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  • 空间直角坐标系.doc

    2021-05-19 10:00:12
    平面直角坐标系上的点怎样表示? ③在空间,我们是否可以建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢? ④观察图1,体会空间直角坐标系该如何建立. ⑤观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中...
  • 直角坐标系的平移旋转

    千次阅读 2012-04-12 13:51:21
    也就是说曲面上的不能直接表示在平面上,因此必须运用地图投影的方法,建立地球表面平面上的函数关系,使地球表面上任一点由地理坐标(φ、λ)确定的,在平面上必有一个与它相对应的点,平面上任一点的...
    平面上的坐标系
    

    地理坐标是一种球面坐标。由于地球表面是不可展开的曲面,也就是说曲面上的各点不能直接表示在平面上,因此必须运用地图投影的方法,建立地球表面和平面上点的函数关系,使地球表面上任一点由地理坐标(φ、λ)确定的点,在平面上必有一个与它相对应的点,平面上任一点的位置可以用极坐标或直角坐标表示。

    平面直角坐标系的建立

    在平面上选一点O为直角坐标原点,过该点O作相互垂直的两轴X’OXY’OY而建立平面直角坐标系,如图5所示。

    直角坐标系中,规定OX、OY方向为正值,OX、OY方向为负值,因此在坐标系中的一个已知点P,它的位置便可由该点对OXOY轴的垂线长度唯一地确定,即x=APy=BP,通常记为P(x,y)

    平面极坐标系(Polar Coordinate)的建立

    图4-5:平面直角坐标系和极坐标系

    如图5所示,设O’为极坐标原点,O’O为极轴,P是坐标系中的一个点,则O’P称为极距,用符号ρ表示,即ρ=O’P∠OO’P为极角,用符号δ表示,则∠OO’P=δ。极角δ由极轴起算,按逆时针方向为正,顺时针方向为负。

    极坐标与平面直角坐标之间可建立一定的关系式。由图5可知,直角坐标的x轴与极轴重合,二坐标系原点间距离OO’Q表示,则有:

    X=Q–ρcosδ

    Y=ρsinδ

    直角坐标系的平移和旋转

    坐标系平移

    如图1所示,坐标系XOY与坐标系X’O’Y’相应的坐标轴彼此平行,并且具有相同的正向。坐标系X’O’Y’是由坐标系XOY平行移动而得到的。设P点在坐标系XOY中的坐标为(x,y),在X’O’Y’中坐标为(x’,y’),而(a,b)O’在坐标系XOY中的坐标,于是:

    x=x’+a

    y=y’+b

    上式即一点在坐标系平移前后之坐标关系式。

    图1:坐标平移

    坐标系旋转

    如图2所示,如坐标系XOY与坐标系X’O’Y’的原点重合,且对应的两坐标轴夹角为θ,坐标系X’O’Y’是由坐标系XOY以O为中心逆时针旋转θ角后得到的。

    x=x’cosθ+y’sinθ

    y=y’cosθ-x’sinθ

    上式即为经过旋转θ角后的二直角坐标系中某一点坐标的关系式。


    图2:坐标旋转

    坐标系平移和旋转

    如图3所示,坐标系X’O’Y’的原点在坐标系XOY中的坐标为a、b,X轴与X’轴之夹角为θ。可以认为坐标系X’O’Y’原是与坐标系XOY重合,后因为O’分别平移了a、b之距离,并且坐标系二坐标轴O’X’O’Y’又相对OXOY逆时针旋转了θ角而得到的。

    在二坐标系之间引入一个辅助坐标系X”O’Y”,使它的二坐标轴O’X”O’Y”分别与OXOY平行。

    X”O’Y”系中有一点P,其坐标为(x”,y”),则由坐标系平移公式与坐标系旋转公式可得:

    x=x”+a

    y=y”+b

    故有

    x”=x’cosθ+y’sinθ

    y”=y’cosθ-x’sinθ

    x=x’cosθ+y’sinθ+a

    y”=y’cosθ-x’sinθ+b

    上式即坐标系平移和旋转后新、旧坐标系中某一点坐标之关系式。

    图3:坐标平移和旋转地图投影的基本问题

    地图投影的概念

    在数学中,投影(Project)的含义是指建立两个点集间一一对应的映射关系。同样,在地图学中,地图投影就是指建立地球表面上的点与投影平面上点之间的一一对应关系。地图投影的基本问题就是利用一定的数学法则把地球表面上的经纬线网表示到平面上。凡是地理信息系统就必然要考虑到地图投影,地图投影的使用保证了空间信息在地域上的联系和完整性,在各类地理信息系统的建立过程中,选择适当的地图投影系统是首先要考虑的问题。由于地球椭球体表面是曲面,而地图通常是要绘制在平面图纸上,因此制图时首先要把曲面展为平面,然而球面是个不可展的曲面,即把它直接展为平面时,不可能不发生破裂或褶皱。若用这种具有破裂或褶皱的平面绘制地图,显然是不实际的,所以必须采用特殊的方法将曲面展开,使其成为没有破裂或褶皱的平面。

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  • c#中已知直角坐标系下一点的坐标,如何计算其对应的角度,并且把角度范围限制在[0,2π)之间。 **问题描述:**本问题出现在圆的参数方程在c#中计算问题中,我需要在知道圆一点直角坐标的情况下去计算其对应的参数...

    c#中已知直角坐标系下一点的坐标,如何计算其对应的角度,并且把角度范围限制在[0,2π)之间。

    问题描述本问题出现在圆的参数方程在c#中计算问题中,我需要在知道圆上一点直角坐标的情况下去计算其对应的参数seta,也就是角度值,由于圆的参数方程参数值seta范围是[0,2π)所以我需要限制他的范围,c#中反三角函数的范围asin和atan为[-π/2,π/2],acos为[0,π],所以不能用这三个来解。
    问题解决后来发现C#中存在一个函数atan2,这个函数声明是这样的:

    public static double Atan2(double y, double x);
           
     // 摘要: 
     // 返回正切值为两个指定数字的商的角度。
     //
     // 参数: 
     //   y:
     //     点的 y 坐标。
     //
     //   x:
     //     点的 x 坐标。
     //
     // 返回结果: 
     //     角度 θ,以弧度为单位,满足 -π≤θ≤π,且 tan(θ) = y / x,其中 (x, y) 是笛卡尔平面中的点。 请看下面: 如果 (x,
     //     y) 在第 1 象限,则 0 < θ < π/2。 如果 (x, y) 在第 2 象限,则 π/2 < θ≤π。 如果 (x, y) 在第 3 象限,则
     //     -π < θ < -π/2。 如果 (x, y) 在第 4 象限,则 -π/2 < θ < 0。 如果点在象限的边界上,则返回值如下: 如果 y
     //     为 0 并且 x 不为负值,则 θ = 0。 如果 y 为 0 并且 x 为负值,则 θ = π。 如果 y 为正值并且 x 为 0,则 θ =
     //     π/2。 如果 y 为负值并且 x 为 0,则 θ = -π/2。 如果 x 或 y 是 System.Double.NaN,或者如果 x 和 y
     //     是 System.Double.PositiveInfinity 或 System.Double.NegativeInfinity,则该方法返回
     //     System.Double.NaN。
    

    从函数的声明和函数的注释中可以看到,要想限制范围到[0,2π)中,只需对结果中的负值加上2π即可
    所以有了下面的代码:

    double hudu = Math.Atan2(y, x);
    if (hudu>-Math.PI && hudu<0)
    {
    	hudu+=2*Math.PI;
    }
    double jiaodu = hudu * 180 / Math.PI;
    

    以上即可解决问题描述中所述问题。

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  • 直角坐标系上的一个点对应到极坐标系是一条正弦曲线。 上面两句话听起来有些绕,我们主要从计算机工程应用角度来解释它。如果单纯从数学角度去理解的话,容易走向死胡同。比如说按下面直角坐标转极坐标公式,直角...

    前言

    本课的重点和难点就是理解hough直线变换原理。视频课程中会通过数个实例分析来深刻体会两句话:极坐标上的一个点对应到直角坐标系上是一条直线;直角坐标系上的一个点对应到极坐标系是一条正弦曲线。

    上面两句话听起来有些绕,我们主要从计算机工程应用角度来解释它。如果单纯从数学角度去理解的话,容易走向死胡同。比如说按下面直角坐标转极坐标公式,直角坐标系上的一个点对应到极坐标也是一个点,对吧。

    类似地, 通过下面纯数学公式,极坐标系上的一个点对应到直角坐标系上也只是一个点。

     

    看完这两个公式再回过头看上面的两句话,是不是感觉有些糊涂了?所以我们得从应用角度/不同公式来思考它们之间的对应关系。

    作业

    我们通过下面这道课后作业来更好的理解这些对应关系。作业如下,它要求直角坐标系上的点所对应到极坐标系上的曲线画出来。

    我们这里参考的公式是:

     

    该公式的意思是,已知(x,y)直角坐标值,然后就可以求得不同角度下对应的,这么一些点集就构成(x,y)对应的正弦曲线了。很多抽象概念只有通过动手实践才能体会更深刻。所以这里我们手动将这些曲线画出来,来加深理解。 

    以直角坐标点(0,2)为例,当theta为0时,其roh值等于0, theta为pai/4时,roh=等等,其它依次类推,然后把这些点用曲线连起来。 显然,这三个点对应到极坐标系里面有3条曲线。

    答案

    手动绘制的曲线答案如下所示。

    由于直角坐标系上的三个点刚好在一条直接上,所以它们会相交于一点。 由于极坐标系上的一点对应到直角坐标系上是一条直线,所以通过该点就很容易把直角坐标系上的直线会反求出来。 这些概念会在视频课程中反复提及和解释。

     

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  • 坐标系类型及其简介

    2020-10-30 13:37:53
    如上图,每一个点对应坐标系上的一个有序实数对;方程y=x2x∈[−2,2]y=x^2 \quad x\in[-2,2]y=x2x∈[−2,2]对应上述图像。 1.2 平面直角坐标系中的伸缩变换 定义:设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ...

    一、平面直角坐标系

    通过直接坐标系,平面上的点和坐标系(有序实数对)、曲线与方程建立了联系,从而实现了数与形结合。

    1
    如上图,每一个点对应坐标系上的一个有序实数对;方程y=x2x[2,2]y=x^2 \quad x\in[-2,2]对应上述图像。

    平面直角坐标系中的伸缩变换

    定义:设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
    ϕ:{x=λxλ>0y=μyμ>0(1) \phi: \left\{ \begin{aligned} &x'=\lambda \cdot x\quad \lambda>0\\ &y'=\mu \cdot y \quad \mu>0 \end{aligned} \right.\tag{1}
    的作用下,点P(x,y)对应到点P’=(x’,y’),称ϕ\phi为平面直角系中的坐标伸缩变换。具体的,

    • μ>1λ>1\mu>1或\lambda>1 表现为远离中心轴拉长;
    • μ=1λ=1\mu=1或\lambda=1 保持不变;
    • μ<1λ<1\mu<1或\lambda<1 表现为聚拢中心轴压缩。

    二、极坐标系

    如下图,在平面内任取一定点OO,叫做极点;自极点OO引一条射线OxOx,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)。这样就建立了一个极坐标系。
    1
    MM是平面内一点,极点OO与点MM的距离OM|OM|叫做点MM极径,记为ρ\rho;以OxOx为始边,射线OM为终边的角xOMxOM叫做MM极角,记为θ\theta。有序实对(ρ,θ)(\rho,\theta)叫做MM极坐标,记为M(ρ,θ)M(\rho,\theta)

    极坐标和直角坐标之间的互化

    2
    由三角函数知识有以下转化公式:

    • 极坐标转直角坐标
      x=ρcosθy=ρsinθ(2) x=\rho cos\theta\quad y=\rho sin\theta \tag{2}
    • 直角坐标转极坐标
      ρ2=x2+y2tanθ=yxx0(3) \rho^2=x^2+y^2 \quad tan\theta=\frac{y}{x}\quad x\ne0\tag{3}

    三、简单的极坐标方程

    3.1 圆

    • 半径为aa,圆心为C(a,0)C(a,0)的圆,若极点在直角坐标原点,则极坐标系是:ρ=2acosθ\rho=2a cos\theta,极点在直角坐标原点;
    • 半径为aa,圆心为C(0,a)C(0,a)的圆,若极点在直角坐标原点,则极坐标系是:ρ=2asinθ\rho=2a sin\theta
    • 半径为aa的圆,若极点在圆心C则极坐标系是:ρ=a\rho=a

    可见,极点与圆心的关系会影响极坐标方程的复杂度。

    3.2 直线

    极坐标方程的目标就是根据几何关系找到ρ\rhoθ\theta的关系。在描述一条直线时,直角坐标系角度下,我们试图找到一个方程使得所有的xxyy都满足一个关系,这个关系可以抽象为f(x,y)=0f(x,y)=0;同样的,极坐标角度下,我们应该找到一个方程满足f(ρ,θ)=0f(\rho,\theta)=0。在高中课本有一个这样的描述:“在平面直角坐标系下,平面曲线CC可以用方程f(x,y)=0f(x,y)=0表示。曲线和方程满足如下关系:

    1. 曲线CC上点的坐标都是方程f(x,y)=0f(x,y)=0上的解;
    2. 以方程f(x,y)=0f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线CC上.

    实现了数形的结合。不得不佩服笛卡尔,开创了解析几何。原本科学家的研究是建立在数的基础上,数之间的关系直接因为笛卡尔得到了释放。这里有一篇文章讲的挺清晰的:https://zhuanlan.zhihu.com/p/55877974

    四、柱坐标系和球坐标系

    4.1 柱坐标系(半极坐标系)

    1
    如上图,建立直角坐标系OxyzOxyz.设PP是空间上一点。它在OxyOxy平面上的投影为QQ,用(ρ,θ)(ρ0,0θ<2π)(\rho,\theta) \quad(\rho\ge0,0\le\theta<2\pi)表示QQ在平面上的极坐标,这时点PP的位置可以用(ρ,θ,z)(zR)(\rho,\theta,z) \quad (z\in R),这样我们建立了空间点与有序实数组(ρ,θ,z)(\rho,\theta,z)之间的一种对应关系。把建立在上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系,有序实数组(ρ,θ,z)(\rho,\theta,z)叫做PP点的柱坐标,记作P(ρ,θ,z)P(\rho,\theta,z),其中ρ0,0θ<2π,<z<+\rho\ge0,0\le\theta<2\pi,-\infty< z <+\infty.

    空间点PP直角坐标系(x,y,z)(x,y,z)与柱坐标系(ρ,θ,z)(\rho,\theta,z)之间的变换关系为:
    {x=ρcosθy=ρsinθz=z \left\{ \begin{aligned} &x=\rho cos\theta \\ &y=\rho sin\theta \\ &z=z\\ \end{aligned} \right.

    4.2 球坐标系

    在这里插入图片描述

    如上图,建立空间直角坐标系OxyzOxyz.设PP是空间上一点,连接OPOP,记OP=r|OP|=r,OPOPOzOz轴正向夹角为ϕ\phi. 设P在OxyOxy平面上的射影为QQOxOx轴按逆时针方向旋转刀OQOQ时转过的最小正角为θ\theta. 这样点PP的位置就可以用有序数组(r,ϕ,θ)(r,\phi,\theta)表示。这样空间上的点与有序数组(r,ϕ,θ)(r,\phi,\theta)建立了一种对应关系。把上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系),有序数组(r,ϕ,θ)(r,\phi,\theta)叫做PP的球坐标,记作P(r,ϕ,θ)P(r,\phi,\theta),其中r00ϕπ0θ2πr\ge0,0\le\phi\le\pi,0\le\theta\le 2\pi.测量中,把θ\theta称为被测点的方位角,90ϕ90-\phi称为高低角。

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  • 坐标系转换

    千次阅读 2012-03-23 16:57:33
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  • 坐标平移与旋转

    万次阅读 2011-04-21 15:10:00
    也就是说曲面上的不能直接表示在平面上,因此必须运用地图投影的方法,建立地球表面平面上的函数关系,使地球表面上任一点由地理坐标(φ、λ)确定的,在平面上必有一个与它相对应的点,平面上任一点的...
  • 所以平行坐标图的实质是将m维欧式空间的一个点Xi(xi1,xi2,…,xim) 映射到二维平面上的一条曲线。在N条平行的线的背景下,(一般这N条线都竖直且等距),一个在高维空间的点可以被表示为一条拐点在
  • 为了表示在高维空间的一个点集, 在N条平行的线的背景下,一个在高维空间的点被表示为一条拐点在N条平行坐标轴的折线,在第K个坐标上的位置就表示这个点在第K个维的值。 平行坐标是信息可视化的一种重要技术。 ...
  • 平面点的旋转公式

    2015-06-17 17:04:00
    定义:平面绕它上面一点O旋转,是使平面任意一对对应点PP’与一个定点O连结线段都相等,即|OP|=|OP’|,且有向角<POP’等于确定有向角β,O称为旋转中心,有向角β称为旋转角。 变换公式 取直角...
  • 形状下文(shape context )最...它们是这样得到的,以该为极坐标中心,对于每一个由 r θ 确定的极坐标区域,如果该区域内包含的越多,则其在由θ ㏒r 组成的直角坐标系对应的区域颜色越深。。。。。。。
  • 在平面内,任何一点的坐标 是根据数轴上对应的点的坐标设定的。 二维的直角坐标系通常由两互相垂直的坐标轴设定,通常分别称为 x-轴 y-轴;两坐标轴的相交,称为原点,通常标记为 O ,既有“零”的意思,又...
  • Problem F: 笛卡尔平面

    2020-12-17 14:26:30
    在平面内,任何一点的坐标 是根据数轴上对应的点的坐标设定的。 二维的直角坐标系通常由两互相垂直的坐标轴设定,通常分别称为 x-轴 y-轴;两坐标轴的相交,称为原点,通常标记为 O ,既有“零”的意思,又...
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  •  定义:平面绕它上面一点旋转,是使平面任意一对对应点和一个定点连结线段都相等,即,且有向角等于确定有向角,称为旋转中心,有向角称为旋转角。 变换公式 取直角坐标系,以原点为旋转中心,...
  • matlab 图像分割 hough 霍夫变换

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    (1)hough变换原理平面坐标系上直线转换到极坐标系上一个点,平面直角坐标系上点在极坐标系上为一条直线。 (2)有关函数介绍1. [H,theta,rho] = hough(BW,p,v) H是变换到hough矩阵。 thetarho对应于矩阵每...
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空空如也

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和直角坐标系上的一个点对应的是