpyDeviceToHost);
            std::cout << c << std::endl;
        cudaFree(d_a);
        cudaFree(d_b);
        cudaFree(d_c);
        printf("hello world\n");
        return 0;
    }
    
    

    三、单Block低线程归约向量内积

    在这里插入图片描述在归约时,访问共享存储区时,不同线程尽可能少的访问同一个bank中的数据地址。
    一块共享存储取中存在多个bank,访问共享内存中的数据时,尽可能离远点。
    在这里插入图片描述

    #include "cuda_runtime.h"
    #include "device_launch_parameters.h"
    #include <stdio.h>
    #include <iostream>
    
    const int N = 2048;
    
    const int threadnum = 32;//开32个线程
    
    
    /* 三、单block 低线程归约向量内积*/
    template <typename T>
    __global__ void dot_gpu_2(T *a, T *b, T *c, int n)
    {
        __shared__ T tmp[threadnum];
        const int nThreadIdX = threadIdx.x; //线程ID索引号
        const int nBlockDimX = blockDim.x; // 一个block内开启的线程总数
        int nTid = nThreadIdX;
        double dTemp = 0.0;
        while (nTid < n)
        {
            dTemp += a[nTid] * b[nTid];
            nTid += nBlockDimX;
        }
        tmp[nThreadIdX] = dTemp; // 将每个线程中的内积放入到共享内存中
        __syncthreads(); // 同步操作,即等所有线程内上面的操作都执行完
    
        int i = threadnum / 2;
        while(i != 0)
        {
            if (nThreadIdX < i)
            {
                tmp[nThreadIdX] += tmp[nThreadIdX + i];
            }
            __syncthreads();// 同步操作,即等所有线程内上面的操作都执行完
            i /= 2;
        }
        if (0 == nThreadIdX)
        {
            c[0] = tmp[0];
        }
    }
    
    int main()
    {
        float a[N], b[N];
        float c = 0;
        for(int i=0; i<N; ++i) // 为数组a、b赋值
        {
            a[i] = i * 1.0;
            b[i] = 1.0;
        }
        float *d_a = NULL, *d_b = NULL, *d_c = NULL;
        cudaMalloc(&d_a, N *sizeof(float));
        cudaMemcpy(d_a, a, N *sizeof(float), cudaMemcpyHostToDevice);
    
        cudaMalloc(&d_b, N *sizeof(float));
        cudaMemcpy(d_b, b, N *sizeof(float), cudaMemcpyHostToDevice);
    
        cudaMalloc(&d_c, sizeof(float));
        dot_gpu_2<<<1, threadnum>>>(d_a, d_b, d_c, N);
        cudaMemcpy(&c, d_c, sizeof(float), cudaMemcpyDeviceToHost);
            std::cout << c << std::endl;
        cudaFree(d_a);
        cudaFree(d_b);
        cudaFree(d_c);
        printf("hello world\n");
        return 0;
    }
    
    

    四、多block向量内积

    只有一个block,显然无法发挥GPU的真实性能。
    这一节使用多block,block内部采用低线程归约的方法,每个block计算得到一个中间结果并组成一个数组,然后再将中间结果进行二次归约,二次归约可以在cpu上实现,也可以在Gpu上实现,这里只记录在cpu上实现的方法。

    #include "cuda_runtime.h"
    #include "device_launch_parameters.h"
    #include <stdio.h>
    #include <iostream>
    
    const int N = 2048;
    
    const int nBlockNum = 16;//开32个block
    const int threadnum = 32;//开32个线程
    
    
    /* 三、单block 低线程归约向量内积*/
    
    /* 四、多block多线程向量内积 */
    template <typename T>
    __global__ void dot_gpu_3(T *a, T *b, T *c, int n)
    {
        __shared__ T aTmp[threadnum];
        const int nThreadIdX = threadIdx.x; //线程ID索引号
        const int nStep = gridDim.x * blockDim.x; // 跳步的步长,即所有线程的数量
        int nTidIdx = blockIdx.x * blockDim.x + threadIdx.x; // 当前线程在全局线程的索引
    
        double dTemp = 0.0;
        while (nTidIdx < n)
        {
            dTemp += a[nTidIdx] * b[nTidIdx];
            nTidIdx += nStep;
        }
        aTmp[nThreadIdX] = dTemp; // 将每个线程中的内积放入到对应block的共享内存中
        __syncthreads(); // 同步操作,即等所有线程内上面的操作都执行完
    
        int i = threadnum / 2;
        while (i != 0)
        {
            if(nThreadIdX < i)
            {
                aTmp[nThreadIdX] += aTmp[nThreadIdX + i];
            }
            __syncthreads(); // 同步操作,即等所有线程内上面的操作都执行完
            i /= 2;
        }
    
        if (0 == nThreadIdX)
        {
            c[blockIdx.x] = aTmp[0];
        }
    
    }
    
    int main()
    {
         float a[N], b[N];
        float c = 0;
        for(int i=0; i<N; ++i) // 为数组a、b赋值
        {
            a[i] = i * 1.0;
            b[i] = 1.0;
        }
        float *d_a = NULL, *d_b = NULL, *d_c = NULL;
        cudaMalloc(&d_a, N *sizeof(float));
        cudaMemcpy(d_a, a, N *sizeof(float), cudaMemcpyHostToDevice);
    
        cudaMalloc(&d_b, N *sizeof(float));
        cudaMemcpy(d_b, b, N *sizeof(float), cudaMemcpyHostToDevice);
    
    
        cudaMalloc(&d_c, sizeof(float) * nBlockNum);
        dot_gpu_3<<< nBlockNum, threadnum >>>(d_a, d_b, d_c, N);
        float c_tmp[nBlockNum];
        cudaMemcpy(&c_tmp, d_c, nBlockNum * sizeof(float), cudaMemcpyDeviceToHost);
        for (int i=0; i < nBlockNum; ++i)
        {
            c += c_tmp[i];
        }
     	cudaFree(d_a);
        cudaFree(d_b);
        cudaFree(d_c);
        std::cout << c << std::endl;
        printf("hello world\n");
        return 0;
    }
    
    

    五、cublas库实现向量内积

    /* 五、cublas 实现向量内积 */
    #include "cuda_runtime.h"
    #include "device_launch_parameters.h"
    #include <stdio.h>
    #include <iostream>
    #include "cublas_v2.h"
    #include "common.h"
    const int N = 2048;
    
    
    int main()
    {
        float a[N], b[N];
        float c = 0.0;
        for(int i = 0; i < N; ++i) // 为数组a、b赋值
        {
            a[i] = i * 1.0;
            b[i] = 1.0;
        }
        float *d_a = NULL, *d_b = NULL;
    
        cublasHandle_t handle;
        cublasCreate_v2(&handle); // 创建句柄
        cudaMalloc(&d_a, N *sizeof(float));
        cublasSetVector(N, sizeof(float), a, 1, d_a, 1);
    
        cudaMalloc(&d_b, N *sizeof(float));
        cublasSetVector(N, sizeof(float), b, 1, d_b, 1);
        
        CHECK(cublasSdot_v2(handle, N, d_a, 1, d_b, 1, &c));
    
      
        CHECK(cudaFree(d_a));
        CHECK(cudaFree(d_b));
        cublasDestroy(handle); // 销毁句柄
    
        printf("a * b = %f\n", c);
        printf("hello world\n");
        return 0;
    }
    
    

    CHECK函数的定义如下

    #define CHECK(status)                                                                                                  \
        do                                                                                                                 \
        {                                                                                                                  \
            auto ret = (status);                                                                                           \
            if (ret != 0)                                                                                                  \
            {                                                                                                              \
                std::cout << "Cuda failure: " << ret << std::endl;                                                 \
                abort();                                                                                                   \
            }                                                                                                              \
        } while (0)
    
    展开全文
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