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  • Matlab并没有自带的求解傅里叶级数的函数,本文将介绍如何使用Matlab进周期函数的傅里叶级数分析,内容包括: 1、求解傅里叶级数的系数 2、求N次谐波的叠加函数,画图比较与原函数的差值 3、做出傅里叶级数的幅度...

    (一)前言

    Matlab并没有自带的求解傅里叶级数的函数,本文将介绍如何使用Matlab进周期函数的傅里叶级数分析,内容包括:

    1、求解傅里叶级数的系数

    2、求N次谐波的叠加函数,画图比较与原函数的差值

    3、做出傅里叶级数的幅度谱与相位谱

    (二)傅里叶级数系数的求解

    设f(x)为周期为T的周期函数,则我们有傅里叶级数展开式:

    $$ f\left( x \right) =a_0+\sum_{n=1}^{\infty}{\left( a_n\cos nx+b_n\sin nx \right)} \\ a_0=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( x \right) \text{d}x} \\ a_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( x \right) \cos nx\text{d}x}\quad \left( n=\text{1,2,3,}\cdots \right) \\ b_n=\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{f\left( x \right) \sin nx\text{d}x}\quad \left( n=\text{1,2,3,}\cdots \right) $$

    根据系数的求解的定义,我们使用int()函数进行积分即可求解,如果f(x)在一个周期内为分段函数的话可能还需分段积分,我是自己写了一个统一处理分段函数积分的函数,当然也可以自己分段写,本质是一样的。这里以一个周期三角函数为例进行求解,三角波函数图像如下:

    则在一个周期内的函数表达式为:$$ f\left( t \right) =\begin{cases} 2t+\text{1, }-0.5\leqslant t<0\\ -2t+\text{1, }0\leqslant t<\text{0.5 }\\ \end{cases} $$

    则求解系数的代码如下:

    syms t n;
    T=2;w=2*pi/T;
    f1=2*t+1;f2=-2*t+1;
    a0=1/T*myint('t',f1,-0.5,0,f2,0,0.5);
    an=myint('t',f1*cos(n*pi*t),-0.5,0,f2*cos(n*pi*t),0,0.5);
    bn=myint('t',f1*sin(n*pi*t),-0.5,0,f2*sin(n*pi*t),0,0.5);

    运行结果为:

    (三)作N次谐波的合成图并与原函数进行比较

    作合成图实际上就对多个函数进行一定项数的叠加,为了适应不同项数的叠加处理,这里编写函数进行实现:

    %trifourierseries.m
    function [ f ] = trifourierseries( a0, an, bn, m, t )
    %TRIFOURIERSERIES 求傅里叶级数m次谐波的合成
    %   a0、an、bn为傅里叶级数的系数
    %   t为变量(取样间隔也就是自变量)
    f=a0;
    syms n;
    for n=1:m
        f=f+eval(an)*cos(n*pi.*t);
        f=f+eval(bn)*sin(n*pi.*t);
    end
    

    接着就是进行画图处理:

    %求傅里叶变换
    t=-6:0.01:6;
    d=-6:2:6;
    %tripuls为三角波函数,进行偏移叠加处理可以得到一个类似三角周期函数的图
    f=pulstran(t,d,'tripuls');
    %3次谐波叠加
    f3=trifourierseries(a0, an, bn, 3, t);
    %9次谐波叠加
    f9=trifourierseries(a0, an, bn, 9, t);
    %21次谐波叠加
    f21=trifourierseries(a0, an, bn, 21, t);
    %45次谐波叠加
    f45=trifourierseries(a0, an, bn, 45, t);
    
    %级数展开图
    subplot(2,3,1);plot(t,f,'r',t,f3,'b');grid on
    axis([-6.1,6.1,-0.1,1.1]);title('展开3项');
    xlabel('t');ylabel('f(t)');
    subplot(2,3,4);plot(t,f,'r',t,f9,'b');grid on
    axis([-6.1,6.1,-0.1,1.1]);title('展开9项');
    xlabel('t');ylabel('f(t)');
    subplot(2,3,2);plot(t,f,'r',t,f21,'b');grid on
    axis([-6.1,6.1,-0.1,1.1]);title('展开21项');
    xlabel('t');ylabel('f(t)');
    subplot(2,3,5);plot(t,f,'r',t,f45,'b');grid on
    axis([-6,6,-0.1,1.1]);title('展开45项');
    xlabel('t');ylabel('f(t)');

    (四)幅度谱与相位图作图

    先给定需要绘制的范围,再对具体的幅度An以及相位ψn进行求解,最后画出An~n以及ψn~n即可:

    %幅度谱--相位谱
    n=0:1:10;
    anVal=eval(an);
    bnVal=eval(bn);
    %注意A0需要自己赋值
    An=sqrt(anVal.^2+bnVal.^2);An(1)=a0;
    %phi0同理
    phi=atan(-bnVal./anVal);phi(1)=0;
    subplot(2,3,3);stem(n,An,'b');
    grid on; axis([-0.1,10.1,-0.1,1.1]);
    title('幅度谱');xlabel('n');ylabel('An');
    subplot(2,3,6);plot(n,phi,'b');
    grid on; axis([-0.1,10.1,-0.1,1.1]);
    title('相位谱');xlabel('n');ylabel('ψn');

    (五)最终绘图结果

    (六)说明

    该例子为周期三角波函数的求解,如需改成其它函数,只需要将最开始的分段f1、f2以及相应的积分过程进行修改即可。

    该程序直接运行的话会比较慢,因为在进行傅里叶级数的计算是将a0、an、bn进行传参然后求解,既涉及到符号运算又涉及到了数值运算,故运算特别慢,在算出a0、an、bn以后,直接将三者的值代入trifourierseries()中即可可以跑得比较快,不过这样的话在修改为不同函数进行积分时,这里也要进行修改,各有所长,也有所缺,看个人所好以及实际情况进行取舍即可。

     

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  • 周期函数傅里叶级数的各次谐波系数确定 在不考虑直流分量的情况下对于周期函数的系数进行计算确定。 简单阐述原理过程。 实例场景: 假定被采样信号的模拟信号时一个周期性时间函数,...周期函数的傅里叶级数为: ...

    周期函数傅里叶级数的各次谐波系数确定

    在不考虑直流分量的情况下对于周期函数的系数进行计算确定。
    简单阐述原理过程。

    实例场景:
    假定被采样信号的模拟信号时一个周期性时间函数,除基波外还含有不衰减的直流分量和各次函数。

    基本形式

    周期函数的傅里叶级数为:在这里插入图片描述

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  • 但是,有些函数的傅立叶级数只含有正弦项或只含有余弦项,究其原因,它与所给函数的奇偶性有关。 【定理】以为周期的奇函数展开成傅立叶级数时,它的傅立叶系数适合: 而以为周期的偶函数展开成傅立叶级数时,它...

    §11.9  正弦级数和余弦级数

    一、奇函数偶函数的傅立叶级数

    一般说来,一个函数的傅立叶级数既含有正弦项,又含有余弦项。但是,有些函数的傅立叶级数只含有正弦项或只含有余弦项,究其原因,它与所给函数的奇偶性有关。

    定理】以为周期的奇函数展开成傅立叶级数时,它的傅立叶系数适合:

    而以为周期的偶函数展开成傅立叶级数时,它的傅立叶系数适合:

    证 是以为周期的偶函数,则,从而

    又因上的奇函数,故

    类似地可证明定理的第二部分。

    该定理告诉我们:

    1、如果为奇函数,那么它的傅立叶级数是只含有正弦项,不含常数项和余弦项的正弦级数

    2、如果为偶函数,那么它的傅立叶级数是只含有常数项和余弦项,不含正弦项的余弦级数

    【例1】设是周期为的周期函数,它在上的表达式为,将它展开成傅立叶级数。

    解:函数的图形如下:

    是周期为的奇函数,因此

    在点  不连续,据收敛定理,的傅立叶展开式为

    二、函数展开成正弦级数或余弦级数

    如果仅给出函数上的定义,如何将它展开成正弦级数或余弦级数呢?

    解决该问题的具体步骤如下:

    1、上重新定义新函数,且上成为奇函数(或偶函数),这种定义的方式称为是对奇延拓(或偶延拓)。

    2、为周期进行周期延拓,所得函数的傅立叶展开式必为正弦级数(或余弦级数)。

    3、的傅立叶展开式的成立区间,限制属于中的某一个,此时,这样便得到了的正弦级数(或余弦级数)。

    【例2】将函数分别展开成正弦级数和余弦级数。

    解:进行奇延拓,得函数

    其傅立叶系数如下:

    傅立叶级数为  ,据收敛定理有:

    处,它收敛于

    处,它收敛于

    内,它收敛于

    的傅立叶正弦级数展开式为

    进行偶延拓,可得函数

    其傅立叶系数为

    傅立叶级数为  , 据收敛定理有:

    处,它收敛于

    内,它收敛于

    的傅立叶余弦级数展开式为





    §11.10  周期为2L的周期函数的傅里叶级数

    对于周期为的周期函数的傅立叶级数展开,根据已有的结论,借助变量替换,可得到下面定理。

    定理】设周期为的周期函数满足收敛定理的条件,则它的傅立叶级数展开式为

    其中系数的计算式为

    如果为奇函数,则有

    其中系数  

    如果为偶函数,则有

    其中系数  

    证:作变量替换,当时,,函数可重新表示成,从而是周期为的周期函数且满足收敛定理的条件,因此,可以展开成为傅立叶级数

    其傅立叶系数的计算表达式为

    由于,上式可分别改写成

    类似地,可以证明定理的其余部分。

    【例1】设是周期为的周期函数,它在上的表达式为

    将它展开成傅立叶级数。

    解:的图象如下

    其傅立叶系数为

    据收敛定理,有

    因此,的傅立叶展开式为

    这里,

    【例2】将函数展开成正弦级数和余弦级数。

    解:作奇延拓,得到函数,且

    再将以4为周期进行周期延拓,便可获到一个以4为周期的周期函数,其图象如下:

    其傅立叶系数为

    由于函数在处间断,故的正弦级数展开式为

    这里:  

    再将作偶延拓,得到函数,且

    以4为周期进行周期延拓,便可获到一个以4为周期的周期函数,其图象如下:

    其傅立叶系数为

    由于函数在上连续,故的余弦级数展开式为

    这里:  

    如果令,得

    对定义在任意区间上的函数,若它满足收敛定理所要求的条件,也可将它展开成傅立叶级数,其方法如下:

    作变量替换 ,即 

    时,,将函数改写成

    是定义在上,且满足收敛定理条件的函数,从而可将其展开成傅立叶级数。

    【例3】将函数展开成傅立叶级数。

    解:作变量替换  ,当时,则 ,而

    为周期进行周期延拓,可得到一个周期函数,其图象如下:

    其傅立叶系数为

    显然,点是函数的间断点,函数在其它点均连续,故的傅立叶展开式为

    代入上式,得





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  • 傅里叶系数

    千次阅读 2019-03-31 17:48:52
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    傅立叶级数的数学推导

    https://wenku.baidu.com/view/1ca3fbcada38376baf1faecc.html

     

    傅里叶系数由Fourier coefficient 翻译而来,有多个中文译名。它是数学分析中的一个概念,常常被应用在信号处理领域中。对于任意的周期信号,如果满足一定条件,都可以展开三角函数的线性组合,每个展开项的系数称为傅里叶系数。

     

     

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周期函数的傅里叶系数