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  • 向量个数,向量维数向量空间维数

    万次阅读 多人点赞 2018-09-18 17:39:23
    关于向量个数和向量位数,我贴一张图大家就...向量空间的维数是不是就是对应矩阵的,向量空间的基是不是就是对应列向量组的最大线性无关向量组。 具体大家也可以看这里:https://www.zhihu.com/question/35672869...

    关于向量个数和向量位数,我贴一张图大家就明白了

     向量空间维数的定义


    下面是线性空间的定义,元素a与基V。从定义中可知向量空间的维数就是求存在多少个元素a线性无关。

    向量空间的维数是不是就是对应矩阵的秩,向量空间的基是不是就是对应列向量组的最大线性无关向量组。

    具体大家也可以看这里:https://www.zhihu.com/question/35672869

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  • 维数和秩

    千次阅读 2019-05-06 00:32:46
    (dim 表示维数 NulA 表示Ax = 0时集合) 定理15 (基定理) 设H是Rnp维子空间,H中任何恰好由p个成员组成线性无关集构成H一个基。并且,H中任何生成Hp个向量集也构成H一个基。 与可逆矩阵定理 ...

    定理14
    如果一矩阵A有n列,则rankA + dim NulA = n
    (dim 表示维数 NulA 表示Ax = 0时的解的集合)

    定理15 (基定理)
    设H是Rn的p维子空间,H中的任何恰好由p个成员组成的线性无关集构成H的一个基。并且,H中任何生成H的p个向量集也构成H的一个基。

    秩与可逆矩阵定理
    定理(可逆矩阵定理)
    设A是一个m*n矩阵,则下面的每个命题与A是可逆矩阵的命题等价:
    m A的列向量构成Rn的一个基
    n ColA = Rn (Col A 表示A的线性组合的集合,即矩阵A张成的空间)
    o dim ColA = n
    p rank A = n (rank A 表示矩阵A的秩)
    q Nul A = {0}
    r dim Nul A = 0

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  • 文章目录线性空间线性空间的基本性质线性相关、线性无关线性相关,线性无关性质向量组的与极大线性无关组的概念基和维数参考 线性空间 即向量空间 定义1\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义1} }}定义...

    1. 线性空间01——线性空间、线性相关、线性无关、基和维数、极大线性无关
    2. 线性空间02——坐标、坐标变换与基变换、过度矩阵
    3. 线性空间03——子空间、子空间的交与和、生成子空间、 子空间的维数公式
    4. 线性空间04——子空间的直和、n个子空间的直和、直和分解、直和补
    5. 线性空间05——列空间和零空间、维数
    6. 线性空间06——行空间和左零空间
    7. 线性空间07——四个基本子空间的基与维数_

    线性空间

    即向量空间

    1\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义1} }}FF 是一个数域, VV 是一个非空集合.在 VV 上定义一个加法运算, 即对于 VV 中任意元素 α,β,\alpha, \beta, 按照某一法则,在 VV 中存在唯一元素与之对应, 记为 α+β,\alpha+\beta, 称为 α\alphaβ\beta\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{加法}}} .

    2\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义2} }} FFVV 的数乘, 即对于 FF 中任意数 ccVV 中任意元素 α,\alpha, 按照某一法则, 在 VV 中存在唯一元素与之对应, 记为 cα,c \alpha, 称为 ccα\alpha\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{数乘}}} .

    FF 是一个数域, VV 是一个非空集合,若加法和数乘对于任意 α,β,γV,c,dF,\alpha, \boldsymbol{\beta}, \gamma \in \boldsymbol{V}, \boldsymbol{c}, \boldsymbol{d} \in \boldsymbol{F}, 都有

    四条加法运算封闭:

    (1) 交换律:α+β=β+α\alpha+\beta=\beta+\alpha
    (2) 结合律: (α+β)+γ=α+(β+γ)(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)
    (3) 有零元:在 VV 中存在元素0, 使对任意 αV,\alpha \in V,α+0=α\alpha+\mathbf{0}=\alpha
    (4) 有负元: 对于VV中每个元素 α,\alpha, 存在 βV,\beta\in V, 使 α+β=0\alpha+\beta=\mathbf{0}

    两条数乘运算封闭:

    (5) (cd)α=c(dα)(c d) \alpha=c(d \alpha)
    (6) 1α=α1 \alpha=\alpha

    两条加法与数乘结合的规则

    (7) 数对元素分配律: c(α+β)=cα+cβc(\alpha+\beta)=c \alpha+c \beta
    (8) 元素对数分配律:(c+d)α=cα+dα(c+d) \alpha=c \alpha+d \alpha

    则称 VVFF 上的线\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{线性空间}}} ,V, V 中元素称为\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{向量}}}.线性空间也称为向量空间.

    凡满足以上八条规则的加法及数量乘法也称为线性运算.

    1\Large\color{violet}{例1}

    (1) 数域 FFnn 维列向量全体 FnF^{n} 对于向量的加法和数乘是线性空间;——向量空间

    (2) 数域 FFm×nm \times n 矩阵全体 Fm×nF^{m \times n} 对于矩阵的加法和数乘构成线性空间;——矩阵空间

    (3) 数域 FF 是数域 FF 上的线性空间, 其中加法运算为数的加法, 数乘运算为数的乘法;

    (4) C\mathbb{C}R\mathbb{R}nn 维列向量全体 CnC^{n} 对于向量的加法和数乘是线性空间;——复向量空间

    非空:包含 0

    对加法与 Q\mathbb{Q} -数乘封闭: α,βC,kQ:\quad \forall \alpha, \beta \in \mathbb{C}, k \in \mathbb{Q}: 显然 α+β,kαC\alpha+\beta, \boldsymbol{k} \alpha \in \mathbb{C}

    复数的加法显然含有零元0, 满足交换律, 结合律, 每个复数都有负元

    α,βC,k,lQ\forall \alpha, \beta \in \mathbb{C}, \boldsymbol{k}, \boldsymbol{l} \in \mathbb{Q} \quad 因为 α,β,k,l\alpha, \beta, \boldsymbol{k}, l 都是复数, 显然满足如下等式:
    1α=αk(lα)=klα(k+l)α=kα+lαk(α+β)=kα+kβ \begin{array}{ll} \mathbf{1} \cdot \alpha=\alpha & \boldsymbol{k} \cdot(\boldsymbol{l} \cdot \alpha)=\boldsymbol{k} \boldsymbol{l} \cdot \alpha \\ (\boldsymbol{k}+\boldsymbol{l}) \cdot \alpha=\boldsymbol{k} \bullet \alpha+\boldsymbol{l} \bullet \alpha & \boldsymbol{k} \cdot(\alpha+\beta)=\boldsymbol{k} \bullet \alpha+\boldsymbol{k} \bullet \beta \end{array}

    (5) 设 C[a,b]C[a, b] 是实数域 R\mathbb{R} 上闭区间 [a,b][a, b] 上全体连续函数的集合, 则 C[a,b]C[a, b] 对于函数的加法和数乘构成 R\mathbb{R} 上的线性空间.——函数空间

    非空: 包含 0 函数

    对加法与 R\mathbb{R} -数乘封闭: 连续函数之和, 其实数倍仍为连续函数

    推广: 某固定区间上黎曼可积(处处可导)的全体实函数类似构成R\mathbb R-空间

    (6)数域 PP 上一元多项式环 F[x]F[x], 按通常的多项式加法和数与多项式的乘法,构成一个数域 FF 上的线性空间.如果只考虑其中次数小于 nn 的多项式,再添上零多项式也构成数域 FF 上的一个线性空间,用 F[x]nF[x]_{n} 表示.——多项式空间

    线性空间的基本性质

    (1) VV的零向量唯一.

    (2) VV 中每一个向量的负向量唯一.

    (3) 若 α+β=α+γ,\alpha+\beta=\alpha+\gamma,β=γ\beta=\gamma.

    (4) 0α=00 \alpha=0

    (5) c0=0c \mathbf{0}=\mathbf{0}

    (6) (1)α=α(-1) \alpha=-\alpha.

    (7) cα=0,c \alpha=0, 则或 c=0c=0α=0.\alpha=0 .

    2\Large\color{violet}{例2}V={0},V=\{0\}, 定义加法 0+0=0,0+0=0, 数乘 c0=0.c 0=0 .VV 是一个线性空间, 称为\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{零空间}}}, 记为 0.0 .

    3\Large\color{violet}{例3}AA 是数域 FF 上的 m×nm \times n 矩阵, 齐次线性方程组 AX=0A X=0 的解的全体对于向量的加法和数乘构成F上的线性空间, 称为AX=0A X=0\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{解空间}}}.

    线性相关、线性无关

    3\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义3} }}VVFF上的线性空间, α1,α2,,αs,βV\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}, \beta \in V ,若存在 a1,a2,,asF,a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{s} \in F, 使得
    β=a1α1+a2α2++asαs \beta=a_{1} \alpha_{1}+a_{2} \alpha_{2}+\cdots+a_{s} \alpha_{s}
    则称 β\betaα1,α2,,αs\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}线\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{线性组合}}}, 或称 β\beta 可由 α1,α2,,αs\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} 线\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{线性表出}}}.

    4\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义4} }} 设线性空间 VV 中有向量组 α1,α2,,αs\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}β1,β2,,βt.\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t} .α1,α2,,αs\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} 中的每个向量
    可由 β1,β2,,βt\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t} 线性表出, 则称向量组α1,α2,,αs\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} 可由向量组 β1,β2,,βt\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t} 线\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{线性表出}}} ;;

    如果向量组 α1,α2,,αs\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} 和向量组 β1,β2,,βt\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}可以互相表出, 则称向量组 α1,α2,,αs\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}β1,β2,,βt\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t} \large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{等价}}}.

    5\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义5} }}VV 是数域 FF 上线性空间, α1,α2,,αs\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}VVss 个向量, 若存在不全为零的数 a1,a2,,as,a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{s}, 使 a1α1+a2α2++asαs=0,a_{1} \alpha_{1}+a_{2} \alpha_{2}+\cdots+a_{s} \alpha_{s}=0, 则称 α1,α2,,αs\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}线\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{线性相关}}}.

    α1,α2,,αs\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} 不是线性相关, 则称为线\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{线性无关}}}. 等价的说法是: 向量组α1,α2,,αs\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} 称为线性无关, 若存在 a1,a2,,asF,a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{s} \in F, 使得a1α1+a2α2++asαs=0,a_{1} \alpha_{1}+a_{2} \alpha_{2}+\cdots+a_{s} \alpha_{s}=0, 则必有 ai=0(i=1,2,,s)a_{i}=0(i=1,2, \cdots, s).

    线性相关,线性无关性质

    1. 设在 VVβ=a1α1+a2α2++asαs,\beta=a_{1} \alpha_{1}+a_{2} \alpha_{2}+\cdots+a_{s} \alpha_{s}, 则表示法唯一的充分必要条件是 α1,α2,,αs\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} 线性无关.

    2. 单个向量 α\alpha 线性相关 α=0\Leftrightarrow \alpha=0

      α1,α2,,αsV\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} \in Vs2,s \geq 2,α1,α2,,αs\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} 线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合.

    3. α1,α2,,αs\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}VV 中线性相关的向量组, 则任一包含这组向量的向量组必线性相关.

    4. VV 中, 若 α1,α2,,αs\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} 线性无关, α1,α2,,αs,β\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}, \beta 线性相关, 则 β\beta 可由 α1,α2,,αs\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} 线性表出且表
      示法唯一.

    5. 如果向量组 α1,α2,,αs\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} 可以由向量组 β1,β2,,βt\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t} 线性表出, 且 s>t,s>t,α1,α2,,αs\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} 必然线性相关.

    6. 若向量组 α1,α2,,αr\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} 线性无关,且可被向量组β1,β2,,βs\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s} 线性表出, 则 rs;r \leq s ;
      α1,α2,,αr\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}β1,β2,,βs\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s} 为两线性无关的等价向量组,则 r=S.r=S .

    7. 向量组的等价关系满足

    (1) 【反身性】 即 α1,α2,,αs\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} 与自身等价.
    (2) 【对称性】 即若 α1,α2,,αs\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}β1,β2,,βt\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t} 等价,则 β1,β2,,βt\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}α1,α2,,αs\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s} 等价.
    (3) 【传递性 】即若 α1,α2,,αs\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}β1,β2,,βt\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t} 等价,β1,β2,,βt\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}γ1,γ2,,γr\gamma_{1}, \gamma_{2}, \cdots, \gamma_{r} 等价, 则 α1,α2,,αs\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}γ1,γ2,,γr\gamma_{1}, \gamma_{2}, \cdots, \gamma_{r} 等价.

    向量组的秩与极大线性无关组的概念

    如果向量组 VV 的部分向量组 α1,α2,,αr\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{r} 满足:

    (1) α1,α2,,αr\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{r} 线性无关;

    (2) VV 中任意 r+1r+1 个向量都线性相关.

    α1,,αr\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{r}VV 的一个 极大无关组,数 rr 称为 VV 的秩.

    约定:只含零向量的向量组的秩为0.

    性质:

    (1) 等价的无关组含向量个数相同.

    (2) 向量组与它的极大线性无关组等价.

    (3) 向量组的任意两个极大线性无关组所含元素个数相等.

    (4) 向量组线性无关 \Leftrightarrow 秩等于它所含元素的个 数.

    (5) 组 II 由组 IIII 线性表出 \RightarrowII \leqIIII.

    基和维数

    1\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义1} }}VV 是数域 FF 上非零线性空间, 如果 VV 中存在 nn 个向量 ξ1,ξ2,,ξn,\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}, 满足:

    (1)ξ1,ξ2,,ξn(1) \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n} 线性无关;

    (2) VV 中任意向量可表示为 ξ1,ξ2,,ξn\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n} 的线性组合;

    则称 ξ1,ξ2,,ξn\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}VV 的一个基. 若 VV 中有 nn 个向量为\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{基}}} ,, 则称 VVnn 线\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{维线性空间}}}, 并记为 dimFV=n\operatorname{dim}_{F} V=ndimV=n.\operatorname{dim} V=n .

    定义零空间的维数为0. 不是有限维的线性空间称为线\large\color{#70f3ff}{\boxed{\color{green}{无限维线性空间}}}.

    \Large\color{violet}{注 }nn 维线性空间 VV 的基不是唯一的, VV中任意 nn 个线性无关的向量都是V的一组基.

    \Large\color{violet}{注 }nn 维线性空间 VV 的任意两组基向量是等价的.

    \Large\color{violet}{注 } : 基就是 VV 的一个极大无关组, 维数就是 VV 的秩.

    1\Large\color{violet}{例1}Pn={(a1,a2,,an)aiP,i=1,2,,n}P^{n}=\left\{\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right) \mid a_{i} \in P, i=1,2, \cdots, n\right\}nn 维的 ,,
    ε1=(1,0,,0),ε2=(0,1,,0),,εn=(0,,0,1) \varepsilon_{1}=(1,0, \cdots, 0), \varepsilon_{2}=(0,1, \cdots, 0), \cdots, \varepsilon_{n}=(0, \cdots, 0,1)
    就是 PnP^{n} 的一组基. 称为 PnP^{n} 的标准基.

    2\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义2} }} 若在线性空间 VV 中有 nn 个线性无关的向量, 但是任意 n+1n+1 个向量都是线性相关的, 则称 VV 是一个nn 维线性空间; 常记作 dimV=n.\operatorname{dim} V=n .

    3\large\color{magenta}{\boxed{\color{brown}{定义3} }} 若线性空间 VV 中可以找到任意多个线性无关的向量,则称 VV 是无限维线性空间.

    2\Large\color{violet}{例2}: 所有实系数多项式所成的线性空间 R[x]R[x] 是无限维的, 因为 :对任意的正整数 n,n, 都有 nn 个线性无关的向量
    1,x,x2,,xn11, x, x^{2}, \ldots, x^{n-1}

    3\Large\color{violet}{例3} nn 维单位列向量 ε1,ε2,,εn\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}FnF^{n} 的一个基,所以 dimFn=n\operatorname{dim} F^{n}=n

    4\Large\color{violet}{例4} 数域 C\mathbb{C} 作为 C\mathbb{C} 上的线性空间 ,, 它的维数
    dimCC=1 \operatorname{dim}_{\mathbb{C}} \mathbb{C}=1
    数1 就是一组基,1 是 C\mathbb{C} -线性无关的: \quadkCk \in \mathbb{C} 使得 k1=0\boldsymbol{k} \cdot 1=\mathbf{0}, 则 k=0\boldsymbol{k}=\mathbf{0}.

    任一 cCc \in \mathbb{C} 均可由 1 用复系数线性表出: c=c1\quad c=c \cdot 1.

    (2) 将 C\mathbb{C} 看成 R\mathbb{R} 一线性空间,则 dimR(C)=2\operatorname{dim}_{\mathbb{R}}(\mathbb{C})=\mathbf{2}, 数 1,i1, \mathrm{i} 是一组基.

    1,i1, \mathrm{i}R\mathbb{R} -线性无关的: 设 a,bR\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \in \mathbb{R} 使得 a1+bi=0\boldsymbol{a} \cdot 1+\boldsymbol{b} \cdot \mathrm{i}=\mathbf{0}, 则 a=b=0.\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}=\mathbf{0} .

    任一 a+biC(a,bR)a+b \mathbf{i} \in \mathbb{C}(a, b \in \mathbb{R}) 均可由 1,i1, \mathbf{i} 用实系数线性表出: a+bi=a1+bi\quad a+b \mathbf{i}=a \cdot 1+b \cdot \mathbf{i}

    5\Large\color{violet}{例5} 证明数域 FF 上的基础矩阵 Eij(i=1,2,,m;E_{i j}(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2,,n)j= 1,2, \cdots, n)Fm×nF^{m \times n} 的一个基.

    【证明】 设 i=1mj=1ncijEij=0\quad \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} c_{i j} E_{i j}=0 ,其中 cijF(i=1,2,,m;j=1,2,,n)c_{i j} \in F(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n),因为 0=i=1mj=1ncijEij=(cij)m×n\quad 0=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} c_{i j} E_{i j}=\left(c_{i j}\right)_{m \times n}。其中 cij=0(i=1,2,,m;j=1,2,,n)c_{i j}=0(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n)

    这就证明了 Eij(i=1,2,,m,j=1,2,,n)E_{i j}(i=1,2, \cdots, m, j=1,2, \cdots, n) 线性无关.

    另一方面, 对于任意的 A=(aij)m×n,A=\left(a_{i j}\right)_{m \times n},
    A=i=1mj=1naijEij A=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} E_{i j}
    这就说明了 Fm×nF^{m \times n} 中任意矩阵可以由基础矩阵 Eij(i=1,2,,m;j=1,2,,n)E_{i j}(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n) 线性表出。所以 Eij(i=1,2,,m;j=1,2,,n)E_{i j}(i=1,2, \cdots, m ; j=1,2, \cdots, n)Fm×nF^{m \times n} 的一个基, 它的维数
    dimFm×n=mn \operatorname{dim} F^{m \times n}=m n

    参考

    高等代数,林亚南,高等教育出版社

    高等代数学习辅导,林亚南,林鹭,杜妮,陈清华,高等教育出版社

    高等代数 电子科技大学

    高等代数_安阳师范学院

    《高等代数》(第五版)

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  • 并讨论了矩阵列空间的维数(也称作空间的维数。 坐标系 根据上一节的定义,子空间HHH中的一组基是线性无关的。由于基是线性无关的,所以HHH中的每个向量可以被表示为基向量的线性组合的唯一形式。 证: ...

    主要内容

    本节首先引入了坐标系的概念,利用子空间的一组基,将子空间的任意一个向量用这组基来表示。接着引入了子空间的维数的概念,其实质是子空间中任意一组基的个数。并讨论了矩阵列空间的维数(也称作秩)和零空间的维数及二者之间的关系。

    坐标系

    根据上一节的定义,子空间HH中的一组基是线性无关的。由于基是线性无关的,所以HH中的每个向量可以被表示为基向量的线性组合的唯一形式。
    证:

    假设β={b1,,bp}\beta = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_p\}HH的基,HH中的一个向量x\boldsymbol x可以由两种方式生成,设:
    x=c1b1++cpbp\boldsymbol x=c_1\boldsymbol b_1 + \cdots+c_p\boldsymbol b_p
    x=d1b1++dpbp\boldsymbol x = d_1\boldsymbol b_1 + \cdots + d_p\boldsymbol b_p
    两式相减得:
    0=(c1d1)b1++(cpdp)bp\boldsymbol 0 = (c_1 - d_1)\boldsymbol b_1 + \cdots + (c_p - d_p)\boldsymbol b_p
    由于β\beta是线性无关的,所以上式中的系数必全为0,因此HH中的一个向量只能通过基的唯一组合进行表示。

    定义:

    假设β={b1,,bp}\beta = \{\boldsymbol b1,\cdots,\boldsymbol b_p\}是子空间HH的一组基,对HH中的每一个向量x\boldsymbol x,相对于基β\beta的坐标是使x=c1b1++cpbp\boldsymbol x = c_1\boldsymbol b_1 + \cdots + c_p\boldsymbol b_p成立的权c1,,cpc_1, \cdots, c_p,其Rp\mathbb R^p中的向量
    [x]β=[c1...cp]{[\boldsymbol x]}_\beta = \begin{bmatrix}c_1 \\ ... \\ c_p\end{bmatrix}
    称为x\boldsymbol x(相对于β\beta)的坐标向量,或x\boldsymbol xβ\beta-坐标向量。

    例:

    v1=[362]\boldsymbol v_1 = \begin{bmatrix}3 \\ 6 \\ 2\end{bmatrix}v2=[101]\boldsymbol v_2 = \begin{bmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}x=[3127]\boldsymbol x = \begin{bmatrix}3 \\ 12 \\7\end{bmatrix}β={v1,v2}\beta = \{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2\},。由于v1\boldsymbol v_1, v2\boldsymbol v_2线性无关,故β\betaH=Span{v1,v2}H=Span\{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2\}的一组基。判断x\boldsymbol x是否在HH中,如果是,求x\boldsymbol x相对于基β\beta的坐标向量。

    解:

    问题的实质是判断下面的方程是否相容:
    c1[362]+c2[101]=[3127]c_1\begin{bmatrix}3\\6\\2\end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\\12\\7\end{bmatrix}
    经计算,c1=2c_1=2c2=3c_2=3[x]β=[23][\boldsymbol x]_\beta = \begin{bmatrix}2\\3\end{bmatrix}。基β\beta确定HH上的一个坐标系,如下图所示:
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    注意到,虽然HH中的点也在R3\mathbb R^3中,但它们完全由属于R2\mathbb R^2的坐标向量确定。映射x[x]β\boldsymbol x \rightarrow[\boldsymbol x]_\betaHHR2\mathbb R^2之间保持线性组合关系的一一映射,我们称这种映射是同构的,切HHR2\mathbb R^2同构。

    一般的,如果β={b1,,bp}\beta = \{\boldsymbol b_1, \cdots, \boldsymbol b_p\}HH的基,则映射x[x]β\boldsymbol x\rightarrow [\boldsymbol x]_\beta是使HHRp\mathbb R^p的形态一样的一一映射,尽管HH中的向量可能有多于pp个元素。

    子空间的维数

    定义:

    非零子空间HH的维数(用dimHdim H表示)是HH的任意一个基的向量个数。零子空间{0}\{\boldsymbol 0\}的维数定义为零。

    Rn\mathbb R^n空间维数为nnRn\mathbb R^n的每个基由nn个向量组成。R3\mathbb R^3中一个经过0\boldsymbol 0的平面是二维的,一条经过0\boldsymbol 0的直线是一维的。

    例:

    在前一章的内容中,我们观察到,矩阵AA的零空间的基的数量对应于方程Ax=0A\boldsymbol x = \boldsymbol 0中自由变量的数量,因此,要确定Nul ANul \ A的维数,只需求出A=0A\boldsymbol =\boldsymbol 0中自由变量的个数。

    定义:

    矩阵AA的秩(记为rankArank A)是AA的列空间的维数。

    因为AA的主元列形成Col ACol \ A的一个基,故AA的秩正好是AA的主元列的个数。
    例:

    确定下列矩阵的秩:
    A=[25348474396952409656]A=\begin{bmatrix}2&5&-3&-4&8\\4&7&-4&-3&9\\6&9&-5&2&4\\0&-9&6&5&-6\end{bmatrix}

    解:

    AA经过行化简,其阶梯形矩阵为:
    [25348032570004600000]\begin{bmatrix}2&5&-3&-4&8\\0&-3&2&5&-7\\0&0&0&4&-6\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}
    可见,AA有三个主元列(第1,2,4列),因此rank A=3rank \ A = 3

    从这个例子中还可以看到,方程Ax=0A\boldsymbol x=\boldsymbol 0有两个自由变量(由于AA的五列中只有三个主元列),因此得出如下关系:
    定义:

    如果一矩阵AAnn列,则rank A+dim Nul A=nrank \ A + dim \ Nul \ A = n

    上述定理被称作秩定理

    下面的定理被称为基定理

    HHRn\mathbb R^npp维子空间,HH中的任何恰好由pp个元素组成的线性无关集构成HH的一个基。并且,HH中任何生成HHpp个向量集也构成HH的一个基。

    秩与可逆矩阵定理

    子空间基的线性无关性质可以与逆矩阵发生一些关联,下面是逆矩阵与本节知识关联得到的一些推论

    定理:

    AA是一n×nn \times n矩阵,则下面的每个命题与AA是可逆矩阵的命题等价:
    a. AA的列向量构成Rn\mathbb R^n的一个基
    b. Col A=RnCol \ A = \mathbb R^n
    c. dim Col A=ndim \ Col \ A = n
    d. rank A=nrank \ A = n
    e. Nul A={0}Nul \ A = \{\boldsymbol 0\}
    f. dim Nul A=0dim \ Nul \ A = 0

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