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  • 一、周期为2l的周期函数的傅里叶级数 实际问题中所遇到的周期函数,它的周期不一定是2π2\pi2π。如之前提到的矩形波,它的周期函数是T=2πωT=\frac{2\pi}{\omega}T=ω2π​。因此,这里讨论周期为2l2l2l的周期函数...

    一、周期为2l的周期函数的傅里叶级数

    实际问题中所遇到的周期函数,它的周期不一定是2π2\pi。如之前提到的矩形波,它的周期函数是T=2πωT=\frac{2\pi}{\omega}。因此,这里讨论周期为2l2l的周期函数的傅里叶级数。根据之前讨论的结果,经过自变量的变量代换,可得到下面的定理:

    定理:设周期为2l的周期函数f(x)f(x)满足收敛定理的条件,则它的傅里叶级数展开式为
    f(x)=a02+n=1(ancosnπxl+bnsinnπxl)(xC) f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_ncos\frac{n\pi x}{l}+b_nsin\frac{n\pi x}{l})(x\in C)
    其中
    an=1lllf(x)cosnπxldx(n=0,1,2,)bn=1lllf(x)sinnπxldx(n=1,2,3,)C={xf(x)=12[f(x)+f(x+)]} a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)cos\frac{n\pi x}{l}dx\quad (n=0,1,2,···) \\ b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx\quad (n=1,2,3,···)\\ C=\{x|f(x)=\frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]\}
    f(x)f(x)为奇函数时,
    f(x)=n=1bnsinnπxl(xC) f(x)=\sum_{n=1}^\infty b_nsin\frac{n\pi x}{l}\quad (x\in C)
    其中
    bn=2l0lf(x)sinnπxldx(n=1,2,3,) b_n=\frac{2}{l}\int_0^lf(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx \quad (n=1,2,3,···)
    f(x)f(x)为偶函数时,
    f(x)=a02+n=1ancosnπxl(xC) f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_ncos\frac{n\pi x}{l}(x\in C)
    其中
    an=2l0lf(x)cosnπxldx(n=0,1,2,) a_n=\frac{2}{l}\int_0^l f(x)cos\frac{n\pi x}{l}dx \quad(n=0,1,2,···)

    二、傅里叶级数的复数形式

    傅里叶级数可用复数形式表示,在电子技术中,经常应用这种形式。

    设周期为2l2l的周期函数f(x)f(x)的傅里叶级数为
    a02+n=1(ancosnπxl+bnsinnπxl)(1) \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty(a_ncos\frac{n\pi x}{l}+b_nsin\frac{n\pi x}{l}) \tag{1}
    其中系数ana_nbnb_n
    an=1lllf(x)cosnπxldx(n=0,1,2,)bn=1lllf(x)sinnπxldx(n=1,2,3,)(2) a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)cos\frac{n\pi x}{l}dx \quad (n=0,1,2,···)\\ b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)sin\frac{n\pi x}{l}dx \quad (n=1,2,3,···) \tag{2}
    利用欧拉公式
    cost=eti+eti2, sint=etieti2i cos\,t=\frac{e^{ti}+e^{-ti}}{2},\space sin\,t=\frac{e^{ti}-e^{-ti}}{2i}
    把(1)式化为
    a02+n=1[an2(enπxli+enπxli)bni2(enπxlienπxli)]=a02+n=1[anbni2enπxli+an+bni2enπxli](3) \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty[\frac{a_n}{2}(e^{\frac{n\pi x}{l}i}+e^{-\frac{n\pi x}{l}i})-\frac{b_ni}{2}(e^{\frac{n\pi x}{l}i}-e^{-\frac{n\pi x}{l}i})] \\ =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty[\frac{a_n-b_ni}{2}e^{\frac{n\pi x}{l}i}+\frac{a_n+b_ni}{2}e^{-\frac{n\pi x}{l}i}] \tag{3}

    a02=c0,anbni2=cn,an+bni2=cn(n=1,2,3,)(4) \frac{a_0}{2}=c_0, \quad \frac{a_n-b_ni}{2}=c_n,\quad \frac{a_n+b_ni}{2}=c_{-n} \quad (n=1,2,3,···) \tag{4}
    则(2)式就表示为
    c0+n=1(cnenπxli+cnenπxli)=(cnenπxli)n=0+n=1(cnenπxli+cnenπxli) c_0+\sum_{n=1}^\infty (c_ne^{\frac{n\pi x}{l}i}+c_{-n}e^{-\frac{n\pi x}{l}i})=(c_ne^{\frac{n\pi x}{l}i})_{n=0}+\sum_{n=1}^\infty(c_ne^{\frac{n\pi x}{l}i}+c_{-n}e^{-\frac{n\pi x}{l}i})
    即得傅里叶级数的复数形式为
    n=cnenπxli \sum_{n=-\infty}^\infty c_ne^{\frac{n\pi x}{l}i}
    为得出系数cnc_n的表达式,把(2)式代入(4),得
    c0=a02=12lllf(x)dx;cn=12lllf(x)enπxldx(n=1,2,3,)cn=an+bni2=12lllf(x)enπxlidx(n=0,1,2,) c_0=\frac{a_0}{2}=\frac{1}{2l}\int_{-l}^lf(x)dx ;\\ c_n=\frac{1}{2l}\int_{-l}^l f(x)e^{-\frac{n\pi x}{l}dx} \quad (n=1,2,3, ···) \\ c_{-n}=\frac{a_n+b_ni}{2}=\frac{1}{2l}\int_{-l}^lf(x)e^{\frac{n\pi x}{l}i}dx \quad (n=0, 1, 2,···)
    将已得的结果合并写为
    cn=12lllf(x)enπxlidx(n=0,±1,±2,) c_n=\frac{1}{2l}\int_{-l}^lf(x)e^{-\frac{n\pi x}{l}i}dx \quad (n=0,\pm 1,\pm 2, ···)
    这就是傅里叶系数的复数形式。

    傅里叶级数的两种形式本质上是一样的,但复数形式比较简洁,且只用一个算式计算系数。

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  • 6_2非正弦周期函数的傅里叶级数
  • 周期函数的傅里叶级数展开

    千次阅读 2020-02-04 18:15:44
    周期函数的傅里叶级数展开周期函数 周期函数 周期函数表达式为: f(x) = f(x + kT) (k = 1,2,3…) 如果该周期函数满足狄利赫里条件,那么该周期可以展开为傅里叶级数: f(t)=a02+∑n=1∞(a0cos⁡(nω1t)+bnsin...

    周期函数的傅里叶级数展开

    周期函数

    周期函数表达式为:
    f(x) = f(x + kT) (k = 1,2,3…)
    如果该周期函数满足狄利赫里条件,那么该周期可以展开为傅里叶级数:
    f(t)=a02+n=1(a0cos(nω1t)+bnsin(nω1t)) f(t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n=1}^\infty(a_{0}\cos{(n\omega_{1}t)}+b_{n}\sin{(n\omega_{1}t)})
    其中傅里叶系数计算如下:
    a02=1Tt0t0+Tf(t)dt \frac{a_{0}}{2} = \frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T }{f(t)dt}
    an=2Tt0t0+Tf(t)cosnω1tdt a_{n} = \frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}{f(t)\cos{n\omega_{1}tdt}}
    bn=2Tt0t0+Tsinnω1tdt b_{n} = \frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}{\sin{n\omega_{1}tdt}}

    方波信号的傅里叶级数展开

    常见方波信号有两种,第一种表达式为:
    f(t)={UkTt(kT+a2)0(kT+a2)t(kT+a) f(t) = \begin{cases} U &\text{} kT\le t \le (kT+\frac{a}{2}) \\ 0 &\text{}(kT+ \frac{a}{2}) \le t \le (kT + a) \end{cases}
    则方波信号得傅里叶级数展开得系数为:
    a02=U2 \frac{a_{0}}{2} = \frac{U}{2}
    an=Unπsinnπ=0 a_{n} = \frac{U}{n\pi}\sin{n\pi} = 0
    bn=2Unπ b_{n} = \frac{2U}{n\pi}
    所以方波函数的傅里叶展开式为:
    f(t)=U2+2Uπn=11nsin2πf1t f(t) = \frac{U}{2} + \frac{2U}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n} \sin{2\pi f_{1}t}}
    式中:f1 为周期函数的频率。

    第二种常见方波表达式为:

    f(t)={UkTt(kT+a2)U(kT+a2)t(kT+a) f(t) = \begin{cases} U &\text{} kT\le t \le (kT+\frac{a}{2}) \\ -U &\text{}(kT+ \frac{a}{2}) \le t \le (kT + a) \end{cases}
    则方波信号得傅里叶级数展开得系数为:
    a02=0 \frac{a_{0}}{2} = 0
    an=0 a_{n} = 0
    bn=4Unπ b_{n} = \frac{4U}{n\pi}
    所以方波函数的傅里叶展开式为:
    f(t)=U2+4Uπn=11nsin2πf1t f(t) = \frac{U}{2} + \frac{4U}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n} \sin{2\pi f_{1}t}}
    式中:f1 为周期函数的频率。

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  • Matlab并没有自带的求解傅里叶级数的函数,本文将介绍如何使用Matlab进周期函数的傅里叶级数分析,内容包括: 1、求解傅里叶级数的系数 2、求N次谐波的叠加函数,画图比较与原函数的差值 3、做出傅里叶级数的幅度...

    (一)前言

    Matlab并没有自带的求解傅里叶级数的函数,本文将介绍如何使用Matlab进周期函数的傅里叶级数分析,内容包括:

    1、求解傅里叶级数的系数

    2、求N次谐波的叠加函数,画图比较与原函数的差值

    3、做出傅里叶级数的幅度谱与相位谱

    (二)傅里叶级数系数的求解

    设f(x)为周期为T的周期函数,则我们有傅里叶级数展开式:

    $$ f\left( x \right) =a_0+\sum_{n=1}^{\infty}{\left( a_n\cos nx+b_n\sin nx \right)} \\ a_0=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( x \right) \text{d}x} \\ a_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( x \right) \cos nx\text{d}x}\quad \left( n=\text{1,2,3,}\cdots \right) \\ b_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( x \right) \sin nx\text{d}x}\quad \left( n=\text{1,2,3,}\cdots \right) $$

    根据系数的求解的定义,我们使用int()函数进行积分即可求解,如果f(x)在一个周期内为分段函数的话可能还需分段积分,我是自己写了一个统一处理分段函数积分的函数,当然也可以自己分段写,本质是一样的。这里以一个周期三角函数为例进行求解,三角波函数图像如下:

    则在一个周期内的函数表达式为:$$ f\left( t \right) =\begin{cases} 2t+\text{1, }-0.5\leqslant t<0\\ -2t+\text{1, }0\leqslant t<\text{0.5 }\\ \end{cases} $$

    则求解系数的代码如下:

    syms t n;
    T=2;w=2*pi/T;
    f1=2*t+1;f2=-2*t+1;
    a0=1/T*myint('t',f1,-0.5,0,f2,0,0.5);
    an=myint('t',f1*cos(n*pi*t),-0.5,0,f2*cos(n*pi*t),0,0.5);
    bn=myint('t',f1*sin(n*pi*t),-0.5,0,f2*sin(n*pi*t),0,0.5);

    运行结果为:

    (三)作N次谐波的合成图并与原函数进行比较

    作合成图实际上就对多个函数进行一定项数的叠加,为了适应不同项数的叠加处理,这里编写函数进行实现:

    %trifourierseries.m
    function [ f ] = trifourierseries( a0, an, bn, m, t )
    %TRIFOURIERSERIES 求傅里叶级数m次谐波的合成
    %   a0、an、bn为傅里叶级数的系数
    %   t为变量(取样间隔也就是自变量)
    f=a0;
    syms n;
    for n=1:m
        f=f+eval(an)*cos(n*pi.*t);
        f=f+eval(bn)*sin(n*pi.*t);
    end
    

    接着就是进行画图处理:

    %求傅里叶变换
    t=-6:0.01:6;
    d=-6:2:6;
    %tripuls为三角波函数,进行偏移叠加处理可以得到一个类似三角周期函数的图
    f=pulstran(t,d,'tripuls');
    %3次谐波叠加
    f3=trifourierseries(a0, an, bn, 3, t);
    %9次谐波叠加
    f9=trifourierseries(a0, an, bn, 9, t);
    %21次谐波叠加
    f21=trifourierseries(a0, an, bn, 21, t);
    %45次谐波叠加
    f45=trifourierseries(a0, an, bn, 45, t);
    
    %级数展开图
    subplot(2,3,1);plot(t,f,'r',t,f3,'b');grid on
    axis([-6.1,6.1,-0.1,1.1]);title('展开3项');
    xlabel('t');ylabel('f(t)');
    subplot(2,3,4);plot(t,f,'r',t,f9,'b');grid on
    axis([-6.1,6.1,-0.1,1.1]);title('展开9项');
    xlabel('t');ylabel('f(t)');
    subplot(2,3,2);plot(t,f,'r',t,f21,'b');grid on
    axis([-6.1,6.1,-0.1,1.1]);title('展开21项');
    xlabel('t');ylabel('f(t)');
    subplot(2,3,5);plot(t,f,'r',t,f45,'b');grid on
    axis([-6,6,-0.1,1.1]);title('展开45项');
    xlabel('t');ylabel('f(t)');

    (四)幅度谱与相位图作图

    先给定需要绘制的范围,再对具体的幅度An以及相位ψn进行求解,最后画出An~n以及ψn~n即可:

    %幅度谱--相位谱
    n=0:1:10;
    anVal=eval(an);
    bnVal=eval(bn);
    %注意A0需要自己赋值
    An=sqrt(anVal.^2+bnVal.^2);An(1)=a0;
    %phi0同理
    phi=atan(-bnVal./anVal);phi(1)=0;
    subplot(2,3,3);stem(n,An,'b');
    grid on; axis([-0.1,10.1,-0.1,1.1]);
    title('幅度谱');xlabel('n');ylabel('An');
    subplot(2,3,6);plot(n,phi,'b');
    grid on; axis([-0.1,10.1,-0.1,1.1]);
    title('相位谱');xlabel('n');ylabel('ψn');

    (五)最终绘图结果

    (六)说明

    该例子为周期三角波函数的求解,如需改成其它函数,只需要将最开始的分段f1、f2以及相应的积分过程进行修改即可。

    该程序直接运行的话会比较慢,因为在进行傅里叶级数的计算是将a0、an、bn进行传参然后求解,既涉及到符号运算又涉及到了数值运算,故运算特别慢,在算出a0、an、bn以后,直接将三者的值代入trifourierseries()中即可可以跑得比较快,不过这样的话在修改为不同函数进行积分时,这里也要进行修改,各有所长,也有所缺,看个人所好以及实际情况进行取舍即可。

     

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  • 该文件讲解了傅里叶级数定义等和傅里叶级数计算方法等
  • 转载于:https://www.cnblogs.com/tszr/p/11174419.html

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/tszr/p/11174419.html

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