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  • 图像变换中常用的一些插值方法

    千次阅读 2014-02-22 19:17:52
    在进行图像变换时通常会用到一些插值方法,使变换后的图像看起来更加自然。图像插值的应用非常广泛,如

            在做数字图像处理时,经常会碰到小数象素坐标的取值问题,这时就需要依据邻近象素的值来对该坐标进行插值。比如:做地图投影转换,对目标图像的一个象素进行坐标变换到源图像上对应的点时,变换出来的对应的坐标是一个小数,再比如做图像的几何校正,也会碰到同样的问题。以下是对常用的三种数字图像插值方法进行介绍。

    1、最邻近元法

      这是最简单的一种插值方法,不需要计算,在待求象素的四邻象素中,将距离待求象素最近的邻象素灰度赋给待求象素。设i+u, j+v(i, j为正整数, u, v为大于零小于1的小数,下同)为待求象素坐标,则待求象素灰度的值 f(i+u, j+v) 如下图所示:


    如果(i+u, j+v)落在A区,即u<0.5, v<0.5,则将左上角象素的灰度值赋给待求象素,同理,落在B区则赋予右上角的象素灰度值,落在C区则赋予左下角象素的灰度值,落在D区则赋予右下角象素的灰度值。

    最邻近元法计算量较小,但可能会造成插值生成的图像灰度上的不连续,在灰度变化的地方可能出现明显的锯齿状。

     

    2、双线性内插法

    双线性内插法是利用待求象素四个邻象素的灰度在两个方向上作线性内插,如下图所示:


    对于 (i, j+v),f(i, j) 到 f(i, j+1) 的灰度变化为线性关系,则有:

          f(i, j+v) = [f(i, j+1) - f(i, j)] * v + f(i, j)

    同理对于 (i+1, j+v) 则有:

                      f(i+1, j+v) = [f(i+1, j+1) - f(i+1, j)] * v + f(i+1, j)

    从f(i, j+v) 到 f(i+1, j+v) 的灰度变化也为线性关系,由此可推导出待求象素灰度的计算式如下:

                      f(i+u, j+v) = (1-u) * (1-v) * f(i, j) + (1-u) * v * f(i, j+1) + u * (1-v) * f(i+1, j) + u * v * f(i+1, j+1)

    双线性内插法的计算比最邻近点法复杂,计算量较大,但没有灰度不连续的缺点,结果基本令人满意。它具有低通滤波性质,使高频分量受损,图像轮廓可能会有一点模糊。

     

    3、三次内插法

    该方法利用三次多项式S(x)求逼近理论上最佳插值函数sin(x)/x, 其数学表达式为:

    待求像素(x, y)的灰度值由其周围16个灰度值加权内插得到,如下图:


    待求像素的灰度计算式如下:

     

    f(x, y) = f(i+u, j+v) = ABC

     

    其中: 


    三次曲线插值方法计算量较大,但插值后的图像效果最好。

      以上的方法是传统图像插值技术常用的方法,但是使用这些图像插值后的图像都会产生马赛克,使原图像边缘细节变得模糊,因此寻找一种既能在放大图像的同时又能保护好图像的边缘细节,使放大后的图像在视觉上获得更好的效果。

              在找了相关论文文献后发现针对灰度图像的区域分割插值算法和针对彩色图像的基于Canny边缘检测的色彩融合算法,使插值后的灰度和彩色图像都能有较好的视觉效果。


    参考原文:点击打开链接


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  • 图像的基本仿射变换(图形变换)中,经常会碰到经过旋转、缩放后灰度值如何赋值的问题。...这是最简单的一种插值方法,不需要计算。在待求像素的四邻像素中,将距离待求像素最近的邻接像素灰度值赋予待求像素。设...

    在图像的基本仿射变换(图形变换)中,经常会碰到经过旋转、缩放后灰度值如何赋值的问题。因为变换之后,图像的坐标位置有可能是小数,而图像是以离散的方式表示的,所以就需要插值算法来确定到底将该像素赋予哪个具体的整数值位置上。

    1、最邻近插值法(Nearest Interpolation)

    这是最简单的一种插值方法,不需要计算。在待求像素的四邻像素中,将距离待求像素最近的邻接像素灰度值赋予待求像素。设i+u, j+v(i, j为正整数, u, v为大于零小于1的小数,下同)为待求象素坐标,则待求象素灰度的值 f(i+u, j+v) 如下图所示:

                                                         

    如果(i+u, j+v)落在A区,即u<0.5, v<0.5,则将左上角象素的灰度值赋给待求象素,同理,落在B区则赋予右上角的象素灰度值,落在C区则赋予左下角象素的灰度值,落在D区则赋予右下角象素的灰度值。

    最邻近元法计算量较小,但可能会造成插值生成的图像灰度上的不连续,在灰度变化的地方可能出现明显的锯齿状。

    2、双线性内插法(Bilinear Interpolation)

    双线性插值,又称为双线性内插。在数学上,双线性插值是有两个变量的插值函数的线性插值扩展,其核心思想是在两个方向分别进行一次线性插值。

                                                                             

    假如我们想得到未知函数 f 在点 P=(x,y) 的值,假设我们已知函数 f 在 Q_{11} = \left( x_1, y_1 \right)Q_{12} = \left( x_1, y_2 \right)Q_{21} = \left( x_2, y_1 \right)及 Q_{22} = \left( x_2, y_2 \right) 四个点的值。

    首先在 x 方向进行线性插值,得到

                                                          f(R_1) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{11}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{21}) \quad\mbox{Where}\quad R_1 = (x,y_1),

                                                          f(R_2) \approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1} f(Q_{12}) + \frac{x-x_1}{x_2-x_1} f(Q_{22}) \quad\mbox{Where}\quad R_2 = (x,y_2).

    然后在 y 方向进行线性插值,得到

                                                                            


    这样就得到所要的结果 f \left( x, y \right)

                                               f(x,y) \approx \frac{f(Q_{11})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x_2-x)(y_2-y) + \frac{f(Q_{21})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x-x_1)(y_2-y)

                                                        + \frac{f(Q_{12})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x_2-x)(y-y_1) + \frac{f(Q_{22})}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)} (x-x_1)(y-y_1).

    双线性内插法是利用待求像素四个邻像素的灰度在两个方向上作线性内插,如下图所示:u和v位于(0,1)之间

                                          

    我们先在y上面插值,求f(i, j+v),(i+1, j+v),再在x上插值,求像素 f(i+u, j+v)

    现在已知像素是 f(i, j),f(i, j+1),f(i+1, j),f(i+1, j+1)

    y上插值:

    对于中间待求 f(i, j+v),f(i, j) 到 f(i, j+1) 的灰度变化为线性关系,则有:

                                                         x: i不变,y:j -> j+v -> j+1: f(i, j+v) = [f(i, j+1) - f(i, j)] * v + f(i, j)

                                                        f\left ( i, j+v \right )= \frac{\left ( j+1 \right )-\left ( j+v \right )}{ j+1 - j }f\left ( i, j \right )+\frac{ j+v - j }{j+1 - j }f\left ( i, j+1 \right )

                                                                            = \left ( 1-v \right )f\left ( i, j \right )+vf\left ( i,j+1 \right )

                                                                            =\left [ f\left ( i, j+1 \right ) - f\left ( i, j \right )\right ] * v + f\left ( i, j \right )

    同理对于 f(i+1, j+v) 则有:

                                            x: i+1不变,y:j -> j+v -> j+1: f(i+1, j+v) = [f(i+1, j+1) - f(i+1, j)] * v + f(i+1, j)

                                             f\left ( i+1, j+v \right )= \frac{\left ( j+1 \right )-\left ( j+v \right )}{ j+1 - j }f\left ( i+1, j \right )+\frac{ j+v - j }{j+1 - j }f\left ( i+1, j+1 \right )

                                                                        = \left ( 1-v \right )f\left ( i+1, j \right )+vf\left ( i+1, j+1 \right )

                                                                         =\left [ f\left ( i+1, j+1 \right ) - f\left ( i+1, j \right )\right ] * v + f\left ( i+1, j \right )

    x上插值:

    从f(i, j+v) 到 f(i+1, j+v) 的灰度变化也为线性关系,由此可推导出待求象素灰度的计算式如下:

    y: j+v不变,x:i -> i+u -> i+1: f(i+u, j+v) = [f(i+1, j+v) - f(i, j+v)] * u + f(i, j+v)

                                                                                  = (1-u) * (1-v) * f(i, j) + (1-u) * v * f(i, j+1) + u * (1-v) * f(i+1, j) + u * v * f(i+1, j+1)

                                             f\left ( i+u, j+v \right )= \frac{\left ( i+1 \right )-\left ( i+u \right )}{ i+1 - i }f\left ( i, j+v \right )+\frac{ i+u - i }{i+1 - i }f\left ( i+1, j+v \right )

                                                                        = \left ( 1-u \right )f\left ( i, j+v \right )+uf\left ( i+1, j+v \right )

    这里,f(i, j+v)以及f(i+1, j+v)已经在前面求解出来,直接带入化解就好

    双线性内插法的计算比最邻近点法复杂,计算量较大,但没有灰度不连续的缺点。它具有低通滤波性质,使高频分量受损,图像轮廓可能会有一点模糊,图像看起来更光滑。

    opencv和Matlab中的双线性插值

    这部分的前提是,你已经明白什么是双线性插值并且在给定源图像和目标图像尺寸的情况下,可以用笔计算出目标图像某个像素点的值。当然,最好的情况是你已经用某种语言实现了网上一大堆博客上原创或转载的双线性插值算法,然后发现计算出来的结果和matlab、openCV对应的resize()函数得到的结果完全不一样。

    那这个究竟是怎么回事呢?

    其实答案很简单,就是坐标系的选择问题,或者说源图像和目标图像之间的对应问题。

    假设源图像大小为mxn,目标图像为axb。那么两幅图像的边长比分别为:m/a和n/b。注意,通常这个比例不是整数,编程存储的时候要用浮点型。目标图像的第(i,j)个像素点(i行j列)可以通过边长比对应回源图像。其对应坐标为(i*m/a,j*n/b。按照网上一些博客上写的,源图像和目标图像的原点(0,0)均选择左上角,然后根据插值公式计算目标图像每点像素,假设你需要将一幅5x5的图像缩小成3x3,那么源图像和目标图像各个像素之间的对应关系如下:

                                                                         

    只画了一行,用做示意,从图中可以很明显的看到,如果选择左上角为原点(0,0),那么最右边和最下边的像素实际上并没有参与计算,而且目标图像的每个像素点计算出的灰度值也相对于源图像偏左偏上。

    那么,让坐标加1或者选择右下角为原点怎么样呢?很不幸,还是一样的效果,不过这次得到的图像将偏右偏下。

    最好的方法就是,两个图像的几何中心重合,并且目标图像的每个像素之间都是等间隔的,并且都和两边有一定的边距,这也是matlab和openCV的做法。如下图:

                                                                          

    在计算对应坐标的时候改为以下公式即可,

                                                                                       int x=(i+0.5)*m/a-0.5

                                                                                       int y=(j+0.5)*n/b-0.5

    代替

                                                                                               int x=i*m/a

                                                                                               int y=j*n/b

    利用上述公式,将得到正确的双线性插值结果

     

    文中的内容参考了一些前辈们的博文,现列之如下:

    https://blog.csdn.net/xjz18298268521/article/details/51220576

    http://www.cnblogs.com/funny-world/p/3162003.html

    https://blog.csdn.net/zyttae/article/details/42710303

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  • 为了凸显区域的细节特征,改善图像的视觉效果,本文通过对Directionlet变换进行插值处理,并结合压缩感知理论提出一种新的图像融合方法。在进行插值Directionlet变换分解以后,对低频分量通过其区域特征及其接近度进行...
  • xn≤b上的值为y0,y1,…,yn,若存在简单函数P(x)使得P(xi)=yi (i=0,1,…,n)成立,就称P(x)为f(x)的插值函数, x0,x1,…,xn称为插值节点,包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间,求插值函数P(x)的方法就是插值法。...

    图像的插值算法

    插值的定义:

    设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义,且已知在点a≤x0<x1<…<xn≤b上的值为y0,y1,…,yn,若存在简单函数P(x)使得

    P(xi)=yi (i=0,1,…,n)

    成立,就称P(x)为f(x)的插值函数, x0,x1,…,xn称为插值节点,包含插值节点的区间[a,b]称为插值区间,求插值函数P(x)的方法就是插值法。

    有时,在图像的几何变换中,比如缩放和旋转,输出图像上的像素点坐标有可能对应于原图像上几个像素点之间的位置,这个时候就需要通过灰度插值处理来计算出该输出点的灰度值。

    常用的图像插值算法可以分为最近邻插值,双线性插值和立方卷积插值。

    1.最近邻插值

    最简单的插值方法是最近邻插值,即选择离它所映射到的位置最近的输入像素的灰度值为插值结果。若几何变换后输出图像上坐标为(x,y)的像素点在原图像上的对应值坐标为

    (u,v),则近邻插值公式为:

    捕获

    [······]表示求整

    与其它两种插值算法相比,最近插值具有简单快速的特点,但是对于邻近像素点的灰度值有较改变,细微结构是粗糙的。

    2.双线性插值

    设g(x',y')上像素坐标为(x',y')的点对应于原图像上的坐标为(u,v),如下图所示

    捕获

    将f(x,y)周围的四点存入二维数组a[2][2],并令u=0,v=1,简化后可以得到双线性插值公式:

    1:x方向上的线性插值

        R1 = (1-x)*array[0][0] + x*array[1][0]; 
        R2 = (1-x)*array[0][1] + x*array[1][1];

    2:y方向上的线性插值

    双线性插值具有低通滤波器特质,使高频信号受损,图像轮廓模糊,但同时边缘处的过度也比较自然。缺点是运算速度比最近邻插值要慢。

    3.三次卷积插值(又称立方卷积插值)

    三次卷积法能够克服以上两种算法的不足,计算精度高,但计算亮大,他考虑一个浮点坐标(i+u,j+v)周围的16个邻点,目的像素值f(i+u,j+v)可由如下插值公式得到:

    捕获 
    S(x)是对 Sin(x*Pi)/x 的逼近(Pi是圆周率——π)

    最邻近插值(近邻取样法)、双线性内插值、三次卷积法 等插值算法对于旋转变换、错切变换、一般线性变换 和 非线性变换 都适用。

    来源:https://www.cnblogs.com/BYTEMAN/archive/2012/07/05/2577231.html

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  • 图像变换插值

    2021-03-04 18:26:33
    3.插值的代码还是不断嵌套循环,导致运行时间长,还是没有找到合适的方法减少嵌套; 4.可视化部分写的很笨重; 5.一开始写的时候期待太大,导致难以下手,还是得把模型建清楚才会有迹可循; 6.除了最后的插值变换...

    其实,这个程序还有很多可以改进的地方。但优化是一件无止境的是,目前来看,实现就满足了。以后慢慢积累经验喽。
    remains:
    1.如何直接从读入的图片得到像素值?(脚本里是读完后自己手动敲上的);
    2.几个变换函数那里,其实可以做很大的精简,只是translation_m不同而已,代码冗余的厉害;
    3.插值的代码还是不断嵌套循环,导致运行时间长,还是没有找到合适的方法减少嵌套;
    4.可视化部分写的很笨重;
    5.一开始写的时候期待太大,导致难以下手,还是得把模型建清楚才会有迹可循;
    6.除了最后的插值,变换得到的数据都可以直接可视化。而插值的必须归一化,否则一片白,还没有找到原因。

    import numpy as np
    import math
    import matplotlib.pyplot as plt
    import matplotlib.image as imgplt
    
    data = imgplt.imread('graph_320,500,3.jpg')
    line,raw,hight = 320,500,3
    
    #平移变换
    def translation(data,line,raw,hight,ri_num,up_num):     #data为目标图像的数据,line\raw\hight为目标图像的大小信息,ri_num为左右移动的单位,up_num为上下移动的单位
        data_new = np.zeros_like(data)
        translation_m = np.array([[1,0],
                                  [0,1],
                                  [ri_num,up_num]])
        for i in range(line):
            for j in range(raw):
                loca = np.dot(np.array([i,j,1]),translation_m)
                if loca[0]<line and loca[0]>0 and loca[1]<raw and loca[1]>0:
                    data_new[i][j] = data[loca[0]][loca[1]]
                else:
                    data_new[i][j] = np.array([0,0,0])
        return data_new
    #旋转变换
    def rotate(data,line,raw,hight,theta):
        data_new = np.zeros_like(data)
        si_theta = math.sin(math.pi*theta/180)
        co_theta = math.cos(math.pi*theta/180)
        translation_m = np.array([[co_theta, si_theta],
                                  [-si_theta, co_theta],
                                  [0, 0]])
        for i in range(line):  #比平移变换复杂一丢丢,多了个移坐标系的过程
            for j in range(raw):
                loca = np.dot(np.array([int(i-line/2), int(j-raw/2), 1]), translation_m)+np.array([int(line/2),int(raw/2)])
                if loca[0] < line and loca[0] > 0 and loca[1] < raw and loca[1] > 0:
                    data_new[i][j] = data[int(loca[0])][int(loca[1])]
                else:
                    data_new[i][j] = np.array([0, 0, 0])
        return data_new
    
    #尺度变换
    def scale(data,rax,ray): #rax为x方向上变换的尺度,ray为y方向上变换的尺度
        data_new = np.zeros_like(data)
        translation_m = np.array([[rax, 0],
                                  [0, ray],
                                  [0, 0]])
        for i in range(line):
            for j in range(raw):
                loca = np.dot(np.array([i, j, 1]), translation_m)
                if loca[0] < line and loca[0] > 0 and loca[1] < raw and loca[1] > 0:
                    data_new[i][j] = data[int(loca[0])][int(loca[1])]
                else:
                    data_new[i][j] = np.array([0, 0, 0])
        return data_new
    #偏移变换
    def ho_shift(data,ra_shi): #ra_shi为偏移率
        data_new = np.zeros_like(data)
        translation_m = np.array([[1, ra_shi],
                                  [0, 1],
                                  [0, 0]])
        for i in range(line):
            for j in range(raw):
                loca = np.dot(np.array([i, j, 1]), translation_m)
                if loca[0] < line and loca[0] > 0 and loca[1] < raw and loca[1] > 0:
                    data_new[i][j] = data[int(loca[0])][int(loca[1])]
                else:
                    data_new[i][j] = np.array([0, 0, 0])
        return data_new
    
    #曲面变换
    def curve(data,line,raw):
        data_new = np.zeros_like(data)
        for i in range(line):
            r = math.sqrt(pow(raw / 2, 2) - pow(line / 2 - i, 2))
            for j in range(raw):
                if ((j-raw/2)*250/r + raw/2) <raw and ((j-raw/2)*250/r + raw/2)>0:
                    data_new[i][j] = data[i][int((j-raw/2)*250/r + raw/2)]
        return data_new
    
    #最近邻插值(其实早就写出来了,只不过一直忽略了警告,要归一化)
    #这里的最邻近插值思想有问题且冗长,但懒得改了。
    def close_insert(data,line,raw,hight,num):
        data_new = np.zeros((line+num*(line-1),raw+num*(raw-1),hight))
        for i in range(line+num*(line-1)):  #比平移变换复杂一丢丢,多了个移坐标系的过程
            for j in range(raw+num*(raw-1)):
                loca = np.array([i/(num+1),j/(num+1)])
                if loca[0] < line-1 and loca[0] > -1 and loca[1] < raw-1 and loca[1] > -1:
                    #ceil是向上取整,floor是向下取整
                    d0,d1,d2,d3 = 0,0,0,0
                    if loca[1]-math.ceil(loca[1]) == 0:
                        d0 = pow(loca[0] - math.floor(loca[0]), 2) + pow(math.ceil(loca[1]) - loca[1], 2)
                        d1 = pow(loca[0] - math.ceil(loca[0]), 2) + pow(math.ceil(loca[1]) - loca[1], 2)
                        dmin = min(d0, d1)
                    elif loca[0]-math.ceil(loca[0]) == 0:
                        d0 = pow(loca[0] - math.floor(loca[0]), 2) + pow(math.ceil(loca[1]) - loca[1], 2)
                        d2 = pow(loca[0] - math.floor(loca[0]), 2) + pow(math.floor(loca[1]) - loca[1], 2)
                        dmin = min(d0, d2)
                    else:
                        d0 = pow(loca[0]-math.floor(loca[0]),2) + pow(math.ceil(loca[1])-loca[1],2)
                        d1 = pow(loca[0]-math.ceil(loca[0]),2) + pow(math.ceil(loca[1])-loca[1],2)
                        d2 = pow(loca[0]-math.floor(loca[0]),2) + pow(math.floor(loca[1])-loca[1],2)
                        d3 = pow(loca[0]-math.ceil(loca[0]),2) + pow(math.floor(loca[1])-loca[1],2)
                        dmin = min(d0,d1,d2,d3)
                    if d0 == dmin:
                        data_new[i][j] = data[math.floor(loca[0])][math.ceil(loca[1])]
                    elif d1 == dmin:
                        data_new[i][j] = data[math.ceil(loca[0])][math.ceil(loca[1])]
                    elif d2 == dmin:
                        data_new[i][j] = data[math.floor(loca[0])][math.floor(loca[1])]
                    else:
                        data_new[i][j] = data[math.ceil(loca[0])][math.floor(loca[1])]
                else:
                    data_new[i][j] = np.array([0, 0, 0])
        return data_new
    
    #用双线性插值做变换,感觉上和上面的差距不大,偷懒喽。
    
    
    
    
    #data_new = translation(data,line,raw,hight,10,50)
    #data_new = rotate(data,line,raw,hight,45)
    #data_new = scale(data,3,3)
    #data_new = ho_shift(data,0.5)
    #data_new = curve(data,line,raw)
    data_new = close_insert(data,line,raw,hight,2)
    
    plt.imshow(data_new/255)
    plt.show()
    
    

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图像变换插值方法